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大学高等数学下考试题库(附答案)
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官方公共微信考试教室；重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷第1页共1；重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷；20―20学年第学期；知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1答案:D；题人；开课学院:数统学院课程号:考试日期:；2.设级数?an为一交错级数,则(；n?1；).；题人；密名姓；弊作绝拒、纪号考学肃严、信守实级诚封年、争竞平公；考试时间:120分；该级数必收
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷
第1页 共1页
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷
知识点：对弧长曲线积分公式；难度等级：1 答案: D
2. 设级数?an为一交错级数,则(
纪 号考学肃严
守 实 级诚封年、 争 竞
学考试方式
该级数必收敛
(B)该级数必发散
该级数可能收敛,也可能发散
(D)若an?0(n??),则必收敛
知识点：级数收敛的判断；难度等级：1
3. 下列方程中,设y1,y2是它的解,可以推知y1?y2也是它的解的方程是().
y??p(x)y?q(x)?0
(B) y???p(x)y??q(x)y?0
一、选择题(每小题3分,共18分)
(C) y???p(x)y??q(x)y?f(x)
(D) y???p(x)y??q(x)?0
f(x,y)在曲线弧L
上有定义且连续,L的参数方程为
知识点：线性微分方程的解的性质；难度等级：1
??(t) (??t??),其中?(t),?(t)在[?,?]上具有一阶连续导数,且?y
??2(t)???2(t)?0,则曲线积分?Lf(x,y)ds?(
微4. 设函数F(x,y)可微,如果曲线积分?CF(x,y)(xdx?ydy)与路径无关,(A)
f(?(t),?(t))dt
f(?(t),?(t))?2(t)???2(t)dt
则Fx,y)应满足(
?f(?(t),?(t))dt
(D) ??f(?(t),?(t))?2(t)???2(t)dt
(A)yFy?(x,y)?xFx?(x,y)
(B)Fy?(x,y)?Fx?(x,y)
(C)yFyy??(x,y)?xFxx??(x,y)
(D)xFy?(x,y)?yFx?(x,y) 知识点:曲线积分与路径无关；难度等级:1；答案: D
分析: 由曲线积分与路径无关的条件,计算可得. 5. 设?:x2?y2?z2?R2,则???(x2?y2)dxdydz?(
知识点:多元函数复合的二重积分，洛必达法则；难度等级:2。 答案:f?(0).
9．微分方程y???6y??9y?x2?6x?9的特解可设为y*?_________. 知识点:微分方程特解的形式；难度等级:1。 答案:Ax2?Bx?C.
10. 若级数?p发散,则p?__________.
(D) ?R 1515
知识点:三重积分计算；难度等级:2；答案: C 6. 已知曲线y?平 行,而
y(x)经过原点且在原点处的切线与直线2x?y?6?0
y(x)满足微分方程y???2y??5y?0,则曲线的方程为y?
知识点:级数收敛判定；难度等级:1。答案:p?0.
同时垂直于向量
a?(3,4,?2)
和z轴的单位向量
(B) ex(sin2x?cos2x)
(C) ex(cos2x?sin2x)
知识点:二阶线性齐次微分方程的通解；难度等级:1；答案: A
知识点：向量代数. 难度等级：2。答案：?1(4,?3,0)
二、填空题(每小题3分,共18分)
设u??xzetdt,则
均匀曲面z?__________. 知识点:曲面的质心；难度等级1; 答案：(0,0,).
?__________.?z
知识点:多元函数的偏导数，变限函数求导；难度等级:1。 答案:yeyz?xexz.
8. 设f(u)为可微函数,且f
(0)?0,则lim3
分析: 注意对称性,利用形心公式直接计算.
解:依对称性知,质心在z轴上.于是设质心坐标为(0,0,),其中
?__________.
zdS1??????2?adS??
知识点:可分离变量微分方程.难度等级:3。 分析:需作变换将其化为变量分离方程. 解:将方程改写为
?(x?y)2. dy
从而质心坐标为(0,0,).
三、计算题(每小题6分,共24分)
13. 计算曲线积分?(exsiny?y)dx?(excosy?1)dy,其中C是上半圆周
令u?x?y,则方程化为
(x?)2?y2?()2由点A(a,0)到O(0,0)的一段弧.
知识点:对坐标的曲线积分,格林公式；难度等级:3。
分析: 曲线已为闭曲线,用格林公式.
解:不能直接使用格林公式,添加辅助线,与上半圆周一起构成闭曲线.利用格林公式
这是变量分离方程,积分得y?C?arctanu. 故原方程的解为?y(x)?arctan(y(x)?x)?C?0. 15. 设?为曲面z?x2?y2(z?1)的上侧,计算曲面积分
(exsiny?y)dx?(excosy?1)dy
???dxdy??()2??a2.
