勾股定理及勾股定理的运用
&&& ABCabc
1. ABCC90ABCabca2b2c2
82172 a2225a15
3. ABC6cmABCABCDSABC
ADBDAB3 cm
2SABCABCD63 cm2
ABCC90AC4000AB500020CBABCAB5000AC4000BC
7. 10mB20mAA
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
D&&&&&&&&&&&&&
B30B&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2ABCabcb2 a2c2&&&&&&& 90
b2c2a2B&&&&&&&&
b2c2a2B&&&&&&&&
33cm4cm&&&&&&&&&&&&&&
424cm5cm&&&
6A4kmA3km&&&
&&& A. 7km&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
5km&&&&&&&&&&&&&&&&& C.
6km&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
710___________
1ABCDAB8BC1DAB30ABC60ABCD5AD
ABABECDEEA
4ABCDADBCADDCABACB60CD1cmBC
1AB90CDABACABAC2BC2AB2勾三股四弦五 【范文十篇】
勾三股四弦五
范文一：第七讲.勾三股四弦五I
【教学目标】
1.复习直角三角形及勾股定理； 2.掌握勾股定理的直接应用； 3.掌握构造勾股定理法； 4.掌握勾股定理的综合应用。
【知识、方法梳理】
1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2?b2?c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a?b?c，那么这个三
角形是直角三角形.
2. 勾股数：满足a?b?c的三个正整数叫做勾股数（注意：若a,b,c为勾股数，那么
ka,kb,kc同样也是勾股数组.）
*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a,b,c满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角
形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c?a?b，则?ABC是以?C为直角的三角形； 若a?b?c，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）； 若a?b?c，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等
5. 勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边.
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.
（3）用于证明线段平方关系的问题. （4
【典例精讲】
类型一：勾股定理的直接用法
例1．在Rt?ABC中，?C?90
(1)已知a?6， c?10，求b， (2)已知a?40，b?9，求c； (3)已知c?25，b?15，求a.
【思路点拨】: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用. 【解析】：
(1) 在?ABC中，?C?90，a?6， c?
(2) 在?ABC中，?C?90，a?40，b?
(3) 在?ABC中，?C?90，c?25，b?
类型二：勾股定理的构造应用
例2．如图，已知：在?ABC中，?B?60，AC?70，AB?30。求：BC的长。
【思路点拨】：由条件?B?60，想到构造含30角的直角三角形，为此作AD?BC于
D，则有?BAD?30?，BD?
AB?15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出2
【解析】：作AD?BC于D，则因?B?60，
∴?BAD?90?60?30（Rt?的两个锐角互余）
AB?15（在Rt?中，如果一个锐角等于30?， 2
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在Rt?ABD中，
根据勾股定理，在Rt?ACD中，
∴BC?BD?DC?65?15?80 .
类型三：勾股定理的实际应用：
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
例3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30?方向走了500m到达目的地C点.
（1）求A、C两点之间的距离.
（2）确定目的地C在营地A的什么方向. 【解析】：（1）过B点作BE//AD
∴?DAB??ABE?60
∵30??CBA??ABE?180
即?ABC为直角三角形
由已知可得：BC?500m，AB?
由勾股定理可得：AC?BC?AB
所以AC?222
（2）在Rt?ABC中，
∵BC?500m，AC?1000m
C在点A的北偏东30的方向
（二）用勾股定理求最短问题：
例4．国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
【思路点拨】：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
【解析】：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB?BC?CD?3,AB?BC?CD?3
图（3）中，在Rt?ABC中
）中的路线长为?2.828
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH?BC，BH?CH
由?FBH?30,BH?
及勾股定理得：
EA?ED?FB?FC?
∴EF?1?2FH? FH?
∴此图中总线路的长为4EA?EF?1?2.732
?3?2.828?2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。
类型四：利用勾股定理作长为
【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为1
【作法】：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角?ABC，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角?B1BA.斜边为B1A；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形AB2B3，这样斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是
类型五：逆命题与勾股定理逆定理：
例6．写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．（正确）
2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
【思路点拨】：掌握原命题与逆命题的关系.
【解析】：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）
2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．o（正确）
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
【总结升华】：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
例7．如果?ABC的三边分别为a、b、c，且满足a?b?c?50?6a?8b?10c，判断?ABC的形状.
【思路点拨】：要判断?ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件
a2?b2?c2?50?6a?8b?10c，故只有从该条件入手，解决问题.
【解析】：由a?b?c?50?6a?8b?10c，得 ：
a?6a?9?b?8b?16?c?10c?25?0,
∴ ?a?3???b?4???c?5??0.
∵ ?a?3??0, ?b?4??0, ?c?5??0.
∴ a?3,b?4,c?5.
由勾股定理的逆定理，得?ABC是直角三角形.
【总结升华】：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
【双基训练】
1.如图，?B??ACD?90, AD?13,CD?12,BC?3,则AB的长是多少?
2.如图，已知：?C?90，AM?CM，MP?AB于P.
求证：BP?AP?BC。
3.已知：如图，?B??D?90，?A?60，AB?4,CD?2.求：四边形ABCD的面积.
4.四边形ABCD中，?B?90，AB?3，BC?4，CD?12，AD?13，求四边形
ABCD的面积。
5.已知:?ABC的三边分别为m?n,2mn,m?n(m,n为正整数,且m?n),判断?ABC是否为直角三角形.
6.如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF?否垂直？请说明。
AB。请问FE
【纵向应用】
7.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【横向拓展】
9.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
练习题目答案
【双基训练】
1.【答案】∵?ACD?90
AD?13,CD?12,
?AC2?AD2?CD2
又∵?ACB?90且BC?3
∴由勾股定理可得
∴AB的长是4.
2.【解析】：连结BM，根据勾股定理，在Rt?BMP中，
BP?BM?PM .
而在Rt?AMP中，则根据勾股定理有
MP?AM?AM .
∴BP?BM??AM?AP??BM?AM?AP
又∵ AM?CM（已知），
∴BP?BM?CM?AP.
在Rt?BCM中，根据勾股定理有
BM?CM?BC，
∴BP?BC?AP.
3.【分析】：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.
【解析】：延长AD、BC交于E.
∵?A?60，?B?90，∴?E?30.
∴AE?2AB?8,CE?2CD?4,
?BE2?AE2?AB2?82?42?48,BE?
