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神教程：不看任何数学公式，都可完全理解傅里叶分析！
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本文作者：韩昊&&（谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。）
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
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这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
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好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
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在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个例子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
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第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
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在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为w0的正弦波cos(w0t)看作基础，那么频域的基本单元就是w0。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
以及这里：
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
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这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
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再清楚一点：
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可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
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老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
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下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
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鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
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这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
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四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，
回忆周期不连续，
任你ZT、DFT，
还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
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或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
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以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
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很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
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这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
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同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
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欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：
复数的物理意义是什么？
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
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所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
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这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
想象一下再往下翻：
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是不是很漂亮？
你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
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哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
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好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分？
没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…
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绝对的神人之作
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看的我都要被感动了
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超级不错的文章
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生动形象，简直无语了
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浅显易懂，解释的真好
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好东西，感谢您的分享，学习了
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Powered by第２章文献述评和研究思想框架的形成；２．１关于无限的界定；２．１．１．关于哲学上的无限的界定；Ｍｏｒｅｎｏ（１９９１）将古希腊中无限的涵义分为；?作为一个名词，指代天空的范围大小；?作为一个形容词，指宇宙、空间无限大；?作为一个副词，完善延伸、细分、连续、相加、近似；古希腊没有将无限单独看作一个名词，以为“无限物体；当我们说一个东西是无穷大的时候，这仅仅意味
第２章文献述评和研究思想框架的形成
２．１关于无限的界定
２．１．１．关于哲学上的无限的界定
Ｍｏｒｅｎｏ（１９９１）将古希腊中无限的涵义分为三种情形：
?作为一个名词，指代天空的范围大小
?作为一个形容词，指宇宙、空间无限大
?作为一个副词，完善延伸、细分、连续、相加、近似等各个行为，常常应用于潜无限，如果过程进行中，就会无限制继续。
古希腊没有将无限单独看作一个名词，以为“无限物体”不存在，而是作为一个副词，无限与过程相联，隐含于方法操作涵义中。这里的过程已专门化，因为“最后一项”不存在，虽然“开始点”容易理解。无限过程暗含无法穷竭的含义。（Ｆｉｓｃｈｂｅｉｎ，１９７９，ｐ．７）
当我们说一个东西是无穷大的时候，这仅仅意味着我们不能感知到所指事物的终点或边界。（ＴｏｍａｓＨｏｂｂｅｓ，１５８８－－１６７９英国哲学家）
无穷大是一个深不可测的海湾，所有东西都会在其中消失。（ＭａｒｃｕｓＡｕｒｅｌｉｕｓ，罗马皇帝和哲学家）
现实中的无穷不仅具有单纯量的特征，而且还具有质的特征，现实中的“无穷”总是在空间和时间上表现出各种各样的形态。譬如，诗歌中的无穷，乃指人体验的无穷，人类智慧无限，是无法计量的无穷；而财富与能力的无穷，则是有限之中的无限。（张奠宙，２００６，ｐ．１３）
无限甚至只是一个假想，没有令人信服的测试可以支持或反驳无限。（Ｆｉｓｃｈｂｅｉｎ，１９７９，ｐ．１２）
Ｋａｎｔ认为，世界是一个统一整体，人们囿于有限而不能接受无限，而只能接受有条件的有限，与这些有条件的有限相对的就是我们可以接受的无限。
Ｈｅｇｅｌ把无限分为两种：一种叫做“真无限”，一种叫做“恶无限”。他认为传统的无限观是形而上学的“恶无限”，无限与有限是绝对对立的。而。真无限”则认为有限和无限之间没有不可超越的界限，它是无限和有限的自身发展起来的统一。Ｈｅｇｅｌ通过对无限的划分，把真无限理解为有限和无限彼此自我否定、自我扬弃后的对立统一，进而达到
他所谓的“绝对精神”。
２．１．２关于数学哲学上的无限界定
《庄子天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是数学上的无穷分割的生动体现，反映了深刻的潜无限思想。
“无限”就足指数量上的无限大或无限多，数学上常用ｍ表示无限大，但它并不是一个有精确意义的的符号，人们只是借用它来表示一个变量ｘ无限增大的意思。简记为ｘ―００（徐利治，２００７，ｐ－１）
Ｂｏｌｚａｎｏ的关于“无限的矛盾”的工作开创了将无限作为一个研究对象引入数学的先河，达到这个目的的决定性的一步是将无限看作集合的属性，而不是作为一个名词或副词（Ｍｏｒｅｎｏ，１９９１，Ｐ．５）。
２．１．３．本文所研究的数学无限的界定
学生学习的数学中没有直接给出无限的定义，也不可能直接给出定义。无限包含于具体的数学概念中。有的以显性方式呈现，如自然数、平行线；有的隐含于数学概念中，如函数单调性、交换律；有的存在于某一特定对象的无限过程中，比如函数极限：有的就是数学概念的属性，Ｃａｎｔｏｒ超限数理论将无限作为集合的属性。本文研究的无限是具体数学概念中包含的无限。理解数学无限观要基于概念上的隐喻。
２．２无限思辩的两个观点
翻开数学史就可以知道，无限小与无穷大引入数学分析领域都是颇费周折的，其原因是由于无限概念中蕴涵着矛盾的缘故，他们就足潜无限和实无限的矛盾。
即使在小孩子的斗嘴中，我们也可以有趣地发现“潜无限”与“实无限”之争。两个小孩子在比较某事物的数量，一个说：“我有１０００”，另一个说：“那我有１００００”，一个说：“你有多少，那我就有多少再加１”，另一个说：“我有全宇宙那么多”…一显然，他们最后诉求的其实也正是“潜无限”与“实无限”。２．２．１哲学意义上的潜无限和实无限
（１）从自然数角度出发的潜无限和实无限
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ将无限定义为“不可得”，无限定义在所有能够用一个无终结的过程来描述无限的情形，这个过程是无限序列步骤，后面一步总不同于前面一步。用这个定义，一个圆尽管没有始点和终点，但不能看作无限，总可以找到一个和前面一样的后续。
尽管Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ承认每一个自然数的存在，但全体自然数不可得，不能被人类所认识。他没有将自然数看作实无限，相反，他们可以表征为潜无限。事实上，Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ将无限看作永远没有完竭的过程（ｅｎｄｌｅｓｓｐｒｏｃｅｓｓ）。无限没有起点，没有终点，存在一个“后续”（ｓｕｃｃｅｓｓｏｒ），每一项永远和前面的项（ｐｒｅｄｅｃｅｓｓｏｒ）不同。这个过程永远不能完成，称之为潜无限（ｐｏｔｅｎｔｉａｌｉｎｆｉｎｉｔｙ）。比如，数数的过程需要所有时间才能完成，这是人力达不到的。受时间的局限，无法达到无限的整体。在他看来，无限数量化不可理解。而是将无限看作永远在延伸着的、一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中、永远完成不了，是潜在的。在他看来，量就是一个数字，一个靠计数达到所给数字。给定一个计数的不可到达的过程，就没有类似无限量这样的事倩。（Ｄｕｂｉｎｓｋｙ，２００１，ｐ．１５）
