受有心力运动轨迹的物体运动轨迹一定是圆锥曲线吗

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利用圆锥曲线性质 巧解有心力运动问题
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利用圆锥曲线性质 巧解有心力运动问题
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巧用双曲线的两个结论推导a粒子散射公式
  物体在有心力作用下的运动轨迹为圆锥曲线,即椭圆、抛物线或双曲线.这些曲线都是有心曲线,焦点为力心,因此都遵循光学反射定律.   对于双曲线,除了光学性质,还有两个有趣的数学性质,在解答有关物理问题时很有用,下面先证明这两个结论,然后利用这两个结论来推导 粒子散射公式.   1结论证明   结论1双曲线焦点到渐近线的距离等于半虚轴长 .   证明如图1所示,在直角坐标系中的一支双曲线,以实轴为χ 轴,虚轴为y 轴,其方程为 x2a2-y2b2=1,渐近线方程为y=&bax .画出一条渐近线OE ,则在直角三角形 中OAC中 ,OA=a,AC=b,则由勾股定理可知斜边与直角边的关系为OC2=a2+b2.而对于双曲线,焦距与实半轴和虚半轴的关系为c2=a2+b2 ,因此直角三角形OAC的斜边长等于双曲线的焦距,即OC=c .过焦点作渐近线的垂线FD ,由于OF=c ,则在两个直角三角形中,斜边相等,又由于对应角相等,因此两个三角形全等,所以焦点到渐近线的距离为FD=AC=b,即焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b .   结论2 一支双曲线的斥力心与另一支双曲线引力心重合.   证明万有引力和库仑力都是平方反比力,因此都是有心力.对于天体在万有引力作用下的双曲线运动,中心天体在双曲线的焦点上,即引力心位于运动轨迹的凹侧.与此类似,若电荷在库仑引力作用下沿双曲线运动,则靶电荷在双曲线的焦点上,即引力心位于运动轨迹的凹侧.   对于在斥力作用下的双曲线运动,瞄准电荷在靶电荷的库仑斥力作用下的运动,其轨迹为双曲线的一支,则力心位于运动轨迹的凸侧,如图2所示,靶电荷位于点C ,瞄准距离为d ,轨迹的对称轴是通过力心C与最近距离位置D的直线,对称轴与运动轨迹的交点D为双曲线的顶点,初速度所在直线AB为一条渐近线,可画出另一条渐近线,两条渐近线关于双曲线的对称轴对称,交点为O.根据对称性可画出另一支双曲线,其斥力心在点C' ,可见一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的凹侧,是另一支双曲线的引力心,而引力心为焦点,所以,一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点,即斥力心与引力心重合.   还可证明如下:一条双曲线的力心必在对称轴上,而且引力心离曲线的顶点较近,斥力心离曲线的顶点较远,即r2&r1 ,如图3所示,只要双曲线的形状是确定的,那么引力心与斥力心到顶点的距离就唯一确定,而不可能是任何其它值.这样,在引力心或斥力心单独存在时,运动轨迹为同一条特定形状的双曲线,则顶点到两个力心的距离之差r2-r1 为一确定常数.根据对称性,若在图中画出另一条双曲线,由于形状完全相同,那么其中一支双曲线的斥力心必为另一支双曲线的引力心,因此一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点.   2结论应用   例题 当一个正电荷掠过一个固定的正电荷时,其运动轨迹为一条双曲线,如图2所示,在α粒子散射现象中,设有一个原子序数为Z的重核位于双曲线的左侧C点,当一个质量为m 的α 粒子以初速度为υ0 沿一条瞄准距离为d 的直线AB方向射入时,由于受到原子核斥力的作用,运动轨迹为一支双曲线,设速度偏转角即散射角为θ ,质子的电荷量为e ,静电力常量为k ,试推导a 粒子散射公式cotθ2=kmυ202Ze2d   分析 在a 粒子散射现象中,瞄准电荷为a粒子,靶电荷为重核如金原子核, a粒子在库仑斥力作用下运动,其轨迹为双曲线的一支,力心位于运动轨迹的凸侧,由结论2可知,若一个重核为右侧一支双曲线的斥力心,则该重核恰好位于双曲线的左焦点C ,而初速度所在直线为渐近线,由于斥力心到渐近线的距离d为瞄准距离,因此左焦点到渐近线的距离为瞄准距离d ,根由结论1可知瞄准距d 等于双曲线的半虚轴长b.
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