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高等数学课后习题答案--第七章 投稿：苏程稌
《高等数学》习题参考资料第三篇 多元函数微积分第七章 多元函数微分学§1 多元函数的极限与连续习 题1. 当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限x3+xy2;（1）2x+y2（3）（2）x2+y2x+y+1-122;x…
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《高等数学》习题参考资料第三篇
多元函数微积分第七章
多元函数微分学§1
多元函数的极限与连续
1. 当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限
x2+y2x+y+1-1
x2y2+1-1x+y
（5）(x+y)e
1-cos(x2+y2)（7）;22
不存在.2. 求出下列极限（1）
(x,y)→(1,0)
ln(x+e)x+y
(x,y)→(0,0)
?11-??x2+y2?????
(x,y,z)→(1,2,3)xyz-1
(x,y,z)→(0,0,0)x2+y2+z2
【答案】 (1) ln2;
3. 讨论下列函数在原点O（0，0）处是否连续？?1,xy=0,
?sin(x3+y3)
,x3+y3≠0,?33
（2）z=?x+y
?0,x3+y3=0;?
?sin(x3+y3)
,x2+y2≠0?22
（3）z=?x+y
x2+y2=0.?0,
(1) 不连续;
连续.4、指出下列函数的连续范围（1）u=
（2）u=ln(1-x2-y2);（3）u=ln
(x-a)+(y-b)
【解】. (1) 在x≠kπ且y≠kπ时函数连续;
x2+y2<1时连续;
(a,b)外都连续.
5.下列映射f:(x,y)a(u,v)在R2的哪个子集上是连续的？
（1）u=x2-y2,v=
|x|≠|y|外连续;
x=y=0外连续.
§2 全微分与偏导数
1. 求下列函数的各个一阶偏导数：（1）z=x3y+3x2y-xy3；（3）z=lntan
（4）z=xxy。
′′【答案】 (1) z′x=3xy+6xy-xy, zy=x+3x-3
,z′y=, (4)yyyyx2cossinxsincos
′z′lnx.x=xy(lnx+1), zy=x
-,(3) z′x=-xy2
2. 计算下列函数在指定点的偏导数：
（1）z=arcsin,在（1，2）处的zx,
（2）u=,在（1，2，-1）处的ux,uy,uz；
222x+y+z（3）u=e3x+4ycos(2x+5z)在（-2，1，2）处的ux,uy,uz；
（4）u=sin2x+sin?(y-1)lntan
? 【解】(1)
?在?,1?处的u′x。y??4?
(3cos6-2sin6)e-2, (4cos6)e-2,
(-5sin6)e-2,?cos??(y-1)lntan?
(4)u'x=sin2x+
?(y-1)sec2y??xy
, u'x(π,1)=1.
3. 求下列函数的全微分：
（1）z=ax2y+bx2;
（2）z=tan2(x2+y2);
（3）z=ln(x+x2-y2);（4）z=xe-y+ye-x;
（5）z=arctan2;（6）z=∫edt.
【答案】 (1) (2axy+2bx)dx+ax2
(2) 4tan(x2+y2)sec2(x2+y2)(xdx+ydy);
(e-y-ye-x)dx+(e-x-xe-y)
x2-y2x2-y2(x+x2-y2)
-2xyx2x2y2
(6) -edx+edy.dx
x4+y2x4+y2
12?=(x+y2)z?
4. 求曲线?在点M0(4,2,5)处的切线关于x轴的倾角，并求该切线4
arctan2; ?.
5、讨论下列函数在O（0，0）处的可微性（1）z=xcosy
xy,+≠0,?22（2）z=?x+y
?x2+y2=0.0,? 【答案】
不可微.6、用全微分求下列函数在指定点的近似值（1）20-x2-7y2,(1.95,1.08);【答案】
(1) 2.834;
（2）ln(x-3y),(6.9,2.06).
7、测得一矩形的长和宽分别为20cm和12cm，可能的最大测量误差为0.1cm，
试用全微分估计由测量值计算出的矩形面积的最大误差.