I???(x?1)3dydz?(y?1)3dzdx?(z?1)dxdy.
??(esiny?y)dx?(ecosy?1)dy
知识点:高斯公式,对称性,柱坐标；难度等级3。
分析:添加辅助面构成闭曲面用高斯公式.
解: 设?1为平面z?1上被?所围部分的下侧, ?1与?所
??a2?(exsiny?y)dx?(excosy?1)dy
围成的空间区域记为?,则
14. 求微分方程y??
(x?1)3dydz?(y?1)3dzdx?(z?1)dxdy
?????[3(x?1)2?3(y?1)2?1]dxdydz.
?z2)dy????2zdydz?2xdxdy
??(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?0,
?2x)dxdy???2Rdxdy?2?Rr2. Dz
???xdxdydz?0,
???ydxdydz?0,
四、解答题(每小题6分,共12分)
所以I?????(3x?3y?7)dxdydz
17．已知an??tannxdx.
???d??dr?2(3r2?7)rdz
??2??r(1?r2)(3r2?7)dr
(1)求?1(an?an?2)的值；
16. 计算曲线积分??(x?z)dy,其中?为曲面x?y?z?2Rx与
x2?y2?2rx(0?r?R,z?0)的交线,从z轴正向看去是逆时针方向.
(2)试证:对任意的常数??0,级数?
知识点:无穷级数比较判别法,定积分；难度等级:3
解:(1) ?(an?an?2)???04(tanx?tanx)dx???1.
n?1nn?1nn?1n(n?1)
(2)由于??(an?an?2)????0(tanx?tanx)dx???收敛；
nnn(n?1)n?1n?1n?1
?anan?an?2an
,又 ??故级数收敛. ??
知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,合一投影；难度等级3。
分析:利用斯托克斯公式,合一投影.
解:取?为x2?y2?z2?2Rx上以?为边界的部分,法向取外侧,?在
xoy面的投影区域为D??(x,y)x2?y2?2rx?.
应用斯托克斯公式得
18．设函数?(x)具有连续的二阶导数,并使曲线积分
(x2?z2)dy????2zdydz?2xdxdy.
[3??(x)?2?(x)?xe2x]ydx???(x)dy与路径无关,求函数?(x).
又(?zx,?zy,1)?(
,,1),利用合一投影,可得 zz
知识点:第二型曲线积分,微分方程；难度等级:2.
解:由题意得:3??(x)?2?(x)?xe2x????(x). 即???(x)?3??(x)?2?(x)?xe2x.
特征方程r2?3r?2?0,特征根r1?1,r2?2. 对应齐次方程的通解为:y?c1ex?c2e2x.
又因为??2是特征根.故其特解可设为:y*?x(Ax?B)e2x. 代入方程并整理得:A?,B??1.
y?x(x?2)e2x.
2[z?f(?)][dz?f?(?)d?]?2x(y2??2)dx?2x2(ydy??d?).
利用?z?f(?)?f?(?)??x2得
[z?f(?)]dz?x(y2??2)dx?x2ydy.
?zx(y2??2)?zx2y ?x?z?f(?),?y?z?f(?).
?z?zx3y(y2??2)
??xy.?x?y[z?f(?)]2
故所求函数为:?(x)?c1ex?c2e2x?x(x?2)e2x.
五、证明题(每小题6分,共12分)
???z?f(?)??x(y??)
19．证明:由方程组?所定义的函数z?z(x,y)满2
???z?f(?)?f?(?)??x
20. 设正项数列{an}单调减少,且
???a?1??收敛. n?1?n?
