一阶微分方程，可分离变量的方程。通解和常数解的关系？在微积分解题思路和方法时需要

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-20 10:24 标签： 微积分解题方法与技巧
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一阶微分方程的解法
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&&一​阶​微​分​方​程​的​解​法
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你可能喜欢微分方程中对于方程的通解,为什么只有当任意常数个数与阶数相同时才叫通解,还如何理解这一概念
一般说来,每一阶微分或者导数,都需要积分一次才能得到原函数,而每次积分都会有一个任意常数所以只有当任意常数个数与阶数相同时才叫通解
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新疆农业大学
专业文献综述
号: 指导教师:
几个一阶微分方程解法之间的关系
数学与应用数学
2008 年 12 月29
新疆农业大学教务处制
几个一阶微分方程解法之间的关系
作者：盛园甲
指导教师：刘书新
摘要：本文主要介绍了可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程的解法，和它们解法之间的关系。
关键词：可分离变量方程，恰当方程，积分因子法。
随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性,因此研究常微分方程的解题方法也变得十分必要。一般的一阶方程是没有初等解法的，本文就在与介绍若干有初等解法的方程类型和求解的方法，及它们解法之间的关系， 在文献[1]中给出了三种常见的常微分方程及其解法： 一：可分离变量方程 形如
的方程，称为可分离变量方程，这里f(x)，?(y)分别是x,y的连续函数。 现在说明方程(1.1)的求解方法。 如果?（y）?0,我们可将(1.1)写成
这样，变量就“分离”开来了，两边分别积分，得到
这里我们把积分常数c明确写出来，而把?
，?f(x)dx分别理解为
的某一个原函数，如无特别声明，以后也做这样的理解。
把(1.2)作为确定y是x的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c，微分(1.2)的两边，就知(1.2)所确定的隐函数y=y(x,c)满足方程(1.1)，因而(1.2)是(1.1)的通解。
如果存在?(y0)?0，直接带入，可知y=y0也是(1.1)的解。 二：一阶线性方程
一阶线性微分方程可以写成
?p(x)y??(x)
这里p(x)，?(x)是x的连续函数。
若?(x)?0，则（2.1）变为
（2.2）称为一阶线性齐次方程；
若?(x)?0，则称（2.1）为一阶非齐次方程。
（2.2）是变量分离方程，可用求变量分离方程解的方法求的通解为
这里c是任意常数。
现在讨论非齐次线性方程（2.1）的通解的求法。不难看出，（2.2）是（2.1）的特殊形式，两者既有联系又有区别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有区别。我们试图利用方程（2.2）的通解（2.3）的形式去求方程（2.1）通解，显然（2.3）中c恒保持为常数，它必不可能是（2.1）的解，我们设想：（2.3）中，将常数c变易为待定函数c(x)， 使它满足方程（2.1），从而求得c(x)。 为此，令
dc(x)?p(x)dx
将(2.4)，(2.5)代入(2.1)，得到
p(x)dxp(x)dxdc(x)?p(x)dx
e?c(x)p(x)e??p(x)c(x)e??Q(x)
积分后即可求得
c(x)??Q(x)e?
这里c1是任意常数，将(2.7)代入(2.4)，得到
p(x)dx?p(x)dx
y?e?(?Q(x)e?dx?c1)
这就是（2.1）的通解。 三：恰当方程 我们可以将一阶方程
写成微分形式
f(x,y)dx?dy?0
或把x，y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0
这里M(x,y)，N(x,y)都是x,y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。这样的形式有时便于探求方程的通解。
如果方程(3.1)的 左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即
M(x,y)dx?N(x,y)dy?du(x,y)?则称(3.1)为恰当方程。 容易验证，(3.1)的通解就是
?M(x,y)dx???N?
M(x,y)dx?dy?c??y??
这里c是任意常数。
四：可分离变量方程，一阶线性方程，恰当方程解法之间的关系
恰当方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当方程化为恰当方程
就有很大的意义，积分因子就是为了解决这个问题而引入的概念。 如果存在函数u?u(x,y)?0，使得
u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)dy?0 为一恰当方程，即存在函数v，使
uMdx?uNdy?dv?0
则称u(x,y)为方程(3.1)的积分因子。
这时v(x,y)?c是(3.3)的通解，因而也就是(3.1)的通解。
文献[2]中给出了，对于可分离变量方程，一阶线性方程都可以写成具有对称形式的一阶微分方程
M(x,y)dx?N(x,y)dy?0
如果存在u(x)?0，使
uMdx?uNdy?0
(4.2) 成为全微分方程，则称u为方程(4.1)的积分因子。
因此，对于可分离变量方程，一阶线性方程的求解，就可归结到寻求积分因子。 容易看出u(x,y)是方程(4.1)的积分因子的充要条件是
企图从上式找出u是很困难的。
文献[12]给出了可分离变量变量分离方程，一阶线性方程的积分因子。 1：可分离变量方程的积分因子： 可分离变量方程的一般形式为
f(x)?(y)dx?dy?0，两边同时乘以
，写成微分形式得
dy?0，此时易得方程
的通解为?f(x)dx??
。由此可知方程有积分因子dy?c（c为任意常数）
2：一阶线性方程的积分因子： 一阶线性方程的的一般形式为
?p(x)y??(x)
，写成微分形式得
?p(x)y?Q(y)?dx?dy?0
其中M=p(x)y?Q(y),N=?1，算得
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