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分方程,群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础,为从事中学数学教育提供知识储备. 三、课程考核的基本形式、内容和要求: 本课程考核分为两部分:形成性考核和课程期末考试(一)形成性考核形成性考核部分分为:平时考勤(占20% )、作业(占70% )、课堂提问情况(占 10% )这三个部分。要求随时检查学生考勤,批改作业,敦促学生边学边做。学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育,严重者应给予扣分处理。(二)课程期末考试期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论,任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习,其中重点内容为:集合列的上、下限集、可数集、Bolzano —Weirstrass 定理;外测度与可测集的定义及性质,开集的可测性, Lebesgue 可测集的结构;可测函数的性质、逼近理论、Egoroff 定理、Lusin 定理、依测度收敛;可测函数的积分,Lebesgue 积分的极限定理, Lebesgue 积分与 Riemann 积分之间的关系,重积分与累次积分, 数学与计算机科学学院教学大纲( 含实验教学大纲、考核大纲) Fubini 定理,微分与积分的关系; pL 空间定义、 pL 空间中的收敛与完备性、可分性。四、考核的组织: 本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织,以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的 30% ,期末考试成绩可占总成绩的 70% 。五、教材[1] 夏道行《实变函数论与泛函分析》(上、下册)第 2 版修订本. 高等教育出版社; [2] W.Rudin ,Real plex Analysis, 3rd E [3] W.Rudin ,Functional Analysis, 3rd E [4] 周民强《实变函数论》第 2版. 北京大学出版社. 六、其他有关说明或要求2
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2007年10月自考试题实变函数与泛函分析初步试卷 
试题类型：WORD文档
试题时间：2007年10月
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浙江省2007年10月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.已知Z和Q分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q，则(
2.若A=［0,1］-{，…},B=［2,3］∩Q,C=［5,6］-Q,则A∪B∪C的测度为(
3.设f(x)=∩Q,则f(x)dx=(
二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
4.集列的上限集与下限集一定不相等.(
5.开集一定是博雷尔（Borel）集.(
6.设ER1，是E的闭包，mE=0，则m()=0.(
7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann可积函数.(
8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.(
9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.(
三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
10.设A2n-1=(0,sin)，A2n=(,n),则集列{An}的上限集为___________.
11.球面S2={（x,y,z)|x2+y2+z2=1}的基数为___________.
12.设F={(x,y)|x2+y2≤1},E=F∪，则E的开核=___________.
13.记E为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.
14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E是f(x)的连续点全体，则mE=___________.
15.f(x)是可测集E上的简单函数是指___________.
16.函数f(x)在区间［a,b］上的黎曼可积的充要条件是___________.
17.f(x)与g(x)在E上几乎处处相等是指___________.
18.举一个函数列{fn(x)}的例子，使得{fn(x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{fn(x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如fn(x)=___________.
19.区间［a,b］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指___________________________
_____________________________.
四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)
20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)&a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.
21.设E是［0,1］中的不可测集，令f(x)，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？
22.设f(x)在E上可积分，记en=E［|f|≥n］，证明.
23.问函数f(x)=在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？
............
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现代数学基础：实变函数论与泛函分析（上册）（第2版）
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')点集拓扑学
点集拓扑学
范文一：点集拓扑学点集拓扑学的基本概念参考文献:熊金城, 点集拓扑讲义(第二版), 第二章.1.度量空间与连续映射首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数f:R?R被称为在点x0?R处是连续的，如果对于任意实数??0，存在实数??0，使得对于任何x?R，当x?x0??时，恒有（即两个实f(x)?f(x0)??.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．定义1.1 设X是一个集合，?:X?X?R是映射．如果对于任何x,y,z?X，有(1)(2)(3) 正定性，?(x,y)?0，并且?(x,y)?0当且仅当x?y； 对称性，?(x,y)??(y,x)； 三角不等式，?(x,z)??(x,y)??(y,z).则称?是X上的一个度量。若?是集合X上的一个度量，则称偶对(X,?)是一个度量空间，或称X是一个具有度量?的度量空间．当度量?早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x,y?X，实数?(x,y)称为点x和点y之间的距离．例1.2 实数空间R.对于实数集合R，定义?:R?R?R如下：对于任意x,y?R,令?(x,y)?x?y容易验证?是R的一个度量，因此偶对(X,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量?称为R的通常度量，并且常常略而不写?，简称R为实数空间． 例1.3 n维欧式空间Rn.对于实数集合R的n重笛卡尔集Rn?R?R???R，定义?:Rn?Rn?R如下：对于任意的x?(x1,x2,?,xn),y?(y1,y2,?,yn)?Rn，令?(x,y)??(xi?1ni?yi)2.容易验证?是Rn的一个度量，因此偶对(Rn,?)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量?称为Rn的通常度量，并且常常略而不写?，而称Rn为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．例1.4 Hilbert空间记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：???2H??x?(x1,x2,?)xi?R,i?N,?xi???i?1??定义?:H?H?R如下：对任意的x?(x1,x2,?),y?(y1,y2,?)?H，?(x,y)??(xi?1?i?yi)2容易验证?是H的一个度量，偶对（H，?）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert空间。这里定义的度量?称为H的通常度量，并且常常略而不写?，而称H为Hilbert空间．例1.5 离散的度量空间设(X, ?)是一个度量空间．称(X, ?)是离散的，或者?称是X的一个离散度量，如果对于每一个x?X，存在一个实数?x?0使得对于任何y?X,(y?x)，都有?(x,y)??x.例如我们假定X是一个集合，定义?使得对于任何x,y?X，有：?(x,y)???1,x?y; ?0,x?y.容易验证?是X的一个离散度量。因此度量空间(X, ?)是离散的。 离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义1.6 设(X, ?)是一个度量空间，对于任意给定的实数??0，定义B(x,?)??y?X?(x,y)???B(x,?)称为以x为中心，简称为x的一个?-邻域。 ?为半径的球形邻域，定理1.7 度量空间(X, ?)的球形邻域具有以下基本性质：（1） 每一点x至少有一个球形邻域U，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2） 对于点x的任意两个球形邻域U，V，存在x的一个球形邻域W同时包含于U与V中；（3） 如果y属于x的某一个球形邻城U，那么y有一个球形邻域V?U.证明：（1）设x?X，对每一个实数??0，B(x,?)是x的一个球形邻域，这说明x至少有一个球形邻域；由于?(x,x)?0??