【解】S=xy， dS=ydx+xdy=12×0.1+20×0.1=3.2(cm).′′′′′8、求下列函数的二阶偏导数，u′xx,uxy,uyy.（1）u=sin(ax-by);
（3）u=（4）u=xlny.
【答案】 (1)
a2sin(-ax+by),
-absin(-ax+by),
b2sin(-ax+by);
a2eaxcos(by),
-abeaxsin(by),
-b2eaxcos(by);
y3exy, (xy2+2y)exy,
xlnylny(lny-1)xlny(lnylnx+1)xlnylnx(lnx-1)
xyx2y29、设函数
xy,+≠0,?xy2
f(x,y)=?x+y2
?x2+y2=0.0,?
′′(0,0)≠fyx′′(0,0).试求fx′(0,y)及fy′(x,0)，并证明fxy 【解】
fx′(0,y)=lim
f(0+?x,y)-f(0,y)?-y,
′′(0,0)=-1, 1′′(0,0)=.类似 fy′(x,0)=?fyx.
10、设u=2cos(x-)，证明：22+=0.
2?x?t?t111122
′′=sin2(x-t)-cos2(x-t), u′′ 【提示】 utt=-2sin(x-t)+2cos(x-t). xt
11、证明：函数u(x,t)=
(x-b)24a2t
满足热传导方程
?u2?u。=a?t?x2
(-x2+2bx+2a2t-b2)
?(x - b)2?
2????4at??
1(x - b)e?u(x,t)
-a=4atπt?x
2-12?u(x,y) a=-e
(x-b)24a2t
(-x2+2bx+2a2t-b2)
12、证明：n元函数u=(x+x+L+x)满足方程′′′′′u′x1x1+ux2x2+L+uxnxn=0
(n>2).【解】u′xi=(2-n)xix+L+x
′u′xixi=(-2+n)nx(x+L+x
+(x+x+L+x)(2-n)
′′′′′u′x1x1+ux2x2+L+uxnxn=0.
13、设映射f为(x,y)Ta(u,v)T，其中的对应关系由下列函数组定义，试求出
f的Jacobi矩阵及微分：
?u=lnx2+y2,
??u=ecosy,?（1）?（2）?yx
?v==arctan.v??
xy???2222??excosy-exsiny?xyxy++?.?;
J=? 【答案】
(1) J=?xx?esinyecosy?yx????-?x2+y2x2+y2???
14. 计算下列映射的导数：?x+y?
?（1）f(x,y)=??x2+y2?;
（2）g(u,v)=?usinv?.
?dx??dx+dy??11?
【解】 (1) J=??dy??=??2xdx+2ydy??2x2y??;?, df=J?
?cosv-usinv??cosvdu-usinvdv?????du??
(2) J=?sinvucosv?,
dg=J?=sinvdu+ucosvdv?;?dv??????0?1?dv????
15、求曲面z=2x2+4y2在（2，1，12）处的切平面方程。
【答案】z-12=8(x-2)+8(y-1)
16、求螺旋线r(t)=2costi+sintj+tk在点(0,1,)处的切线方程。
2 【答案】
17、求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在点(-1,1,22)处的切线方程。
18、求曲线x=t,y=t2,z=t3上切线平行于平面x+2y+z=4的点。【答案】
M1(-1,1,-1),
111M2(-,,-).
§3 链式求导法则习
1. 设z=u2lnv，其中u=
,v=3x-2y,求,.
?z?z2xln(3x-2y)3x22x2ln(3x-2y)2x2
【解】= , =-+2+2
22yy(3x-2y)?yyy(3x-2y)?x
2. 设w=x2+y2+sin(x+y),x=u+v,y=uv求【解】
=2u+2v+2uv2+cos(u+v+uv)(1+v),?u?w
=2u+2v+2u2v+cos(u+v+uv)(1+u).?v
3. 设z=x2y-xy2,x=rcosθ,y=rsinθ,求
?z?z,.?r?θ
=3r2sintcost(cost-sint),?r?z
=-r3(-2sin2tcost+cos3t_2cos2tsint+sin3t).?θ
4. 设z=arccos(x+y),x=3t,y=4t3,求
dt-9t2-24t4-16t65. 设z=arctan(xy),而y=ex,求
dx1+x2e2x6. eaxsinx.
dueax(y-z)
6. 设u=,y=asinx,z=cosx,求.2
dxa+1【解】
=eaxsinxdx
,,其中?x?y
7. 设f具有连续一阶偏导数，求
（1）u=f(x2-y2,exy);
（2）u=f(,).
