求微分方程y''-3y'+2y=2e^x满足y|x=0 =1,dy/dx|x=0 =0的特解对应的齐次方程的通解为 C1e^x+C2e^2x后面答案说非齐次方程的通解为y*=Cxe^入x,代入得C=-2为什么可以这样设通解?不是应该设特解y*=x(b0x+b1)e^x,然后代入么,虽然我化简不出.探花,你前面说的我知道,也是这么设的,但是A为什么不是个多项式b0x+b1,而是单个数字
黑猫☆zskf4
答案的做法没错,自由项2e^x对应λ＝1,而1是非齐次方程对应的齐次方程的特征方程的单根,2是零次多项式,所以非齐次方程的一个特解设为x×Ae^x＝Axe^x
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因为e~x次方怎么导都是它本身，所以这样设通解就可以了
扫描下载二维码二阶微分方程的特解'若lamda=2,为什么有时设Y*=Ae^2x,有时又设其为Y*=（b0x+b1)e^2x?谁能说明一下!
这需要看给出的微分方程的等式右边的函数f（x）的情况（以例说明）：情况一,f（x）=3*e^2x,因为“3”是关于x的【零次】的,（并且必须λ=2不是微分方程的特征方程的根的情况下）,这时设Y*=Ae^2x,其中“A”也是关于x的【零次】的.情况二,f（x）=3x*e^2x,因为“3x”是关于x的【一次】的,（并且必须λ=2不是微分方程的特征方程的根的情况下）,这时设Y*=（b0x+b1)e^2x,其中“b0x+b1”也是关于x的【一次】的.
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前者是单根，后者是重根。x1=2，x2=3和x1=x2=2的区别
二阶微分方程的特解,
主要看根λ、右边函数如f(x)=P(x)e^(kx)
P(x)为n次多项式1，如果k不是根(k不等于λ），y*=Q(x)e^(kx)
P(x)为n次多项式2,
如果k是单根(k等于λ），
y*=xQ(x)e^(kx)
P(x)为n次多项式2,
如果k是二重根(k等于λ），y*=x^2Q(x)e^(kx)
P(x)为n次多项式...
如果有λ=2, 只能保证通解中会出现e^(2x)项,
并不能单纯以此来确定特解的形式.
待定系数法求特解, 特解的一般形式应该以f(x)的形式来确定.
如果这个时候单纯的假设特解形式为
Φ*(x)=Ae^(2x), 那么该微分方程只能是y'+ay=be^(2x)的形式.
可以验算, 只能是一阶导数,
超过二阶都...
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[微分方程]二次微分方程的通解 微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程? 方程y???py??qy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中p、q均为常数?如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?我们看看?
能否适当选取r? 使y?erx
满足二阶常系数齐次线性微分方程? 为此将y?erx代入方程y???py??qy?0得(r 2?pr?q)erx ?0?由此可见? 只要r满足代数方程r2?pr?q?0? 函数y?erx就是微分方程的解?特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的两个根r1、r2可用公式?p??p2?4q
r 1,2?2求出?特征方程的根与通解的关系?(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时? 函数y1?er1x、y2?er2x是方程的两个线性无关的解?这是因为?函数y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解为y?C1er1x?C2er2x?(2)特征方程有两个相等的实根r1?r2时? 函数y1?er1x、y2?xer1x是二阶常系数齐次线性微分y1er1x(r1?r2)x??e不是常数?
y2e2方程的两个线性无关的解?这是因为? y1?er1x是方程的解? 又r1xr1x2r1x
(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxer1x2
?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?y2xer1x??x不是常数?
所以y2?xe也是方程的解? 且y1e1r1x因此方程的通解为y?C1er1x?C2xer1x?(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2???i?时? 函数y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解? 函数y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解?
函数y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由欧拉公式? 得y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?1
y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)? 21
y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?
2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?可以验证? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的线性无关解?因此方程的通解为y?e?x(C1cos?x?C2sin?x )?求二阶常系数齐次线性微分方程y???py??qy?0的通解的步骤为?第一步
写出微分方程的特征方程r2?pr?q?0第二步
求出特征方程的两个根r1、r2?第三步
根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解?例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?解 所给微分方程的特征方程为r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?其根r1??1? r2?3是两个不相等的实根? 因此所求通解为y?C1e?x?C2e3x?例2 求方程y???2y??y?0满足初始条件y|x?0?4、y?| x?0??2的特解?解 所给方程的特征方程为r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?其根r1?r2??1是两个相等的实根? 因此所给微分方程的通解为y?(C1?C2x)e?x?将条件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 从而y?(4?C2x)e?x?将上式对x求导? 得y??(C2?4?C2x)e?x?再把条件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解为x?(4?2x)e?x?例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?解 所给方程的特征方程为r2?2r?5?0?特征方程的根为r1?1?2i? r2?1?2i? 是一对共轭复根?因此所求通解为y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?n 阶常系数齐次线性微分方程? 方程y(n) ?p1y(n?1)?p2 y(n?2) ? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?称为n 阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p1?
p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常数?二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去?引入微分算子D? 及微分算子的n次多项式?L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn?则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0?注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?分析? 令y?erx? 则L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?因此如果r是多项式L(r)的根? 则y?erx是微分方程L(D)y?0的解?n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程?L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0称为微分方程L(D)y?0的特征方程?特征方程的根与通解中项的对应?单实根r 对应于一项? Cerx ?一对单复根r1? 2?? ?i? 对应于两项? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?k重实根r对应于k项? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?一对k 重复根r1? 2?? ?i? 对应于2k项?e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?( D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?解
这里的特征方程为r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?因此所给微分方程的通解为y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?解
这里的特征方程为r4?? 4?0?