发散,证明级数
注：?换为u
知识点:多元函数的偏导数；难度等级:2
分析:在方程?z?f(?)?2?x2(y2??2)两边微分可求出dz,从而得到
,.然后利用?z?f(?)?f?(?)??x2即可证明结论. ?x?y
知识点:无穷级数根值判别法,极限存在判定准则；难度等级:2。
证明:由正项数列{an}单调减少,得liman极限存在.又?(?1)nan发
??an?l?0.于是lim?散,故lim 故收敛. ??1.????n??n??a?1a?1n?1?n??n?1?l
证明: 方程?z?f(?)??x2(y2??2)两边微分得
六、应用题 (每小题8分,共16分)
包含各类专业文献、行业资料、高等教育、应用写作文书、各类资格考试、专业论文、生活休闲娱乐、重庆大学高数(下)期末试题六(含答案) (自动保存的)59等内容。　
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高等数学习题课（一）
本课程主要为一元微积分学内容。分为课程内容回顾及习题类型讲解两大块。可以作为期末考试，考研复习之用。
作业：60分参与讨论：10分期末：30分（注意：讨论得分需要回答课堂所留开放性问题才能取得）60－79分：合格证书80－100分：优秀证书
高等数学一元微积分学知识
第一部分、极限与连续& A—知识点回顾& &A1.1函数& &A1.2极坐标& &A1.3极限的概念与基本极限结论& &A1.4极限的性质与特殊极限& &A1.5易错的极限& &A1.6无穷小概念及性质& &A1.7无穷小的比较& &A1.8连续与间断& &A1.9连续函数的性质&B—习题讲解& &B1.1极限计算——基本方法& &B1.2极限计算——罗比达法则1& &B1.3极限计算——罗比达法则2& &B1.4极限计算——等价无穷小代换1& &B1.5极限计算——等价无穷小代换2& &B1.6极限计算——两个重要极限& &B1.7极限计算——夹挤定理1& &B1.8极限计算——夹挤定理2& &B1.9极限计算——单调有界原理1& &B1.10极限计算——单调有界原理2& &B1.11极限计算——定积分定义1& &B1.12极限计算——定积分定义2& &B1.13已知极限确定参数1& &B1.14已知极限确定参数2& &B1.15无穷小比较的例子& &B1.16间断点分类的例子第二部分、一元微分学& A—知识点回顾& &A2.1导数与微分概念& &A2.2导数运算公式& &A2.3高阶导数公式& &A2.4罗尔中值定理& &A2.5拉格朗日中值定理& &A2.6柯西中值定理与泰勒中值定理& &A2.7单调性与极值、最值& &A2.8渐近线& &A2.9凸凹性与拐点& &A2.10曲率与曲率圆&B—习题讲解& &B2.1导数概念的理解1& &B2.2导数概念的理解2& &B2.3反函数与复合函数二阶导& &B2.4参数方程式函数与隐函数的二阶导& &B2.5其他类型求导题目& &B2.6高阶导数的应用& &B2.7方程有根的题目——一个根情形1& &B2.8方程有根的题目——一个根情形2& &B2.9方程有根的题目——两个根情形1& &B2.10方程有根的题目——两个根情形2& &B2.11方程有根的题目——泰勒公式的应用& &B2.12不等式的题目——泰勒公式的应用& &B2.13函数性质的讨论& &B2.14函数的最值& &B2.15函数的渐近线& &B2.16导数应用的综合计算题第三部分、一元积分学& A—知识点回顾& &A3.1不定积分的概念性质& &A3.2不定积分的常用公式及常用计算方法& &A3.3定积分与广义积分的定义& &A3.4定积分的性质& &A3.5定积分的重要定理& &A3.6定积分的应用1& &A3.7定积分的应用2&B—习题讲解& &B3.1不定积分的第一换元积分法1& &B3.2不定积分的第一换元积分法2& &B3.3不定积分的第一换元积分法3& &B3.4不定积分的第一换元积分法4& &B3.5不定积分的第一换元积分法5& &B3.6不定积分的第二换元积分法1& &B3.7不定积分的第二换元积分法2& &B3.8不定积分的分部积分法1& &B3.9不定积分的分部积分法2& &B3.10不定积分的分部积分法3& &B3.11有理函数的不定积分1& &B3.12有理函数的不定积分2& &B3.13不定积分的综合题& &B3.14定积分概念的理解& &B3.15定积分的基本计算1& &B3.16定积分的基本计算2& &B3.17定积分计算的第二换元积分法1& &B3.18定积分计算的第二换元积分法2& &B3.19定积分计算的其他类型& &B3.20定积分的不等式证明问题1& &B3.21定积分的不等式证明问题2& &B3.22定积分应用——平面图形面积& &B3.23定积分应用——立体体积& &B3.24定积分应用——曲线弧长& &B3.25定积分应用——物理应用& &B3.26定积分应用——综合题
1.哈尔滨工业大学数学系分析教研室，工科数学分析（第五版）（上、下），高等教育出版社，2015年.上册购买链接：下册购买链接：注：第五版教材是与本MOOC课程配套的立体化教材2.哈尔滨工业大学数学系分析教研室，工科数学分析学习指导与习题解答（上、下），高等教育出版社，2015年.3.卓越联盟高等数学期末试题全解，卓越数学联盟编，科学出版社，2016年购买链接 4.全国大学生数学竞赛复习全书，尹逊波、靳水林、郭玉坤编，哈尔滨工业大学出版社，2014年
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