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微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算
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文档介绍：
1 / 10常微分方程数值解问题检查各种数值算法的长期行为并观察步长对于收敛效果的影响(数值分析第三次大作业)姓名:** 学号:** 班级:**给定方程组( ) ( )( ) ( )(0) 0(0)x t ay ty t bx txy b
1. 证明方程组的解是 xOy 平面上的一个椭圆;证明:由( ) ( )( ) ( )(0) 0(0)x t ay ty t bx txy b
可得( ) ( ) 0( ) ( ) 0(0) 0(0)x t abx ty t aby txy b
(式 1-1)其中( ) ( ) 0x t abx t
和( ) ( ) 0y t aby t
均为二阶常系数线性齐次微分方程,且具有相同的特征方程2+ab 0
(式 1-2)设 0a
,则特征根为 1,2 i ab
,则可知原方程的通解为1 2 3 4( ) cos sin( ) cos sinx t C t C ty t C t C t
(式 1-3)又由边界条件(0) 0x
,代入上式第一式,可得1 0C 由边界条件(0)y b ,代入上式第二式,可得3C b于是得2 4( ) sin( ) cos sinx t C ty t b t C t
(式 1-4)2 / 10又由 2 4 4 2( ) cos ( ) cos sin( ) sin cos ( ) sinx t C t ay t a b t C ty t b t C t bx t bC t
(式 1-5)可解得2C ab
, 4 0C 将 2C , 4C 代入式 1-4 可得( ) sin( ) cosx t ty t b t (式 1-6)由式 1-6 可得2 2 221( )x ybab
(式 1-7)式 1-7 表明,原方程组的解是 xOy 平面上的一个椭圆。2. 利用①改进的欧拉折线法,②4 阶标准龙格-库塔法,选几个不同的步长 h,计算上述方程组的轨道,看看哪种方法和步长能够保持椭圆轨道不变。(计算的时间步要足够多――至少 10000 步)解:依题意,可令1 2( , )( , )x f x y ayy f x y bx
(式 2-1)由改进的欧拉折线法,有迭代公式1 1 1 1 1 1( , )( , )( ) / 2 ( ) / 2p n n n n nc n p n n nn p c n n nx x hf x y x hayx x hf x y x hayx x x x ha y y
(式 2-2)2 2 1 1 1 1( , )( , )( ) / 2 ( ) / 2p n n n n nc n n p n nn p c n n ny y hf x y y hbxy y hf x y y hbxy y y y hb x x
(式 2-3)由式 2-2 第三式和式 2-3 第三式,可得2 2 12 2 1((4 ) 4 ) / (4 )((4 ) 4 ) / (4 )n n nn n nx abh x ahy abhy abh y bhx abh
(式 2-4)因此,采用改进的欧拉折线法时,若给定初值 0 0yx 、,并设定步长h 和步数,就可按式 2-4 直接进行迭代,从而计算出原方程组的轨道。由 4 阶标准龙格-库塔法,有迭代公式3 / 10 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4( 2 2 ) / 6( 2 2 ) / 6n nn nx x h K K K Ky y h L L L L
(式 2-5a)其中1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 1 2 2 2 3 2 2 2 2 4 1 3 3( , )( , )( / 2, / 2) ( / 2)( / 2, / 2) ( / 2)( / 2, / 2) ( / 2)( / 2, / 2) ( / 2)( , )n n nn n nn n nn n nn n nn n nn nK f x y ayL f x y bxK f x hK y hL a y hLL f x hK y hL b x hKK f x hK y hL a y hLL f x hK y hL b x hKK f x hK y hL
3 4 2 3 3 3( )( , ) ( )nn n na y hLL f x hK y hL b x hK
(式 2-5b)因此,采用 4 阶标准龙格-库塔法时,若给定初值 0 0yx 、,并设定步长h 和步数,就可按式 2-5 直接进行迭代,从而计算出原方程组的轨道。取 8a
,此时由式 1-7 得椭圆方程为2 2 2 2 14 2x y
(式 2-6)下面,设定步数 20000stepNum
,并进行不同步长 h 下原方程组轨道的具体计算和绘图(程序详见附录)。取步长 0.00005h
,计算得到的轨道如图 1 所示。此时,改进的欧拉折线法和 4 阶标准龙格-库塔法都能保持椭圆轨道不变。由局部放大图也可以看出,在该步长下,改进的欧拉折线法和 4 阶标准龙格-库塔法的计算结果几乎完全一致。图 1 (a)整体图4 / 10图 1 (b)局部放大图取步长 0.0001h
,计算得到的轨道如图 2 所示。此时,改进的欧拉折线法和 4 阶标准龙格-库塔法都能保持椭圆轨道不变。由局部放大图也可以看出,在该步长下,改进的欧拉折线法和 4 阶标准龙格-库塔法的计算结果依然几乎是完全一致。图 2 (a)整体图5 / 10图 2 (b)局部放大图图 3 (a)整体图图 3 (b)局部放大图6 / 10取步长 0.005h
,计算得到的轨道如图 3 所示。此时,改进的欧拉折线法和4 阶标准龙格-库塔法依然能保持椭圆轨道不变。由局部放大图可以看出,在该步长下,改进的欧拉折线法和 4 阶标准龙格-库塔法的计算结果出现差异。图 4 (a)整体图图 4 (b)局部放大图取步长 0.01h
,计算得到的轨道如图 4 所示。此时,改进的欧拉折线法和4 阶标准龙格-库塔法依然能保持椭圆轨道不变。但通过局部放大图可以看出,在该步长下,随着迭代的进行,两种方法都出现了偏离精确椭圆轨道的趋势。取步长 0.05h
,计算得到的轨道如图 5 所示。此时,改进的欧拉折线法和4 阶标准龙格-库塔法随着迭代的继续而越来越偏离精确的椭圆轨道,但采用改进的欧拉法计算时轨道偏离的范围较小且有保持稳定的趋势,可认为改进的欧拉法依然能保持椭圆轨道,而当采用 4 阶标准龙格-库塔法计算时轨道偏离的范围较大且有继续增大的趋势。7 / 10图 5 (a)迭代 20 步整体图图 5 (b)迭代 20 步局部图图 5 (c)迭代 20000 步整体图8 / 10图 5 (d)迭代 20000 步局部放大图图1
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Matlab求解常微分方程的数值解
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新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
求 常微分方程的数值解
& && &(1+t^2)*y''+2ty'+3y=2 ;& && &t0=0,& &&&tf=5,& &y(t0)=0,& & y'(t0)=1
课上刚学MATLAB&&请教此题
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Maple解法：
sol1 := dsolve([(1+t^2)*`@@`(D,2)(y)(t)+2*t*D(y)(t)+3*y(t) = 2, y(0) = 0, D(y)(0) = 1], numeric);
plots[odeplot](sol1, 0..5, color = red);
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15:35 上传
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Matlab解法：
% [t,y]=ode45(@myfun,[0 5],[0 1]);
% plot(t,y(:,1),t,y(:,2),':')
% legend('y','y''')
ode45(@myfun,[0 5],[0 1])
legend('y','y''')
复制代码
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15:49 上传
function f=myfun(t,y)
f=[y(2);
& & (2-2*t*y(2)-3*y(1))/(1+t^2)];
end
/hyyly520/home
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1stOpt解法：
Variable t=[0,5], y=0, y'=1;
Plot t[x],y,y'[y2],y''[y2];
ODEFunction y''=(2-2*t*y'-3*y)/(1+t^2);
v5.JPG (16.82 KB, 下载次数: 0)
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