它的根为r1,2???(1?i)? r3,4???(1?i)?
因此所给微分方程的通解为y?ex(C1cos?x?C2sin?2x)?e? ?x(C3cos?x?C4sin?x)?二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程? 方程y???py??qy?f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p、q是常数?二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y?y*(x)之和?y?Y(x)? y*(x)?当f(x)为两种特殊形式时? 方程的特解的求法?一、 f(x)?Pm(x)e?x 型当f(x)?Pm(x)e?x时? 可以猜想? 方程的特解也应具有这种形式? 因此? 设特解形式为y*?Q(x)e?x? 将其代入方程? 得等式Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 则?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)应设为m 次多项式?Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解y*?Qm(x)e?x?(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的单根? 则?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?成立? Q(x)应设为m?1 次多项式?Q(x)?xQm(x)?Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?
?bm?1x?bm ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ?
? bm? 并得所求特解
y*?xQm(x)e?x?(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 则?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?成立? Q(x)应设为m?2次多项式?Q(x)?x2Qm(x)?Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解y*?x2Qm(x)e?x?综上所述? 我们有如下结论? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 则二阶常系数非齐次线性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如y*?xk Qm(x)e?x的特解? 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2?例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解?解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且函数f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?
与所给方程对应的齐次方程为y???2y??3y?0?它的特征方程为r2?2r?3?0?由于这里??0不是特征方程的根? 所以应设特解为y*?b0x?b1?把它代入所给方程? 得?3b0x?2b0?3b1?3x?1?比较两端x同次幂的系数? 得???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1?
?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所给方程的一个特解为
y*??x??例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?
与所给方程对应的齐次方程为y???5y??6y?0?它的特征方程为r2?5r ?6?0?特征方程有两个实根r1?2? r2?3? 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y?C1e2x?C2e3x ?由于??2是特征方程的单根? 所以应设方程的特解为
y*?x(b0x?b1)e2x?把它代入所给方程? 得?2b0x?2b0?b1?x?比较两端x同次幂的系数? 得??1? ?2b0?1? 2b0?b1?0?
2b?b?001?由此求得b0??? b1??1? 于是求得所给方程的一个特解为
y*?x(?x?1)e2x?从而所给方程的通解为y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?提示?y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?方程y???py??qy?e?x[Pl (x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式 121212应用欧拉公式可得e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]?e?x[Pl(x)ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x
l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]?P(x)e(??i?)x?(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? (x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?
设方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解为y1*?xkQm(x)e(??i?)x?
则1*?xkm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?(x)e(??i?)的特解?
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?
于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解为
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkm(x)e(??i?)x?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?m(x)(cos?x?isin?x)
?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?综上所述? 我们有如下结论?如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 则二阶常系数非齐次线性微分方程
y???py??qy?f(x)的特解可设为y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式? m?max{l? n}? 而k 按??i? (或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1?例3 求微分方程y???y?xcos2x的一个特解?解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程?且f(x)属于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?
与所给方程对应的齐次方程为y???y?0?它的特征方程为r2?1?0?由于这里??i??2i 不是特征方程的根? 所以应设特解为
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d )sin2x?把它代入所给方程? 得 (?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?
比较两端同类项的系数? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一个特解为 y*??xcos2x?sin2x?
提示?y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x??(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?134?
91349??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0欢迎您转载分享：
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求微分方程Y”-3y’+2y=2xex（x是e的指数）的通解。
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。。。这不是二阶线性常系数非齐次方程吗，标准解法啊，书上绝对有例题。
Y=c1*exp{x}+c2*exp{2x}&#x8y#=x(Ax+B)exp{x} 那么y=Y+y#
看的好快？我还没看都忘了，有公式。对应一下就行。先对应齐次方程的根求根的r^2-3r+2=0 r=1r=2 则y=C1e^x+C2e^2x 根据高数同济六版第341页第一种类型Pm(x)= 刚刚求的是特征单根 所以是y^*=x(b0x+b1)e^x 对它求一导二导在代入题目的式子里可对应方程两边求出b0 b1 把结果代入y* 求出了特解。刚刚开始时已求出r1r2 所以对应齐次通解为C1e1+C2e2 最后结果就是两个相加(对应齐次通解加特解)。手机打的字，自己看看同济大学六版343页例2 几乎是一样的，我写的不知道对不对，手机打的字仅供参考
过程很复杂，不过也就是比到套路做详情参照同济高数六版上３４３页例２
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