?DE2?CE2?CD2?42?22?12,?DE??
?S四边形ABCD?S?ABE?S?CDE?
4. 【答案】：连结AC
∵?B?90，AB?3，BC?
AB?BE?CD?DE? 22
∴AC?AB?BC?25（勾股定理）
∵AC2?CD2?169,AD2?169
∴AC?CD?AD
∴?ACD?90（勾股定理逆定理）
S四边形ABCD?S?ABC?S?ACD?
AB?BC?AC?CD?36 22
5.【分析】:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a?b?c即可
【证明】：m?n
?m4?2m2n2?n4?4m2n2
?m4?2m2n2?n4??m?n
所以?ABC是直角三角形。
6.【答案】答：DE?EF.
证明：设BF?a，则BE?EC?2a, AF?3a，AB?4a,
∴EF?BF?BE?a?4a?5a ；
DE?CE?CD?4a?16a?20a .
DF（如图）
DF2?AF2?AD2?9a2?16a2?25a2.
DF2?EF2?DE2, DE?EF.
7.【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD?AB， 与地面交于H．
【解析】：OC＝1米 (大门宽度一半)，
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt?OCD中，由勾股定理得：
CD?0.6米，
CH?0.6?2.3?2.9（米）?2.5（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门。
8.【解析】：
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1.
【作法】：如图所示在数轴上找到A点，使OA?3，作AC?OA且截取AC?1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B
9.【解析】：
如图，在Rt?ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm， 根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
???10.77?cm?（勾股定理）．
答：最短路程约为10.77cm．
11 www.1smart.org
中国领先的中小学教育品牌
范文二：材料来源网上，请于24内删除 “勾股定理的应用”教学设计
四川省乐山市市中区悦来中学
师：勾股定理的内容是什么？
生：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？ 生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。
师：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC+BC＝AB，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
今天我们来看看这个定理的应用。
分析： 222
师：上面的探究，先请大家思考如何做？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。
（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）
师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。
师：应该比较什么？
李冬：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了。
师：李冬说的是正确的。请大家算出来，可以使用计算器。
解：在RtΔABC中，由题意有：
∵AC大于木板的宽 ＝≈2.236
∴薄木板能从门框通过。
学生进行练习：
1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∠B=90゜.
①已知a=5，b=12，求c；
②已知a=20，c=29，求b
（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 师：对第二问有什么想法？
生：分情况进行讨论。
师：具体说说分几种情况讨论？
生：①3cm和4cm分别是直角边；②4cm是斜边，3cm是直角边。 222
师：呵呵，你们漏了一种情况，还有3cm是斜边，4cm是直角边的这种情况。
众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应该大于直角边的。这种情况是不可能的。
师：你们是对的，请把这题计算出来。
（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）
（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）
解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；
斜边＝＝10
∴周长为：6+8+10＝24cm
②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，
另一直角边＝ ＝2
周长为：6+8+2＝14+2
师：如图，看上面的探究2。
师：请大家思考，该如何去做？
陈晓玲：运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又∵A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长度即可，最后算出BD的长度就能知道了。
师：这个思路是非常正确的。请大家写出过程。
有生言：是0.4米。
师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。
（周飞洋在黑板上来做）
解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
又∵下滑了0.4米
∴OC＝2.0米
在RtΔODC中 ＝2.4（米）
∴外移BD＝0.8米 =1.5（米）
答：梯足将外移0.8米。
师：这与有的同学猜测的答案一样吗？
生：不一样。
师：做题应该是老老实实，不应该想当然的。
例3 再来看一道古代名题：
这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：
原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？” 师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请解释是什么意思？
黄尚剑：葭（jiā），是芦苇的意思。
师：这是正确的。
师：谁来翻译？
吴智勇：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上,,,,
师：听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。
宋婷等：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。
师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。
（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）
师：正方形的池子，如何理解？
生：指长、宽、高都相等。
师：呵呵！照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？
生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊！
师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？
生：仅指池口是正方形。
师：是这样的。（用粉笔盒口演示给学生看）
有生：一丈10尺是指什么？
师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？
生：指AD的长度。
师：能指BC的长度吗？
生：不能，刚说的其下方是不能确定的。
我们整理翻译一下：
“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？
师：请大家思考如何进行计算？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。
师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。
（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）
解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。
设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x+5＝（x+1）
解之得：x＝12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
生：这题的关键是理解题意。
师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。
例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
师：请思考如何做？至少怎么理解？
生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线。
师：是啊，要连哪些线？
生：连结两树顶得AB，过B作高树的垂线就可以了。
师：请解出来。
解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。
