一阶线性微分方程例题程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-10 08:45 标签： 一阶线性微分方程特解
求解下列一阶线性微分方程
我爱番茄246
解法一：（全微分法）
∵y'-2y/x=x^3 ==>xy'-2y=x^4
==>xdy-2ydx=x^4dx
==>x²dy-2xydx=x^5dx
==>x²dy-yd(x²)=x^5dx
==>[x²dy-yd(x²)]/x^4=xdx
==>d(y/x²)=d(x²/2)
==>y/x²=x²/2+C
(C是积分常数)
==>y=x^4/2+Cx²
∴原方程的通解是y=x^4/2+Cx²
(C是积分常数).解法二：（常数变易法）
∵齐次方程y'-2y/x=0 ==>dy/dx-2y/x=0
==>dy/y=2dx/x
==>ln|y|=2ln|x|+ln|C|
(C是积分常数)
==>y=Cx²
∴此齐次方程的通解是y=Cx²
(C是积分常数)
∴设原方程的通解为 y=C(x)x²
(C(x)是关于x的函数)
∵y'=C'(x)x²+2xC(x)
代入原方程整理得C'(x)=x ==>C(x)=x²/2+C
(C是积分常数)
∴ y=C(x)x²=(x²/2+C)x²=x^4/2+Cx²
∴原方程的通解是y=x^4/2+Cx²
(C是积分常数).
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为什么我今天才看到图片连接。。。这个问题嘛。。。y'=x^3+y*(2/x)这个其实就是一个一阶线性方程。利用常易变换法就是了。。。或者直接整理下再配一个积分因子也行。
∵齐次方程y'-2y/x=0 ==>dy/dx-2y/x=0
==>dy/y=2dx/x
==>ln|y|=2ln|x|+ln|C|
(C是积分常数)
==>y=Cx²
扫描下载二维码一阶线性非齐次微分方程——常数变易法
在我写的《》、《》两篇文章中，为了解决电流问题，都遇到了微分方程。而且，都是形如P(x)*y'+Q(x)*y=R(x)形式的微分方程（其中y'是指y对x的导数dy/dx）。这样的方程可以用除法使y'前的系数化为1。因此：
形如y'+P(x)*y=Q(x)的微分方程，称为一阶线性非齐次微分方程。
求这种微分方程通解的方法，在这两篇文章中已经可以大体明白。这里给出一个总结性的说法。
首先，方程y'+P(x)*y=Q(x)与y'+P(x)*y=0（dy/dx+P(x)*y=0微分方程称为一阶线性齐次微分方程）具有结构类似的通解。所以先解这个一阶线性齐次微分方程。
y'+P(x)*y=0
dy/dx+P(x)*y=0
dy/dx=-P(x)*y
dy/y=-P(x)*dx
准备两侧进行不定积分操作。这里必须说明的是，这里的积分变量（暂时记为C'）不是一个普通的常数，它是一个真正的变量，它是自变量x的函数。
∫dy/y=∫-P(x)*dx
lny=-∫P(x)*dx+C'(x)
y=e-∫P(x)*dx+C'(x)
为方便记录，令eC'(x)=C，这里的C也是x的函数。
y=C(x)*e-∫P(x)*dx
=[C(x)*e-∫P(x)*dx]'
=C'(x)*e-∫P(x)*dx+C(x)*[e-∫P(x)*dx]'
=C'(x)*e-∫P(x)*dx+C(x)*e-∫P(x)*dx*[-∫P(x)*dx]'
=C'(x)*e-∫P(x)*dx-C(x)*e-∫P(x)*dx*P(x)
将y=C(x)*e-∫P(x)*dx与dy/dx=C'(x)*e-∫P(x)*dx-C(x)*e-∫P(x)*dx*P(x)代入原方程dy/dx+P(x)*y=Q(x)，得
C'(x)*e-∫P(x)*dx-C(x)*e-∫P(x)*dx*P(x)+P(x)*C(x)*e-∫P(x)*dx=Q(x)
C'(x)*e-∫P(x)*dx=Q(x)
C'(x)=Q(x)*e∫P(x)*dx
C(x)=∫Q(x)*e∫P(x)*dx*dx
y=e-∫P(x)*dx*∫Q(x)*e∫P(x)*dx*dx
这就是一阶线性非齐次微分方程的通解。
其中用函数C(x)来代替常数C，故此法称为“常数变易法”。
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-> 一阶矩阵线性微分方程
1)&&first-order matrix linear differential equation
一阶矩阵线性微分方程
This paper deals with the construction of the approximate solution of first-order matrix linear differential equations given by Y′=A(x)Y+B(x) and Y(0)=Y0,where x∈,and A(x),B(x)∈C4,using the quartic matrix spline(QMS).
文章给出了用四次矩阵样条构造形如Y′=A(x)Y+B(x),Y(0)=Y0,x∈[a,b],A(x)、B(x)∈C4[a,b]的一阶矩阵线性微分方程初值问题近似解的方法,研究了该方法的逼近误差并编制了实现该方法的一个算法,最后给出一些数值实例;比较结果表明,用四次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果要比用三次矩阵样条所构造的近似解的逼近效果好。
2)&&matrix differential equation of first order
一阶矩阵微分方程
3)&&second order linear matrix difference equations
二阶线性矩阵差分方程
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讨论了二阶线性矩阵差分方程AXn+2+BXn+1+CXn=0的解及其渐近稳定性。
4)&&linear system of differential equations
一阶线性微分方程组
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一阶非线性微分方程
In this paper, we generalization of first order nonlinear differential equation of the 1st kind y′P(x)yQ(x)y( μ)R(x)∑ni2f-i(x)yiand obtained the equation such as h′(y)dydxP(x)h(y)Q(x)hμ(y)R(x)∑ni2f-i(x)hi(y)and then research condition of integrability.
将一类一阶非线性微分方程　y′=P(x)y+Q(x)y　μ+R(x)+∑ni=2fi(x)yi推广成如下形式 h′(y)dydx=P(x)h(y)+Q(x)hμ(y)+R(x)+∑ni=2fi(x)hi(y)给出了其较为广泛的可积的充分条件,推广并统一了文献[1]和[2]的结论。
6)&&nomial linear diferential equation
一阶线性微分方程
This paper discusses the application of solving the problem of nomial linear diferential equation with factorization integral.
本文运用因子配导积分法解一阶线性微分方程。
补充资料：二阶线性齐次微分方程
二阶线性微分方程的一般形式为ay&+by&#39;+cy=f(1)其中系数abc及f是自变量x的函数或是常数。函数f称为函数的自由项。若f≡0，则方程（1）变为ay&+by&#39;+cy=0（2）称为二阶线性齐次微分方程，而方程（1）称为二阶线性非齐次微分方程。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。

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