椭圆与直线相交弦长x^2/4+y^2/3=1,过点M(-√3,0)的直线l交椭圆与直线相交弦长于A,B,求△AOB面积S的最大值及此时直线l的倾斜角

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-04-13 15:28 标签： 如图aob是一条直线
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已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过点P(0,3)作直线L顺次交椭圆于A,B两点,以线段AB为直径作圆,试问该圆能否过原点?若能,求出以AB为直径的圆过原点时直线L的方程;若不能,请说明理由.
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设L方程：y-3=kx.则x=（y-3）／k.代入椭圆方程,化简得：（9k²+4）y²-24y+36（1-k²）＝0.y＝[12±6k√（9k²－5）]／（9k²＋4）.x＝[-27±6√（9k²-5）]／（9k²＋4）.设L与椭圆交于A（x1,y1）,B（x2,y2）.则以AB为直径之圆通过原点的充要条件是：y1y2／x1x2＝－1.代入化简：得k之方程 ；324（k²）²-585k²-324＝0.解得k²＝（585±873）／2×324.（k²≥0）.k²＝729／324.k＝±3/2.L方程：L1:y-3＝（3/2）x.即3x-2y+6＝0.L2:y-3＝（-3/2）x.即:3x+2y-6＝0.
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设A为(x1,y1)、B(x2、y2);分别以点A、B代入椭圆得两式,再两式相减得(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)/3=0 ==& (y1-y2)/(x1-x2)+3/4*[(x1+x2)/(y1+y2)].而M(1,1)为AB中点,即(x1+x2)/2=1,(y1+y2)/2=1.故k+3/4=0,k=-3/4.故l为y-1=-3/4*(x-1)即3x+4y-7=0
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