【解】 (1)
=2xf1'+yexyf2',
=-2yf1'+xexyf2';?x?y
?uf1'y?ux1=-2f2',
=-2f1'+f2'.?xyx?yxy
8、设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)=1，fx(1,1)=2，fy(1,1)=3。如果
?(x)=f(x,f(x,x))，求?′(1)。
【解】?'(x)=fx'(x,f)+fy'(x,f)(fx'(x,x)+fy'(x,x))
?′(1)=fx'(1,1)+fy'(1,1)[fx'(1,1)+fy'(1,1)]=1+2×(1+2)=7.
9、设f是可微函数，a,b为常数，z=f(x+at,y+bt)，证明：
?z?z?z=a+b.?t?x?y
【提示】zx'=f1'(x+at,y+bt), zy'=f2'(x+at,y+bt),
zt'=af1'(x+at,y+bt)+bf2'(x+at,y+bt), 即成立所证等式.
10、设f是可微函数，u=xy+xf(),证明：
?u?u+y=u+xy.?x?y
?y??y??y??y?y?y?
【提示】 ux'=y+f??+xf′???-2?=y+f??-f'??,
?x??x??x??x?x?x??y?1?y?
uy'=x+xf'??=x+f'??,
?u?u?y??y??y?
=xy+xf??-yf'??+yx+yf'??=u+xy.+y?y?x?x??x??x?
11、设f是二元函数，具有二阶连续偏导数，求下列函数的2,,2:
（1）z=f(xy,y);（3）z=f(cosx,cosy);
（2）z=f(x,);
y（4）z=f(x2y,xy2).
【解】 (1) zxx
?x22x21x1?
12、设f是具有二阶连续偏导数的三元函数，u=f(x+y,x-y,xy).求
【解】. 'ux'=f1'+f2'+yf3, 'uy'=f1'-f2'+xf3,
13、设f(x,y)=∫e
x?2f?2fy?2f
dt，求-2+。22
y?x?x?yx?y
【解】fx'=ye-x
=-2x2y2e-x
x?2f?2fy?2f
,-2+2y?x?x?yx?y2
14、设u=f(x,y)具有各个二阶连续偏导数，
(s-t),y=(s+t).22
)+()2=()2+(2;
?2u?2u?2u?2u
（2）2+2=2+2.
【提示】 直接计算各个导数.
15、设有映射
(x,y)Ta(u,v,w)T,g:R2→R2,
(s,t)Ta(x,y)T,
u=x+y,v=xy,w=y,x
ss2+t2,y=t
,求复合映射fog的Jacobi矩阵。【解】
sut′??uu′?
?v′v?=?′xv′??x′sx′?11???-s2+t2s???
?(s2+t2)2x(s2+t2)2
???st′??v′y????w′s
=??yx′w′?y′y??s
?-2st?(s2+t2)2(s2+t2)2?
-s2-2st+t2s2-2st-t2?
(s2+t2)2(s2+t2)2
(-s2+t2)y-2xst-2yst+s2-t2
?.??y(s2-t2
)-2xst2yst+x(s2-t2)???x2(s2+t2)2x2(s2+t2)2??
16、设映射f=(f1,f2),g=(g1,g2),其中
f1(s,t)=s2+t2,f2(s,t)=s2-t2,
g(x,y)=lnx2+y2,gy12(x,y)=arctanx
求复合映射fog的Jacobi矩阵。
?2(ys+tx)?【解】. ??f1x
f1y??2(xs-ty)
??2(xs+ty)2(ys-tx)?
?x2+y2x2+y2??
