求此求下列函数的偏导数数 要过程 谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-04-04 15:04 标签： 复合函数的二阶偏导数
R语言求函数的偏导数 - 推酷
R语言求函数的偏导数
在Machine Learning的课上，老师讲到用gradient decent的方法解logistic regression中cost function的最小值。这当中就要涉及到对cost function的求偏导数。其实在R当中可以很方便的做到这一点。
R语言中可以使用
来求一元函数的导数，用
来求多元函数的偏导数。这两个function都在
package:stats
中，会在R启动时默认加载。
下面以一个多元函数作为demo，希望通过gradient decent的方法求最小值:
$$E(u,v) = e^u + e^{2v} + e^{uv} + u^2 - 2uv + 2v^2 - 3u - 2v$$
Euv = expression(exp(u) + exp(2 * v) + exp(u * v) + u^2 - 2 * u * v + 2 * v^2 -
3 * u - 2 * v)
d_Euv = deriv(Euv, c(&u&, &v&), func = T)
## function (u, v)
.expr1 &- exp(u)
.expr2 &- 2 * v
.expr3 &- exp(.expr2)
.expr6 &- exp(u * v)
.expr10 &- 2 * u
.value &- .expr1 + .expr3 + .expr6 + u^2 - .expr10 * v +
2 * v^2 - 3 * u - .expr2
.grad &- array(0, c(length(.value), 2L), list(NULL, c(&u&,
.grad[, &u&] &- .expr1 + .expr6 * v + .expr10 - .expr2 -
.grad[, &v&] &- .expr3 * 2 + .expr6 * u - .expr10 + 2 * .expr2 -
attr(.value, &gradient&) &- .grad
注意看d_Euv这个function里面的内容，
在(u,v)下的值，而不是偏导数。该function的末尾把偏导数作为attribute附加到这个value上。因此我们可以通过下面的方法把这个偏导数再提取出来。
derivatives = function(u, v) attributes(d_Euv(u, v))$gradient
derivatives(0, 0)
## [1,] -2 0
利用梯度下降法(gradient decent)解Euv最小值。下面只做示范用，只迭代5次，因此得到的值不一定是真正的最小值。利用
fixed learning rate $\eta = 0.01$
从$(u_0,v_0) = (0,0)$开始，对(u,v)进行更新:
uv.init = as.matrix(c(u = 0, v = 0))
eta = 0.01
uv.t = uv.init
for (i in 1:t) {
grad = t(derivatives(uv.t[1], uv.t[2]))
uv.t = uv.t - eta * grad
print(uv.t)
## u 0.094140
## v 0.001789
函数Euv在(u,v)上的值可以利用以下两种方式去解
print(d_Euv(uv.t[1], uv.t[2]))
## [1] 2.825
## attr(,&gradient&)
## [1,] -1.715 -0.0798
u = uv.t[1]
v = uv.t[2]
print(eval(Euv))
## [1] 2.825
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本帖最后由 wanghaidong918 于
13:18 编辑
尼克尔森中微中文版第50页 式子2.124有关位似函数的证明：位似函数各个自变量之间的替代关系只取决于自变量之间的比例，而不取决于其他绝对值。书中用俩变量的隐函数f（x，y）=0进行说明
.第一步得出dy/dx，然后第二步指出如果f是k次齐次函数，则其偏导数是k-1次其次函数。
但最后有一步关键的是另t=1/y。然后结果成功证明
以上步骤写得非常非常简略，可能只有看过这本书的同学能看懂，非常抱歉。。。太多符号无法表述清晰
我的问题是：
为什么可以令t=1/y?
t按照道理来说应该是个类似常数的东西，如果令其为y的函数，那就变成个变量了？这样的话，似乎“如果f是k次齐次函数，则其偏导数是k-1次其次函数。”这个的证明也不成立了。因为此证明过程需要令dtx=tdx，如果t不是常数，提不出来啊！
谢谢大家！说得不清不楚的，尽力了。。。请见谅
载入中......
我没看过尼尔森的书，不过你这个问题倒是大致明白了。你可以这么理解，这里t是代表任意的一个常数，其值可以任取，那么对应所有的xy的取值，你令t=1/y代入都绝对没问题的，对吧？关系式中xy就代表的是某一来自其取值域的一个值，设t=1/y，t就一一对应于y，带进去后函数关系依然是正确的。所以可以这么设。这种方法很常见的，宏观里也有。
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我没看过尼尔森的书，不过你这个问题倒是大致明白了。你可以这么理解，这里t是代表任意的一个常数，其值可以任取，那么对应所有的xy的取值，你令t=1/y代入都绝对没问题的，对吧？关系式中xy就代表的是某一来自其取值域的一个值，设t=1/y，t就一一对应于y，带进去后函数关系依然是正确的。所以可以这么设。这种方法很常见的，宏观里也有。
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我明白了，后来发现生产理论里面一个位似函数也是这样的。貌似本质上是个高中数学问题……
关于楼主的这句话：“此证明过程需要令dtx=tdx，如果t不是常数，提不出来啊！
似乎有问题啊！
在这里没有必要t是常数啊！而且，这样不是“提出来”的啊！
dtx=tdx+xdt,只要保证dt=0那就是了
这个我当时倒是没有想到。。。但是如果它不是常数微分为什么等于零呢？
也是觉得看着别扭 看了解释好像是那么个意思
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