在RtΔABC中
答：小鸟至少要飞13米。
师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。 作业：完成书（人教版）P77页1，P78页2、3
范文三：勾股与弦图
六年级暑假第六讲
如图的等腰梯形上底长度等于3， 如图的等腰梯形上底长度等于 ， 下底长度等于 9，高等于 ．这个等腰梯形的周长等于 ，高等于4．这个等腰梯形的周长等于______。 。
如图，求以第9个直角三角形斜边为边长的正方形 如图，求以第 个直角三角形斜边为边长的正方形 的面积。 的面积。
………………
（2013，华杯赛） ，华杯赛）
下图中排列的前5个三角形都是直角三角形。 下图中排列的前 个三角形都是直角三角形。若按 个三角形都是直角三角形 此规律排列100个三角形 ， 则构成这 个三角形， 此规律排列 个三角形 则构成这100个三角形 个三角形 的所有线段中有______条线段长度为整数。 条线段长度为整数。 的所有线段中有 条线段长度为整数 1 1 1 ③ ② 1 ① ④ ⑤ 1
（2010，迎春杯） ，迎春杯）
如图所示， 直线上并排放置着两个紧挨着的圆， 如图所示 ， 直线上并排放置着两个紧挨着的圆 ， 它们的面积都等于1680平方厘米 ． 阴影部分是夹 平方厘米． 它们的面积都等于 平方厘米 在两圆及直线之间的部分． 在两圆及直线之间的部分 ． 如果要在阴影部分内 部放入一个尽可能大的圆， 部放入一个尽可能大的圆 ， 则这个圆的面积等于 _________平方厘米． 平方厘米． 平方厘米
（2010，华杯赛总决赛） ，华杯赛总决赛）
自三角形ABC内一点 ，分别向 ，CA，AB边引 内一点P，分别向BC， ， 边引 自三角形 内一点 垂线，垂足依次为D， ， 。 垂线 ，垂足依次为 ， E，F。以BD，CD，CE， ， ， ， AE， AF， BF为边长分别向形外作正方形 。 如图 为边长分别向形外作正方形。 ， ， 为边长分别向形外作正方形 所示这六个正方形的面积分别记为S 所示这六个正方形的面积分别记为 1 ， S2 ， S3 ， S4 ， S5 ， S6 。 若 S3-S4=3 ， S5-S6=2 ， 那 么 S2S1=______。 。
S5 F S6 B S1 P D S2 A S4 E S3 C
直角三角形ABC的两直角边 的两直角边AC=8cm，BC=6cm， 直角三角形 的两直角边 ， ， 以 AC 、 BC 为 边 向 形 外 分 别 作 正 方 形 ACDE 与 BCFG， 再以 为边向上作正方形 为边向上作正方形ABMN， 其中 ， 再以AB为边向上作正方形 ， N点落在 上，BM交CF于点 。问：图中阴影部 点落在DE上 于点T。 点落在 交 于点 与梯形BTFG)的总面积等于多 分(△ANE、△NPD与梯形 △ 、 与梯形 的总面积等于多 D 少？
N E P M T C G A B F
什么是弦图？ 什么是弦图？
如图， 如图 ， 大正方形是由一个小正方形和四个相同的 直角三角形构成， 直角三角形构成 ， 直角三角形
的两条直角边分别 是3和4，那么大正方形的面积是多少？ 和 ，那么大正方形的面积是多少？
如图是一个由直尺和圆规画出的图形， 如图是一个由直尺和圆规画出的图形 ， 其中有两 个正方形和一个圆形。那么圆形的面积是_____。 个正方形和一个圆形。那么圆形的面积是 。
现有一条长5厘米， 厘米的长方形纸片， 现有一条长 厘米，宽 1厘米的长方形纸片， 如下 厘米 厘米的长方形纸片 请你把它分成5块 再拼成正方形。 图，请你把它分成 块，再拼成正方形。
如图，一个的大长方形左上角缺少一个2× 的小 如图 ， 一个的大长方形左上角缺少一个 × 3的小 长方形。请把这个图形分成三部分， 长方形 。 请把这个图形分成三部分 ， 再拼成一个 正方形。 正方形。
如 图 ， 在 多 边 形 ABCDEF 中 ， AB=8 ， BC=12 ， ED+DF=16， AE=CF， 求多边形 的面积。 ， ， 求多边形ABCDEF的面积。 的面积
如 图 ， 在 多 边 形 ABCDEF 中 ， AB=3 ， BC=9 ， ED+EF=6， AF=CD， 求多边形 的面积。 ， ， 求多边形ABCDEF的面积 。 的面积
如下图，连接顶点和正方形边上的三等分点， 如下图 ， 连接顶点和正方形边上的三等分点 ， 得 到一个小正方形， 到一个小正方形 ， 那么这个小正方形的面积占整 个大正方形面积的多少 多少？ 个大正方形面积的多少？
弦图求面积
创新杯） （2012创新杯） 创新杯
如图， 是正方形， 是等腰梯形， 如图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的 是正方形 是等腰梯形 上 底 AD=23 厘 米 ， 下 底 BC=35 厘 米 ． 求 三 角 形 ADE的面积． 的面积． 的面积
E A D F B C
弦图求面积
如 图 所 示 ， △ ABC 中 ， ∠ ABC=90° ， AB=3 ， ° BC=5，以AC为一边向△ABC外作正方形 为一边向△ 外作正方形ACDE， ， 为一边向 外作正方形 ， 中心为O， 的面积． 中心为 ，求△OBC的面积． 的面积
O A 3 B 5 C
弦图求面积
如图，长方形中被嵌入了8个相同的正方形 个相同的正方形。 如图，长方形中被嵌入了 个相同的正方形。已知 厘米， 厘米， 长 20厘米， 宽 16厘米， 那么每一个正方形的面积 厘米 厘米 为多少平方厘米？ 为多少平方厘米？
弦图求面积
年五年级迎春杯初赛） （09年五年级迎春杯初赛） 年五年级迎春杯初赛
如右图，长方形ABCD中被嵌入了 个相同的正方 中被嵌入了6个相同的正方 如右图，长方形 中被嵌入了 已知AB=22厘米 ， BC=20厘米 ， 那么每一个 厘米， 厘米， 形 。 已知 厘米 厘米 正方形的面积为多少平方厘米？ 正方形的面积为多少平方厘米？
弦图求面积
年第15届日本算术奥林匹克决赛试题 （2006年第 届日本算术奥林匹克决赛试题） 年第 届日本算术奥林匹克决赛试题）
如图， 是正方形ABCD的 CD边上的一点 ， 以 边上的一点， 如图 ， 点 E是正方形 是正方形 的 边上的一点 BE为一条直角边作等腰直角三角形 为一条直角边作等腰直角三角形BEF，斜边 为一条直角边作等腰直角三角形 ，斜边BF 厘米， 厘米。 交AD于G，已知 于 ，已知AG=5厘米，GD=15厘米。求三角 厘米 厘米 的面积。 形BEF的面积。 的面积
弦图求面积
如 图 ， 长 方 形 ABCD 的 周 长 是 20 ， 八 边 形 EFGHIJKL的面积是 的面积是578，八块阴影区域都是正方 的面积是 ， 那么长方形ABCD的面积是多少？ 的面积是多少？ 形。那么长方形 的面积是多少
L K J A a b B F G H C I D
毕达哥拉斯树拓展
如左下图所示， 直角三角形PQR的直角边为 厘 的直角边为5厘 如左下图所示 ， 直角三角形 的直角边为 厘米． 个正方形面积之和比4个三角 米，9厘米．问图中 个正方形面积之和比 个三角 厘米 问图中3个正方形面积之和比 形面积之和大多少？ 形面积之和大多少？
B C P 9 D Q E 5 A R F
毕达哥拉斯树拓展
(第十四届日本算数奥林匹克 第十四届日本算数奥林匹克) 第十四届日本算数奥林匹克
下图中的三个四边形ABHG， CDIH和 EFGI都是 ， 下图中的三个四边形 和 都是 正方形，当其面积分别是10平方厘米 平方厘米、 平方厘 正方形 ， 当其面积分别是 平方厘米 、 13平方厘 平方厘米时， 的面积。 米、29平方厘米时，求三角形 平方厘米时 求三角形GHI的面积。 的面积
B H C D I E
毕达哥拉斯树拓展
如图， 以三角形的三边分别向外作正方形， 如图 ， 以三角形的三边分别向外作正方形 ， 其面 积分别为13， ， ，求中心三角形的面积。 积分别为 ，17，20，求中心三角形的面积。
如图， 如果长方形ABCD的面积是 平方厘米 ， 的面积是56平方厘米 如图 ， 如果长方形 的面积是 平方厘米， 那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？ 的面积是多少平方厘米？ 那么四边形 的面积是多少平方厘米
（第一届华杯赛决赛第一试） 第一届华杯赛决赛第一试）
从一块正方形木板锯下宽为1/2米的一个木条之 从一块正方形木板锯下宽为 米的一个木条之 剩下的面积是65/18平方米。问锯下的木条面 平方米。 后，剩下的面积是 平方米 积是多少平方米？ 积是多少平方米？
从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 米的一个长 方形玻璃条后，剩
下的长方形的面积为5平方米 平方米， 方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 平方米， 请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？ 请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
范文四：勾股定理:
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。
勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：
直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，
设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么
a的平方+b的平方=c的平方 a^2＋b^2＝c^2
勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。
在直角三角形里，垂直的两条边叫做勾和股，斜边叫做弦，他们有如下关系：勾的平方加上股的平方等于弦的平方！常见的就是勾3股4弦5.