17、设在直角坐标系(x,y)下，变量u,v满足Cauchy-Riemann方程：
u′x=v′y,
u′y=-v′x,
证明在极坐标系(r,θ)下，上述方程相应地变换成
uθ′=-vr′.ur
【解】x=rcosθ,y=rsinθ,r2=x2+y2, θ=arctan
, rrx′=x, rx′=,xr
′=-2′′′′′=. θx, θ, 代入表达式 u′yx=urrx+uθθx,222
rx+yx+y′′′′′′′′′′′′′′u′y=urry+uθθy, vx=vrrx+vθθx, vy=vrry+vθθy. 即得到ry′=
uθ′=-vr′.ur
18、求λ和u，使得线性变换
?ξ=x+λy,?
将微分关系式
A2+2B+C2=0
?x?y?x?y?2u
其中A，B，C为常数，且C≠0，B2-AC>0.【解】
?u?u?u?ξ?u?η?u?u?u?u
?η?x?ξ?x?η?x?ξ?η?y?ξ
?? + ??u(ξ,η)?u(ξ,η)ux := ??????ξ????
????η???λ + ??u(ξ,η)?uuy := ?u(ξ,η)????????????
?2?2?2???????????u(ξ,η)uxx := ?u(ξ,η) + 2 + u(ξ,η)??????22??????ξ?η???η??ξ??
?2?2?2?2??????????????????????? +
+ u(ξ,η)λu(ξ,η)u(ξ,η)u(ξ,η)uuxy := ? + ????????????22?????????ξ?η?ξ?η???η?????ξ??????
?2?2?2??????2?????u(ξ,η)uu(ξ,η)2λuu(ξ,η)uyy := λ? +
+ ??????22??????ξ?η???ξ???η?
?2u?2u?2uA2+2B+C2=
?2?2?2?2???????????????G(ξ,η)AA?G(ξ,η) + 2A + G(ξ,η) + 2BG(ξ,η)λ????????222???????ξ?η?ξ?η?ξ????????
?2?2?2??????????? + 2B? +
+ G(ξ,η)uG(ξ,η)λ2BG(ξ,η)u2B??????2???ξ?η?ξ?η??????η??2?2?2??????22????? + C?G(ξ,η)λ + 2Cλ + G(ξ,η)uG(ξ,η)uC??????22?????ξ?η????ξ???η?
因此当 λ,u是方程A+2Br+Cr2=0的两个解时.原方程变为
(A+2B+C)=0.
19、设2-2+2=0,且
写出新的因变量的w关于新的自变量u,v所满足的微分关系式。
z'x=fx+f'ww'x=w+xw'u-
z'y=xw'u+w'v,x
?2z?2z?2z(x+y)2?2w
?x?y?y?xx?v
隐函数微分法及其应用
1. 求下列隐函数的导数
（1）ex+sin(x+y)+xy=0;（2）excosy+eysinx=1.
ex+cos(x+y)+yexcosy+eycosx.
cos(x+y)+xesiny-esinx
2. 求下列隐函数的一阶偏导数zx,zy:（1）yz2-xz+xy-4z3=0;（2）cos2x+cos2y+cos2z=1.（3）x+2y+z-2xyz=0.（4）
zy'=-【解】.
2yz-x-12z2yz-x-12z
cosxsinxcosysiny,
coszsinzcoszsinz
-xyz+yz-2xyz+xz
xyz-xyxyz-xy
3. 设F是三元可微函数，
F(x,x+y,x+y+z)=0，
′求z′x,zy.【解】
F'+F'F1'+F2'+F3'
zy'=-23.F3'F3'
设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由F(x,y,z)=0所确定的具有连续编导数的函数，证明：
?x?y??y?z??z?x
=-1.【解】
?x?y??y?z??z??x=?F?-x′????Fy′????Fz′?=-1?Fy′????-Fz′????-F?x′??
z=z(2xyz2+x2y2-z4)
-xyz=0,求?26. z
【解】zy2z(zez-2ez+2xy)
-ez+3xye2z-3x2y2ez+x3y3
7. 试求由下列方程组确定的映射f:xa??y??
