受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐. 在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度是时间，单位：的函数，记作：，下表是该港口在某季每天水深的数据：经过长期观察的曲线可以近似地看做函数的图象.（Ⅰ）根据以上数据，求出函数的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ - 跟谁学
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如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，，则温度变化曲线的函数解析式为&&▲&& .&
题型：填空题难度：中档来源：不详
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，，则..”主要考查你对&&正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等），正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx（x∈R）和余弦函数y=cosx（x∈R）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，
1．正弦函数 2．余弦函数函数图像的性质 正弦、余弦函数图象的性质： 由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正弦、余弦函数图象的性质：
由上表知，正弦与余弦函数的定义域都是R，值域都是[-1，1]，对y=sinx，当时，y取最大值1，当时，y取最小值-1；对y=cosx，当x=2kπ（k∈Z）时，y取最大值1，当x=2kπ+π（k∈Z）时，y取最小值-1。正切函数的图像：
余切函数的图像：
正切函数的性质：
（1）定义域：； （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y=a的两个相邻交点之间的距离是一个周期π； （4）奇偶性：是奇函数，对称中心是（k∈Z），无对称轴； （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
余切函数的性质:
（1）定义域：{x|x≠kπ，k∈Z} （2）值域：实数集R；（3）周期性：是周期函数，周期为kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期T=π（4）奇偶性：奇函数，图像关于（，0）（k∈z）对称，实际上所有的零点都是它的对称中心（5）单调性：在每一个开区间（kπ，（k+1）π），（k∈Z）上都是减函数，在整个定义域上不具有单调性&&
发现相似题
与“如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数，，则..”考查相似的试题有：
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求教：用什么函数来预测波动曲线的后期趋势值
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请教大侠：
& && & 我在预测系列的销售额趋势时，发现发展期和衰退期的销售额变化曲线比较符合“线性相关+正弦（或余弦）曲线”的拟合曲线，那么我把线性曲线先分离出来，剩下正余弦曲线，但是想不到用什么函数来大致准确得拟合实际曲线？所以请各位大侠支招.
& && & 谢谢！
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& & & & & & & &
求教啊，请应用型高手指点！
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选定散点图，鼠标右键：
除移动拟合，都会出现函数式，完全可以为所欲为的
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选定散点图，鼠标右键：
除移动拟合，都会出现函数式，完全可以为所欲为的
都试过的，Excel内置的这几种曲线类型都不合适，因为是一种多周期波动的曲线图。应该用正弦或余弦曲线比较合适。但是不知道如何运用？
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都试过的，Excel内置的这几种曲线类型都不合适，因为是一种多周期波动的曲线图。应该用正弦或余弦曲线比 ...
这个应该是数学问题，与excel无关，excel仅仅是计算工具，他也依赖成熟的数学模型！
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都试过的，Excel内置的这几种曲线类型都不合适，因为是一种多周期波动的曲线图。应该用正弦或余弦曲线比 ...
可以用 High Order of Polynomial，但 Excel only Order 6.
Try R, Matlab, etc. Spss seems like no working.
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请教：这个曲线有没有什么相关的函数表达式？收藏
我有两个统计数据得到的曲线，如图中所示，但是限于能力，却不知道有没有类似的函数关系能够表达这样的曲线。曲线的特点是：在中间部分，有些类似于直线，而到了左右两端时，则趋近于上下限，但是却达不到上下限的值，分别是100和0.请教高手，数学中有没有类似的曲线方程可以表达这两条曲线。这两条曲线可以是独立的。也就是说红色的是一条，蓝色的是一条，另外，只要表达出趋势线的方程就行了，不用管轮廓。
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如果不要x趋于无穷的部分，直接100sinx+100就行，x根据图像做点修改
1/(1+exp(-x))
补充说明一点：曲线到两端时可以向无穷延伸，但是却只是趋近于100和0，而不能等于100和0。
这类函数叫Sigmoid函数。有Arctan，tanh，erf，gd等
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　　一次函数
　　一、定义与定义式
　　自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。
　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0）
　　二、一次函数的性质
　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
　　三、一次函数的图像及性质
　　1．作法与图形：通过如下3个步骤
　　（1）列表；
　　（2）描点；
　　（3）连线，可以作出一次函数的图像――一条直线。
　　因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
　　2．性质：
　　（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
　　3．k，b与函数图像所在象限：
　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；
　　当b=0时，直线通过原点
　　当b＜0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
　　四、确定一次函数的表达式
　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b
　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
　　（4）最后得到一次函数的表达式。
　　五、一次函数在生活中的应用
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
　　六、常用公式：（不全面，可以在书上找）
　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
　　二次函数
　　一、定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax2+bx+c
　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。）
　　则称y为x的二次函数。
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　二、二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
　　顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和 B（x?，0）的抛物线]
　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
　　h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x1，x2=(-b&√b2-4ac)/2a
　　三、二次函数的图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
　　四、抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
　　x= -b/2a。
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为
　　P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )
　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于（0，c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b&√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
　　五、二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，
　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
　　即ax2+bx+c=0
　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
　　1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下：
　　解析式 和 顶点坐标对 和 对称轴
　　y=ax2 (0，0) x=0
　　y=a(x-h)2 (h，0) x=h
　　y=a(x-h)2+k (h，k) x=h
　　y=ax2+bx+c (-b/2a，[4ac-b2]/4a) x=-b/2a
　　当h&0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
　　当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
　　因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。
　　2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．
　　3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
　　4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
　　(2)当△=b2-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；
　　当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0．
　　5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．
　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
　　6．用待定系数法求二次函数的解析式
　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
　　y=ax2+bx+c(a≠0)．
　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出。
　　反比例函数
　　形如 y＝k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
　　反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。
　　知识点：
　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
　　2.对于双曲线y＝k／x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x&m）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
　　对数函数
　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
　　对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
　　（2）对数函数的值域为全部实数集合。
　　（3）函数总是通过（1，0）这点。
　　（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
　　（5）显然对数函数无界。
　　指数函数
　　指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
　　可以得到：
　　（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
　　（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。
　　（3） 函数图形都是下凹的。
　　（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
　　（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置 。
　　（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
　　（7） 函数总是通过（0，1）这点。
　　（8） 显然指数函数无界。
　　奇偶性
　　一、定义
　　一般地，对于函数f(x)
　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
　　二、奇偶函数图像的特征
　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
　　f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
　　点（x,y）→（-x,-y）
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
　　三、奇偶函数运算
　　1.两个偶函数相加所得的和为偶函数。
　　2.两个奇函数相加所得的和为奇函数。
　　3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
　　4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
　　5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
　　6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
　　定义域
　　（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
　　一、名称定义
　　函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
　　常用的求值域的方法
　　（1）化归法
　　（2）图象法（数形结合）
　　（3）函数单调性法
　　（4）配方法
　　（5）换元法
　　（6）反函数法（逆求法）
　　（7）判别式法
　　（8）复合函数法
　　（9）三角代换法
　　（10）基本不等式法等
　　二、关于函数值域误区
　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
　　然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。
　　如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
　　才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
　　三、“范围”与“值域”相同吗？
　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
　　“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。
　　也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。
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中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授