[教学研究]《抽屉原理》中数学思想方法的渗透
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[教学研究]《抽屉原理》中数学思想方法的渗透
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　　　　　& 《抽屉原理》中数学思想方法的渗透
　　　　　　　　溪口中心小学　　　　 &&温春招
当“抽屉原理”从少数精英学生学习的奥林匹克竞赛课堂走向全体学生学习的大众课堂的时候，无疑对教师和学生都构成了前所未有的挑战。初看教材我甚至没有看懂教材上所讲的内容跟我们现在的数学学习有多大的联系，不知道这部分知识又能解决什么问题，因为内容本身就杂乱，使我一时之间摸不着头绪，后来听了李老师的抽屉原理后，颇有感触。李老师立足课堂，立足知识点，应用“创设情境---建立模型---解释应用” 设计了丰富多彩的活动，为同学提供自主探索的空间，引导同学在观察、猜想、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，学会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，经历“数学化”的过程。让学生学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。我觉得这是一堂充满“数学味”的数学课，下面就谈谈本节课数学思想方法的渗透：
一、创设情境，猜想验证
猜想验证是数学教学重要的思想方法，这在新课程标准实施的今天，显得尤为重要。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”课伊始，李老师就出示一个装有黄色、白色乒乓球各4个的不透明的盒子，晃动几下，让学生猜一猜这个盒子里放了什么？于是李老师师摸出一个球给大家看看，同时大屏幕出示：盒子里有黄色、白色球各4个，并提问：如果老师再摸一个球可能是什么颜色的？学生凭着经验猜出：要么是黄色的，要么是白色的。最后李老师又问：如果老师想要摸出的球中，一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？这时李老师要求学生独立思考后，发表自己的想法，再动手画一画，或通过排列组合来验证各自的猜想。（1）摸2个球。（红、蓝）（红、红）（蓝、蓝）；（2）摸3个球。（红、红、红）（蓝、蓝、蓝）（红、红、蓝）（红、蓝、蓝）。此环节通过情境引导出本节课的问题，让学生先通过猜测到小组交流、再动手摸一摸、画一画，等各种形式，让学生们经历数学知识的形成过程，激发了同学的学习兴趣，让同学利用已有的经验初步感知“抽屉原理”。
二、大胆创造，构建数学模型。
《数学课程标准》指出——“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。这就要求教师在教学中引导学生建立数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程。本节课，李教师就是让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。如在学习例3时，在学生验证出2种颜色的球，保证摸出2个同种颜色的球，最少摸出3个球，并让学生感到这样摸太麻烦了，有没有更简洁的方法？这时学生口述：“2种颜色的球先各摸一个，摸出了2个，再摸第3个就保证摸出的球2个是同色的。”于时教师便说明可以建立这样的数学模型：（　& ）÷2=1……1。除数“2”表示颜色数，商“1”表示先摸的个数，比颜色数少1，余数“1”表示再摸的个数。接着又提出又放入2个白球，2个黄球，结果怎样？再放入2个黄球呢？结果都是最少摸出3个球，可以保证摸出2个是同色的。再次体验摸出的球的个数与颜色数有关。在此基础上增加颜色数，3种颜色的球、4种颜色的球。让学生再次体验摸出球的个数是这样的：每种颜色的球先各摸出一个，再摸出一个，就是最少摸出球的个数。（　& ）÷3=1……1，（　& ）÷4=1……1。接着把摸出的球的个数增加：2种颜色的球，摸3个同色的，最少要摸几个球。（　& ）÷2=2……1每种颜色的球先抽取摸球个数少1的个数，再摸一次，就符合条件。3种颜色取4个球，最少取多少个？（　& ）÷3=3……1就这样，在一次次的摸球活动中，使学生经历“抽屉原理”的探究过程，把简单的实际问题加以“模型化”，有意识地让学生理解“抽屉问题”的一般化“模型”是用“有余数除法”这一形式表示出来的。通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程，体现了数学证明，这也让学生初步经历了“数学证明”的过程，让学生建立抽屉原理的数学模型，使学生感受数学的魅力。
三、多次比较,得出异同。