的Jacobi阵：
（1）???z=x2+y2
（2）??x+y+z=0,?x2
(1) zx=2x+2yyx
2x+4yyx+6zzx=0, x+2yyx+3zzx=0, x+zx
x-2x+3zzx=0, zx=1+3z
?-x-6xz?2yyxx-2x-6xz-x-6xz?2y(1+3z)?
-2x, yx=2y(1+3z)=2y(1+3z). J=?
??.?x??1+3z??
(2) 1+yx+zx=0, y+yyx+yzx=0, x+yyx+zzx=0, y-x+(y-z)zx=0,
x-yx-zz-y?.zx=, z+zyx+zzx=0, yx=.
?x-y?y-zz-y
?y-z???8. 求由下列方程组确定的映射(x,y)Ta(u,v)T的Jacobi阵：
??x=e+usinv,（1）?u
?u=f(ux,v+y)（2）?, 其中f,g具有连续一阶偏导数。2
(,)v=gu-xvy?
u??F1=e+usinv-x,
??F2=e-ucosv-y;
???u??F2???u?F1?v?F2?v
??eu+sinvucosv???=?u?, ??x
??F2e-cosvusinv????????x???
?F1?y?F2?y
-10??=???????0-1???
??F1???u??F2???uJ=
?F1?v?F2?v
-cosv??sinv1
??uuu?e(sinv-cosv)+1?e-cosve+cosv??
?F1=f(ux,v+y)-u,-cosv??sinv1
-+coscoseveveu(sinv-cosv)+1????F2=g(u-x,vy)-v,?F1
??F1???u??F2???u
??F1????xf'-1f2'???x1
?=??, ???F22vyg2'-1???g1'????x????????
?F1?y?F2?y
uf1′f2′??=???2???-g1′vg2′????
??F1???u??F2???u?F1?v?F2?v
′-1-f2′??2vyg21
???′′′′′′′′xf1-1?2xvyf1g2-xf1-2vyg2-f2g1+1?-g1?
′-xf1′-2vyg2′-f2′g1′+12xvyf1′g2
′-1)?f2′((2vy-v2)g2
′′′′′-f2g1+xvf1g2-vg2??
?2uvyf1′g′′′′2-uf1+f2g1
?-g′((u+x)f′-1)
设y=f(x,t)，F(x,y,t)=0，其中二元函数f和三元函数F均具有连续一阶偏导数，且Fz′≠0。证明
dyfx′Ft′-ft′Fx′
=。dxft′Fy′+Ft′
【解】由y=f(x,t),F(x,y,t)=0知, y,t均是x的函数, 利用一阶微分的形式不变性有 dy=fx'dx+ftdt, Fx'dx+Fy'dy+Ft'dt=0, 或
fx′Fy′+F'xdyfx′Ft′-ft′Fx′dtdydt
+Ft'=-Fx', 联立解得=, =-.
dxdxdxft′Fy′+Ft′dxft′Fy′+Ft′
10. 求曲面ez-z+xy=3在点（2，1，0）处的切平面方程。
【答案】Fx′(x,y,z)=y, Fy′(x,y,z)=x, Fz′(x,y,z)=ez-1, 代入点的坐标得平面方程是 x+2y-4=0
11. 求椭球面x2+2y2+z2=1上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。【答案】
=0, x-y+2z+
证明：曲面x+y+z=a(a>0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.
【解】设F(x,y,z)=x+y+z-a, Fx′=
曲面上一点M(x0,y0,z0)的切平面方程
=a,平面的三个截距
分别为ax0, ay0, az0, 于是截距之和为
ax0+ay0+az0=aa=a.
设x=u+v，y=u2+v2，z=u3+v3，求z′x,zy。
′′′′′′′′′′【解】z′x=zuux+zvvx=3uux+3vvx,而ux+vx=1, 2uux+2vvx=0,即
v-u3u2v-3uv2
′′uu′,v′, 代入得
z′=-3uv,x+vvx=0,
因此ux=x=x=
=(y-x2), 同理得 zy'=3x.2
14、已知曲面x2-y2-3z=0，求经过点A(0,0,-1)且与直线平面的方程。
【解】 设切点是M(x0,y0,z0), 切平面的法向量(2x0,-2y0,-3), 切平面为
==平行的切212
2x0x-2y0y-3(z+z0)=0, 经过点A(0,0,-1)，于是z0=1, 切平面与直线xyz==212
?4x0-2y0-6=0
平行, 则4x0-2y0-6=0, 解?2, 得解2
--=xy300?0
x0=2,y0=1,z0=1,
切平面是 4(x-2)-2(y-1)-3(z-1)=0.
