儿童怎样学习数学 r.w.科普兰

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-06 11:53 标签：
数概念与基本数量关系（转）
数概念与基本数量关系
&&从儿童到学生，数学化的进程
南通师范二附小&&关 勇
提要：数概念与基本数量关系是小学数学的重要内容，是进一步学习数学的基础。学生数概念的形成，是小学阶段数学化的重要标志。数概念与基本数量关系密不可分，必须借助丰富的感性材料，把日常生活中具体的，多寡不一的物体反复展现在儿童面前，以促进学生数概念地形成。掌握常见的数量关系，是学生解决实际问题的基础。
关键词：数学化；数概念；数量关系
1、问题的缘起
学龄前儿童，凭借不多的生活经验，已经能够运用数学，解决贴近他们生活的实际问题，但是，当儿童成为学生之后，通过系统的数学学习，重新回到现实生活中，原本能够解决的问题，反而显得困难重重。究其原因，是学生数学化的进程不通畅，或者说是数学化的进程受阻。
荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为，数学化就是“把生活世界引向符号世界” ，进而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。作为小学阶段的数学化，就是从生活世界中的量，抽象为数概念，再运用数量关系，解决实际问题。这一进程是学生学习数学最为关键的一步。
2、量的基本性质
在日常生活中，我们接触到各种事物，并注意到它的长短、大小、多少、轻重、快慢等，这些特征就是量。学生认识和掌握数概念就是认识和掌握数与量之间的关系，所以，我们在教儿童认识数之前，一定要让儿童认识和熟悉量，重点掌握量的可比性、守恒性和可分性。
量的可比性是指同类量之间可以进行比较，通过比较，我们能作出某量较多，某量较少或某些量同样多的判断。量的可比性是量的最基本的性质。儿童是怎样认识这一基本性质的呢？大家知道，一岁左右的孩子在挑选食品时，排除外观包装形态等方面的因素，会不假思索地选择多的、大的。这就是所谓的量感在起作用，量感是人们对量的差别的感觉，是人们认识量的可比性的先决条件。我们毫不夸张：量感是人们建立数概念乃至整个数学大厦的基石，没有量感就没有数学。
儿童的量感在生活情境中得到强化，并逐步建立“长”、“短”、“多”、“少”、“同样多”等概念。我们可以把长短不一的两根小棒呈现在儿童面前，让儿童取出长的一根，操作正确给予表扬，并指出剩下的一根是短的。进一步可以把更多的小棒呈现在儿童面前，要求儿童取出最长的和最短的一根，并在剩下的木棒中继续取出最长的和最短的。适当的时候可以要求儿童找出同样长的两根小棒。这样通过反复操作，就能逐步形成长、短、同样长的概念并知道长、短的相对意义。&&&&&&&&&&&&&&&&&
“一一对应”活动是建立“多”、“少”、“同样多”概念活动最为有效的方法。如乘坐汽车时，可以向儿童提问：是人比座位多，还是座位比人多，当有座位空时，座位多，人少；当有人站着无座位空时，人多，座位少；当每个人都有座而且无座位空时，人与座位同样多。这是生活情境，我们也可以提供操作情境，如让儿童把茶杯盖上杯盖，然后比较茶杯与杯盖的多少。最后还可以让儿童在两组物体间连线进行比较。
当儿童有了初步的“多”、“少”、“同样多”的概念后，可以让儿童把一些物体按大小次序排列起来，或者把长短不一的小棒按长短次序排列起来，以加深对量的可比性的理解。
建立了“多”、“少”、“同样多”的概念后，认识量的守恒性才有可能。所谓量的守恒性，即量的多少不因空间或时间的改变而改变，也不因形态、颜色的改变而改变。首先要对数量较少的物体进行观察比较。如把一双筷子分开放，有没有变多，横着放是否比竖着放长一些。然后逐步增加物体的数量并改变物体的形态让儿童判断。如一把筷子捆在一起，然后散开，比较前后两次是否同样多。也可以将这把筷子明天取出来，看是否与今天同样多。这种训练要经常变换形式做，并结合下面将要谈的量的可分性进行。
量的可分性，是指一个量作为整体可以分为若干个部分，其中每部分都小于整体，各部分合起来还是这个整体。我们可以将一副棋子分成很少的几堆，也可以分成较多的几堆。但不管怎样分，任何一堆总比一副棋子少。如果我们把分开的棋子合起来，还是一副棋子，又重新回到了量的守恒性。
儿童认识并熟悉量的可分性、守恒性和可分性，应当在学龄前完成，为儿童入学后建立数概念作必要的准备。这个准备如果不充分，儿童对数的认识只能是表面的、形式的和计算的，无法在头脑中真正形成数概念，势必会影响到数量关系地建立。
3、数概念的形成
