AB=AC，若点P为BC延长线上一点，猜一猜：P到

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-08 19:54 标签：
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如图，在△ABC中，AB=AC （1）P为BC上的中点，求证：AB2-AP2=PBoPC；（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
小夕阳丶Al
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证明：（1）如右图所示，连接AP，∵AB=AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP=CP，在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2，∴AB2-AP2=BP2，又∵BP=CP，∴BPoCP=BP2，∴AB2-AP2=BPoCP；（2）成立．如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，同理，AP2=AD2+DP2，∴AB2-AP2=AD2+BD2-（AD2+DP2）=BD2-DP2，又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，∴BPoCP=（BD+DP）（BD-DP）=BD2-DP2，∴AB2-AP2=BPoCP；（3）AP2-AB2=BPoCP．如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，∴BPoCP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-AB2=BPoCP．
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（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BPoCP=BP2，那么此题得证；（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，同理有AP2=AD2+DP2，易求AB2-AP2的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BPoCP，从而可证AB2-AP2=BPoCP；（3）AP2-AB2=BPoCP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，易求BPoCP的值，从而可证AP2-AB2=BPoCP．
本题考点：
勾股定理；等腰三角形的性质．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用BD、DP的和差来表示BP和CP．
AB-PC<AP<AB+PCAP-AB<PB<AP+AB
为什么？？？
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在△ABC中,AB=AC,若点P为BC延长线上一点,猜一猜,P到两腰的距离只差等于什么?请给出证明
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PD-PE等于ΔABC腰上的高.理由：过C作CF⊥AB于F,连PA,则SΔABC=1/2AB*CF,SΔABC=SΔABP-SΔACP=1/2AB*PD-1/2AC*PE,∴1/2AB*CF=1/2AB*PD-1/2AC*PE,即(1/2)AB*CF=(1/2)*AB*(PD-PE)∵AB=AC,∴CF=PD-PE提示：运用面积法求解
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＞＞＞如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥A..
如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：连接AD（如图），∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AEPF是矩形，∴AE=FP，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=DC，∠1=∠2=45°=∠3，∴∠EAD=∠FCD=135°，∠CPF=45°=∠3，∴CF=PF=AE，∴△ADE≌△CDF（SAS）∴DE=DF．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥A..”主要考查你对&&三角形的内角和定理，矩形，矩形的性质，矩形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
三角形的内角和定理矩形，矩形的性质，矩形的判定
三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。 黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
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与“如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥A..”考查相似的试题有：
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