15、设椭球面2x2+3y2+z2=6上点P(1,1,1)处指向外侧的法向量为n，求函数u=
在点P处沿方向n的方向导数。z
【解】 n=(4,6,2), n0=?,,?,
?n716、求由参数方程
x=ucosv,y=usinv,z=a2-u2
给出的曲面在点A(x0,y0,z0)处的切平面方程，其中点A在曲面上。
【解】该曲面为z=a2-x2-y2， 曲面切面方程是x0x+y0y+z0z=a2, 0z0>.
17、试求空间曲线
?x2+y2+z2-3x=0
?2x-3y+5z-4=0
在（1，1，1）处的切线方程。
==【答案】109-1
18、证明：曲面f(
,=0上任一点处的切平面均过一定点。z-cz-c
【提示】切面都过点(a,b,c).
1、求函数z=x2+y2在点（1，2）处沿从点（1，2）到点(2,2+)方向的方向导数。【解】l=(1,3),
2、求函数u=xyz在点（5，1，2）处沿从该点到点（9，4，14）方向的方向导数。【解】
l=(4,3,12),
3、求函数u=数。
在点（1，1，…，1）处沿l=-(1,1,L,1)方向的方向导
【解】-n∑xi
4、已知u=x2+y2+z2-xy+yz,点p0=(1,1,1)，求u在点p0处的方向导数最大值和最小值，并指出相应的方向l。
【解】grad u=(2x-y)i+(2y-x+z)j+(2z+y)k, grad u|P0=i+2j+3k, 最大值是， 最小值-. 由于
=grad u?l, 因此方向导数为零的方向即为与梯?l
度垂直的方向. 其一般形式是(-2s-3t)i+sj+tk, 其中s,t为任意常数.
5、求下列数量场的梯度：（1）u=x2+y2;（2）u=
（3）u=∑xi.
xi+yjx2+y2
((y+z)yzi+(x+z)xzj+(x+y)xyk);
(1,1,K,1).
6、设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导函数，就方向l(cosα,cosβ,cosγ）写出二阶方向导数
=().?l2?l?l
?2u?2u?2u?2u22
2=2cosα+2cosβ+2cos2γ
?l?x?y?z?2u?2u?2u
+2cosαcosβ+2cosαcosγ+2cosβcosγ?x?y?x?z?y?z
7. 设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导函数，设三个方向
l1(cosα1,cosβ1,cosγ1)，l2(cosα2,cosβ2,cosγ2), )l3(cosα3,cosβ3,cosγ3 互相垂
?u?u?u?u?u?u
)+()2+()2=()2+()2+()2;
?z?l1?l2?l3?x?y
?2u?2u?2u?2u?2u?2u
（2）2+2+2=2+2+2.