勾股逆定理:
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
古埃及人用这样的方法画直角
如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：AB=根号（AC²+BC²），如：一条直角边是a，另一条直角边是b，
如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边:
如果A×A+B×B=C×C，则△ABC是直角三角形。
如果A×A+B×B>C×C，则△ABC是锐角三角形。
如果A×A+B×B＜C×C,则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明：
令角C不是直角，
则a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，
那么C边所对的角是直角。
3、三角函数Cos90
如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的边之间均满足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，
比较两式得 ，
勾股定理逆定理的证明：
令角C不是直角，
则a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2，
那么C边所对的角是直角。
3、三角函数Cos90
如图:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的边之间均满足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，
比较两式得 ，
【例】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.
分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.
解：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.
* 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；
（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
* 认真解答，一定要细心哟！
6. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.
7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.24m2 7.符合 8.由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2，∴△AEF是直角三角形
勾股定理逆定理习题
【驻足“双基”】
1．请完成以下未完成的勾股数：
（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．
2．△ABC中，a+b=25，a-b=7，又c=5，则最大边上的高是_______．
3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（
B．7，24，25
C．4，7.5，8.5
D．3.5，4.5，5.5
4．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（
C．9 5．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，
AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
6．已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，
AB⊥AD，求证：BC⊥BD．
【提升“学力”】
7．在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
8．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
【聚焦“中考”】
9．（2004年山东省中考题）如下图中的（1）o是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c；下图中（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
（2）用这个图形推出a+b=c（勾股定理）．
（3）假设图中的（1）中的直角三角有若干个，你能运用图中的（1）所给的直角三角
222形拼出另一种能推出a+b=c的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）
6．提示：∵AB⊥AC，AB=4，DA=3，∴BD=5，
222又BC=12，CD=13，∴CD=BC+BD，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD
7．36，提示：连结AC得两个直角三角形
9.（2）S梯形= 112（a+b）（a+b）=（a+b）， 22
11212S梯形=ab×+c=ab+c
1122222∴（a+b）=ab+c，得a+b=c． 22
勾股定理的应用专题测试题
一、 选择题（每小题5分，共25分）
1． 直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是（
2．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（
3．△ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是（
4．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
5．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（ ）．
二、填空题（每小题5分，共40分）
6．求下列直角三角形中未知边的长度：
c=______．
7．△ABC中，∠C=90°，c+a=9.8，c-a=5，则b=_____．
8．如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．
9．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求．
10．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．
