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如何证明一加一等于二？
本文作者:特斯拉的信徒
有这个必要吗？
如果你期待这里有哥德巴赫猜想的完整证明，我只能说哥们儿你失望了。我说的 1 和 2 可都是纯粹的自然数。你开始不屑一顾了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是显然的吗？可是你是否考虑过，以前学几何的时候，我们总是从一些公理开始，逐渐推出需要的结论。然而，代数的学习却不是这样。我们有的是加法表和乘法表，而这些表早已成为计算的直觉刻在脑子里。一个靠直觉构建起来的体系似乎不太让人觉得可信。如果连 1 + 1 = 2 这样简单的算式都无法证明，那么所有经由此类运算得到的结果都是不可信的，至少是不科学的。看来，我们需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的东西。
什么是 1，什么是 2？
在证明之前，首先我们要明白什么是自然数，什么是加法。类似于几何的公理化理论体系，我们需要提出几个公理，然后据此定义自然数，进而定义加法。
先来定义自然数。根据自然数的意义（也就是人类平时数数时对自然数的运用方法），它应该是从一个数开始，一直往上数，而且想数几个就可以数几个（也就是自然数有无限个）。据此我们得到以下公理：
公理 1. 0 是一个自然数。
公理 2. 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。
在这里， S(n) 就代表 n 的“后继”，也就是 n 往上再数一个。没错，我们平时所说的 0, 1, 2, 3, ??，无非就是表示上述这种叫做“自然数”的数学对象的符号而已。我们用符号“0”来表示最初的那个自然数，用“1”来表示 0 的后继 S(0)，而 1 的后继 S(1) 则用符号“2”来表示，等等。
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1, 2, 3 构成的数字系统，其中 S(3) = 0（即 3 的后一个数变回 0）。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
公理 3. 0 不是任何一个数的后继。
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：
公理 4. 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。
也就是说，互不相同的两个自然数，它们各自的后继也是两个不同的数。这样一来，上面说到的反例就可以排除了，因为 3 不可能既是 2 的后继，也是 3 的后继。
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.5），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
公理 5. （数学归纳法）设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，
且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。
有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。
什么是加法？
我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数 m，0 + m = m；
2. 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。
有了这两条仅依赖于“后继”关系的加法定义，任意两个自然数相加的结果都能确定出来了。
如何证明一加一等于二？
至此，我们可以证明 1 + 1 = 2 了：
= S(0) + 1
（根据自然数的公理）
= S(0 + 1)
（根据加法定义 2）
（根据加法定义 1）
（根据自然数的公理）
事实上，根据加法的定义，我们不但可以证明每一个加法等式，还可以进一步证明自然数的加法结合律和交换率等一般规律。类似于加法的定义，还可以定义自然数的乘法并据此证明乘法的结合律、交换率和分配率等。如果大家对这方面问题感兴趣的话，可以看看参考文献[1].
看到这里，不知道你会不会有一种如释重负的感觉。原来，我们所知道的关于数学的一切，关于人类认识世界的一切，都不是建立在直觉之上，而是在接受几个公理的条件下通过理性的方法推导出来的。同时或许你还会有一种自由的感觉：正如你可以不接受欧几里得的公理而构造自己的几何体系一样，你也可以不接受上面的几个公理而建立自己的一套关于数的体系。你可以建立无数种奇奇怪怪的体系。不过如果是为了解释自然的话，至少从目前的角度看，现有的这套还是更好一些。
一些历史背景
上面所说的公理 1 - 5 便是著名的皮亚诺公理，它是意大利数学家皮亚诺在 1889 年发表的。虽然描述这套公理体系的数学语言发生过不少变化，但这套体系本身一直延用至今。根据这个建立在公理基础之上的自然数体系，通过引入减法可以得到整数系，再引入除法得到有理数体系。随后，通过计算有理数序列的极限（由数学家康托提出）或者对有理数系进行分割（由戴德金提出）得到实数系 [2]。这一套公理化实数体系连同同时期魏尔斯特拉斯在微积分分析化过程中的贡献（例如极限定义中的 ε-δ 语言）一道，使得早已被人类应用两百多年的微积分学能建立在一个坚实的基础上 [3]。
[1] Analysis [M]. Terence Tao
[2] 数学史概论（第二版）[M]. 李文林
[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz
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好复杂。。。。。。身为中学生的偶，看不懂啊啊啊啊！！！！
引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何，没黎曼几何就没广义相对论，木有广义相对论，估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...更别说早期微积分的建立了，如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达，估计现在微积分也没人敢用在工程上（因为会有好多种计算方式得出来不同的结果）...