，故x属于它的每一个球形邻域。（2）设B(x,?1)和B(x,?2)是x的两个球形邻域，任意选取实数??0，使得??min{ ?1,?2}，则易见B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)，即B(x,?)满足要求。（3）设y?B(x,?),令?1????(x,y).显然，?1?0，若z?B(y,?1)，则?(z,x)??(z,y)??(y,x)??1??(y,x)??所以z?B(x,?)，这就证明了B(y1,?1)?B(x,?).定义1.8 设A 是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每个a?A，都存在实数??0使得B(a,?)?A），那么称A是度量空间X中的一个开集．例1.9 实数空间R中的开区间都是开集．设a,b?R且a?b，则开区间(a,b)??x?Ra?x?b?是R中的一个开集。这是因为如果x?(a,b),令??min{x?a,b?x}，则B(x,?)?(a,b).同样容易证明无限的开区间(a,??),(??,b),(??,??)都是R中的开集。而闭区间[a,b]?{x?Ra?x?b}却不是R中的开集。因为对于a?[a,b]以及任何??0，B(a,?)?[a,b]都不成立。类似地，半开半闭区间(a,b],[a,b)以及无限区间[a,??)和(??,b]都不是R中的开集。定理1.10度量空间X中的开集具有以下性质：(1)集合X本身和空集?都是开集；(2)任意两个开集的交是一个开集；(3)任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明：(1)根据定理1.7(1)，X中每个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集?中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．(2)设U和V是X中的两个开集．如果x?U?V，那么存在x的一个球形邻域B(x,?1)包含于U，同时也存在x的一个球形邻域B(x,?2)包含于V．根据定理1.7(2)，x有一个球形邻域B(x,?)同时包含于B(x,?1)和B(x,?2)，因此:B(x,?)?B(x,?1)?B(x,?2)?U?V由于U?V中的每一点都有一个球形邻域包含于U?V，所以U?V是一个开集．( 3 ）设A是一个由X中的开集构成的子集族，如果x??A,那么存在A0?A使得x?A0．由于A0是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于A0，显然这个球形邻域也包含于?A．这证明?A是X中的一个开集．此外，根据定理1.7，每一个球形邻域都是开集．为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.定义1.11 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x?V?U，那么称U是点x的一个邻域．经过这样的推广以后，邻域就不一定是开集了。比如：实数空间中的区间[a,b),除了a点以外，该区间是其中任意一点的邻域。下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理1.12 设x是度量空间X中的一个点，则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U .证明：如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义,存在开集V使得x?V?U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V, 从而这个球形邻域也就包含于U，这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．首先回忆一下在数学分析中学过的连续函数的定义：函数f:R?R称为在x0?R处是连续的????0,???0,使得?x?R，当x?x0??时，恒有f(x)?f(x0)?? ????0,???0,使得?x?R，当x0???x?x0??时，恒有f(x0)???f(x)?f(x0)??????0,???0,使得?x?(x0??,x0??)，恒有f(x)?(f(x0)??,f(x0)??) ????0,???0,使得f(x0??,x0??)?(f(x0)??,f(x0)??)定义1.13 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．若对于f(x0)的任何球形邻域B(f(x0),?)，都存在x0的某个球形邻域B(x0,?)使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?)则称映射f在点x0处是连续的．若映射f在X的每一个点x处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的推广．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点。定理1.14 设X和Y是两个度量空间，f:X?Y是映射且x0?X．则下述条件(1)和(2)分别等价于条件(1)* 和(2)*：(1) f在点x0处是连续的；(1)*f(x0)的每一个邻域的原象是x0的一个邻域；(2) f是一个连续映射；(2)* Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明：(1)? (1)*设(1)成立．令U为f(x0)的一个邻域，由定理1.12 ,由于f在点x0处是连续的，故x0f(x0)有球形邻域B(f(x0),?)包含于U．有一个球形邻域B(x0,?)，使得f(B(x0,?))?B(f(x0),?)．又f?1(B(f(x0),?))?f?1(U)，故B(x0,?)?f?1(U)这证明f?1(U)是x0的一个邻域。(1)*?(1)设(1)*成立，则对任意给定的f(x0)的球形邻域B(f(x0),?)，f?1(B(f(x0),?))是x0的一个邻域，根据定理1.12, x0有一个球形邻域因此f(B(x0,?))?B(f(x0,?))．这证明f在B(x0,?)包含于f?1(B(f(x0),?))．点x0处连续．(2) ?(2)* 设（2）成立．令V 为Y 中的一个开集且U?f?1(V).?x?U，我们有f(x)?V．由于V 是一个开集，所以V 是f(x)的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故根据(1)*可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux?U，易见U??Ux．由于每一个Uxx?U都是开集，根据定理1.10，我们知道U 是一个开集．(2)*?(2) 设（2）成立．对于任意x?X，设U是f(x)的一个邻域，即存在包含f(x)的一个开集V?U．从而x?f?1(V)?f?1(U)．根据(2)*,我们知道f?1(V)是一个开集，所以f?1(U)是x的一个邻域，因此对于x而言，(1)*成立，于是f在点x处连续。由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．2.拓扑空间与连续映射从上一节定理1.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理1.10）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．现在我们遵循这一思路，即从开集及其基本性质（定理1.10）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．如果T 满足如下条件：(1)X,??T
；(2)A,B?T ?A?B?T
；(3) T 1? T
??{A:A?T 1}?T .那么称T
是X的一个拓扑．如果T
是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T
而言的拓扑空间；或者当拓扑T
早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间。此外T
的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T ）中的一个开集．现在我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论对照一下，将“U属于T
”读做“U是一个开集”，便会发现两者实际上是一样的．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2 设（X，?）是一个度量空间．令T ?为由X中的所有开集构成的集族，根据定理2.2.10，T ?是X的一个拓扑．我们称T ?为X的由度量?诱导出来的拓扑，此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，?）的拓扑时，指的就是拓扑T ?；在称度量空间（X，?）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T ?).度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子．例2.3 平庸空间．设X是一个集合．令T
=?X,??，容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平庸空间．在平庸空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.4离散空间．设X是一个集合，令T ＝2X，即T 是由X的所有子集构成的族．容易验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集．例2.5 设X＝{ a , b , c } ．令T ＝{?, {a},{a,b},{a,b,c}}容易验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.6 有限补空间．设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为A'．令T
=?????? U?2X:U'是有限的可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．例2.7可数补空间.设X是一个集合．令T