11．如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米．
12．一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为______．
13．如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______． 三、解答题（14题7分，15题8分，16、17各10分）
14．如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB处的宽度．
15．如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积．
16．如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的距离
17． 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？
参考答案：
二、6．12，26;7． 7;
8．20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形);9．5;
13．S1+S3=S2．
三、14． 解：在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
所以AB2+，
解得AB=480．
15． 解：在Rt△ADE中，
AD2=AE2+DE2=82+152=172，
所以AD=17，
所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．
16．AB2=OA2+OB2=82+62=100，所以AB=10．
17． 解：设阅览室E到A的距离为x㎞．连结CE、DE． 在Rt△EAC和Rt△EBD中，CE2=AE2+AC2=x2+152，
DE2=EB2+DB2=（25-x）2+102．因为点E到点CD的距离， 所以CE=DE．所以CE2=DE2．
即x2+152=(25-x)2+102．所以x=10． 因此，阅览室E应建在距A10km处．
范文五：“从前有棵树，叫高树，树上挂了很多人。”很多大学生常用这句话调侃让自己头痛的高等数学这门课。大学中的数学将不再是点、线，面那样直观，它有了更高层次的要求，它也在很多专业里扮演着举足轻重的角色。在这些专业里，数学得到了更多维的发展空间，少了以往的晦涩枯燥，变得更加丰富多彩！本文将告诉大家，专业有了数学的调和，它是这个样的…… 　　数学与应用数学——未来社会的多面手 　　西南大学 黄月 　　她和我们结缘于幼儿园的“数木棍”，熟悉在中学时期，也许你和她的接触并不是出于自愿甚至带有些许的情绪，但是你不得不承认，她在多个领域中散发出的耀眼光芒的确无可掩盖。没错，她就是——数学与应用数学。 　　师范？非师？傻傻分不清楚 　　中学数学和大学中的数学与应用数学专业相比，就像是溪流与大海。大学的数学与应用数学专业旨在培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。国家为了满足社会各种人才的需要，在数学大类前提下，又分为数学与应用数学（师范），数学与应用数学（非师），数学与应用数学（统计）。 　　数学与应用数学师范类的前景以教师职业居多。师范类除学习专业基础课程外，还要加强教学技能的培养。需注意的是师范专业分为免费师范生和普通师范生。作为免费师范数学专业的一份子，入学前要与大学和户籍所在省教育厅签订从事中小学教育教学十年的合同，且原则上是不能报考脱产研究生的，而普通师范生就可以报考数学专业研究生，就业选择面相对宽泛了些。 　　数学与应用数学的非师范专业的就业前景是十分的宽广。因为数学与应用数学专业与其他相关专业联系紧密，以它为依托可供选择的专业较多，重新择业改行也容易得多。顺便提醒一句，无论你是报考师范类还是非师范类，大部份学校对高考数学成绩都有一定的要求，报考时一定要注意各大学《招生章程》的具体要求哦。 　　练就跨行多面手 　　报考数学与应用数学专业的学生毕业安排去路多多，除了之前提到的教师职业，你还可以去做金融数学家。哪里商业有风险，哪里就有金融数学家的工作。绝大部分的金融数学家为国际性的投资银行工作。他们从事数量分析、衍生金融产品构建、风险管理或资产管理等工作，在投资银行及全球性企业中属于拿最高薪水的一群人。当然也可做“钻石领”精算师。在美国很吃香的保险精算师，很多都是数学专业出身。无论在国外还是国内，精算师以其高就业率、高薪水吸引着很多人的目光。第三种选择是到银行从事证券业。美国花旗银行副总裁柯林斯（collins）在英国剑桥大学的讲演中说到：“从事银行业工作而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。”某著名常青藤院校招生明确指出：你可以不懂经济，我们可以教你，但你不懂数学，这是没有办法忍受的。你还可以做专业学者。这是以数学研究为职业、在数学领域做出一定贡献、并且其研究成果能得到同行普遍认可的一类群体。 　　风雨阳光，铺就漫漫数学路 　　数学的学习是痛并快乐着。在数学的学习过程中，偶尔无聊了大家做几句小诗相互调侃：问君能有几多愁，不定积分不会求；风萧萧兮易水寒，各种高数各种难；垂死病中惊坐起，难懂极限伤不起；谁懂洛必达的无奈，难解泰勒的伤怀。但是不经历风雨怎么能见彩虹，以我个人的学习经验来说，我和大部份的同学一样也不是最擅长数学，但本着踏实的学习态度去学习换来的结果还是不错的。所以，你不用担心数学难学，要相信“科学有险阻，苦战能过关”。我真的希望学弟学妹们能够摒弃对数学的偏见，另眼观数学，相信你会感受到她的美好。 　　部分招生院校简介 　　南开大学：该校的数学与应用数学是国家级重点学科。1993年国家教委批准该校的数学科学学院（其前身为陈省身先生倡导的于1986年国家批准设立的数学试点班）为国家基础科学研究与教学人才培养基地。师资力量雄厚，数学学科现有教师103人，教授45人、博士生导师39人、具有博士学位的91人。先后培养了以陈省身、江泽涵、吴大任、孙本旺等为杰出代表的大批优秀数学人才。 　　金融学——速度与激情的碰撞 　　北京语言大学 韩傲男 　　现在想想，我与金融学的缘分应该是上天注定的。高考结束了，对于我来说，那充满着汗泪与欢笑的三年时光已离我远去。我一直都相信，在我的生命中，或许再不会有比高中过得更充实的日子了。那种殊死拼搏的感觉现在已经有所淡忘，但对于当初选择金融学时的冲动依然存于内心。 　　与那点曙光的偶遇 　　我实在不想再纠结于数理化什么的，一想到那密密麻麻的字符就头疼。又不想用四年的时间去学习一门语言，个人觉得语言这东西吧，只要有心去学，自己大学课外的时间足够去熟练掌握了，大学还是应该学点技能。