数概念是儿童入学后必须掌握的第一个数学概念。概念的形成是一个抽象概括的过程。例如“3”这个数就是从3个苹果、3张桌子、3个玩具等凡是代表3个物体的许许多多具体实物中抽象出来的概念，它是精确的、抽象的量。要学生掌握理解并不是一件容易的事。纵观人类数概念的形成历史，早期的数概念是极端具体的。如英国有一个民族的语言，有好几种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体，一种用于时间和圆形的物体；一种是用于来数人的；一种是用于树木和长形物体的等。不知过了多少年，人们才发现了对飞鸟和两天同是数“2”的例子。可见，具体的东西总是在抽象的东西之先。我们至今也保持着这种具体的数。如“5”用“一只手”表示。学生数概念的形成过程只不过是人类数概念建立过程的一个缩影，这是不可违背的规律。
学生对数的认识是建立在数表象基础上的。根据学生思维的特点，我们应找到一个物化了的数表象，如5个苹果、5颗棋子、一只手5个指头，这三个集合的势（或称作基数）都是5。这种集合为“一般等价集合”，它的势，就反映了量的基本属性，而去除了那些与量的基本属性无关的物理的、化学的、生命的形式。可以选择一般等价集中一个集合作为代表，来指明这一类集合的元素个数。如以上所说的集合中，许多民族都用“一只手”来表示5&。学生的板指计数，就是找到了一个物化了的数表象。把要数的物体与手指“一一对应”。如果物体正好能与五指对应，这些物体的个数就用5来表示。若手指不够与物体对应，则说物体的个数比5多，若有手指空出而没有物体与之对应，则说物体的个数比5少。当然，对比5大的或比5小的数，我们也能找到一个物化的数表象。
在学生数概念形成过程中，与量感对应的数觉起到非常重要的作用。所谓数觉，就是不经过计数，立即知道物体的数目。有资料表明，人的数觉很少能超过四的。
通过计数的训练，对自然数一、二、三、四、五、六、七，……的表象，即符号1、2、3、4、5、6、7，……就不会感到是一个空洞无物的，而是一个有丰富内容的音、形、义集于一体的数词。至于更大的数可以通过数的加法来实现。
在形成数表象的同时，量的基本性质映射到数概念中来。量的可比性，从5只苹果比3只苹果多，变换为5比3大，实现了数的可比性，造成了数的群体结构，即数有大小顺序。自然数列中，相邻两个数相差1，每一个自然数后面都有一个而且只有一个后继数，使加法成为可能。数的守恒性不只局限于通过计数来验证，而要知道为什么改变量的分布状态总数不变。数的可分性，造成了数的个体结构，即可以分解组合。比如8可以分成3和5，3和5都比8小，3和5合起来是8。
4、数量关系
量的可分性决定了总量与部分量的包含关系（可以多于两部分）：
用数来表示，即
部分数＋部分数＝总数
总数－部分数＝部分数
量的可比性决定了同类量之间的比较关系：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
用数来表示，即
较大数－较小数＝相差数
较大数－相差数＝较小数
较小数＋相差数＝较大数
以上数量关系是从量的基本性质中来的，可以解答以下五类问题：
1、已知部分量，求总量
2、已知总量及一部分量，求另一部分量
3、已知两量，求相差量（多几或少几）
4、求比已知量多的量
5、求比已知量少的量
至于乘除关系可以由加减关系发展而来。通过解决实际问题，我们又重新回到现实的量中去。数学的发展开始于生活实际，又回到实际应用中。
5、几项措施
&&&&&我们在实际教学中采取以下一些做法：
（1）认数、计算、应用三结合
采取认数、计算、应用三结合的办法，使三者相互促进，从认数起就孕伏着实际应用，在认数和计算中渗透应用，让学生认识到解决实际问题，只不过是把数的知识运用到实际生活中去。例如教4的认识时，出示多媒体动画：停车场上原来有3辆汽车，又开来1辆汽车，然后提出问题：停车场上现在有几辆汽车？如果开走1辆车，还剩几辆车？坚持每堂课让学生作这样的训练。学生有了感性的认识，逐步体会到把两个数合并成一个数用加法计算，从总数中取走一部分求剩下的数用减法计算等规律。
2、实物图向线段图过渡
用学生熟悉的实物图来表述问题，如有5只红苹果和3只青苹果，问共有多少只苹果？我们可以出示实物图：
通过一段时间的训练后，可以告诉学生，为了方便起见，有时我们画一些不同的圆圈来代替实物，如上图可画成
3只青苹果&
&&&&用一般的符号来代替实物，对大部分学生来说并不会感到太大的困难，当学生相当熟悉这一方法后，就可以用线段图来表示数量关系了。如上图可画成
共有多少只苹果？
5只红苹果&
对数的认识我们不能脱离对量的认识，只有真正掌握了数概念与基本数量关系，才有了进一步学好数学的基础。
参考文献：
1、（美）T丹齐克（Tobias Dantzig）著 《数，科学的语言》，苏仲湘译，商务印书馆，1985
2、(美)科普兰(Copeland,R.W.)&著 《儿童怎样学习数学》,&李其维,&康清镳译， 上海教育出版社, 1985&
3、(荷)弗赖登塔尔著《作为教育任务的数学》，上海教育出版社，&1995
发表于《小学数学教学》
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