=?????? U?2X:U'是可数的可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个可数补空间．例2.8 对于实数集合R来说，我们可以定义五个拓扑，它们是平庸拓扑T t、离散拓扑T s、欧氏拓扑T e、有限补拓扑T f和可数补拓扑T c．它们的关系是：T t? T f? T c（T e）? T s一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.9 设（X，T ）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量?使得拓扑T 是由度量?诱导出来的拓扑，那么称（X，T ）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？事实上每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的．由此可见，拓扑空间比度量空间的范围要广泛。进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论。现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.10 设X和Y 是两个拓扑空间，f:X?Y．如果Y中每一个开集U的原象f?1(U)是X中的一个开集，那么就称f是从X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，保证了：当X和Y 是两个度量空间时，如果f:X?Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y 的一个连续映射，反之亦然。下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.11 设X，Y和Z都是拓扑空间．则(1）恒等映射iX:X?X是一个连续映射；(2）如果f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射，则g?f:X?Z也是连续映射．证明:（l）如果U 是X的一个开集，则iX?1(U)?U当然也是X的开集，所以iX连续．(2）设f:X?Y和g:Y?Z都是连续映射．如果W是Z的一个开集，由于g连续，g?1(W)是Y 的开集；又由于f连续，所以f?1(g?1(W))是X的开集，因此(g?f)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集．这证明g?f连续．在数学科学的许多学科中都要涉及集合和映射，如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态．集合论中的一一映射，线性代数中的（线性）同构，群论中的群同构都是较为特殊的一类映射．类似地，在拓扑中我们也给它们一个特殊名称．定义2.12 设X和Y 是两个拓扑空间，如果f:X?Y是一个双射，并且f和f?1都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.13 设X，Y和Z都是拓扑空间．则(l）恒同映射iX:X?X是一个同胚；(2）若f:X?Y是一个同胚，则f?1:Y?X也是一个同胚；(3）若f:X?Y和g:Y?Z都是同胚，则g?f:X?Z也是一个同胚．根据定理2.13，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因此同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．如果某一个拓扑空间具有某种性质P，那么与其同胚的任何一个拓扑空间也具有性质P，我们就称此性质P是一个拓扑不变性质，也就是说，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质。阅读详情：
范文二：点集拓扑学学习心得这学期选修了点集拓扑学，在上课之前我根本不知道这是一门什么样的学科，也不知道什么是拓扑。刚开始学习的时候，我有点不在意，因为第一章前面部分的知识感觉和实变函数前面的知识大同小异。但是学到后面，就觉得并不一样，越来越抽象了。通过查阅资料，以及在后来的学习中，才对点集拓扑学有了进一步的了解。点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。因此我们有必要努力学好这一门课程。在学习中我有几点深刻的体会。第一、这门课程确实很抽象。它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。所以学习起来就比较枯燥。一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。第二、抽象的概念也是有它形成的基础。点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。而第二章是全书的理论基础，尤其重要。并且概念和概念之间也是相互联系的。比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。因此学习的时候每一个概念都要弄懂。第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。数学分析中绝大多数问题都离不开距离。而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。作为初学者，我们应该尤其注意这些概念上本质性的问题。另外，在学习过程中也有些疑问。这学期我们正在学习实变函数论，其中涉及到许多和点集拓扑学相似的结论，以至于我有些混淆。实变函数论老师说在点集拓扑学中成立的有些结论在实变函数论中一定成立，但是在实变函数论中成立的结论在点集拓扑学中不一定成立，我不知道这具体是为什么。感觉这两门课程都比较难，还需要花大量时间去学习。我们在这一学期其实只学习到这门课程的的一部分内容，我有种接触了这门课程但是完全学得不透彻的感觉。平时的例子很少，也不清楚这门课程的具体应用。大三下期，同学们要不是准备考研，要不就是准备师范技能，因此对这门课程的重视度不高。因此，如果可以调整课程的开设时间也许学习效果会好一些。阅读详情：
范文三：点集拓扑学教学心得点集拓扑学教学之我见摘
要：点集拓扑学是一门抽象的学科，学生学起来比较困难，因此教师在讲授的过程中应该多联系大学中的一些基础课程，多举一些简单易懂且具有代表性的例子，使得学生深刻理解有关概念和理论。关键词：点集拓扑学；教学；线性空间；数学分析拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。一 、区别线性结构与同构映射，讲解拓扑结构与同胚映射。
线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。在数学专业的教学和学习中，分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情，因此在教学中，教师应根据学生的实际情况，讲清两者的关系，这样可以使学生更深刻的理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。在讲解拓扑空间的概念时， 我们指出拓扑空间是一个集合装备上拓扑结构后的空间，拓扑空间中的元素就是集合中的元素，拓扑是一些满足某些性质的开集族，但如果装备不同的拓扑则有不同的拓扑空间。而线性空间是一个满足加法和数量乘法封闭的集合。例如：我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间，它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算，也可以看作一个拓扑空间，它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族，它满足拓扑的三条性质，实质它是一个特殊的拓扑线性空间。又如我们定义集合A={1,2,3}，定义拓扑T1={?，{1，2，3}}，它是我们平常所说的平庸拓扑，拓扑中开集是空集与它本身，这是最小拓扑，如果定义拓扑T2={?，{1，2，3}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它满足拓扑的三条性质，因此（A, T2）是拓扑空间。而如果我们定义开集族为T3={?，{1，2，3}， {1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它不是一个拓扑，因为存在两个开集的交集不属于这个开集族。对于两个线性空间来讲，如果存在一个一一映射，能保持加法和数乘运算，则称为一个同构映射。如果两个线性空间存在着同构映射，则这两个空间就是同构的，同构的两个空间具有相同的线性结构。对于有限维的线性空间，同构的两个空间具有相同的维数，这也可以看作是这个空间的不变量，它指出只要维数相同，那么它们的线性结构就是一致的。而对于拓扑空间来讲，如果存在一个一一映射，且此映射与它的逆映射都是连续的，则称为同胚映射。如果两个拓扑空间存在着同胚映射，则这两个空间就是同胚的，同胚的两个空间具有相同的拓扑结构。因此，理解两者的区别有助于学生更好的学习拓扑空间的有关理论。拓扑学讲的就是在这个同胚映射下的拓扑不变量，如连通性，可数性、紧致性等。二、联系数学分析，讲解拓扑学的有关原理。数学分析讲述的是实数集上的拓扑学，因此它对于学习拓扑学有着不可估量的作用，因此我们在学习与讲授点集拓扑时，有必要联系数学分析的有关结论去教学，这样使得我们的教学内容不空洞乏味，并且还加深了对数学分析的理解，同时也学习了新的理论和方法。如我们在讲过可数性公理之后，可举例说明实数空间上的连续函数，如果知道有理点处的函数的解析表达式，那么我们可以根据实数的稠密性和连续函数知道函数的解析表达式；在讲过Hausdorff空间之后，我们就知道数列或者函数极限的唯一性结论是显然的。再如在讲授紧致性的内容时，可以先考虑实数空间中的闭区间，作为实数空间的子区间，它具有以下性质：每一个开覆盖都有有限子覆盖；每一个可数开覆盖都有有限的子覆盖；每一序列都有收敛的子序列；每一无限子集都有聚点。根据这些性质，我们又可以定义四类拓扑空间：紧空间、可数紧空间、序列紧空间、列紧空间。从中我们对这些空间就产生了浓厚的求知欲望和学习兴趣。三、 结合实例，注重教学方法点集拓扑学不同于数学系本科专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于初学者是比较困难的，在很多教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，有些教材中出现的例子也比较抽象，如果照本宣科，必然会导致学生厌学，因此有必要把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。如果在教学中渗透一些具体的实例，这样就有利于激发学生的学习兴趣，也有助于学生对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。如对于欧拉示性数，我们可以举例，长方体面的个数为6，长方体的棱有12条，顶点有8个，6-12+8=2，那么这个2是不是巧合？不是，任意一个凸多面体，其面的个数-棱的条数+顶点的个数=2，这个2就是拓扑学中的欧拉示性数。总之，点集拓扑学作为本科阶段的一门专业课程，由于它的高度抽象性，学习起来比较困难，对教师来说又比较难教。如何教好这门课，是点集拓扑教学过程中值得深入研究的问题，我们只是略微探讨，但仍有许多好的教学方法有待于我们进一步讨论。参考文献[1] 熊金城，点集拓扑讲义，第三版，高等教育出版社[2] C.T.C.Wall,拓扑学的几何导引，高等教育出版社[3] 夏大锋，关于一般师范院校点集拓扑教学内容的一点思考，阜阳师范学院学报，）阅读详情：