然而，Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ并没有完全拒绝无限。因为它的存在有很多暗示：时间，可以无限分割；空间，似乎是没有止境的。相应的是，人类无法想象一个无限实体以及它的实在的方面，并证实它的存在。倘若无限不能“一次都呈现”（ａｌｌａｔｏｎｃｅ），Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ就定义了两种不同无限观念：潜无限和实无限。这使他承认了无限的存在。
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ将实无限定义为瞬间的无限呈现（ｔｏｂｅｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｅｓｅｎｔａｔａｍｏｍｅｎｔｔｉｍｅ）。他将这看作不可理喻。因为这样的实在过程需要整个时间。他认为，无限全部被理解只能通过时间来实现，并且以潜无限来呈现。在Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ看来，所有对无限的拒绝就是拒绝实无限；另一方面，潜无限应看作“现实的基本特征”，因而是可接受的（ｍｏｏｒｅ，１９９５，Ｐ．５）。Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ相信它们的差别可以解决不同悖论。
徐利治（１９９９，ｐ．３４－－３６）认为，潜、实无限分歧的另一根源来自自然数列本身所具有的二重性质一“内蕴性”和“排序性”。所谓“内蕴性”是指自然数列所具有的内在性质。它们表现为自然数之间的各种特定的关系，如由种种数论性质表现出来的关系等。由于不断延伸的数列将会不断产生新的内蕴性，而层出不穷的内蕴性是不可能穷尽地被构造出来的，当然它们也就不可能作为无穷整体对象来把握。所以，从“内蕴性”角度
看待自然数列，即着眼于含有内蕴性质的数列，就只能视为潜无限。
所谓“排序性”是指自然数依次相续的那种宏观的外在性质。对此性质的把握不需要能动性的构造活动，而可将它看成足自然数列一贯到底的整体性质。既然如此，着眼于含有“排序性”的自然数列也就自然是实无限模式了。
（２）从思维能动性角度出发的潜无限和实无限
徐利治（１９９９，ｐ．３４）认为潜无限和实无限问题还涉及人脑概念思维的能动性限度问题以及自然数列的二重性本质问题。古典哲学家Ｈｅｇｅｌ就曾在《哲学史讲演录》中表述过：“时间和空间的本质是运动”。如果承认运动的客观性，承认运动变化的过程中有时能在“临界点”出现质态上的“突变”。而人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力，则实无限概念的客观性也就不难阐明了。
假设一个动点Ｐ从数轴上的坐标点１处滑动到坐标原点Ｏ处，那么显然该点Ｐ必须经历一切形如！的坐标点汇成的无限点集ＯＩ工。三，一ＥＮ｝。于是由一一对应三．＇ｎ也
就立即得出了Ｎａ如Ｉ并一杯｝。在这个思维认识过程中，可以认识到Ｐ点与原点Ｏ的距离
从非零变到零是一个数量性质上的突变，而这个突变立即导致形如二的坐标点个数由“有
限”飞跃到“真无限”，相应地实无限概念ＮＥ｛ｎ｝，即｛二｝的对应物也是由概念思维活动
客观地反映这种“飞跃现象”（量变到质变过程）的产物。
如上所述，就是科学认识论观点下有关“实无限概念的客观性”解释。需要补充说明的是，正如几何学上的圆是绝对完美的的理想事物，在现实中并不存在那样。含有无限多元素的实无限Ｎ也并不存在于现实经验中，而只是反映某种客观实在关系的理想事物。Ｈｉｌｂｅｒｔ就不认为现实经验中存在实无限，但却欣然接受实无限概念，并认为那是通过思维的“外插”而获得的一种理想事物。可以看出，他所说的思维外插，无非是指富有能动性的理性思维对“飞跃现象”作出的正确反映。
可见，实无限论者是默认概念思维具有反映“飞跃现象”的能动性，而潜无限论者由于不认识、不认可或不信赖概念思维的能动性，所以也就拒绝思考实无限对象，或不愿接受由思维能动性产生的实无限概念。这说明两种无限观的分歧的町能根源之一就是由于“思维主体”在思维形态上的不同，一种思维形态默认思维反映飞跃的能动性，另一种则否认或无视能动性。２６
２．２．２数学上的潜、实无限观的认识发展一瞥
无限到底是潜无限还是实无限？这一直是数学史上争论的问题。自古以来，主张潜无限观的哲学家和数学家有：
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ（包括其后继者），Ｇａｕｓｓ，Ｇａｌｏｉｓ，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ，Ｐｏｉｎｃａｒｅ，Ｂｒｏｕｗｅｒ，Ｗｅｙｌ，Ｂｉｓｈｏｐ（徐利治，２００６，ｐ．４）．
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ只承认潜无限，使其在古希腊数学中占统治地位。文艺复兴时期后，１７世纪下半叶，Ｎｅｗｔｏｎ、Ｌｅｉｂｎｉｚ创立的微积分学也是以实无限小为基础的。在其理论中，无穷小量被看作一个实体，一个对象，正因为此，早期微积分又被称之为“无穷小分析”。这种以实无限思想为据的理论在其产生后的一个世纪被广大数学家所使用，因而使这段时期成为实无限黄金时期。微积分被形容为一支关于“无穷的交响乐”。但由于当时人们对无穷小量概念认识模糊，导致产生了Ｂｅｒｋｅｌｅｙ悖论及一系列荒谬结果。
Ｇａｕｓｓ于１８３１年７月１２日写给Ｓｃｈｕｍａｃｈｅｒ的信说，“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式，当人们确切地说到极限时，是指某些比值可以任意地趋近它，而另一些则允许没有界线地增加。”Ｃａｕｃｈｙ也不承认无穷集合的存在，因为部分能够同整体构成一一对应这件事，在他看来是矛盾的。
尤其到了十八世纪末至十九世纪约百年时间中，随着重建微积分基础工作的完成，无穷小量被拒之于数学大厦之外，无穷小被看作实体的观念在数学分析中亦被驱除了，而代之以“无穷是一个逼近的目标，可逐步逼近却永远达不到”的潜无限观念。这种思想突出表现于现在标准分析中关于极限的定义中，并由此建立起了具有相当牢固基础的微积分理论，使得潜无限思想在这段时期深入人心。然而，到本世纪六十年代，ＡＲｏｂｉｎｓｏｎ创立的非标准分析，使无穷小量再现光辉，荣归故里，重新堂而皇之的登进数学的殿堂，而可与Ｃａｕｃｈｙ的极限分庭抗衡了。尤其，在Ｃａｎｔｏｒ的无穷集合论中，体现的也是“无穷集合是一个现实的、完成的、存在着的整体”的实无限思想。Ｃａｎｔｏｒ将无穷集合用基数ＫｏＫ，Ｋ：……来标记，无穷集合似乎可以当作量来处理。主张实无限观的哲学家和数学家有：
Ｌｅｉｂｎｉｚ，Ｈｅｇｅｌ，Ｄｅｄｅｋｉｎｄ，Ｃａｎｔｏｒ，Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ，Ｈｉｌｂｅｎ，Ｒｕｓｓｅｌｌ，Ｇｏｄｅｌ，ＴｈｏｍＰｌａｔｏｎｉｓｔｓ（Ｐｌａｔｏ主义者）等（徐利治。２００６ｐ．４）。徐治利（１９９９，ｐ．２５）认为，表面上看来，Ｃａｎｔｏｒ－Ｚｅｒｍｅｌ似乎在古典与近代集合论中
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