引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于用结论证明结论了吧？
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全部评论(161)
谢谢作者的介绍，优美的数学
好复杂。。。。。。身为中学生的偶，看不懂啊啊啊啊！！！！
我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?
那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？他这上面定义的自然数是一整个数列，怎么会存在一个前后都没有数的3呢？
那个...常用的0不是自然数吧...当然你非要说文中的0就是常用的1也不是不行，不过至少说明一下吧...
引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于用结论证明结论了吧？
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？这个不满足归纳法...比如简单的命题，P:a属于{0,1,2,4...}显然P(0)成立，对任意的n，如果P(n)成立，那么P(S(n))也成立但是P(3)不成立。
引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于......这个不是这样的...公理2只定义了运算S，加法是通过0+m=m和n+m=S(S(n-1)+m)=...=S(S(...S(0+m)...))这种形式定义的...那个S(n+m)是要递归的向下展开的...
引用 绿咸鱼 的回应：引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又......这么说貌似合理，但这不相当于设定两条定义证明一个结论了？
引用 KIMBLIN 的回应：这么说貌似合理，但这不相当于设定两条定义证明一个结论了？ 没错啊，这个其实是解释我们常用的数和运算符号背后是有着怎样的严格定义，就和欧式几何一样，5条公理弄出来那么多漂亮的结论...
呆...查了下维基百科，自然数确实有用非负整数来做定义的...果然还是接触太少了么？...捂脸爬走...另外...比较常用的还是正整数这个定义吧，至少maple里面的自然数就是从1开始的啊...
我也觉得公理用了加法了……
引用 小风 的回应：他这上面定义的自然数是一整个数列，怎么会存在一个前后都没有数的3呢？有了这以上的努力，我们就可以这样定义自然数系了：存在一个自然数系 N，称其元素为自然数，当且仅当这些元素满足公理 1 - 5。是一个“数系”，不是“数列”，定义没有强调有顺序，顺序是来自S(n)=n+1（当然是在一切有了定义之后）
引用 绿咸鱼 的回应这个不满足归纳法...比如......归纳法……这个倒是……不够后来发现似乎用公理2 就可以推翻了……
这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~
Terence Tao同楼上
我赫然被这个名字闪亮了眼睛
其实是人择原理...O(∩_∩)O哈！
引用 sevenseas 的回应：这个我记着陶哲轩的实分析那本书前面对整数什么的推理很详细 貌似中国教育缺这一块~~~...翻出大学四年的教科书...将近一半的书里面第一章全是集合论的泪流满面...