范文四：点集拓扑学学习笔记-1点集拓扑学
学习笔记一、简述点集拓扑发展历史背景拓扑学起源于19世纪中叶以前一些孤立问题的研究，早在17世纪欧拉发现了闭多面体的顶点个数D、棱数E、面数F存在一个关系：F+D-E=2。欧拉当时不知道2是二维球面的拓扑不变量。18~19世纪，数学家研究了地图着色问题，即平面（或球面）上的地图着几种颜色才能使相邻国家有不同颜色。这个问题到1890年才证明用五种颜色是可以的，并提出四种颜色也可以的猜想，即四色问题。此外Jordan曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。拓扑学历史发展的转折点应归功于黎曼关于闭曲面间的拓扑分类的结果。19世纪中叶黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类：闭曲面按同胚分类只有球面和若干个环面和连通和球面与若干个射影平面的连通和。此后拓扑学所研究的对象及其重要性逐渐清晰，更多的数学家在致力于这方面的研究。拓扑学最早形成一门学科应归功于Poincare他在研究代数簇（复变函数、微分方程）的基础上，通过将空间分成若干个单形的组合，得出空间的Betti数、挠系数的计算方法，还得出欧拉定理的一般形式及基本群，流形对偶定理等结果。他在年得出这一系列成果标志着组合拓扑的创立。年以Hausdorff、Alexander为代表产生点集拓扑这一分支。1930年左右，近代关于群的思想进入拓扑学，组合拓扑变成现在的代数拓扑。1940年左右以Whitney对微分流形的研究为标志产生了微分拓扑这一分支。拓扑学发展到今天已有诸多分支，有着丰富的结果和方法，拓扑学已成为近代纯粹数学的重要支柱，它的方法和结果日益地渗透到分析、代数、几何、计算甚至物理学等各个领域。拓扑学中包括点集拓扑和代数拓扑的最基础的内容已成为当前学习和研究近代纯粹数学的必备基础二、拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质所谓的拓扑不变性质是：拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，此性质P即为拓扑不变性质。换言之，拓扑不变性质为同胚的拓扑空间所共有的性质。三、扑空间如何定义，有几种等价描述？这里涉及到拓扑空间的概念，首先了解拓扑的定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X， ∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若 ∈T，则 ，则称T是X的一个拓扑。如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。四、举出五种拓扑空间的例子（1）平庸空间
设X是一个集合，令T={Χ， }。易证T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；且称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间。（2）离散空间
设X是一个集合，令T=P（X），即由X的所有子集构成的族。易证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；且称拓扑空间（X，T）为一个离散空间。（3）X={a,b,c}令T={ ，{a},{a,b},{a,b,c}} 易证T是X的拓扑，（X，T）是一个拓扑空间，它既不是平庸空间又不是离散空间。（4）有限补空间
设X是一个集合，令T={Ｕ X| 是X的一个有限子集}∪{ }，阅读详情：
范文五：点集拓扑学习体会点集拓扑学习体会拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。从欧拉的七桥问题，地图着色问题，Jordan曲线定理：平面上简单闭曲线将平面分成两部分。高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。再到黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类。拓扑学都有着很深刻的发展。拓扑学是几何学的分支,且是与欧氏几何不同的分支。研究对象是一般的几何图形（拓扑空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不变量。拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为几个重要的分支：点集拓扑；代数拓扑；微分拓扑；几何拓扑。当然我们所学的是点集拓扑学。何为点集拓扑？既是数学的拓扑学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质（这些是在学习点集拓扑的第一次课的内容）。这些内容充分的给我们这些学生一个整体结构，让我们对于拓扑学产生深刻的印象和兴趣，因此我们虽然还未深入拓扑学就已经被它的、吸引住了。然后，对于拓扑学的更深入学习，发现其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的，而且有些内容会在学习《实变函数》中有着具体的应用和阐述证明。这充分的说明点集拓扑在对于高等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于学习者是比较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，教材中出现的例子也比较抽象。不过老师在课上把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。在教学中渗透一些具体的实例，这样激发我们的学习兴趣，有利于学生对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。点集拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习点集拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。另外把，点集拓扑学实用性更明显的一些，微积分，方程，图论等等联系起来的话，学习者感到更踏实一些。还有数学这种东西数学这种东西也是分流派，用不同的方法来学习数学，所形成的“气场”也是完全不同的，如果你被动的陷入无尽的题海中，而且工作之后，毕业不了几年，大部分的数学知识都会遗忘，并且会被你定义为一无是处，毫无用途。总之，虽然点集拓扑学作为本科阶段的一门专业课程，由于它的高度抽象性，学习起来比较困难，但还是应该努力学习阅读详情：
范文六：评_点集拓扑学基础_第卷第 年欺月数学万研究与评人论。。评 《点 集 拓 扑 学 基 础 》王 国俊赵 东升陕 西 师 范 大 学数 学 系最近 的意 见,,我 们 读 了 吴 东兴 先 生 著 的《点集 拓 扑学 基 础。下称《基 础 》 一 书,有 几 点 不 成熟愿 在 此 提 出和 昊 先 生 商榷一、关 于 新 体 系 问题,众 所周 知,点 集 拓 扑学 从 产 生 到 现 在巳 经 使 它 成 为 一 门 成熟 的 数 学 分支数学 家 们 的 辛 勤 劳 动 一 所 以 当我 们 看 到 作 者 在《基 础 》 书 的 前 言 里 声称 本,,经 过 了 很 长 的 发 展 过程,“书建 立 新 体 系,试 图使 逻 辑 严 格 性 与 直 观 明 显 性 结 合 起 来”,尤其注 意 从马 克思 主 义 认 识论。的角 度 进 行 阐述不 由 得 就 对 本 书产 生 了 极 大 的 兴 趣。,很 想 从 中学 得 一 些 新 东 西”,然而看 下 去的 结果 却 令 人 大 失 所望 的 重 要 概 念 的 名 称 进 行了 更 换我 们发现 作者 的“新体系不过是把 若 干经 科学 实践定 型在 应 用 上 只 会 引 起混,,而这 种 更换 本 身 在 理论 上 毫 无 深 意。乱。拓扑的定 义子 集族〔 〔,。这 是 一 个 贯 穿于 全 书 始 终 的 最 重 要 的 概 念“在 《基 础 》 书 里 一, ,拓扑的 概 念 是 由 下 述 定 义 给 出的 当且 仅 当〕,定义设是 任 一 个 集合,而了人任是的 任 一人〔,〕对 于 任 意 几,几 〔,,如果 〔‘自,,则存在几〔,,使任,‘与了一 起 空间”组 成 一 拓 扑空 间,记为和例,,了,称为 以”为基集以 了 为 拓 扑 结 构 的 拓扑」 〔 和”因 为 紧接 着在 例 可见,,例中作 者又 把 满 足 条件 〔“」 集族 称 为 的拓扑道,作 者 是 把 上 述 定 义 中所 说 的满 足 条件 〔“拓扑 结 构与,“拓扑”不加区 别 的“我 们 知 这样给 出,按 照 通常意 义」 〔 幻 的 集 族 叫 拓 扑基 而 不 叫”“拓扑。” 。拓扑 的 定 义 是《基 础 》 书 一使 处 理问题 变得简洁,新体系,中主 要 之 点,当然如 果这样 改换一下名 词 确 实 能明燎更 能 刻 划 问 题 本质,那 么 这 样 做 也 未尝不 可然而事 实却,远 非如此首先。,我 们认 为 这 样 做 会 引起 很 大 混 乱 特 别 是 对 于 初 学 者 从 本 书所 涉 及 的 内 容 看。也 只 能 供初 学 用年月到 目前 为 止。,绝 大 多 数 的 点 集 拓 扑 学 的 书 都把 开 集 的 全 体 叫 拓 扑。这日收 到数 学 研 究 与 评 论年,是 经 过 多年 来 不 断 摸索义拓 扑的 方法 等 等,反 复改进 才 抽 象 出来 的 一 个 简洁,明燎 的定 义,。当然”,这并不 排除 可 以用 其 它 方法 来讲 拓 扑 空 间 然而 环” ,,比如,用 闭 包公 理的 方 法“邻 域 系 的 方 法 和 用 收 敛类定“在 已 经 区 分 得 明 明 白 白的拓扑 ” 与拓 扑基,这 两个 概念之间,轻 率 地 用 后 者 顶 替 前 者 恐 怕 会 把 初 学 者 引人 五 里 雾 中“如 果 有 一 个 作 者在 其 代 数 书 中 无 法 交流 了,硬把“群”叫做,“那 么 读 了 这 种 书 的 学 生 和 其它 人 就 没 有 共 同 语 言,事 实上新体 系。