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高中数学讲义1思维的发掘能力的飞跃知识内容1.基本计数原理⑴加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 1m 种不同的方法,在第二类办法中有 2m 种方法,……,在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法.那么完成这件事共有 1 2 nN m m m
种不同的方法.又称加法原理.⑵乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 1m 种不同的方法,做第二个步骤有 2m 种不同方法, ……, 做第 n 个步骤有 nm 种不同的方法. 那么完成这件事共有1 2 nN m m m
种不同的方法.又称乘法原理.⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.2. 排列与组合⑴排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取( )m m n≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)排列数:从 n 个不同的元素中取出( )m m n≤个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号 Amn 表示.排列数公式: A ( 1)( 2) ( 1)mn n n n n m
, m n N, ,并且 m n≤.全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列.n 的阶乘:正整数由1到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用!n 表示.规定: 0! 1 .⑵组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m ( )m n≤个元素并成一组,叫做从 n 个元素中任取 m 个元素的一个组合.组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m ( )m n≤个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号Cmn 表示.组合数公式:( 1)( 2) ( 1) !C! !( )!mnn n n n m nm m n m
, ,m n N ,并且 m n≤.组合数的两个性质:性质 1:C C性质 2: 1 1C C Cm m mn n n
.(规定 0C 1n
)排列组合问题的常见模型 1高中数学讲义2 思维的发掘能力的飞跃⑶排列组合综合问题解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.6.插板法:n 个相同元素,分成( )m m n≤组,每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排,从 1n
个空中选 1m
个空,各插一个隔板,有 1 1mnC
.7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m !8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 2n
,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题.1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答.2.具体的解题策略有:①对特殊元素进行优先安排;②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理;⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.典例分析排队问题【例 1】三个女生和五个男生排成一排⑴如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?⑵如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?⑶如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?高中数学讲义3思维的发掘能力的飞跃【例 2】 6 个人站成一排:⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法?⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法?⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?⑷其中甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?【例 3】 7 名同学排队照相.⑴若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法?⑵若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?⑶若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?⑷若排成一排照,7 人中有 4 名男生,3 名女生,女生不能相邻,有多少种不同的排法?【例 4】 6 个队员排成一排,⑴共有多少种不同的排法?⑵若甲必须站在排头,有多少种不同的排法?高中数学讲义4 思维的发掘能力的飞跃⑶若甲不能站排头,也不能站排尾,问有多少种不同的排法?【例 5】 ABCDE 五个字母排成一排,若 ABC 的位置关系必须按 A 在前、B 居中、C 在后的原则,共有_______种排法(用数字作答).【例 6】用 1 到 8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,3 与 4 相邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有_ __个(用数字作答).【例 7】记者要为5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )A.1440 种1
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高二数学组合综合测试题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
高二数学组合综合测试题（有答案）
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m 选修2-3& 1.2.2.2 组合2
一、1．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为(　　)A．C26C22& &B．A26A22C．C26C22•C33& &D.A26C22A33[答案]　A2．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有(　　)A．120种& &&B．480种& C．720种& &&D．840种[答案]　B[解析]　先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步计数原理得不同排法共有C36A44＝480(种)．3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有(　　)A．24种& &&B．18种& C．12种& &&D．96种[答案]　B[解析]　先选后排C23A33＝18，故选B.4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有(　　)A．40个& &&B．120个& C．360个& &&D．720个[答案]　A[解析]　先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．5．(;湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)A．10& &&&B．11& C．12& &&&D．15[答案]　B[解析]　与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)6．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(　　)A．C414C412C48& &B．CC.CA33& &&D．CA33[答案]　B[解析]　解法1：由题意知不同的排班种数为：C414C410C46＝14×13×12×114！&#×8×74！&#！＝C.故选B.解法2：也可先选出12人再排班为：CC44，即选B.7．(;湖南理•5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)A．85& &&&B．56& C．49& &&&D．28[答案]　C[解析]　考查有限制条件的组合问题．(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步计数原理知，共有2C27＝42种．(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．8．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有(　　)A．6个& &&B．12个& C．18个& &&D．30个[答案]　B[解析]　C46－3＝12个，故选B.9．(;辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)A．70种& &&B．80种& C．100种& &&D．140种[答案]　A[解析]　考查排列组合有关知识．解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，∴共有C25•C14＋C15&#，∴选A.10．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(　　)A．50种& &&B．49种& C．48种& &&D．47种[答案]　B[解析]　主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．1°　当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．2°　A为二元素集时，A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种．故共有2×3＝6种．A中最大元素是4，有C13种．选B的方案有21－1＝1种，故共有3×1＝3种．故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．3°　A为三元素集时，A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，∴共有3×1＝3种．∴A为三元素时共有3＋3＝6种．4°　A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．∴共有26＋16＋6＋1＝49种．二、题11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．[答案]　10[解析]　每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．12．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．[答案]　60[解析]　对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．∴不同排法有A35＝60种．13．(09•海南宁夏•理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．[答案]　140[解析]　本题主要考查排列组合知识．由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有C37&#0种．14．2010年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．[答案]　150[解析]　先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有(C35＋C25C232)&#0种方案．三、解答题15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.[解析]　因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.16．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？[解析]　解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15•C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25•C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15•C24个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15•C14＋C25•C14＋C15&#×4＋10×4＋5×6＝90(个)．解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(个)．解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26•C14个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15•C24个三角形，所以共有C26•C14＋C15&#×4＋5×6＝90(个)．17．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全程赛程共需比赛多少场？[解析]　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析]　由题目可获取以下主要信息：①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．[解析]　(1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，∴共有不同的分法有C49C22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，∴共有C49C22&#60(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C39C33＝1680(种)． 文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y k J.Co m
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高中数学必修（排列与组合）
高中各科目的学习对同学们提高综合成绩非常重要，大家一定要认真掌握，精品小编为大家整理了高中数学必修（排列与组合），希望同学们学业有成!
1.计数原理知识点
①乘法原理：N=n1&n2&n3&&nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+&+nM (分类)
2. 排列(有序)与组合(无序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)&&(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!
Cnm = n!/(n-m)!m!
Cnm= Cnn-m　　Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k&k!=(k+1)!-k!
3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)
插空法(解决相间问题)　　间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
(3)分析题目条件，避免&选取&时重复和遗漏;
(4)列出式子计算和作答.
经常运用的数学思想是：
①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.
4.二项式定理知识点：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+&+ Cnran-rbr+&&+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+&+Cnrxr+&+Cnnxn
②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m
最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+&+Cnr+&+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+&=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+&=2n -1
③通项为第r+1项：　Tr+1= Cnran-rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
小编为大家整理的高中数学必修（排列与组合）就到这里了，希望同学们认真阅读，祝大家学业有成。
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