于是，在家人的建议下，当然也是自己愿意的情况下，我最终选择了金融。 　　不喜欢财经学校那种现实的氛围，于是我来到了素有“小联合国之称”的北京语言大学。毫无准备地迎来了新一阶段的生活。大一时对经济学完全没有任何概念的我，拿到教材就傻眼了——全是密密麻麻的英文字母！厚厚的一本，我感叹着要何年何月才能了结这本书。象征性地预习了几页，就去到了Vicky的课堂。 　　与麻辣鲜师的邂逅 　　第一次见Vicky，黑粗框眼镜，蹭蹭蹭的高跟鞋，头发利落地绑在脑后，露出光秃秃的额头，整洁利落的职业装，像极了《哈利波特》里面麦格教授的年轻版。这位加拿大的老师，一句中文也不讲，一上课就用英语“噼里啪啦”说了一大堆，我们听得云里雾里。她果然是个女强人的类型，上课直奔主题，我们就晕晕地光速一直翻着书，努力追赶她的快节奏。一节课下来，书已讲了40多页，而我们这群新来的孩子，显然对这样的上课方式还不习惯，也就收获甚微。 　　大一下学期新增了会计学。已经领略过了疯狂的经济学的我们，忐忑地迎来了小美的第一节会计学课。小美胖胖的，一看就是个非常和蔼可亲的老师。一副细细的眼镜架在鼻梁上，顿时显得学术了好多。据说小美挺厉害的，是财政部全国会计学术领军后备人才，我们不禁对她崇敬之情大增。小美保持着她自己的特色，中英结合飞速地讲着、写着。只见滑动黑板刷地滑上去，又刷地被推下来。一不小心，黑板上的笔记全是下一部分的内容。上一节会计学，简直就是经历了一次心灵的洗礼！ 　　绕不开的数理化 　　千躲万躲还是没有躲过数理化那些密密麻麻的字符。当然，金融学专业学的数学更偏向于实用方面，要我们学会一种逻辑思维。总之，我感觉大学的数学是比较抽象了一点。幸好微积分是中文的，不然又得被洗礼了。北语的微积分还好，用的是人大出版的一本较简单的文科微积分教材。微积分课上，第一次有了理科生的优势。感觉书上的内容几乎是高中学过延伸开的，或是老师补充讲过的。不过也不能掉以轻心，那些基础的内容现在没学好，以后的线性代数也就更难了。数学学不好，对于金融学的学生来说可是硬伤。 　　学习金融学专业一年了，学业虽然重，但能学到有用的东西，也是一件很开心的事。加之毕业后能在中外各类金融和非金融机构，如银行、投资公司、证券公司、期货贸易、保险行业以及各类外企公司工作，享受舒适的办公环境，也是我梦寐以求的事情。当然，有很多同学选择了出国深造，这对以后的发展也很有帮助。 　　部分招生院校简介 　　中国人民大学：该专业是中国人民大学最早设立的专业之一，拥有一批国内外知名的专家学者，师资力量雄厚。与美国哥伦比亚大学联合开办的“中美金融实验班”培养经济金融硕士，大大提高了学生的就业竞争力。该专业培养高层次的金融人才，专业要求毕业生具有良好的道德修养，扎实的理论功底、过硬的专业能力、娴熟的英语和计算机操作能力。 　　经济学——稚气到理性的蜕变 　　山东大学 朱文君 　　高考前，我对外面的世界一无所知。每天扎在书堆里一门心思规划学习考试，弄不清窗外的世界在发生怎样斗转星移的变化，在三点一线的生活下衣食无忧。长辈们笑称我扬起的脸像个初中的孩子。遵从家里的意见，我选择了经济学，在老师的引导下将视角打开，眼里不再只是书本，还有国家、世界的经济动向，我也开始了从稚气到理性的蜕变。 　　选择压力，彰显价值 　　如果选择了经济学，就不要幻想疯玩的大学生活了。大一刚入学的时候，大家都欢喜得不得了，终于摆脱了父母的唠叨，得瑟之情溢于言表。但是不要忘记，经济学的专业分数线比较高，能进来的必是大浪淘沙后的强者。当这样一群人在期末考前竞争起来，情况堪比高考，早起晚归，披星戴月。有人会问，大一而已，这么用功地学什么呢？答案是：数学。经济学文理科兼收，在数学水平上很不均等。当面对微积分、线性代数的时候，理科生的优势就会凸显出来，至于像我一样的文科生，一边硬啃着公式，一边愤恨地嘀咕：是谁说文科生进了大学就不用学数学了！后来才知道，其实很多学校都是这样，对于经济学类的学生，在入学初就会开设高等数学课程。因为这是日后学习的基础，很多经济学理论都是建立在数学模型之上，看不懂式子和图形，就搞不懂原理。 　　有了数理的铺垫，在大二就会开始学习初级宏微观经济学、国际经济学等经济学入门课程。随着年级的提高，学习也会更深入，中级宏微观、产业经济学、发展经济学、投资经济学、博弈论等等，大量知识和内容涌进来。 　　经济有佳人，绝世而独立 　　入学之初，我就惊喜地发觉身边很多气质美女，智慧、平静又善良，相处起来关系很是融洽。每次合唱比赛，我们学院总能位列一二（当然，除了艺术学院），优质女声合唱堪比天籁。跟理工科有一个很大的不同，经院女生占比很高，所以从大一到大四，各种联谊会数不胜数。经济学是一门增长智慧的学科，女生来读颇能提升气质。现在已经不是旧社会三纲五常的时代，女性也需要学会经营自己，日后在工作上可以进入银行、企业、投资分析机构，宏观上可以分析国家经济基本面，微观上可以具体到企业运营，就业去向很广泛，穿上小西装成为白领女性一名；在生活中，即便是柴米油盐，也可经营得当，与别人有同样的生活却有不同的心态。 　　两耳兼闻窗外事 　　经济学虽然是偏理论的学科，但要求学生开放视野。我们平时不会仅仅伏案学习看书，还必须看各种财经新闻，参加前沿论坛、高级经济学讲座，还要去听经济学年会报告，多半时候都听不懂，然后回头补课专攻，这是迅速提高的一种学习方式，对经济学的同学尤为重要。 　　经济学专业的学子们可以参加各种校内的社团活动，比如很多与金融机构联名举办的模拟交易大赛、经济案例分析大赛、各种商业银行的理财产品设计大赛等。很多团队通宵达旦准备参赛材料，在赛场呈现出来的那一刻，你会发现，之前自己不懂的种种经济现象、商业活动，现在已经能娓娓道来了，俨然一副商业小精英的模样。此外，很多同学都选择了国内或者出国交流学习，这是很好的机会，不仅能在另外一个学府游赏，还可以学到一些不同的东西，这种锻炼自己的机会还是很宝贵的。 　　部分招生院校简介 　　中央财经大学：该校经济学专业数理经济与数理金融方向（实验班）突出现代经济学的基础理论学习和规范经济学方法的培训，完全借鉴国际一流大学的教学体系，按照国际一流的办学标准设置课程，全面采用被一些大学公认最权威的英文版教材和英文授课模式，训练学生熟练掌握英语、直接和外教交流的能力。 　　统计学——数据中的探秘之旅 　　西南交通大学 王夏妮 　　——“嗨，在大学念的什么专业？” 　　——“统计学” 　　——“哦，会计啊，好前途啊！” 　　——“……不不，是统计学，不是会计学。” 　　——“哦，统…计…学，那两个也差不多吧，好好学习，以后当个好会计！” 　　窥探规律，揭秘未来 　　初上大学时，不为人知的“统计学”常常让我陷入窘境。因为一字之差，人们常常将统计学等同于百家皆知的会计学，这其中闹出许多笑话。不过话说回来，在我填报志愿时，自己对统计学也是一无所知。当时关于统计唯一的印象仅仅是很多年前的那场人口普查，心中认为：统计？统计不就是问几个问题记个数算个总数、平均数啥的么，还煞有其事地开个专业？ 　　于是，我带着满满的好奇和一丝不屑开始了百度探秘。