不 用 说 初学 者”从《基 础 》 书 的 几 处 证 明 中 可 以 看 出 一 页” ,,连 作 者 自 己 都 被 这个”搞乱了如《基 础 》 书 的 一定 义 下面的 , ’”拓 扑 空 间 的 每一 个基,本 邻 域都 是 开 集 好几行 的证 明等 应该 指 出义, ,本 来按 照“新体系这 是 定 义 中规 定 了 的“而 作 者 却 莫名 其妙 地 证 明 了 类 似 的 情况 还 有如定 理这 不 正 说明 作 者本 人 被 自己 的 在 给 出上 述“新体系搞 糊涂 了吗在拓扑”的定 义之 后,页 作者 又 给 出 了 一 个 拓 扑 结 构 的 定“即 通 常 用 开 集 方 式 所 引人 的 拓 扑 定 义,。虽 然作者 强 调它们的本 质是 一样 的,” ,但 由是不能于 这 两 种 拓 扑 结 构 定 义 是 不 等价 的含 糊其 词 的 其实,而 科 学 中每 个 概 念 的 含 义 应 该 是 唯 一 确定 的。不 同 的 对 象 冠 以 同一 个 名 词 也 只 会 引 起 混 乱比如,把 拓 扑 基 叫 拓 扑 还 有 更 大 的 弊病。在讲 到 第 二 可数公理 时 就 遇 到 了 麻“烦实,我们间至少,如果一 个“拓扑”具有可数基,,那 么 按 作 者定 义 的 与 之 等 价 的 其 它,拓扑”是 否也有 可数 基 呢虽 然 答 案 是 肯定 的但 这 是 需 要证 明 的,比如 口 〕 中就 证 明 了这 一 事比 本 书 中许 多 加 以 证 明 了 的 事 实 之 论 证 更 不 明 显”。但 作 者 似 乎 没 有 意 识 到《基“一 础 》 书 的 关 于 第 二 可 数公 理 的 定 义是 隐 藏 着 这 个 向题 只 是 轻 描 淡 写 的 说 了 一 句 显,然,可数基 的 存在是 拓扑不变的这里 我们 指 出,用 拓扑基代替 拓扑,确 对 某 些 定 理 的 陈述 可 以 简 化 几 个 字,。如,“为使是 紧的,当且 仅 当从的 每个 由 拓 扑 基 中 的 开 集 组 成 的 覆 盖 中 能 选 出有 限 子 复 盖而且 就这个例 子 而 言“”。但 这 种 简 化 没 有什 么 实 际 收 益以 归 根 结底 还 是离 不 开 真 正 的对 可 数 紧 性 就不 能 做 如 上 变 通,所拓扑提及的,《基 础 》 书不 得不 在 第 一— 页 上 重 新 定 义 拓扑, ,”全体开集之族。这一概念。事实上,巳如 上 面拓 扑 的 等价 性“拓 扑 的 等 价 性 是 拓 扑 中最 基 本 的 概 念本来也是容 易说明 白 的 在书的,,但 书 中 却 费 了 很 大 的 篇 幅讨 论 这 个 问 题因此”。,而 最 后还 是没 说清楚页,作者 指 出第 页 及我 们 要 比 较 两 个 拓扑 结构必 须 比 较 它 们确定 极 限 点 的 效 果。才 不 致 被 现 象所 迷“惑然 而 接 下 去 作者并 没 有按 照 自 己 的 这 种 想 法 去 作,在 拓 扑 的 等价 性 定 义而反过来 页, ,后 来 的 一 些 结 果 中丝 毫 未 涉 及 到 极 限 点只 是 到最后才单 方面的证明 了”如 果 两 拓 扑 结构“了与了 等价则 它 们 确定 极 限 点 的 效 果 完 全 相 同,若 两个 拓扑 确 定 极 限 点,的 效果 完全 相 同 它 们 是 否 等 价 作 者 并 未 提 及 而 到 了 第,又 突 然 出现 在 同 一 个 集 合 称 它们 为拓扑等价,上 的两 个拓 扑了 , 及了,当 它 们 确定 极 限 点 的 效果 完全 相 同 时,”这样,继第,页 的 拓 扑等 价的 定 义 之 后作 者 在 此 又 给 出 了 一 个 拓扑等 价 的 定 义那 么 人 们又 要 问 了如 我们所指 出的书 中并 未证 明 这 两 个 定 义 的 一 致 性到底该 把什 么 叫做 拓“扑等 价 呢集,这种后不顾 前,,逻 辑上 不 完 整 的 弊 病 就使得 初 学 者 难 以 获得 一 个 确 切 的 概 念在 《基 础 》 书 的 第 八 章 里 子 网 是 这 样 定 义 的 一,关 于 子 网 的定 义是 拓扑空间设仁是任 一 有向 仍 为 有 向集,任 一 映 射为称 为 拓扑 空 间的网设子集,第期王 国 俊 等,评《 点 集 拓 扑 学 基 础,》且与共尾即,…,则二‘在上 的 限 制欠称 为 凡 的子 网。”这 种 子 网 的概 念 是 照。搬子 序列概念而来的成功 的,,完 全 没 有抓 住 它 的 本 质 姑 且 暂 称 这 种 子 网 为 自然 子 网 中 巳经指 出“”自然 子 网 的 概 念 几 乎 在 网 的 概 念 产 生 的 同时 就 有 人 提 出 来 了在〔 〕。 页不 久 人 们就发 现它 是不 然而,这 是 一 种 标 准 的构 造 子 网 的 方 法,不 幸 的 是这〔 〕 习题 的 中 的例 子 说 明 存 在一 个 网 及 它 的 一 种 子 网 的 概 念 并 不 适 于 所 有 的 目的 个 聚 点 使 得 没 有 这 个 网 的 自然 子 网 能 收敛 到 这 个 聚 点 这 就失 去 了 子 网 的最 重 要 的 性‘质 载,因 而 自 然 子网 在一 般框 架 上 基 本 上 是 无 用 的 概 念,是 人 们 认 识 道 路 上 的 一段 曲 折 的 记 和。。值得 注 意 的 是 年才 由 页口,网 的概 念 是。年由,。石提 出来 的〔 〕 第 的,而到正 式 提 出 现 在 被 大 家 普 遍 接 受 的子 网 的 概 念人 们花 费 了 长 时 间 的 劳 动“一显 然 为 找 到 现 今这 种 子 网 的 概 念《基 础 》 一 书 把 一 个早、、已 被 人 们 摒 弃 了 的 无 用 概 念 重 新 捡 起 来 当作新”的 东西目 的何 在是 作者不 知道 这 些基本 事实 吗关于 全 书 的 预 备 知 识《基 础 》 书 的 第 一 章 是 读 全 书 的 一 个 预 备 一,理 应 写 得 容 易使 初 学 者 所 接 受,。但 我们 感到 作 者 在 第 一 章 中似 乎 引 人 了 过 多 的 繁 琐 概 念 如 拟 序集“ ” , “这 些 概 念一 般都 是很 少 的 见 有失偏僻 例而 作者却 在 这 颇嫌琐 碎 的枝节, ,拟 序格 等等”,它 们 在 本 书里 都 很 少 被 使 用上 大 费 笔 墨 这 一 切 只 能 给 初学 者 理 解 和 接 受 重 要 的 内容 带 来 麻 烦 使 他 产 生 莫 测 高 深 之 感 顺 便 指 出 作 者 自 己 在 《基 础 》一 书 的 第 一 版 上 把 上 确 界 的定 义 也 搞 错 了 在 第 二 版 才,作了更正从这 一 章 的 体 系 看,似乎 是 一 种的“拼 凑式”的体 系如关于,,一,定 这 种拼凑式连 基 本概 念 尤其注理 的 证 明似 乎 译 自的盯一书关于 格 的 论 述 又 好 象 是 编 译 自编 写 目的 也 各 异因 为 各书 的 格调不一样“的 东西 就更 难 说 是新 体系”了“。我们对 马克思 主 义认 识论理解得不 深户一山场,但 我 们 觉 得 把 这 样一 个乱 了 套的”,的 表 述 都 毛 病 颇 多 的 东西 冠 以马克 思 主 义 认 识 论 的 阐述,的 作 法 是 不 够严肃 的意 到 作 者写 这 些 话 时 巳是年秋 天 了二这 种 感觉就 更加 强 烈 了若 干 错 误,、本 书 是 人 门性 质 的 书籍,所 涉 及 的 内容 与 所 选 的 习 题 都 是 一 般 拓 扑 中 的 初 等 部 分《基 础 》 书 里 在 用 一,但很 遗 憾本 书 仍 有 若 干 错 误翻。良序 定 理 的 证 明 是 错 的“引理证 明 良 序定 理 时 有 下 面 一对于任意”段 陈述石簇作为〔的 子 集 族 的 犷 可 以 根 据 包 含关 系定 义 半 序对 于 半 序集 牙 可 以 应 用,口,任牙,当且仅 当引理由 于 牙 的 任 一 链 不 过 是 一 个依下 面 的 例 子 说明 最 后次包 含 的的一 族 子 集。这 族 子 集 的并 便是 这 族 子 集 的上 确 界的 一 结论 是 错 的这一 点是由江 西 大学 数学系七 九 级 徐 晓泉 同 学 指 出 的。数 学 研 究 与 评 论年,例,令,叮。。是 整数子 集二 。月 一一 ”, 一 玲,一一,的 自然 大 小 关 系,氏 是 良序 关 系,,且”》。就 有口 卫 口。然而是 集合“,…,…,上 的 自然 大 小 关 系,它不 是 良序关 系”本书,页 超 滤 子 的定 义的定义除 去 非 真 簿子中 的极 大 元 称 为 超 滤 子是不 合适的又因 为 由那里,劝 中 只 能 有 唯 一 的 非 真 簿 子 才 可 以为 极 大 元。所 以按照 上述定义就 没 有超 滤 子 存 在,定理但对的叙 述 及 证 明 都 是 错 误 的 就 没 有包 含 它 的超 簿 子。该定理说同时,,“对于 每 个 滤子“。,存在包含它的”超滤子的。”按 作者 对非真滤 子的定 义 看,这 一 定 理 的证 明 中的 巾 只 能 是 单 元 素 集其 中 没 有 超滤 子因 而 这一证 明 也 是 错 误作 者 在 第 二 版 中把 习 题 中 的 一 些 错 误 作 了 修 改 这是好的,如 第一 版 第 六 章 习 题是错 的,但 仍 有错 误 存 在。。如 第 五 章 习题 如第,容 易 说 明 习 题 中局 部 紧 和 正 文 中的 局 部 紧“性互不蕴涵 是” , “另 外 正 文 中还 有 不 少 其 它 错 误 在不足道 空间 中。,页的在不 足道 空 间”中,任 一 子 集 的 导 集都 显然对于子 集 为,任 一 子 集 的闭 包 都 是。以及第页 的例空 集时 都 不 成立以 上意 见 如 有 不 妥,望 大 家批 评 指 正今〕 〕一,考文献阅读详情：
范文七：《点集拓扑》教学大纲《点集拓扑》教学大纲大纲说明课程代码：4935011 总学时：48学时 总学分：3学分适用对象：数学与应用数学专业（本科）一、课程性质、目的和任务《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构。进而又讨论了在这一框架下空间的性质,如连续映射、连通性、可数性公理、分离公理、紧性等问题。拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。它在许多数学分支中有广泛的应用。现在，点集拓扑已经发展成一门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。 二、课程教学的基本要求：本课程应重视基本概念的正确理解，基本理论的系统阐述以及基本运算能力的严格训练。教学内容的选择应努力贯彻少而精的原则。 三、教学重点与难点：本课程的重点是集合论基础；拓扑结构与基本概念；序列与极限；连续同胚映射；难点是选择公理与良序原理。连通性、可数性、分离性、紧性等。 四、本课程的知识范围及相关课程的关系：《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它在许多数学分支中有广泛的应用。通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。 五、教学方法和教学手段的建议：以教师讲授为主，学生课堂练习为辅，再配以多媒体课件协助教学；通过批改作业动态了解学生的学习状况，对个别的学生课外加以辅导。 六、本课程的主要内容：本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等概念和性质。 七、大纲的使用说明：本大纲参照高等教育出版社的《点集拓扑讲义》（第二版）熊金城主编，适用高等师范院校数学系、理工专业选用，不同的专业可根据需要适当删节处理。大纲正文第一章
