反函数性质的应用
您现在的位置：&&>>&&>>&&>>&&>>&正文
反函数性质的应用
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
反函数性质的应用
本资料为WORD文档，请点击下载地址下载
文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m 反函数性质的应用&&&&&&&&&&&&&&
只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。⒈利用反函数的定义求函数的值域例1：求函数y= 的值域。分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由y=&& 得y(2x+1)=x-1& &∴(2y-1)x=-y-1∴x= ∵x是自变量，是存在的，∴2y-1 0，∴& y& 。故函数y= 的值域为：{y│y& }。点评：形如y= 的函数都可以用反函数法求它的值域。⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用例2：已知f(x)=4 -2 ，求f (0)。分析：要求f (0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。解：令f(x)=0，得4 -2 =0，∴2 （2 -2）=0，∴2 =2或2 =0（舍），∴x=1。故f (0)=1。点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用例3：求函数y= （x (-1，+ )）的图像与其反函数图像的交点。分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。解：由&& 得 或 ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。
⒋原函数与反函数的单调性相同的应用例4：已知f(x)=2 +1的反函数为f (x)，求f (x)&0的解集。分析：因为f(x)=2 +1在R上为增函数，所以f (x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f (x)中的x的范围就是f(x)的范围。解：由f(x)=2 +1&1得f (x)中的x&1。又∵f (x)&0且f(x)=2 +1在R上为增函数，∴f &f(0)，∴x&f(0)=2。故f (x)&0的解集为：{x│1&x&2}。点评：利用原函数与反函数的单调性相同的性质，可以避免求反函数这一复杂的运算，从而减少了失误。⒌原函数与反函数的还原性即 x及 =x的应用例5：函数f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是 = ，求a、b、c的值。分析：本题可以利用 =x，将反函数的条件转化为原函数的关系来应用，利用恒等找到关于a、b、c的方程组，即可求解。解：∵ = ∴ = = = =x∴(3a+b)x-a+2b=(c+3) +(2c-1)x∴ ∴ 点评： 上述解法利用了原函数与反函数的还原性，避免了求反函数 ，若求反函数 ，步骤非常烦琐，容易出现计算失误。&文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m
没有相关教案上一篇教案： 下一篇教案：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【图文】反函数的性质_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
反函数的性质
上传于|0|0|暂无简介
大小：1.35MB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢反函数的定义 反函数的定义是什么 反函数的概念
反函数的定义 反函数的定义是什么 反函数的概念
学习啦【成功的定义】 编辑：小兰
　　学好要依靠理解，&数学理解&应受到数学界的普遍关注。&反&是函数知识的重要组成部分，也是函数教学中的重点和难点，反函数的定义是什么?以下是学习啦小编为大家整理的关于反函数的定义，欢迎大家前来阅读!
　　反函数的概念
　　所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。
　　函数的定义
　　一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。
　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
　　【反函数的性质】
　　(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
　　(2)函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射;
　　(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
　　(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
　　(5)一切隐函数具有反函数;
　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
　　(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
　　(8)反函数是相互的
　　(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定(三定)
　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
　　y=2^x的反函数是y=log2 x
　　例题：求函数3x-2的反函数
　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R.
　　由y=3x-2解得
　　x=1/3(y+2)
　　将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
　　y=1/3(x+2)
　　反函数的基本性质
　　一般地，设函数y=f(x)(x&A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y)(y&C)叫做函数y=f(x)(x&A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
　　说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式.
　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数.
　　⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表)：
　　函数y=f(x)
　　反函数y=f^-1(x)
　　定义域
　　⑷上述定义用&逆&映射概念可叙述为：
　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域&上&的&一一映射&，那么由f的&逆&映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
　　开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^-1(x)=x/2-3.
　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X，需将X进行分类讨论：在X大于0时的情况，X小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
　　反函数的应用介绍
　　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
　　1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域;
　　(我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步)
　　2、反解x，也就是用y来表示x;
　　3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x;
　　4、写出原函数及其值域。
　　实例：y=2x+1(值域：任意实数) 　　x=(y-1)/2 　　y=(x-1)/2(x取任意实数)
　　特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
　　反函数求解三步骤： 　　1、换：X、Y换位 　　2、解：解出Y 　　3、标：标出定义域
　　反函数的使用符号
　　例：三角函数中
　　正弦函数和它的反函数：f(x)=sinx-&x=arcsinx
　　余弦函数和它的反函数：f(x)=cosx-&x=arccosx
　　正切函数和它的反函数：f(x)=tanx -&x=arctanx
　　余切函数和它的反函数：f(x)=cotx-&x=arccotx
　　反正弦的意义 ，则符合条件sinx=a(-1&a&1)的角x叫做a的反正弦，记作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、&arcsina&表示中的一个角，其中-1&a&1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意义 x&[0，&]，则符合条件cosx=a(-1&a&1)的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x=arccosa. 注：1、&arccosa&表示[0，&]中的一个角，其中-1&a&1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意义 ，则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x=arctana. 注：1、&arctana&表示中的一个角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符号表示[0，2&]中角的一般规律
　　反函数的相关说明
　　⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f&(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
　　⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增(减)的定义域内，可以求反函数。
　　⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域(如下表)：
　　函数：y=f(x);
　　反函数：y=f^(-1)(x);
　　定义域： A C;
　　值域： C A;
　　⑷上述定义用&逆&映射概念可叙述为：
　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域&上&的&一一映射&，那么由f的&逆&映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f&(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3.
　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函数的定义的相关搜索内容：
本文已影响 人
[反函数的定义 反函数的定义是什么 反函数的概念]相关的文章
看过本文的人还看了
736人看了觉得好
787人看了觉得好
389人看了觉得好
【成功的定义】图文推荐相关文章：
最新添加资讯
24小时热门资讯
Copyright ©
All Rights Reserved. 学网 版权所有
京ICP备号-1 京公网安备02号下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
1.75亿学生的选择
反函数有哪些性质?
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系,用y把x表示出,得到x= f(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x= f(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= f(y)就表示y是自变量,x是因变量y的函数,这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^-1(x).反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的).反函数性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）.奇函数不一定存在反函数.被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.(5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】.（8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定,反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下,即满足（2））
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码