应用数学专业
挺精彩的哦！一切法则定理命题定律公式都建立在公理之上啊，真希望可以把公理给推翻了，亲眼看数学的全体崩溃。但是记得公理只要不自相矛盾（完备？）就成立，而且不可证明。想推翻它貌似不可能。因为公理其实在自圆其说呀……个人觉得而已。第一次回复，纪念
看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情
引用 Corvusy 的回应：那考虑这个：S(3)=3，S(2)=4，其它一样，即 0 1 2 4 5 6 ……、3（注意3不在其它数之前或之后），似乎也满足这个公理体系？这个序列的确符合设定体系，但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以，在你的排列方式里，4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里，用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”，用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”，等等。这并没有什么矛盾，看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。比如我喜欢规定 S(3)=X, S(X)=5,S(5)=6，那么我的自然数列就是 0，1，2，3，X，5，6，... 其实只不过是人对数字符号的选择而已。
引用 KIMBLIN 的回应：引用 lhb5883 的回应：我觉得 第二条公理里面的 后继已经包含了加法了?确实是的，S(n) + m = S(n + m)，其中S(n+m)已经含有加法了，因此又回到了1+1=2的证明，相当于......一般可以这么理解，m+n 被定义为对m和n的一种操作，比如结果是f(m,n) 。 这种操作结果是什么我们一开始并不知道，但是确定的事实是： f(0,m) = m 以及 f(S(n),m) = S(f(m,n))，然后作者不过是从这里开始证明了f(1,1)=S（1）=2。 这样就不涉及未对加法进行定义的问题。
引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎曼几何，没黎曼几何就没广义相对论，木有广义相对论，估计现在大家还在头疼gps的误差问题了...更别说早期微积分的建立了，如果没人刨根问底的弄出来ε-δ表达，估计现在微积分也没人敢用在工程上（因为会有好多种计算方式得出来不同的结果）...
引用 绿咸鱼 的回应：引用 Janish 的回应：看到过一个帖子标题是“你才是数学家！你全家都是数学家！！”数学家老是喜欢费一堆时间去证明一件理所当然的事情理所当然？如果大家理所当然的认为欧几里得第五公理成立就不会有黎......哈哈,兄台不要太费神试图跟外行解释这些. 多数人活了一辈子都用不到微积分. 就像你家楼下卖西瓜的大娘不明白为什么傅利叶级数展开很好用一样. 你用就觉得重要,不用就不觉得重要. 如果你试图跟她解释甚至争辩,那就是白费时间.
数学把我们是生活打点的多有条理，要是现在说推翻它，太诡异了吧。一套乱的系统怎么能操作的如此猛烈？
精彩！数学最伟大！
太精彩了，看来几次和评论才看明白。数学就是一门严谨的科学。
引用 sylnp 的回应：这个序列的确符合设定体系，但是注意作者其实只是用S(N)表示N的后继而以，在你的排列方式里，4就是2的后继。 可以理解为你在你的世界里，用符号“4”代替了现实世界中的符号“3”，用符号“5”代替了现实世界中的符号“4”，等等。这并没有什么矛盾，看起来有问题是因为你仍然把4理解为3的后继。我说的问题并不是这个，而是独立于序列之外的另一个序列（在这里只有一个3），不过反正解决了。另外这个公理体系是不是隐含了这样一条：这个数系中的数（自然数）只能来自于公理1和2（即一个自然数要么是0，要么是另一个非自身直接或间接后继的自然数的后继而没有其它来源）？（注意到公理3 4是对S(n)的限制，而公理5是对整个数系的限制，直接说明自然数来源的只有公理1 2 ）