集合论初步
学时：8学时§1.1
集合的基本概念。§1.2
集合的基本运算 §1.3
关系 §1.4
等价关系 §1.5
映射 §1.6
集族及其运算§1.7
可数集、不可数集，基数 §1.8
选择公理第二章
拓扑空间与连续映射
度量空间与连续映射 §2.2
拓扑空间与连续映射 §2.3
邻域与邻域系 §2.4
导集、闭集、闭包 §2.5
内部，边界 §2.6
基和子基 §2.7
拓扑空间中的序列第三章
子空间，(有限)积空间，商空间§3.1
子空间 §3.2
(有限)积空间 §3.3
商空间第四章
连通空间§4.2
连通性的某些简单应用 §4.3
连通分支 §4.4
局部连通空间 §4.5
道路连通空间第五章
有关可数性公理
第一和第二可数性公理第六章
分离性公理
T0,T1，Hausdorff 空间学时：16学时学时：4学时学时：8学时学时：4学时学时：4学第七章
学时：4学时§7.1
紧致空间本课程对学生自学的要求：要求学生花足够多的时间进行预复习，认真独立完成作业，适当看一些参考书。教材的选用：熊金城编，《点集拓扑讲义》，高等教育出版社出版，1998年 教学参考书：1．李传孝编，《一般拓扑学导引》，高等教育出版社出版。
2．J.L.Kelley 著，吴从欣、吴让泉译，《一般拓扑学》。 3．方嘉琳编著，《点集拓扑学》
4．蒲保明等编，《拓扑学》阅读详情：
范文八：点集拓扑学试题(含答案)三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射(
答案:√理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，的任何一个子集都是开集，从而f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有1f?（A)?X,由于X中f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑(
)答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2； （２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1, ?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；综上有T1?T２也是X的拓扑．3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（
）答案:√理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续.4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （
）答案:√理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，所以{p}是X的开子集，且有?p??A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??.5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （
）答案：× 理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所以有d?A??X?A??.6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （
）答案：√ 理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（
）答案：√理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然AB??，并且这时有:??X?(?A)?(?B)?B从而B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了A,B满足A?B??,A?B?X.8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间(
)√ 理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令B?A?，则A,B都是X中的非空闭子集，它们满足A?B?X，易见A,B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空.五．简答题（每题4分）1、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集，且A?B.试说明d(A)?d(B).答案：对于任意x?d(A),设U是x的任何一个邻域，则有U?(A?{x})??,由于A?B，从而U?(B?{x})?U?(A?{x})??，因此x?d(B)，故d(A)?d(B).2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:X?Y, g:Y?Z都是连续映射，试说明gf:X?Z也是连续映射.答案：设W是Z的任意一个开集，由于g:Y?Z是一个连续映射，从而g?1(W)是Y的一个开集，由f:X?Y是连续映射，故f?1(g?1(W))是X的一开集，因此 (gf)?1(W)?f?1(g?1(W))是X的开集，所以gf:X?Z是连续映射.3、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A是一个闭集，则A的补集A?是一个开集. 答案：对于?x?A?,则x?A，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得U?(A?{x})??,因此U?A??，即U?A?,所以对任何x?A?,A?是x的一个邻域，这说明A?是一个开集.4、设X是一个拓扑空间，A?X.试说明：若A的补集A?是一个开集，则A是一个闭集.答案：设x?A,则x?A?,由于A?是一个开集，所以A?是x的一个邻域，且满足A??A??,因此x?,从而A?,即有?A，这说明A是一个闭集.Authorware一、判断题1、Authorware中设计窗口描述2、移动图标制作动画3、擦出图标的内容4、几何画板中的动画5、关于交互结构的描述6、显示图标的工具面板的描述7、8、显示图标层的描述9、10、显示图标的描述11、关于标志旗的描述12、系统变量的描述（计算图标）13、声音图标的描述14、显示图标中的对象排列二、单项选择1、定义的简称（缩写）2、移动图标的使用3、图标功能的描述4、5.、10、图标的操作（创建，编辑）6、交互结构，交互分支7、文本输入交互8、几何画板常见菜单9、计算图标的使用11、群组图标的操作12、显示模式（模式工具）13、图标操作14、显示图标操作15、交互16、交互17、显示图标中工具箱的操作18、图标的操作三、多项原则移动图标、交互四、填空题1、图标的名称（7-8）2、几何画板（几何变换）（移动，旋转）3、显示图标工具箱中的名称4、移动图标5中类型5、计算图标中运算符的使用五、简答题1、关于移动2、交互结构3、集合画板4、编程一、判断题１、如果为视频文件额外配置声音，那么须用声音图标和电影图标。（ ）２、录音机中的声音可以直接插入课件中。（ ）３、条件响应交互类型是在执行图标前后判断条件，如果条件满足，则执行所属图标，判断的条件和图表的名称相同。（ ）４、在Authorware的13个图标中，只有显示图标能够显示静止图像。（ ）５、交互图标是交互过程的核心内容，但其交互图标本身并不具备交互性。（ ）６、计算图标是存放程序代码的地方。（ ）７、判断图标和条件交互，均可以实现选择执行某一图标。（ ）８、在显示图标中，显示对象的叠放次序是无法改变的。（ ）９、使用导航图标可以跳转到程序的任意一个图标中。（ ）10、在Authorware中，可以通过双击“编辑”工具箱的椭圆工具按钮，打开“颜色”工具盒。（ ）11、声音的数字化质量是通过采样频率和样本精度来衡量的。（ ）12、在Authorware中，可以进行定时的图标有等待图标和判断图标。（ ）13、我们通常把数字格式的字符数据称作文本。（ ）14、Flash是一个矢量动画软件。（ ）15、当框架结构中的页与页之间进行跳转时，每一页都可使用过虑效果的自行擦除。（ ）16、Authorware以其丰富的交互方式而著称，他共提供了按钮响应等5种交互方式。（ ）17、导航图标的功能是定义一个定向目标或超文本链接。（ ）18、authorware的所有交互都是延长一段时间而产生响应的。（ ）19、authorware的所有交互都是用户利用键盘、鼠标进行操作而产生响应的。（ ）20、BMP文件是一种在Authorware中经常使用的图像文件格式。（ ）二、单选题21、在Authorware中，下列选项不是显示图标的功能的是。（ ）A :
显示文本、图像、图形。B :
从外部引入文本、图片。C :
多种特殊显示效果。D :
播放视频。22、在显示窗口中显示变量X值的方法为( )A :
{x}23、在authorware制作课件时，课件中的文本显示一般用。(
计算图标B :
声音图标C :
显示图标D :
判断图标24、能提供特殊功能或作用的子程序称(
系统变量C :
自定义函数25、下列软件不能用于多媒体课件编辑的是。( )A :
powerpoint
authorware
windows26、多媒体课件中的音频信息在教学中的作用主要有(
音效和配乐B :
语音和配乐C :
语音，音效和配乐D :
语音和音效27、在Authorware中,用于将课件的源程序文件变为可以脱离authorware软件环境而独立运行的操作是(
压缩28、截取计算机屏幕上的图像，最简捷的方法是(
拷贝屏幕B :
用数字照相机摄取C :
用扫描仪扫描D :
用抓图软件29、在Authorware制作课件时，为了在显示图标中实时显示变量的值，必须需设置显示图标属性的何种选项(
更新变量显示C :
防止自动擦除D :
最优显示30、下列哪一项不是多媒体课件的交互类型(
反应式交互B :
友好交互C :
