请教一道简单的概率的简单应用问题，想了半天但没什么思路

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-04 06:54 标签： 2.2简单事件的概率
后使用快捷导航没有帐号？
查看: 379|回复: 6
在线时间 小时
一道概率问题请问大家，给出思路就好
有两种方案检测同一种产品有一种检测产品的方案单独使用的成功率是10%还有另外一种检测方案单独使用的成功率是20%前提是这两种检测方案相关性非常的低一批产品首先经过第一个检测方案后的成功品再进入二道检测方案中检测，最后经过两道检测方案后产品的成功率是多少？大家思路写出来就爱好了，不用计算出来[此贴子已经被作者于 22:07:19编辑过]
在线时间 小时
再次请教大家
在线时间 小时
本来有四个可能。是：1成功，2成功－－0.02；1失败，2失败－－0.72；1成功，2失败－－0.08；1失败，2成功－－0.18加起来是1.因为说到只有第一成功的才能进入第二轮，因此最后成功的可能性是0.02/（0.08＋0.02）＝20%.对吗？[此贴子已经被作者于 23:33:06编辑过]
在线时间 小时
直接10%*20%=2%
在线时间 小时
28%代数算100件东西，第一个成功10%，10件，剩90件，第二个检测成功20%，成功19件，10+18=28
在线时间 小时
楼上的解法貌似不对啊
在线时间 小时
以下是引用yky在 13:59:00的发言：直接10%*20%=2%agree
所属分类: GMAT考试
正在浏览此版块的会员 ()
ChaseDream 论坛
All Rights Reserved.关于一道概率名题
&&& 昨天早上，一个朋友给我发来一个短信，短信内容是一道概率题，内容如下：
&&&&某公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天，其余时间则没有假期。问：公司雇佣多少员工，才能让公司一年内所用员工总工作时间期望值最大？
&&& 我还躺在床上就开始思考这个问题，但发现其实并不简单，起床后我花了两三个小时进行演算得到了一个非常复杂的总工作时间期望值得表达式。但其复杂性使得我并不能得到解析解，自己也觉得应该有更好的解答，于是我在网上搜寻这个问题，果然发现有更简单的表达式，也有更简单的方法。在这篇文章中我根据自己对这个问题的思考，以及网上一些好的解法，对这个问题做一个总结，一来是给自己花时间做这个题做一个交代，二来也是借此机会传达一些数学思想，希望能对其他朋友也有帮助。
1.& 把问题用数学语言描述出来
&&& 我们首先把这个题目用数学语言表达出来。先用恰当的字母来定义以下这些量：
&&& n& :=& 员工总人数
&&&&Bn&:= &n个员工中不同生日的天数
&&& Wn :=& n个员工一年工作的天数（等同于不是任何员工生日的天数）
&&& Tn :=& n个员工一年工作的总时间
&&& 值得注意的是我用大写的 B，W，T&来表示它们是随机变量，下标&n&则表示它们的概率分布和n有关。n&本身不是随机变量。我们假设一年是 365 天，那么工作的天数也就是365天减去生日的天数：Wn&=&365&&&Bn
总工作时间期望值可表示为&&
&&& 我们可以看到，对于不同的 n，Bn 和 Wn 的概率分布也会随之变化，所以 E[Tn]&是自变量 n 的函数，我们要回答的问题是：如何取 n，使得 E[Tn] 最大？
&&&&对于这样的问题，我们知道，如果给定一个函数，我们可以用微积分的方法来求极值，这不是件困难的事。困难的是我们不知道 E[Tn] 是一个什么函数，因为我们不知道 E[Wn] 或 E[Bn] 的表达式。所以我们真正要回答的问题是：如何求出 E[Wn]&或 E[Bn]&关于 n 的表达式？通俗一点就是：任意 n 个人中不同生日的天数期望值（也就是E[Bn]）是多少？
&&& 这里我给出两种方法来求 E[Bn]（但都不是我原创）。第一种方法比较直接，但是比较麻烦，我自己做这个题就是用的类似第一种方法；第二种方法来自于网上其他网友的解答，比较不容易想到（至少对我来说），但是很简单。只是想看简单解法的朋友可以直接看第二种方法。想知道答案的朋友可以直接看问题的最后解答。
2.& 求 E[Bn] 的两种方法
&&& 方法一：通过 n = 1, 2, 3 等简单情况猜测 E[Bn] 的一般表达式