经济统计、生物统计、工业统计、风险管理、可靠性分析、精算师……许多陌生的字眼扑面而来。百度告诉我：“统计学可以帮助生产者认识市场、认识自身，以求得生存和发展，也能帮助各级管理部门依据现行经济规律进行宏观决策、调控、监测，以实现社会经济良性运行……” 　　从数据入手，窥探事物内在规律，进而能够对未来的发展做出预测？诶！这不跟爱迪生看到苹果落下后发现地心引力似的？！太新奇，太刺激，太有意思啦！我喜欢，就这个专业了！ 　　炼丹炉中，百经历练 　　其实，在本科阶段，统计学主要分为数理统计和经济统计两个专业方向。其中，数理统计主要针对统计学基本理论和方法进行研究；经济统计是运用统计学基础知识来科学调查、搜集经济信息、描述数据、分析数据并对社会经济运行过程进行预测、监督。 　　可是，我一个不知天高地厚的黄毛丫头毅然决然地选择了数理统计，并且沉静在未来大学生活的幸福幻想中，快乐地，无法自拔，直到…… 　　直到当大一入学发新书接过厚的《数学分析》（上、下）、《高等代数》（上、下）那刻，我实实在在地蒙住了。老听学姐学长抱怨“高数”“线代”是两座难以逾越的大山，那眼前这“数分”“高代”到底是哪里跑出来的妖孽啊！事实证明，这貌似高端的一切不过都是纸老虎！完全不同于前十多年所熟悉的枯燥可憎的数学面目，大学数学教育，特别是统计学专业近乎于数学专业的教学要求，在苦我心智、劳我筋骨的同时突然让我有种甘心拜倒在数学双膝之下的冲动。当高中数学平平的我，在大学拿到不错的期末成绩单时，心中滋味真是妙极了！ 　　火眼金睛，幻如新生 　　当收到面试研究生资格通知的那刻，我突然意识到十几岁不断期望却遥不可及的大学生活就快在手中消失殆尽了。其他同学也早早地结束了自己安逸的大学生活，开始了忙碌地考研、找工作。说到统计学就业前景，政府统计、部门统计、民间统计一直以来是我国统计工作领域的三大巨头。其中，政府统计、部门统计在统计学生的就业中占有较高的比重。如今，随着中国全球化贸易的发展，民间统计越来越热。逐渐成熟、繁荣的民间统计机构定将为统计专业的毕业生提供愈来愈广阔的就业平台！ 　　部分招生院校简介 　　天津财经大学：该校统计学专业分统计学、精算与风险管理、市场调查与数据分析三个方向。不同的方向有不同的培养方式，统计学方向以统计学与财经科学交叉形成的创新知识体系为基础，培养掌握财经理论、统计学理论与方法；精算与风险管理方向在课程设置上，将保险精算师技术资格考试内容纳入了教学课程体系；市场调查与数据分析方向毕业后可在企业、金融机构、信息咨询与服务机构从事市场调查与数据分析、对策研究等工作。
已知：在直角三角形ABC中，AB=3BC=4求AC的长度。--题记春夏秋犹如数学勾股定理中的边。假如冬、夏为直角边，那么春就为斜边，因为在直角三角形中，所以AB^2+BC^2=AC^2所以3^2+4^2=AC^2所以AC=5所以冬的平方加夏的平方等于春的平方。冬天的帅哥骑着自行车晃晃悠悠的离去，春天的姑娘就踏着轻盈的步子来到了人间，那一片生机便随着来到四面八方，整个世界便充满了生机和温意。一年为春夏秋冬四季便组成了一个矩形。秋是收获的季节，就以严寒的冬天、酷热的夏天与万物复苏的春天组成一个直角三角形。以夏和冬为直角边，以春为斜边。噢！我发现春天来了。是的春天真的来啦！我怀着好奇的心去寻找春，已经找到冬天和夏天，当然可以找到春天啦！啊！我见到春天了。远看一片翠绿，远处的群山连绵起伏。变得苍绿了，近处草坪上的小草也悄悄地钻了出来，它们嫩生生、绿油油的，杨树开了花，那身上像毛毛虫一样软绵绵的，真有趣。花儿，草儿，树儿都争着开花、发芽，真是“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。不知什么时候，落起了春雨，轻轻的听不见淅沥的响声，像一种湿漉漉的烟雾，轻柔的滋润着大地。春雨过后，太阳出来了，一片晴朗。整个世界像刚洗过似的，特别清爽，空气十分新鲜，呼吸一口，甜丝丝的，像喝了蜜一样。春风和煦，明媚的春光照在大地上，万物呈现一片生机，形成了一幅秀丽的山水图。是啊！最美的季节还是春天。春天是最新、最干净，万物开始的季节。是四季的起跑线，春天等于冬天的平方加夏天的平方，可想而知春天有多美。春、是大自然的使者，是四季的天使。
范文七：　　已知：在直角三角形abc中，ab=3bc=4　　求ac的长度。　　--题记　　春夏秋犹如数学勾股定理中的边。假如冬、夏为直角边，那么春就为斜边，因为在直角三角形中，所以ab^2+bc^2=ac^2所以3^2+4^2=ac^2所以ac=5所以冬的平方加夏的平方等于春的平方。　　冬天的帅哥骑着自行车晃晃悠悠的离去，春天的姑娘就踏着轻盈的步子来到了人间，那一片生机便随着来到四面八方，整个世界便充满了生机和温意。一年为春夏秋冬四季便组成了一个矩形。秋是收获的季节，就以严寒的冬天、酷热的夏天与万物复苏的春天组成一个直角三角形。以夏和冬为直角边，以春为斜边。噢！我发现春天来了。　　是的春天真的来啦！我怀着好奇的心去寻找春，已经找到冬天和夏天，当然可以找到春天啦！啊！我见到春天了。远看一片翠绿，远处的群山连绵起伏。变得苍绿了，近处草坪上的小草也悄悄地钻了出来，它们嫩生生、绿油油的，杨树开了花，那身上像毛毛虫一样软绵绵的，真有趣。花儿，草儿，树儿都争着开花、发芽，真是“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。　　不知什么时候，落起了春雨，轻轻的听不见淅沥的响声，像一种湿漉漉的烟雾，轻柔的滋润着大地。春雨过后，太阳出来了，一片晴朗。整个世界像刚洗过似的，特别清爽，空气十分新鲜，呼吸一口，甜丝丝的，像喝了蜜一样。春风和煦，明媚的春光照在大地上，万物呈现一片生机，形成了一幅秀丽的山水图。　　是啊！最美的季节还是春天。春天是最新、最干净，万物开始的季节。是四季的起跑线，春天等于冬天的平方加夏天的平方，可想而知春天有多美。　　春、是大自然的使者，是四季的天使。
高二:夏伊丹
范文八：已知：在直角三角形ABC中，AB=3BC=4　　求AC的长度。　　--题记　　春夏秋犹如数学勾股定理中的边。假如冬、夏为直角边，那么春就为斜边，因为在直角三角形中，所以AB^2+BC^2=AC^2所以3^2+4^2=AC^2所以AC=5所以冬的平方加夏的平方等于春的平方。　　冬天的帅哥骑着自行车晃晃悠悠的离去，春天的姑娘就踏着轻盈的步子来到了人间，那一片生机便随着来到四面八方，整个世界便充满了生机和温意。一年为春夏秋冬四季便组成了一个矩形。秋是收获的季节，就以严寒的冬天、酷热的夏天与万物复苏的春天组成一个直角三角形。以夏和冬为直角边，以春为斜边。噢！我发现春天来了。　　是的春天真的来啦！我怀着好奇的心去寻找春，已经找到冬天和夏天，当然可以找到春天啦！啊！我见到春天了。远看一片翠绿，远处的群山连绵起伏。变得苍绿了，近处草坪上的小草也悄悄地钻了出来，它们嫩生生、绿油油的，杨树开了花，那身上像毛毛虫一样软绵绵的，真有趣。花儿，草儿，树儿都争着开花、发芽，真是“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”。　　不知什么时候，落起了春雨，轻轻的听不见淅沥的响声，像一种湿漉漉的烟雾，轻柔的滋润着大地。春雨过后，太阳出来了，一片晴朗。整个世界像刚洗过似的，特别清爽，空气十分新鲜，呼吸一口，甜丝丝的，像喝了蜜一样。春风和煦，明媚的春光照在大地上，万物呈现一片生机，形成了一幅秀丽的山水图。　　是啊！最美的季节还是春天。春天是最新、最干净，万物开始的季节。是四季的起跑线，春天等于冬天的平方加夏天的平方，可想而知春天有多美。　　春、是大自然的使者，是四季的天使。