主动式交互D :
双向交互31、建构主义学习理论认为，学习环境中不应包括哪种要素(
会话和意义建构32、在Authorware中,当选择流程线上的多个图标或同一图标中的多个对象时，须按何键(
Tab33、根据建构主义的基本学习观点，下列哪一个不是多媒体课件的设计策略(
开放性策略B :
自上而下的策略C :
自下而上的策略D :
情境性策略34、下列文件中，那种格式文件不能直接导入到Authorware中(
doc35、下列响应方式中，不是Authorware交互图标提供的响应方式是( )A :
按钮图标B :
敲击区响应C :
托动相应D :
强制响应36、不能作为课件素材直接使用的是(
数字化图片B :
数字化视频C :
数字化音频D :
VCD图像37、多媒体课件中的数字化音频素材一般可以通过何种方法获得(
自行制作和购买B :
上网下载C :
购买和收集D :
自行制作，收集和购买38、“quit”是authorware的系统函数，其作用是(
产生随机数B :
改变数据类型C :
产生一个固定数D :
退出39、windows中的A :
捕捉屏幕上的图像B :
修改图像C :
为图像添加文字说明D :
修改图像颜色40、当流程图中的分支图上显示“a”字样时，表示该分支为(
顺序分支路径B :
随机分支路径C :
计算分支路径D :
在未执行过的路径中随机选择三、多选题46、多媒体课件中介绍型封面导言主要有一下部分构成(
学习指导47、多媒体课件的信息表达元素主要有一下那些元素组成( )A :
活动视频48、Authorware交互图标共提供了几种响应方式(
1549、多媒体发展的趋势是( ABC )A :
VCAI50、多媒体课件设计时，屏幕界面设计应注意哪些问题(
避免使用专用术语
屏幕和各组成元素的直观性
屏幕元素的一致性D :
考虑使用对象的特点
应具有艺术表达力和感染力《多媒体课件设计与制作》试卷1一、填空题：请将答案写在相应横线上。（本题共10小题，20个空，每空1分，共20分）1、Authorware是一套2、Authorware中能够显示文字、图形、静态图像等功能的图标有
和。3、在图标的编辑状态下，键入快捷键4、进入显示图标编辑状态的标志是的出现。5、Authorware可以引入的外部文档文件的格式有和两种。6、Authorware默认的色彩浓度关键色是。7、FullTime属于类系统变量。8、函数Quit(3)的含义是9、在Authorware中，显示图标的功能包括、 和10、、
五种跳转方式。二、简答题：请将答案写在试卷的预留位置。（本题共5小题，1、2、3每小题6分，4、5每小题10分，共38分）1、移动图标提供了几种移动方式，简述每种移动方式的特点？ （6分）2、交互图标中，热物响应类型与热区域响应类型相比，有何不同？（6分）3、在Authorware中，框架图标是怎样来管理页的？ （6分）4、什么是永久响应？其对应的响应分支类型有哪些？并比较他们的异同点？（10分）5、试分析交互循环的四要素，并阐释11种交互类型及各自的特点。（10分）1．移动图标提供了几种移动方式，简述每种移动方式的特点？ （6分）答案及评分标准：移动图标可以创建直接到指向固定点的移动、指向固定路径的终点、指向固定直线上某点、指向固定路径的某点、指向固定区域内的任意点5种类型的动画效果。（1分）指向固定点：这种动画效果是使显示对象从演示窗口中的当前位置直接移动到另一位置。（1分）指向固定路径的终点：这种动画效果是使显示对象沿预定义的路径从路径的起点移动到路径的终点并停留在终点。（1分）指向固定直线上某点：这种动画效果是使显示对象从当前位置移动到一条直线上的某个位置。（1分）指向固定路径的某点：这种动画效果也是使显示对象沿预定义的路径移动，但最后可以停留在路径一上的任意位置而不一定非要移动到路径的终点。（1分）指向固定区域内的任意点：这种动画效果是使显示对象在一个坐标平面内移动。（1分）2．交互图标中，热物响应类型与热区域响应类型相比，有何不同？（6分）答案及评分标准：热区域响应的响应区域必须是一个规则的矩形（2分），热对象响应可以使用任意形状的响应区域来响应用户的操作（2分）。热区域响应的响应区域一旦设置完毕就是固定的（1分），在程序运行期间不会根据需要自动进行调整。热对象可以在演示窗口中移动（1分）。3．在Authorware中，框架图标是怎样来管理页的？ （6分）答案及评分标准：框架图标由Authorware的若干基本功能图标复合而成，主要由三大部分组成。入框时需执行的程序模块、出框时需执行的程序模块、导航控制中心。导航控制中心的交互结构是框架图标是怎样来管理页的基础（2分）实现框架图标管理页的关键——导航图标，并分析其功能。（2分）框架图标所挂接的页，成为页之间的调转的平台。（2分）4．什么是永久响应？其对应的响应分支类型有哪些？并比较他们的异同点？（10分）答案及评分标准：（根据论述情况酌情量分。）永久响应是指当一个响应被设置为永久性响应后，在整个程序运行过程中可以随时被匹配。（2分）响应分支类型：Return、Exit Interaction、Try Again、Continue。（4分）从程序跳转、退出的角度，分析响应分支ReturnExit 、Exit Interaction、Try Again、Continue。5．试分析交互循环的四要素，并阐释11种交互类型及各自的特点。（10分）答案及评分标准：（根据论述情况酌情量分。）交互循环的四要素：交互图标、响应类型、响应、响应分支。（0.5分）分析交互循环的四要素。（4分）交互图标：提供用户响应，实现人机交互。响应类型：定义了用户可以与多媒体作品进行交互的控制方法。响应：执行的内容。它可以是单一的图标也可以是包含了许多内容的复杂模块。响应分支：定义了程序执行完响应后将如何流向。按钮交互、热区交互、热物交互、移动交互、按键交互、条件响应、尝试响应、时间限制响应、文本响应、事件响应11种交互类型各自的特点。（5.5分）阅读详情：
范文九：《点集拓扑学》复习题《点集拓扑》复习题一、概念叙述1、拓扑空间
2、邻域、邻域系
3、集合A的凝聚点 4、闭包
5、基 子基
6、子空间 7、（有限）积空间
8、隔离子集
9、连通集 10、连通集
11、连通分支
12、局部连通空间 13、A1空间
14、A2空间
15、可分空间 16、Lindeloff空间
17、Ti空间（i?1,2,3,4） 18、正则空间 19、正规空间
20、紧致空间
21、可数紧空间 22、列紧空间
23、序列紧空间
24、局部紧空间 二、判断题1、有限集不可能有聚点
）2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A?A （ ） 3、如果A?B??，则A?B?A?B
（ ）4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。
（ ） ５、若f:X?Y是同胚映射，则f?X??Y
） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集
）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集
（ ） ８、度量空间必是A2空间
） ９、在Rl中，?a,b?是开集
（ ）１０、映射f:X?Y是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列?xi?收敛于x?X，则扑拓空间Ｙ中相应序列?f?xi??收敛于f(x)
（ ）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y?C
） １２、A2空间必为可分空间
） １３、正则且正规空间必为T0空间
（ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A?X，则点x是集合Ａ的一个凝聚点?在A??x?中有一个序列收敛于x
）１６、度量空间也是拓扑空间 （ ）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间
（ ）１８、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当X中不存在既开又闭的非空真子集.
)19、若拓扑空间中的子集A是连通集，则它的闭包也是一个连通集。20、设A、B是拓扑空间X中的两个连通子集，则A?B也是X的一个连通子集
）21、如果A、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，则A、B必是X中隔离子集
）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性
） 23、正规空间必是Hausdorff空间
）24、在一个紧致的T2空间中，一个集合是紧致子集?它是一个闭集（
）25、紧空间必是Lindelǒf空间
） 26、度量空间中紧致集必是有界闭集
） 27、正则空间必是Hausdorff空间
）28、设X?X1?X2是空间X1、X2的积空间，A?X1,B?X2分别是X1、X2中闭集
）29、设A、B是拓扑空间X中两个子集，并且A?B??，则有d?A?B??d?A??d?B?
）30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间 （
） 三、填空1、设f:X?Y是同胚映射，则f必是一一映射，并且连续的。2、设Y是拓扑空间?X,??的子集，Y的拓扑?Y称为；拓扑空间?Y,?Y?称为?X,??的3、连通空间X中既开又闭的子集只能是和。4、设X是拓扑空间，若X的每一
则X是Lindelǒf空间。5、正规的空间或紧致的空间是T4空间。6、X是拓扑空间。若X的每一个开覆盖都有则X是可数紧致空间。7、如果A是离散空间X中一个非空连通子集，则A必是 。 8、如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是 9、设X是离散度量空间，X上度量为??x,y????1,x?y,?0,x?y,则X中任一点x的球形邻域B?x,1??。10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则A?B是B?A是11、设?X,??是实数集R上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是X中一个不可数集，则d?A??d?B?。12、如果集合X上的任一拓扑?，拓扑空间(X,?)都是紧致空间，则X必是。 13、在平面空间R2中，度量?定义为任意两点a??x1,x2?,b??y1,y2?,??a,b??x1?y1?x2?y2,则以原点O为中心，??0为半径的球形邻域B?0,??的图形是
。14、积空间X?X1?X2的子基元素的一般形式是
。 15、设Y??01,??2,3??是实数空间R的一个子空间，则Y的子集?0,1?是Y的。16、在实数空间R中，取A为整数集，B为有理数集，则A?