?l1?l2?l3?x?y?z【解】(1)
′′ul′1=u′xcosα1+uycosβ1+uzcosγ1,′′ul′2=u′xcosα2+uycosβ2+uzcosγ2,′′ul′3=u′xcosα3+uycosβ3+uzcosγ3,
?u?u?u2222
)+()2+()2 =u′x(cosα1+cosα2+cosα3)?l1?l2?l3
′2+u′y(cosβ1+cosβ2+cosβ3) +uz(cosγ1+cosγ2+cosγ3)
′+2u′xuy(cosα1cosβ1+cosα2cosβ2+cosα3cosβ3)′+2u′zuy(cosγ1cosβ1+cosγ2cosβ2+cosγ3cosβ3)
′+2u′xuz(cosα1cosγ1+cosα2cosγ2+cosα3cosγ3),
由于三个方向l1,l2,l3是互相垂直的单位向量, 因此cos2α1+cos2α2+cos2α3=1,
cos2γ1+cos2γ2+cos2γ3=.,cos2β1+cos2β2+cos2β3=1, 1cosα1cosγ1+cosα2cosγ2+cosα3cosγ3=0,cosγ1cosβ1+cosγ2cosβ2+cosγ3cosβ=0,cosα1cosγ1+cosα2cosγ
?2u?2u?2u222
′+2+2=u′xx(cosα1+cosα2+cosα3)2
′′′+u′yy(cosβ1+cosβ2+cosβ3)+uzz(cosγ1+cosγ2+cosγ3)
+cosα3cosγ3=0, 于是
?u?u?u?u?u?u
)+()2+()2=()2+(2+(2;
?z?l1?l2?l3?x?y
′+2u′xy(cosα1cosβ1+cosα2cosβ2+cosα3cosβ3)
′(cosγ1cosβ1+cosγ2cosβ2+cosγ3cosβ3)+2u′yz
′+2u′zx(cosα1cosγ1+cosα2cosγ2+cosα3cosγ3).也得到
?2u?2u?2u?2u?2u?2u
+2+2=2+2+2.
?z?y?x?l3?l12?l2
§6 Taylor公式
1. 写出下列函数在原点处的2阶Taylor展开式（1）z=e-xln(1+y);（2）u=ln(1+x+y+z).
y+R(x,y)2111
x+y+z-x2-y2-z2-xy-xz-yz+o(x2+y2).
222【答案】. (1) y-xy-
2. 求函数f(x,y)=sinxsiny在点(,)处的2阶Taylor公式。
π?1?π?1?π??π?1πxy1?
【答案】sinxsiny=-++-?x-?-?y-?+?x-??y-?
?4?2?4??4?
+o(x2+y2).
3. 求函数f(x,y)=ex+y在原点处的n阶Taylor公式。【答案】f(x,y)=e
?2?Cn22kn-k
?=∑∑xy+o?(xy)+??s=0k=0n!??n
4. 利用2阶Taylor公式计算8.962.03的近似值。
(9+x)(2+y)=81+18x+81yln9+y2(ln9)2+(9+18ln9)xy+x2, 得到
28.962.03=(9-0.04)(2+0.03)≈85.74,
1. 求函数f(x,y)=x4+y4-4xy+1的极值。
fmin(1,1)=-1, fmin(-1,-1)=-1, 1fmax(0,0)=.
2. 求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值。e
23. 讨论f(x,y)=y2-x2的极值。【答案】 无极值.
4. 讨论函数f(x,y)=(y-x2)(y-x4)的极值。
?23??f(0,0)=f(1,1)=f(-1,1)=,【解】点(0,0),(1,1),(-1,1), ?±,??是驻点, 028??fyy
?,?B-AC>, 可以验证 fmin?±=- 在点(-1,1)(1,1), 0.
这个例题也说明,?2864??
函数f(x,y)在过点M(x0,y0)的每一条直线上都取极大值， 那么函数f(x,y)在点M(x0,y0)不一定有极大值
5. 证明函数f(x,y)=(1+ey)cosx-yey有无穷多个极大值点，但无极小值点。【解】fx′=-(1+ey)sinx=0, x=kπ,k=0,±1,±2,L, fy′=ey(cosx-1-y)=0,
′′=-(1+ey)cosx, y=(-1)k-1, fxx′′=-eysinx, fxy′′=eycosx-(2+y)ey,fyy
B2-AC=?, 于是当x=2nπ,y=0时, 函数取极大值, 当-2-2
?(1+e)e,k=2n+1x=(2n+1)π,y=-2时, 函数不取极值.
6. 函数z=z(x,y)由下列方程确定，讨论其极值（1）2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0;
（2）x++-z=0.
【答案】 (1) (-2,0,1)处取极大; (
fmin(0,0)=0
,0,-)处取极小。
fmax(0,0)=6,
7. 求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域D={(x,y)|x≥0,y≥0,x+y≤2π} 上的最大值和最小值。
.【答案】 fmin=0在边界上取得， fmax?,?=2?33?
8. 求f(x,y)=(ax2+by2)e-x
的最大值与最小值(a≠b).
