问个数学问题，如何判断线性方程之间是否独立？_物理竞赛吧_百度贴吧
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问个数学问题，如何判断线性方程之间是否独立？收藏
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能否通过线性组合变为0
弄个矩阵然后去加加减减弄一弄吧……一般来说列方程的时候注意一些的话也不太会列出重复的方程。
涉及到矩阵的线性相关与线性无关的问题，建议看看高等代数！
行列式 克拉默法则。看线性代数第一章就OK
行列式判断
看线性代数
是普通的线性方程还是线性微分方程
判断系数行列式是否为零。。。
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怎么判断是否为线性微分方程
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全书上说以未知函数和它的各阶导数作为总体是一次的就称为线性微分方程，这句话怎么理解啊？？是不是说比如y是x函数，要是线性微分方程的话，只能是y的一阶导数和y的一次方，下面是全书上的题，为什么这2个都是线性微分方程啊，求解，谢谢·····
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没人知道吗？？？
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两个都是线性
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我的理解就是：等号左边有导数（一般没有系数或者系数因子），另外的项是含有Y和X的多项式，等号右边只是X的函数。
你的第二道题有二阶导，有一阶导，又有X，Y。我不直到该怎么解？是不是欧拉方程一类的？
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第一个还好理解，第二个不知道怎么回事，全书上的练习题····
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书上那句话的意思是 就拿你举得那两道题目为例 未知函数为Y 各阶倒数就是Y的一阶dy/dx 二阶 三阶 是一次的 你能分清二次和二阶吧 一次和一阶吧
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第二个Y的二阶 那个符号是偏倒得意思
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要是线性微分方程的话，只能是y的一阶导数和y的一次方 这句话不对 可以是N阶 但只能是一次方
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这样？？？
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如何从一个系统的函数或者方程判断该系统是否为线性系统？？？？
作者：Analog921　栏目：
如何从一个系统的函数或者方程判断该系统是否为线性系统？？？？也就是说，如果列出了该系统的传递函数方程，如何从形式上判断该方程是线性方程，输入和输出有线性关系？？谢谢～～～～～～～
作者： 尤新亮 于
11:39:00 发布：
线性方程：X＝a+bY线性电路例：Uo＝2+8*Ui
作者： Analog921 于
11:46:00 发布：
嗯我的意思是高阶的微分方程该如何从方程的形式上面大致的判断？？？
作者： Analog921 于
11:54:00 发布：
详细一点我们知道如果一个电路全部是线性元件的话，他的方程肯定是线性的，输入和输出满足齐次和叠加性，但是如果现在我们不知道电路内部具体的情况，而只知道输入和输出的关系，而且这个关系式中又含有高阶的微分因子，那么如何判断该系统是否为一个线性的系统？？？（除了验证输入输出是否满足齐次和叠加性外）可否就从方程的形式上来加以判断？？？
作者： no 于
19:53:37 发布：
蜀山说的是当电路中的各元件是线性的，且参数是一常数，不随时间而改变，就是线性时不变的系统。这我明白，但后来又进一步研究说：常系数的现行微分方程当初是状态为零是才是线性时不变系统且为因果系统。否则反之则反。可为何好多题中为何明明说的是LTI系统，可他的完全响应却并不是线性时不变的形式呢？
作者： 天外飞仙 于
14:24:06 发布：
对系统函数进行 可加性和齐次性的判断即可，或者通过系统函数进行Z变换，看极值点是否落在单位元内
讨论内容：
Copyright &
浙ICP证030469号非齐次线性方程组同解的讨论；摘要本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条；关键词非齐次线性方程组同解陪集零空间；引言无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程；下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出；?a11x?a12x???a1nx?b1?ax?；?a11a12?a1n??b1??a??b?a?；即非齐次线性方程组可写成Ax?b；一、线性方
非齐次线性方程组同解的讨论
摘要 本文主要讨论两个非齐次线性方程组有相同解的条件，即如何判定这两个非齐次线性方程组有相同的解.
关键词 非齐次线性方程组 同解 陪集 零空间
引言 无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题。
下面是一个非齐次线性方程组，我们用矩阵的形式写出
?a11x?a12x???a1nx?b1?ax?ax???ax?b?21222n2
? ???????????am1x?am2x???amnx?bm
?a11a12?a1n??b1??a??b?a?a21222n?，b= ?2?。 令
A= ??????????????aa?amn??m1m2?bm?
即非齐次线性方程组可写成Ax?b。
一 、线性方程组同解的性质
引理1 如果非齐次线性方程组Ax?b与Bx?d同解，则矩阵?Ab?与?Bd?的秩相等.
证明 设非齐次线性方程组Ax?b的导出组的基础解系为?1,?1,?,?r，其中r1
为矩阵?Ab?的秩，再设非齐次线性方程组Bx=d的导出组的基础解系为
其中r2为矩阵?Bd?的秩，如果?*是非齐次线性方程组Ax=b与Bx=d?1,?2,?,?r，2
特解，由于这两个方程组同解，所以向量组?1,?1,?,?r1,?*与向量组?1,?2,?,?r2,?*等价。从而这两个线性无关的向量组所含的向量个数相等，于是有r1?r2,则矩阵?Ab?与?Bd?的秩相等.
引理2[1] 设A、B为m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0与Bx?0同解的充
要条件是存在可逆矩阵P使得PA?B.
证明 充分性显然成立。
必要性 设Ax?0与Bx?0的同解空间为V，由文献[2]得A的行向量与B的行向量生成的子空间相同,都是V的正交补空间.所以A的行向量与B的行向量可相互线性表出,即存在矩阵C,使得CA?B且秩A=秩B.
即存在可逆矩阵P使得PA?B.