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A、a弹簧秤示数增大 B、a弹簧秤示数减小 C、a弹簧秤一直顺时针转动 D、a弹簧秤一直逆时针转动 （3）如图为研究匀变速直线运动实验中打点计时器打出的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有一个点没有画出，打点计时器每隔T=0.02s打一个点，其中S1=7.05cm、S2=7.68cm、S3=8.33cm、S4=8.95cm、S5=9.61cm、S6=10.28cm，则A点处瞬时速度的大小是______________m/s，小车运动的加速度计算表达式为______________，加速度的大小是______________m/s2（计算结果保留两位有效数字）。 
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A、a弹簧秤示数增大 B、a弹簧秤示数减小 C、a弹簧秤一直顺时针转动 D、a弹簧秤一直逆时针转动 （3）如图为研究匀变速直线运动实验中打点计时器打出的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有一个点没有画出，打点计时器每隔T=0.02s打一个点，其中S1=7.05cm、S2=7.68cm、S3=8.33cm、S4=8.95cm、S5=9.61cm、S6=10.28cm，则A点处瞬时速度的大小是______________m/s，小车运动的加速度计算表达式为______________，加速度的大小是______________m/s2（计算结果保留两位有效数字）。 
（1）在做“互成角度的两个力合成”的实验中，橡皮条的一端固定在木板上，用两个弹簧秤把橡皮筋的另一端拉到某一确定的O点。以下操作中错误的是______________。A、同一次实验中，O点位置允许改动 B、实验中弹簧秤必须保持与木板平行，读数时视线要正对弹簧秤刻度 C、两根细绳必须等长D、橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上（2）如图所示，在“互成角度的两个力的合成”的实验中，a、b弹簧秤方向夹角等于120°，使b弹簧秤按图示位置开始顺时针缓慢转动，若这过程中保持O点位置不变和b弹簧秤的形变量不变，则b弹簧秤转动过程中，关于a弹簧秤的变化情况是______________。 
A、a弹簧秤示数增大 B、a弹簧秤示数减小 C、a弹簧秤一直顺时针转动 D、a弹簧秤一直逆时针转动 （3）如图为研究匀变速直线运动实验中打点计时器打出的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有一个点没有画出，打点计时器每隔T=0.02s打一个点，其中S1=7.05cm、S2=7.68cm、S3=8.33cm、S4=8.95cm、S5=9.61cm、S6=10.28cm，则A点处瞬时速度的大小是______________m/s，小车运动的加速度计算表达式为______________，加速度的大小是______________m/s2（计算结果保留两位有效数字）。 
科目:最佳答案（1）ACD（2）B （3）2.2，，4.0 解析
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155位同学学习过此题，做题成功率80.0%
（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的右&&（“左端”或“右端”）与物块连接．根据纸带提供的数据可计算打点计时器在打下A点和B点时物块的速度，其中VA=0.72&m/s．（结果保留两位有效数字）②从图示纸带不能得到的物理量是C&．A．木块运动的加速度a&&&&&&&&&&&&&&&B．A、B间的平均速度C．物块质量m&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&D．A、B对应的运动时间t③如要测量在AB段合外力对物块所做的功WAB，还需要提供的实验器材是B&．A．秒表&&&&&&&&&&&&&&&&B．天平&&&&&&&&&&&&&&&&&C．