高二:夏伊丹
范文九：锐角钝角三角形的勾股定理逆定理及正余弦定理
例2. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a2?b2?c2,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a? ______mm；b?_______mm；较长的一条边长c?_______mm。
比较a2?b2_____c2 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a?______mm； b?_______mm；较长的一条边长c?_______mm。
比较a2?b2_____c2 (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是:
⑷对你猜想a2?b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
(1)BC(2)BC(3)B
（2013o贵阳）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2?b2?c2时，△ABC是直角三角形；当a2?b2?c2时，利用代数式a2?b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为
三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为
（2）猜想，当a2?b2
c2时，△ABC为锐角三角形；当a2?b2
c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
范文十：鞍山师范学院学报
JournalofAnshanNormalUniversity
立体几何的余弦定理和勾股定理
李　慧,刘宝瑞
(鞍山师范学院,辽宁鞍山114005)
摘　要:通过证明立体几何的余弦定理,从而证明立体几何中的勾股定理.这些定理不但在实践上非常有
用,而且在理论上显示了平面和空间之间的对称性.充分显示了几何学内在的和谐美,对扩展人们关于空间性质的认识也极有意义.
关键词:四面体;立体几何余弦定理;立体几何勾股定理;直角四面体中图分类号:O123.2　　文献标识码:A　　文章篇号:03)
CosinetheoremandPythagoreanLIHui,LIUrui
(AnshanNormalUniversity,AL,)
Abstract:Thearticlegivesusacleartheoreminsolidgeome2trybyprovingcosinetheoryinbytheauthors,ofgreathelponprac2tice.Italsotellsustheandspace.Thistheoryissignificantinen2largingpelple’sofKPythaRightangle　　设D2ABC是一个任意的四面体(见图1),不失一般性,取四面体的底面△ABC为空间坐标的XOY平面,取过顶点D的高OD为Z轴.取OA为X轴.这样一来,可以设四个顶点的坐标分别为A(a,0,0);B(b1,b2,0);C(c1,c2,0);D(0,0,d).
为简单计,用Sd表示与顶点D相对的侧面△ABC及其面积;同理,其它的三个侧面及其面积用Sa,Sb,Sc来表示.
由向量的向量乘积的性质[1]可知,向量ABASd.将ABA称为Sd(normal),记作nd因为AB=(b1-a,b2,0),A=(c1-a,c2,0),所以有
nd=AB×A=b1-ab20=[(b1-a)c2-(c1-a)b2]k=
b1c2-c1b2+a(b2-c2)
图1　四面体
由向量乘积定义可知
同理计算Sa面的法向量na,因为BD=(b1,b2,-d);=(c1,c2-d),BD(c2-b2)dijk
na=b1b2-d=(c2-b2)di+(b1-c1)dj+(b1c2-b2c1)k=(b1-c1)d,
作者简介:李慧(1976-),女,辽宁鞍山人,鞍山师范学院艺术高中教师.
36鞍山师范学院学报第5卷
　　因为=(c1,c2,-d);DA=(a,0,-d),有Sb的法向量
=-c2di+(c1-a)dj-ac2k=
　　因为DA=(a,0,-d);DB=(b1,b2,-d),所以有Sc的法向量
=b2di+(a-b1)dj+ab2k=
　　由向量的数量乘积的定义,有(
θ=-|na||nb|||b>=-4SaSbcos.na?nb=|na||nb|cos这里表示侧面Sab.-Sbb=0.25na?nb,
-Sb=0.25nb?nc,ScSacos=0.25nc?na.
(9)(10)(11)
　　　对任意的四面体D2ABC,有
S2d=S2a+Sb+Sc-2SaSbcos-2SbSccos-2ScSacos.
图2　法线夹角与二面角的关系
　　证明　利用关系式(4),(6)和(8)～(11),有22
S2a+Sb+Sc-2SaSbcos-2SbSccos-2ScSacos=　　　　　　
(n2(na+nb+nc)2=a+nb+nc+2na?nb+2nb?nc+2nc?na)=44
-c2d(c1-a)d+-c2a
b2d(a-b1)d
(b1-c1)d+b1c2-b2c=
b1c2-b2c1+(b2-c2)a
　　当四面体的四个侧面中,有三个侧面(如Sa,Sb,Sc)两两互相垂直时,称这样的四面体为直角四面体.在直角四面体中,那个不与其它侧面垂直的侧面(Sd)称为斜侧面.由于直角四面体中有三个二面角为90°,所以cos=cos=cos=0.
立体几何的勾股定理　在直角四面体中,斜侧面面积的平方等于三个直角侧面的面积的平方之和,即
(13)Sd=Sa+Sb+Sc.　　作为应用,举一简单例子:若求正四面体的二面角.
设正四面体的各侧面面积为S,则由关系式(12),我们有S2=3S2-3×2S2cosθ,即1=3-θ=,θ≈70°6cosθ,所以cos32′.
[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1990.
(责任编辑:张冬冬)