引理3设A、B为m?n矩阵，则非齐次线性方程组Ax?b与Bx?d有解且同解，则它们的导出组Ax?0与Bx?0同解。
证明 设?为Ax?0的解，?为Ax?b的一个特解。则由非齐次线性方程组Ax?b与Bx?d同解及线性方程组的性质可知?为Bx?d的一个特解，???为Ax?b与Bx?d的解。
所以??(???)??是Bx?0的解。
反之设?为Bx?0的解，同样可以证明，?为Ax?0的解。
所以Ax?0与Bx?0同解。
由引理2与引理3可以得到下面的定理：
定理1设A、B为m?n矩阵，则非齐次线性方程组Ax?b与Bx?d都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵P使得PA?B，Pb?d。
证明 充分性显然成立。
必要性 设Ax?b与Bx?d同解，由引理3得，Ax?0与Bx?0同解。又由引理2可知存在可逆矩阵P使得PA?B.
设?为Ax?b与Bx?d的解。即
Pa?PA??B??d
所以结论成立。
如果我们把上面的结论加以改进便得到更一般的结论：
情况1 设非齐次线性方程组
Ax?b和Bx?d
（1） 式中A、B都为m?n矩阵，b与d为m维列向量，x为n维列向量。
定理2[3] 非齐次线性方程组Ax?b和Bx?d同解的充分必要条件是存在可逆矩阵Wm?m使得
?Ab??W?Bd?
证明 充分性 如果存在可逆矩阵Wm?m使得（2）式成立，则对Bx?d的任意解x0，
?x?Bx0?d??Bd??0??0 ??1?
?x0??x0??Bd????0??Ab????0?Ax0?b ??1???1?
故x0是Ax0?b的一个解。
反之对Ax?b的任意解x1，把（2）式改写为
W?1?Ab???Bd?
同理可证，x1是Bx?d的一个解。
所以Ax?b和Bx?d同解。
必要性 因为Ax?b和Bx?d同解，则??x???，从而
rank?Ab??rank?B
通过行初等变换，总可以求出?Ab?与?B
逆矩阵K与H使得 ?Ab?
（4） d??rank???Bd?d?的行向量组的线性无关极大组。即存在可
?S??P?K?Ab????,H?Bd???? ?T??Q?
式中S,P的行向量分别是?Ab?,?Bd?的行向量的线性无关极大组。这里
rankS?rankP?rank?Ab??rank?Bd??r
记R?x?为矩阵x的行向量生成的向量空间。
由式（4）及S与P的构造知S与P的行向量分别构成R??
逆矩阵C使得 ??Ab????的一个基底。故存在可Bd????
Tm?r?n?1?Dm?r?rSr?n?1,Qm?r?n?1?Fm?r?rPr?n?1?FCS
0??C G????FC?DI?
式中I为单位阵。显然G是可逆的，从而
0??S??S??CGK?Ab??G??????DS? TFC?DI??????
?1?1?CS??P?????H?Bd?. ??FCS??Q?记W?KGH,那么W是可逆的，且?Ab??W?B
把式（2）改写为I?Ab??W?Bd?。 d?便可得到用行初等变换来判断Ax?b和Bx?d是否同解的方法，若同解，那么W?1可用如下的方法求出：
在增广矩阵?Ab?的左边写上单位矩阵I，对?IAb?进行行初等变换，当把?Ab?化成?Bd?时，I便相应地化成W?1，此时Ax?b和Bx?d同解。
若?Ab?化不成?Bd?，则此方程组不同解。
例1 判别方程组
?x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0
?2x?2x?4x?4x??1234?1
?3x1?3x2?3x3?3x4?0??3x1?3x2?5x3?5x4??1
?x?x?x?x?11234?
是否同解？
?I?100|1?11?1|1?? 010|1?1?11|0Ab?=?????001|2?2?44|?1??
?101|3?33?3|0???
?011|3?3?55|?1 ????001|2?2?44|?1??
?101|3?3?33|0??101|3?3?33|0????011|3?3?55|?1? ??011|3?3?55|?1????????100|?1?1?11|?1???100|1?11?1|1??可见这两个方程组同解，且W?1?Ab???Bd?。
情况2 设非齐次线性方程组
Ax?b和Bx?d
（5） 式中A都为m?n矩阵，B为k?n矩阵，b、d分别为m与k维列向量，x为n维列向量。
由定理2的证明知存在可逆矩阵Km?m与Hk?k使
K?Ab????,H?Bd????
（6） ?T??Q?
式中S与P的行向量分别是?Ab?,?Bd?的行向量的线性无关极大组。显然，仅当S,P是同阶矩阵时，方程组（5）才有可能同解。
定理3 非齐次线性方程组（5）同解的充分必要条件是存在可逆矩阵Wm?m使得S?Wm?m.
判定方程组（5）同解的步骤：
第1步 行初等变换分别求?Ab?与?Bd?行向量组的一个极大组所构成的矩阵S与
S?进行行初等变换。当S化成P，I化成W?1P，如果S与P的行数不同，说明rankS?rankP，则（5）式有不同解； 第2步如果S与P的行数相同，对?I
时，式（5）同解，若S不能化成P，则式（5）不同解。
例2判别方程组
?x1?x2?2x3?x4?x5?1??x1?x2?x3?4x4?3x5?4
?x?5x?9x?8x?x?02345?1
???2x?3x?x?x?32345???x3?3x4?4x5?5
（8） ??x?x?3x?2x?5x?6345?12
??x1?x2?2x3?x4?x5?1
是否同解？
记式（7）为Ax?b容易由行初等变换得到
包含各类专业文献、文学作品欣赏、中学教育、生活休闲娱乐、行业资料、高等教育、应用写作文书、线性方程组有解的判别定理等内容。　
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