弹簧（2）某物理兴趣小组通过查阅资料知道将锌、铜两电极插入水果中，其“水果电池”电动势会有1V多一点，甲同学找来了一个柠檬做实验，用量程为0～3V、内阻约50kΩ的电压表测其两极时读数为0.96V，但当他将四个这样的电池串起来给标称值为“3V&0.5A”的小灯泡供电时，灯泡并不发光，检查灯泡、线路均无故障，这是因为“柠檬电池”的内阻较大的原因．①乙同学用内阻约为500Ω的灵敏电流表直接连“柠檬电池”的两极，测得电流为0.32mA，根据前茅电压表测得的0.96V电压，估算出“柠檬电池”的内组值约为2500Ω&．②为了更准确测定一个“柠檬电池”的电动势和内阻，实验室提供了一下一些器材可供选择：A．灵敏电流表A1（量程0～0.6mA，内阻为800Ω）B．灵敏电流表A2（量程0～250μA，内阻未知）C．滑动变阻器R（最大阻值约10Ω）D．变阻箱R′（0～9999Ω）E．开关s和导线若干为了尽可能准确测定“柠檬电池”的电动势和内阻，实验中除了带有锌、铜两极的水果电池外，还应选择的器材是A、D、E&（填器材前的字母代号）
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的____（“左...”的分析与解答如下所示：
（1）①物体做匀减速运动，在相等时间内，物体位移越来越小，两点间距离大的一端与物体相连；②根据纸带可以求时间、速度与加速度；③由动能定理可以求出合力的功，需要测出物块的质量．（2）①由欧姆定律可以求出电池内阻；②根据水果电池的电动势与内阻选择实验器材．
解：（1）①由图示纸带可知，在相等时间内，纸带右端相邻两点间的距离大，因此纸带右端与物块相连；电源频率为50Hz，计数点 间有4个点没有画出，则计数点间的时间间隔t=0.02×5=0.1s，打A点时的速度vA=s2t=0.42×0.1≈0.72m/s；②A、由△x=at2可以求出木块运动的加速度a；B、由平均速度公式可以求出A、B间的平均速度；C、根据图示纸带不能求出物块质量m；D、已知相邻两计数点间的时间间隔，由纸带可以求出A、B对应的运动时间t；故选C．③求出物体的速度，应用动能定理可以求出合外力的功，应用动能定理求合外力的功需要知道物体的质量，因此实验中需要的实验器材是天平，故选B．（2）①电池内阻约为r=UI-RA=0.960.32×10-3-500=2500Ω；②没有电压表而有电阻箱，可以应用安阻法测电源电动势与内阻，电路最大电流约为0.32mA，实验器材可选：A、D、E．故答案为：（1）①右端；0.72；②C；&③B；（2）①2500；②A、D、E．
根据匀变速运动的推论：△x=at2可以求出物体的加速度，由匀变速运动推论：物体在某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，可以求出物体的瞬时速度．
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（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的__...
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经过分析，习题“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的____（“左...”主要考察你对“测定电源的电动势和内阻”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
测定电源的电动势和内阻
与“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的____（“左...”相似的题目：
在测干电池的电动势和内电阻的实验中，图有甲、乙两个可供选择的电路，应选用&&&&电路进行实验，实验中误差的来源是&&&&，读数比实际值偏&&&&，根据实验数据画出的U-I图线如图所示，则求得的电动势是&&&&V，内电阻是&&&&Ω．&&&&