乌申斯基说过：“比较是一切理解和思维的基础。”在新的课程理念指导下，如何有效的进行数学思想方法的教学，培养学生的解决问题的方法，被许多教师所关注。纵观小学数学学习的思想方法，比较的思想方法在小学数学教学和学习中有着无可替代的优越性。随着学习的不断深入，学生要掌握的知识越来越多，这就要求学生要善于比较知识之间的区别和联系，形成系统性知识，为今后更好的学习和生活打下基础。本节课李师特别注意培养学生掌握比较方法和进行比较的思维习惯，使学生的学习能力得以提高。如当老师问：如果老师想要摸出的球中，一定有2个是同色的，至少要摸出几个球？学生独立思考后，发表自己的想法，汇报中出现了不同的想法，师生共同梳理，比较各种想法，寻找能保证摸出2个同色球的最少球数，最后得出：要想摸出的球中一定有2个同色的，最少要出3个球。这样让学生在比较中初步感知抽屉原理。又如当得出数学模型：“（　& ）÷2=1……1”除数2表示颜色数，商1表示先摸的个数，比颜色数少1，余数1表示再摸的个数。再引导学生把新课例3与复习中的分配原理进行对比，即顺向思维与逆向思维的对比。这样通过新旧知识的对比，学生便得出新旧知识之间的异同与联系。另外，练习中还进行了抽取同色球与不同色球的对比，同色球是每种颜色先抽取一个，再抽取一个，就是最少抽球的个数；同样多的球抽取不同色，是先取掉一种颜色，再抽一个就是最少抽球的个数；同色球中摸2个球和摸3个球、4个球的对比。这样在教学中适时、恰当地运用比较的思想方法，可使各个零碎的知识点串成网状知识结构，利于学习和记忆。同时，通过比较，可以培养学生思维的灵活性，克服思维定势的困扰。学生在优化的学习方法指引下，学得轻松、愉快、扎实，有效地提高了学习的效率。
总之，在小学数学教学中渗透数学思想方法对我们来说还是一个有挑战性的课题。从数学思想方法的特点和形成过程来说，它的渗透不是一两堂课能完成，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。在这个过程中，需要教师做一个“过程”的加强者，不断用数学思想“敲打”学生的思维、让学生在一次次的“敲打”过程中，不断的积累、不断的感悟、不断的明朗，直到最后的主动应用。
　　　& (责编:罗德永)
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如何有效渗透小学数学思想方法
寺庄小学：宋志力
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&在小学阶段我们在教学过程中常用到的数学思想有符号化思想、集合思想、极限思想、对应思想、统计思想、化归思想、类比思想、数形结合思想、单位思想等。　　我认为，由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受，需要结合教学实际逐步的渗透。因此，在教学中我们应该有选择地进行一些必要的，小学生喜闻乐见的数学思想方法的教学。　　下面，我简单谈一谈我在教学过程中培养学生数学思想的几点做法。　　（一）化归的思想方法　　数学研究中，解决数学问题，往往不是直接解决原问题的，而是将问题进行变换，使其转化为一个或几个已经能够解决或比较容易解决的问题中去，这样的思想方法就称为“化归思想方法”。利用化归法转化而得到的新问题与原问题相比较，应该为已解决的或较容易解决的。所以，化归的方向应该是化隐为显，化繁为简、化难为易和化未知为已知。如：北师大版五年级上册第二单元中学习平行四边形、三角形和梯形的面积，就是把平行四边形转化为已学过的长方形，接着把三角形和梯形转化为平行四边形进行面积计算，这种把新问题转化成已经学过的旧知识的方法就是化归法。让学生反思其解决问题的过程，这就渗透了化归的思想方法，这种思想方法正是数学能力的表现之一，让学生有所领悟，会提高他们的思维品质，使其受益终生。　　（二）符号的思想方法　　在全球信息化，科技高度发展的时代，符号思想在世界各地得到广泛交流和重视，数学发展到今天已成为一个符号化的世界。《义务教育数学课程标准》也把符号感作为其核心概念，可见，符号思想在我们的教学中有着非常重要的作用。　　用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想方法。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，如：北师大版三年级上册在“搭配的学问”一课中，学生可能用图形、文字、符号等表示荤菜和素菜，并用连线表示搭配的情况。这种用符号来体现的数学语言就是世界性的语言。　　（三）类比的思想方法　　数学上的类比思想方法是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比可以发现知识的共性，找到知识的本质；没有类比，就无法归类，无法迁移。在数学教学中，我们往往用类比思想进行教学，比如整数四则混合运算顺序类比到小数、分数四则混合运算顺序；在教学圆柱的体积时，意识到面积和体积可以类比，圆与圆柱可以类比，那么圆柱的体积和圆面积有很多相似的地方，因此寻找圆柱的体积计算方法也就容易用圆的面积推导方法――切拼方法来类比出。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得自然和简洁，让学生在学习数学的过程中感到轻松愉快，减少学生对数学的畏惧，从而更易激发起学生的创造力。正如数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”但值得注意的是类比得出来的不一定都对，还须进一步验证。　　当然，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。比如有这样一道题：同学们从上午9时开始记录天气情况，每隔3小时记录一次，即记到第九次时，是什么时间？此题表面上看似一道求经过时间的问题，其实这道题实质上就是一道“植树问题”的变化题型。如果学生具备了较强的类比思想，就能比较顺利地找到切入点，正确解答。　　……　　通过以上一些实际做法，对数学思想的有效渗透已有了初步的认识，然而这只是我在教学中的点滴积累，如何才能更加全面的、更加有效地渗透数学思想将是一个长期的探索过程，我们将一如既往……