B?17、设X=?a,b,c?，X上拓扑????,X,?a,b??，取子集A??b?，则d?A??18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖?，必有有限子覆盖A1。 四、单选题1、设X=?a,b,c?，它的一个拓扑是（
）?A? ??,?a?,?a,b?,?a,b,c?? ?B? ??,?b?,?c?,?a,b,c?? ?C? ??,?a,b?,?a,c?,?a,b,c?? ?D? ??,?a??b?,?c?,?a,b,c??2、设X是拓扑空间，F为所有闭集构成的族，则有（
）．?A?若Ai?F?i?1,2,?? 则有A1?A2???An???F ?B?若Ai?F?i?1,2,?? 则有A1?A2???An???F ?C??,X?F
?D?若A?F 则X?A?F3 、设
X为拓扑空间，则对?A,B?X，必有（
A是闭集 4、设X为拓扑空间，x?X，则有
）．?A? x的任意邻域都是X的开集
?B? x的任意邻域都是X的闭集?C? 包含x的开集都是x的邻域?D? 若U1,U2是x的邻域，但U1?U2不是x的邻域5、已知?0,1?是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间?0,1?中的开集是 （
?其中a,b??0,1?．6、设X??a,b,c?，?是平庸拓扑，?X,??中两子集是隔离的是（
?B? ?a,b?与?b,c?
?C? ?a?与?b,c?
?D??与?a?7、下面命题中正确的是（
平庸空间是T0空间?B? 在T2空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列?C? T1空间未必是T0空间
?D? T1空间中每一单点集都是闭集8、若X是Hausdorff空间，则X必是（
?B? 正规空间
?C? T3空间
T1空间9、下面不连通的拓扑空间是（
）．(A) 实数空间
?B? 平庸空间?C? 包含多于两个点的离散空间 ?D?
拓扑学家正弦曲线S????1????x,sinx???R20?x?1???10、下面正确的命题是（
）．(A) 设f:X?Y是连续映射，若 X满足第二可数性公理（即X是A2空间），则 Y也是A2空间。?B?A2空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。?C? 若拓扑空间Xi?1?i?n?都是A2空间，则积空间X1?X2???Xn也是A2空间。?D?A2空间未必满足第一可数性公理。11、拓扑空间X中，A,B是隔离子集，则在子空间A?B中子集A是（
开集，但不是闭集
?B? 闭集，但不是开集?C? 既是开集，又是闭集
既不是开集，又不是闭集
12、在实数空间中，子集A??0,1?，B??0,1?，C??0.1?，D??0,1?，其中可能有同胚关系的是（
?D? B与D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff空间”的（
?B? 必要条件?C?充分必要条件
?D? 既不是充分条件，也不必要条件14、设Y??0,1???2,3?是实数空间R的一个子空间，则Y中的子集?0,1?是Y的（
开集，但不是闭集
?B? 闭集，但不是开集?C? 既是开集，又是闭集
既不是开集，又不是闭集15、设?X,??集合R上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（
）?A?X是A1空间
?B? X是A2空间?C?X是可分空间
?D?X是Lindeloff空间16、拓扑空间X中“只有单点集”是“X为离散空间”的（ ）?A?
?B? 必要条件?C?充分必要条件
?D? 既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X是一个集合，令????，X?，则?是X的一个拓扑． 2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的． 3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是U是它的每一点的邻域．5、若X是T1空间，则X中的每个单点集都是闭集。 6实数空间R不是一个紧致空间。7、包含不少于两个点的平庸空间不是T0空间。8、设?X，??为度量空间，如果X为有限集，证明：?X，??为离散空间。9、设?X，??为拓扑空间，证明：如果X的每一个子集A都满足d?A???，则?X，??是离散空间。10、设X为拓扑空间，f:X?R （其中R为实数空间）是连续映射，证明X中的子集A??x?Xf?x??0?为开集。 11、证明：正则的T0空间必是T3空间。12、证明：实数集R上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff空间。13、设?X,??是度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为有限集，且?X,??是离散空间。14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。阅读详情：
范文十：《点集拓扑学》期末复习期末复习学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？
下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考．一、点集拓扑学的主要内容：1．一般拓扑空间：（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻域．指定了顺序的元素就成了序列．（这些名词的定义是什么？相互关系是什么？如何判定？）（2）常见的拓扑空间有：度量空间、平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间等．任何集合均可通过指定开集而构成上述空间．因此一个集合与不同的拓扑（开集族）配对，可以构成不同的拓扑空间．（实数集合可能成为上述空间吗？）（注意：实数集合与实数空间不同．）（3）一般拓扑空间均可以有子空间，任意有限个拓扑空间均可以构成乘积空间．任一拓扑空间中的一个等价关系均可以造出商空间．（这些空间的拓扑是怎样的？或基是怎样的？）2．有个性的拓扑空间：与连通性有关的空间、各可数性公理空间、各分离性公理空间、与紧致性有关的空间、完备度量空间．（1）并不是任何空间都可以成为上述空间的．只有符合上述空间定义的空间才可以成为上述空间．（各类空间之间没有必然的联系）（2）R及是上述空间吗？（3）若有两个空间，之间通过连续映射联系起来，则原象空间的哪些性质可以传递到象空间？（4）上述空间的哪些性质可以遗传给子空间？（或闭遗传？）（5）上述空间的哪些性质可以是有限可积的？3．连通性：（1）§4.1的所有定义,定理均要掌握.以应对判断一个空间的连通性.(2)两种分支的性质.(3)三种连通性之间的关系．（4）R及的连通性．4．可数性：（1）P．149 图表5.1（2）各空间的性质．（特别，空间中序列的性质及如何构造序列？）（3）哪些常见空间是5．分离性：（1）P．171 图表6.1 的？是可分的？Lindeloff的？（2）各分离性空间的定义及等价命题．（3）常见空间及的分离性．（4）中序列的极限点，中点集的凝聚点，正规、完全正则空间与连续映射的关系．（5）遗传性、有限可积性、连续映射的保持性等．6．紧致性：（1）P．191、201、204、208、210、212的图表．（2）各空间的定义及等价命题．（3）紧致性与分离性的关系．（4）紧致、可数紧致的等价命题．（5）中的紧致子集．（6）局部紧致、仿紧致只要求定义与联系图．二、思路：不断剖析，将中的性质作为公理搬到一般拓扑空间中来．考察具备相应的性质．及研究各拓扑空间的性质及这些性质的怎样的性质的拓扑空间才能具有与遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．三、研究手法：集合的运算与逻辑推理．四、收获收获：复习了这些内容后，对点集拓扑学有何了解？研究目的：研究各拓扑空间的性质及这些性质的遗传性、有限可积性、连续映射的保持性、拓扑不变性．感受：原来具有……性质．提高：对逻辑推理性的证明能力有提高？证明的书写能力有提高？五、几个注意点:1．首先，要熟悉所有的定义、定理的内容．2．涉及度量空间，常利用球形邻域．3.有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.4.一个集合的任意个拓扑的交是拓扑,即使有限个拓扑的并也可能不是拓扑.5.拓扑空间中任意个紧致闭子集的交还是紧致子集.有限个紧致子集的并还是紧致子集.6.拓扑空间与它的子集的连通性各自独立.7.不是连续映射所保持的性质,而是拓扑不变的.但是可遗传的,有限可积的.可分空间不可遗传,但是连续映射所保持的,有限可积的.8.Lindeloff空间闭遗传,不可积,但是连续映射所能保持的.紧致空间闭遗传,但是连续映射所能保持的,有限可积的.9.分离性公理空间不是连续映射所保持的,但是拓扑不变的.除正规空间,外,其余均可遗传. 除正规空间,不可积外,其余均有限可积.均不可商. 是闭遗传10．在就构成序列中构造序列，可利用在x处的邻域基套，在每个中取一点，.11.若涉及到连续映射f：X→Y，总是将X中的子集映到Y，或将Y中的子集反射到X．12.常对一个等式或包含关系式两边同取f或或P.28的定理1.6.3或P.20的定理1.5.2 或闭包，并注意利用P.23的习题1,213.要对集族构造一个单调上升或单调下降序列,可令:则分别为单调上升或单调下降序列.14．注意拓扑空间{X*，T*}，其中X*=X∪{∞}，但T*有两种构造法：P.55的习题9与P.142的例5.2.115.注意定义中的措辞：是任给还是存在（有一个）．它的反面是什么？（互为反面）16.注意反证法．阅读详情：