在测定电源的电动势和内电阻的实验中，某同学采用了下面的电路图1．3（1）实验时需使接入的滑动变阻器电阻值较大．则电路图中&a、b两端与右侧滑动变阻器实物中&A、B、C、D&四个接线柱的连接，下述四种连接方式正确的是&&&&A．a&接滑动变阻器的A端，b接滑动变阻器的D端B．a&接滑动变阻器的B端，b接滑动变阻器的C端C．a&接滑动变阻器的B端，b接滑动变阻器的D端D．a&接滑动变阻器的C端，b接滑动变阻器的D端（2）实验中测得的数据如下表，在给出的U-I&&坐标系中用给出的数据画出U-I&&图线2（横、纵坐标的起点已经规定），从图象中可以发现该同学记录的第&&&&组数据有误．次数123456U/V1.421.361.081.211.141.07I/A0.040.080.120.160.200.24（3）利用上述图表求得电动势&E=&&&&V，内阻&r=&&&&Ω．（4）在同一坐标系中画出了a、b、c三个电源的U-I&图线3，电源电动势分别为&Ea、Eb、Ec，内电阻分别为&ra、rb、rc，其中&a&和c平行．下述判断正确的是&&&&．A．Ea＜Eb，ra=rbB．Eb=Ec，rc＞rbC．Ea＜Ec，ra=rcD．Eb=Ec，rb=rc．
如图1所示的电路来测量电池电动势和内电阻，根据测得的数据作出了如图2所示的U-I图线，由图可知（　　）电池电动势的测量值为1.40&V电池内阻的测量值为3.50Ω外电路发生短路时的电流为0.40&A电压表的示数为1.20&V时，电流表的示数I′=0.20&A
“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时...”的最新评论
该知识点好题
1采用如图所示1电路“测定电池1电动势和内阻”．（1）除了选用照片中1部分器材外，&&&&（填选项）A．还需要电压表B．还需要电流表C．还需要学生电源D．不再需要任何器材（2）测量所得数据如下：
测量次数物理量&1&2&3&4&5&6&R/Ω&1.2&1.0&0.8&0.6&0.4&0.2&I/A&0.60&0.70&0.80&0.89&1.00&1.20&U/V&0.90&0.78&0.74&0.67&0.62&0.43&用作图法求得电池1内阻r=&&&&；（3）根据第5组所测得1实验数据，求得电流表内阻RA=&&&&．
2根据闭合电路欧姆定律，用j4所示电路可以测定电池的电动势和内电阻．j中R0两端的对应电压为U42，对测得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的．根据实验数据在4U42-R坐标系中描出坐标点，如j2所示．已知R0=4手0Ω，请完成以下数据分析和处理．（4）j2中电阻为&&&&Ω的数据点应剔除；（2）在坐标纸上画出4U42-R关系j线；（3）j线的斜率是&&&&（v-4?Ω-4），由此可得电池电动势Ex=&&&&V．
3（2如大2o重庆）（大）如图大所示为光学实验用的长方体玻璃砖，g的&&&&面不能用手直接接触．在用插针法测定玻璃砖折射率的实验中，两位同学绘出的玻璃砖和他个针孔a、b、c的位置相同，且插在c位置的针正好挡住插在a、b位置的针的像，但最后一个针孔的位置不同，分别为d、她两点，如图2所示，计算折射率时，用&&&&（填“d”或“她”）得到的值较小，用&&&&（填“d”或“她”）点得到的值误差较小．（2）某中学生课外科技活动小组利用铜片、锌片和家乡盛产的柑橘制作了果汁电池，他们测量这种电池的电动势她和内阻r，并探究电极间距对她和r的影响，实验器材如图3所示．①测量她和r的实验方案为：调节滑动变阻器，改变电源两端的电压U和流过电源的电流I，依据公式&&&&，利用测量数据作出U-I图象，得出她和r．②将电压表视为理想表，要求避免电流表分压作用对测量结果的影响，请在图中用笔画线代替导线连接电路．③实验中依次减小铜片与锌片的间距，分别得到相应果汁电池的U-I图象如图中（a）（b）（c）（d）所示，由此可知：在该实验中，随电极间距的减小，电源电动势&&&&（填“增大”、“减小”或“不变”），电源内阻&&&&（填“增大”、“减小”或“不变”）．曲线（c）对应的电源电动势她=&&&&V，内阻r=&&&&Ω，当外电路总电阻为25如如Ω时，该电源的输出功率P=&&&&mW．（均保留他位有效数字）
该知识点易错题
1图为测量某电源电动势和内阻时得到的U-I图线．用此电源与三个阻值均为wΩ的电阻连接成电路，测得路端电压为2.0V．则该电路可能为（　　）
2采用如图所示1电路“测定电池1电动势和内阻”．（1）除了选用照片中1部分器材外，&&&&（填选项）A．还需要电压表B．还需要电流表C．还需要学生电源D．不再需要任何器材（2）测量所得数据如下：
