想要学习辛几何理论需要哪些数学基础

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-02-17 11:28 标签：
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多辛几何算法的一些研究
本文研究了多辛积分子的一些理论和应用。多辛Runge-Kutta(RK)/partitionedRunge-Kutta(PRK)方法和多辛Runge-Kutta-Nystr(o)m方法是两类重要的多辛几何算法，在讨论了这两类多辛算法的一些基本性质之后，考察了它们分别在非线性Dirac方程和非线性Schr(o)dinger方程中的应用，得到了一些重要的离散守恒性质，并提出了多辛积分子的能量和动量分析理论，给出了多辛RK(PRK)方法在保持能量和动量上的误差估计，发展了以往文献中关于多辛RK方法能够保持线性多辛Hamilton偏微分方程的能量和动量这一理论结果。数值实验验证了我们的理论分析结果，充分显示了多辛算法在对原系统本质特征的保持以及长时间数值计算上的突出优越性。　　
在详细讨论了常微和偏微分方程在RK离散下一些数值误差之后，基于多辛Hamilton系统本身的微分结构和性质，我们提出了在RK离散下新的能量和动量分析理论，并给出了在RK离散下的能量和动量误差估计，此占计阶与所用离散方法的精度相关。我们还给出了多辛Hamilton偏微分方程在RK离散下的数值解误差理论以及不同的能量和动量分析的比较。　　
最后，我们提出了多辛Fourier拟谱RK方法，即在空间上用Fourier拟谱离散、在时间上用辛RK方法离散所得到的一种多辛积分子。我们详细讨论了Fourier拟谱半离散和Fourier拟谱RK全离散下的多辛性以及一些重要的守恒性质。在给出Fourier拟谱逼近的一些插值误差的基础上，得到了半离散和全离散情形下的数值解误差，特别是，若多辛Hamilton偏微分方程的精确解有足够好的解析性，则数值解在空间上具有谱精度的误差估计阶。
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Symplectic(辛)几何学与航空发动机的结构设计
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年前，在英国导师（力学家、地震学家，横波分裂的发现者；渴望从抽象理论证明自身的科学发现及其价值）建议下，在国内导师陈至达先生指导下，设定了研究的基本方向为：有限变形几何场理论（创立者为陈至达先生；渴望发展为能工程实用化的抽象理论）。它不是数学理论，而是力学、物理学理论，但是，在此同时，它也是数学理论。但是，它又不是纯粹理论，它是工程理论。搞了个含糊的名称：理性力学（在国内外，都是一个无家可归的学科）。两个导师均建议搞理论研究，因为“科研经费”是非常难于保证细水长流的。而理论研究对经费的依赖性极低。我是工程师，也不在专门的科研机构上班。但是，他们有一个共同的论调：你不搞这类理论研究的话，就对不起自己，也是对科学发展不尽义务。在一大堆的责任论述后，我是被逼上了基础科学理论研究的道路。我的两个导师给我的研究设定的基础标准如下：）所研究的抽象现象必须是由客观的唯象而抽取出来的，也就是必须有实验基础或是事实（存在）基础。）物质客观不变性必须作为最为基本的逻辑条件。对这一条解释如下：经典理论的散度算子、梯度算子、旋度算子，只在理想（简单）情况下满足物质客观不变性，在一般运动情况下，不满足物质客观不变性原理。而基于物质客观不变性原理的升级理论有不变算子、线性算子，以及李代数、辛几何等抽象理论，但是，为了数学上的自洽性多少牺牲了部分的客观性，在工程应用上还是非常困难的。所以，两个导师提出的这个原则是针对形式多样的基础科学理论的工程应用化筛选原则。）物质运动的统一表象（抽象）是最为一般的变形运动（这个观点实质上是现代抽象理论的基本观点），必须在这个统一意义上来研究，而不能一会这个理论一会那个理论。而对变形运动的数学构造正是现代物理理论的核心，因此，理解现代基础科学理论的基本观点必须是变形运动观点，而不是其它。纯粹数学的用词是变换、映射等术语。）无论理论本身是如何的抽象，有关的基本量和关键量必须是“可以测量的量”，或是可以由实际测量“可以计算出的量”。这个可工程应用化原则就把很多的理论体系排斥出去了。）其它。那就不说了（机密）。年后的今天，的确的，达成了预定的研究目标。例如，得到了湍流雷诺数的理论解（湍流理论的基本解，论文将压后若干年发表；摘完所有能摘的果实后再发表）。其它还有很多。所以，在年后回顾起来，科学研究的哲学基础是非常重要的。在阅读巨量的科学文献时，如果没有哲学批判（评判）工具，我们将被文献所吞食，出不了圈圈，也就成了失败的英雄。年来被淹，逃出；再被淹，再逃出；不知重复多少次，几乎是家常便饭。如果没有阅读足够的实验报道类文献，就以个人的“实践经验”而言，我们根本上就坚持不了物质客观不变性原则和可工程应用化原则。如果没有阅读足够的科学史文献和早期的原创文献，我们几乎不可能凭自身的“智慧”来理清基础科学理论的基本概念。也就必然的淹没在粗浅（但是优美）的概念海洋中。作为经验总结，科学有其自身的客观标准，而这个标准对于理论发展层次不同的理论（学科）是不一样的（抽象的和工程的），我们只能就各学科现状而不断的调整标准。这类调整的正确与否也决定了能否走在成功的大道上。而几乎所有此类的他人体会，几乎毫无例外的出现在期刊论文或专著的不是十分显眼（十分重要）的地方，但是又故意写出的地方。也就是，很多有科学价值的论点，作者是“隐蔽式”表达的。就达成理论及工程研究目标而言，对于发表论文，必须持有观点：）理论上不成熟的论文写，但不发表在期刊上；）没有客观实验基础论据（客观现象）的论文压根就不要写；）如果有理论创新，论文必定会极难发表（这是科学发展规律所决定的，也是历史事实）；）少写科普式论文，它会导致自身理论研究的停步不前（陷入科学思想上的幻境）；）摘完所有能摘的果实后再发表。如果想实行以上的研究原则和发表论文原则，先得解决吃饭问题。在吃饭问题没有解决好之前，千万不要一时冲动（头脑发热）的搞基础科学理论研究。而一旦解决了能吃上饭的要求（不太好是必然的），就要坚持持续性的研究（排除一切负面的干扰）。此时，时间和努力程度决定成败。这是我导师那一代人对科研的总结，也是我赞成的经验总结。&
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