&&& 求期望值一般的思路是先求出随机变量的概率分布，然后再求期望值。方法一就是采用这种传统的思想。关于这个方法的描述我参考了【1】，有兴趣的朋友可以看看原文章，里面也有其他概率趣题的解法。
为了找出规律，我们先尝试写出 n&=&1，2，3 时 Bn 的概率分布。
&&&& n&=&1，2 的时候比较简单，我就简单讨论一下 n&=&3，B3&=&2 的情况。假设有 ABC 三个人，我们要求他们的不同生日为2天的概率。ABC 三个人的生日（排列）一共的可能性是 365^3，不同生日为2天可以分为3种情况：AB同生日，BC同生日，或AC同生日，任一种情况生日排列的可能性是 365*364，所以 P(B3=2)&=&3*364/365^2。
相对应的我们可以求得期望值如下：&
&&& 从三个表达式最后的结果来看，我们观察到正负交错的二项式系数！我们可以猜想 E[Bn] 的一般表达式如下：&
&&& 这个公式还不够简练，我们可以从 k&=&0&开始求和，然后减去这一项，再试着把求和改写成一个二项式的展开。
&&& 最后我们得到了如此精炼的表达式！虽然我们暂时无法验证它的正确性，至少我们可以感觉它是否合理：当n趋向无穷大，表达式告诉我们 E[Bn] 趋向 365。这个结果是合理的，因为当人数很大的时候，我们几乎可以肯定每一天都会有人过生日。这里我想说一下，我自己最初的想法类似于这个方法，但是我是先找到 Bn 概率分布的一般表达式，这已经涉及到求和了，再写出 E[Bn]的表达式，就是两次求和，对于最后的复杂公式，我没能继续做简化。所以通过简单的例子直接猜测 E[Bn] 的表达式这个方法，我觉得还是挺赞的。
&&& 方法二：通过把Bn&改写成一系列随机变量的和来求E[Bn]
&&& 在前面的讨论中，我们先求 Bn 的概率分布，再求 E[Bn]。有没有办法不求概率分布，直接求期望呢？答案是有的。但是我们要换个角度看问题了。对于一般的生日概率问题，我们可能偏向于以人为主，考虑 n 个人的生日落在某一天的可能性。其实我们也可以变主动为被动，我们可以问，对于某一天，它是否是 n 个人中至少一人的生日呢？考虑 365 天的集合，对于某一天&d&，令 Xd&为跟 d 相关的随机变量，如果这一天有人生日，那么 Xd&=&1，否则 Xd&=&0。这样一来，我们就可以把 Bn 改写成&365 个 Xd 的总和：&
&&& 熟悉概率的朋友可以发现 Xd 其实是一个指示函数（Indicator&function）。这个方法在【1】中也有讨论，还有一些网友的解答也用了这种方法。把 Bn 写成 365 个随机变量的和有什么好处呢？好处就是我们可以把 Bn 的期望转化成 365 个 Xd 期望的和：&
&&& 这里我们运用了期望值的线性性质：&E[X+Y]&=&E[X]&+&E[Y]。细心一点我们可以发现，这些Xd之间是统计相关的，而不是独立的。但是没关系，期望值的线性性质对于统计相关的变量也是成立的。接下来我们要问：怎么求 E[Xd] 呢？很简单，从Xd&的定义我们知道
&&& 这个答案是和第一个方法给出的答案一致的。明显这个方法高效快捷很多。所以有时候换个角度看问题可以由意想不到的效果。我自己并没有在第一时间想到这个方法，后来看到这个方法的时候感触很大，我用两三个小时依然不能解决这个问题，就是因为没有选择恰当的方法造成的。但如何选择好方法这件事情还是需要一些知识和经验积累，还有一些灵感和运气吧。
&&& 我们也可以应用方法二直接求 E[Wn]。考虑 365 天的集合，对于某一天&d&，令 Yd&为跟 d 相关的随机变量，如果这一天没人生日，那么 Yd&=&1，否则 Yd&=&0。所以&
类似于方法二，我们可以得到
3.&问题的最后解答
&&& 我们已经求得 E[Wn] 或 E[Bn] 的表达式了，总工作时间期望值的表达式为&
&&& 最后就剩下简单的优化问题了，如何取 n，使得这个总工作时间期望值最大。...
分享这篇日志的人也喜欢
热门日志推荐
人人最热标签
分享这篇日志的人常去
北京千橡网景科技发展有限公司：
文网文[号··京公网安备号·甲测资字
文化部监督电子邮箱：wlwh@··
文明办网文明上网举报电话： 举报邮箱：&&&&&&&&&&&&
请输入手机号，完成注册
请输入验证码
密码必须由6-20个字符组成
下载人人客户端
品评校花校草，体验校园广场

我要回帖

更多关于 2.2简单事件的概率 的文章

 

随机推荐