测量次数物理量&1&2&3&4&5&6&R/Ω&1.2&1.0&0.8&0.6&0.4&0.2&I/A&0.60&0.70&0.80&0.89&1.00&1.20&U/V&0.90&0.78&0.74&0.67&0.62&0.43&用作图法求得电池1内阻r=&&&&；（3）根据第5组所测得1实验数据，求得电流表内阻RA=&&&&．
3根据闭合电路欧姆定律，用j4所示电路可以测定电池的电动势和内电阻．j中R0两端的对应电压为U42，对测得的实验数据进行处理，就可以实现测量目的．根据实验数据在4U42-R坐标系中描出坐标点，如j2所示．已知R0=4手0Ω，请完成以下数据分析和处理．（4）j2中电阻为&&&&Ω的数据点应剔除；（2）在坐标纸上画出4U42-R关系j线；（3）j线的斜率是&&&&（v-4?Ω-4），由此可得电池电动势Ex=&&&&V．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的____（“左端”或“右端”）与物块连接．根据纸带提供的数据可计算打点计时器在打下A点和B点时物块的速度，其中VA=____m/s．（结果保留两位有效数字）②从图示纸带不能得到的物理量是____．A．木块运动的加速度aB．A、B间的平均速度C．物块质量mD．A、B对应的运动时间t③如要测量在AB段合外力对物块所做的功WAB，还需要提供的实验器材是____．A．秒表B．天平C．弹簧（2）某物理兴趣小组通过查阅资料知道将锌、铜两电极插入水果中，其“水果电池”电动势会有1V多一点，甲同学找来了一个柠檬做实验，用量程为0～3V、内阻约50kΩ的电压表测其两极时读数为0.96V，但当他将四个这样的电池串起来给标称值为“3V0.5A”的小灯泡供电时，灯泡并不发光，检查灯泡、线路均无故障，这是因为“柠檬电池”的内阻较大的原因．①乙同学用内阻约为500Ω的灵敏电流表直接连“柠檬电池”的两极，测得电流为0.32mA，根据前茅电压表测得的0.96V电压，估算出“柠檬电池”的内组值约为____．②为了更准确测定一个“柠檬电池”的电动势和内阻，实验室提供了一下一些器材可供选择：A．灵敏电流表A1（量程0～0.6mA，内阻为800Ω）B．灵敏电流表A2（量程0～250μA，内阻未知）C．滑动变阻器R（最大阻值约10Ω）D．变阻箱R′（0～9999Ω）E．开关s和导线若干为了尽可能准确测定“柠檬电池”的电动势和内阻，实验中除了带有锌、铜两极的水果电池外，还应选择的器材是____（填器材前的字母代号）”的答案、考点梳理，并查找与习题“（1）某同学在测量物块做匀减速直线运动时，利用打点计时器得到了如图所示的纸带，纸带上每相邻计数点间还有4个计时点未标出，打点计时器所用的交流电频率为50Hz，忽略纸带所受的阻力．①由此可判断纸带的____（“左端”或“右端”）与物块连接．根据纸带提供的数据可计算打点计时器在打下A点和B点时物块的速度，其中VA=____m/s．（结果保留两位有效数字）②从图示纸带不能得到的物理量是____．A．木块运动的加速度aB．A、B间的平均速度C．物块质量mD．A、B对应的运动时间t③如要测量在AB段合外力对物块所做的功WAB，还需要提供的实验器材是____．A．秒表B．天平C．弹簧（2）某物理兴趣小组通过查阅资料知道将锌、铜两电极插入水果中，其“水果电池”电动势会有1V多一点，甲同学找来了一个柠檬做实验，用量程为0～3V、内阻约50kΩ的电压表测其两极时读数为0.96V，但当他将四个这样的电池串起来给标称值为“3V0.5A”的小灯泡供电时，灯泡并不发光，检查灯泡、线路均无故障，这是因为“柠檬电池”的内阻较大的原因．①乙同学用内阻约为500Ω的灵敏电流表直接连“柠檬电池”的两极，测得电流为0.32mA，根据前茅电压表测得的0.96V电压，估算出“柠檬电池”的内组值约为____．②为了更准确测定一个“柠檬电池”的电动势和内阻，实验室提供了一下一些器材可供选择：A．灵敏电流表A1（量程0～0.6mA，内阻为800Ω）B．灵敏电流表A2（量程0～250μA，内阻未知）C．滑动变阻器R（最大阻值约10Ω）D．变阻箱R′（0～9999Ω）E．开关s和导线若干为了尽可能准确测定“柠檬电池”的电动势和内阻，实验中除了带有锌、铜两极的水果电池外，还应选择的器材是____（填器材前的字母代号）”相似的习题。