文章录入：张慧云　责任编辑：赵宇峰　
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数学思想,如何渗透
2014年1期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。可见，思想方法才是持久的智慧，才是永不过时的美丽。”所以，作为一名教师不能无视数学思想。那么，如何在小学阶段渗透数学思想呢？笔者在课堂教学实践中得到了一些启发和思考。 中国论文网 /9/view-5414586.htm　　1.做一个渗透思想的前行者 　　《数学课程标准》提出“要让学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”但是，如苏教版小学数学仅仅在《解决问题的策略》单元才书面涉及一些数学思想方法的内容，特别是六年级下册第六单元才提出了转化的策略，教师才会知道数学思想这个东西的存在。当然，也有一些视野开阔的老师会有意识地教学这方面的内容。但是经过我的实际调查，发现知道数学思想的教师有70%，而可以说出3种数学思想的仅占30%。可见，要想让教师对学生渗透数学思想，必须要让他们自己重视和了解数学思想。一种东西只有我们自己内心认可了，才有可能会让我们的学生去学习，如果我们憎恶一种东西，我们是不会传播它的。所以教师要先自己重视数学思想，了解数学思想，才有内容渗透给学生。 　　现实就摆在我们面前，要想在知识的学习过程中给学生渗透数学思想，就要求教师明确什么思想在什么学段渗透比较合适，这都给我们教师提出了严峻的考验。因而我们教师要先行一步，我们不要做教书匠，而要做点燃学生的火把。 　　2.做一个渗透思想的引导者 　　即使我们头脑中有了许多的数学思想，要想渗透给学生也并不是很简单的事情，我们需要指引学生去感悟。 　　例如，苏教版六年级下册的“转化”思想，其实我在以前的教学中就已经很有意识地去渗透了。如在学习《整数的四则运算》后，开始学习《小数的运算》，我就给学生讲，可以怎样转化成我们学过的知识呢？由于我经常把“转化”这个词挂在嘴边，引导学生去体验转化，学生就耳濡目染地被强化了这种思想，所以，在以后的“图形面积推导”“异分母分数加减法计算”等学习领域，学生就学会了把新的知识转化成旧的知识，就会不自觉地运用转化思想解决实际问题。 　　只有我们长期坚持下去，不断地引导，学生才能从风马牛不相及的知识点里悟出一种思想，这就足够了。 　　3.做一个渗透思想的选择者 　　小学数学中可以渗透的数学思想有很多，转化思想、化归思想、符号思想、分类思想、类比思想、模型思想、数形结合思想、统计思想、极限思想，等等。但是在什么知识点上渗透什么思想就需要我们教师去选择，去解读。 　　案例： 　　故事书和科技书一共270本，故事书的本数是科技书的80%，故事书和科技书各有多少本？这里关键是要理解“故事书的本数是科技书的80%”的含义。我们就可以运用画图的方法帮助学生理解题意。 　　故事书 ___ ___ ___ ___ 　　科技书 ___ ___ ___ ___ ___ 　　这里就可以渗透数形结合的思想，当然我们也可以通过其他的途径来解决这个问题，渗透其他的数学思想。比如：函数的思想，可以列方程来解决。设科技书为x本，x+80%x=270。在什么知识点上渗透什么思想合适，以及某种思想在什么阶段渗透都是有技巧的，需要我们教师慎重选择。 　　教师如何才能准确选择，这要根据教师的喜好、学生特点、班级特点、周围环境等来选择。 　　比如，一个正方体的一个底面为36平方厘米，它的体积是多少？在这里，我在不同的班级教学时采用的策略就不一样，对于思维比较灵活的班级，我是这样引导的：“底面积是36平方厘米，这个条件中隐含着什么条件呢？”这个就体现了转化的数学思想，即把间接条件转化成直接条件。对于思维比较狭窄的班级，我则运用倒推思想来解决，即从问题出发，看看要解决这个问题需要知道什么条件，要知道体积就需要知道棱长，怎样才能知道棱长呢？这个就回到了已知条件上了，即“根据底面是36平方厘米，可以求出棱长”。 　　4.做一个渗透思想的坚持者 　　掌握一种思想比掌握一个知识点要困难得多，因为一种数学思想的形成绝不是一朝一夕可以做到的。古往今来，人们留下的数学思想方法非常丰富，这些数学思想方法有难也有易。所以，数学思想方法的教学不只是中学、大学教师的事，小学阶段在进行数学基础知识的教学的同时，适时适度渗透数学思想方法，不仅成为一种可能，也成为一种必须。 　　例如，极限思想就可以在小学的“圆面积的推导”和“圆柱体积的推导”过程中渗透。也可以在+++++……这个分数计算中渗透。这个式子如果按照这样不断地加下去，结果就会无限接近1，但是永远不会等于1。当然在这个分数计算里，我们也可以渗透数形结合思想和转化思想。一些思想我们在中段就开始有意识地渗透，到了高段，学生就会自觉运用思想来解决问题了，所以，我们要做个渗透的有心人和坚持者。 　　总之，只有我们重视了数学思想，并努力践行数学思想，我们才真正做到了教和育，才真正让学生受到了教育，就像爱因斯坦说的：“什么是教育？当你把受过的教育都忘记了，剩下的就是教育。” 　　如果我们让学生做到“忘记了平方差公式，但是又会推导出来”了，我想那就是数学思想在起作用吧！也就是犹太人说的抢不走的智慧。所以说，思想是永不过时的美丽。让我们携起手来，为拥有永不过时的美丽而努力吧！
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