【答案】 fmin(0,0)=0, fmax=max(,),a,b>0.
ee9、证明：当x2+y2<1时，成立不等式
2|xy|-≤4-4cosxy|≤2|xy|。
【解】当x+y<1时, xy≤<<1, 于是
22|xy|x2y2|xy|x2x4x2
1-+>cosx>1-+>cosxy|>1-, 1-,
2|xy|-<4-4cosxy|<2|xy|.
10、某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量分别为
(3-αx-βy)x 和 (4-βx-2αy)y（α>β>0）。
求使产鱼总量最大的放养数。
【解】f(x,y)=(3-αx-βy)x+(4-2αy-βx)y,fx′=-2αx-2βy+3,
3α-2β4α-3β
,fy′=-2βx-4αy+4, 驻点是x=y=,2222
2α-β2(2α-β)B2-AC=-8α2+4β2<0, 因此取极大值, 也是最大值.
11. 求f(x,y)=xy(4-x-y)在x=1,y=0,x+y=6所围区域上的最大值与
【答案】 fmin(3,3)=-18;fmax(,)=.
12. 要做一个体积为2m2的有盖的长方体容器，当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。
【答案】 当x=y=z=2时, 即正方形时材料最省
13. 在平面Oxy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方和为最小。
(x+2y-16)2?816?
求其极值得.
所求点为 ?,?.【答案】. 令 f(x,y)=x+y+
14. 在以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形所围成的闭区域上找点，使它到三个顶点的距离的平方和取最大或最小。
【答案】 对区域内按极值讨论, 边界上按条件极值讨论, 得到 点?,?到三边的
?44?距离平方和最小为
， (0,1)或(1,0)到三边的距离平方和最大为1.4
15. 已知n个点Pi(ai,bi)(i=1,2,L,n)，求点P`(x,y),使其到P1,P2,L,Pn的距离平方和最小。
′=2nx-2∑ak, D′【解】令D=∑(x-ak)+(y-bk), Dxy=2ny-2∑bk, 驻
点是 ?∑ak,∑bk?, 0B2-AC=-4n2<, 因此取极大.
nk=1??nk=1
16. 已知u=ax2+by2+cz2，其中a,b,c均为正数，求在约束条件x+y+z=1下
u的最小值。
【解】令f=ax2+by2+cz2+λ(x+y+z-1), fx′=2ax+λ=0,
fy′=2ay+λ=0, fz′=2az+λ=0, x=-
, 利用约束
11?abcbc?1++?=-2条件得λ=-?,于是当x=,
ab+bc+acab+bc+ac?2a2b2c?y=
., z=时得函数的最小值
ab+bc+acab+bc+acab+bc+ac
17. 求原点到z2=xy+x-y+4的最短距离。
Fx'=2x-λy-λ=,【解】F(x,y,z)=x2+y2+z2+λ(z2-xy-x+y-4), 0Fy'=2y-λx+λ=0,
Fz'=2z-2λz=0.
于是由Fz'=0得z=0 或λ=-1 , 由Fx'=0,Fy'=0, 得(x+y)(2-λ)=0.
根据x+y=0,λ=-1, 得到x=-1,y=1,z=1,或x=-1,y=1,z=1, 3d2=;
根据x+y=0,z=0得到x=1±, y=-1m,
根据z=0,λ=2, 无实解.
最后的结论是(-1,1,±1)处最短距离3. 果.
18. 抛物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截得一个椭圆，求原点到这个椭圆的最长和最短距离。
【提示】 作辅助函数 F(x,y,z)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+u(x+y+z-1)，其中λ,u都是参数. 由Fx'=0,Fy'=0,Fz'=0, 得到x=y=-
代入约束得到 λ=-3±
, z=2±3,,
u=-7±3, 因此x=y=
?-1+3-1+3?
?处距离最近为9-5； 点可以得到最后结论.
点?,,2-??22???-1-3-1-3?
?,,2+??? 处距离最远为 9+5.22??
19. 求旋转抛物面z=x2+y2与平面x+y-z=1之间的最短距离。
1?111?【提示】 作辅助函数F(x,y,z)=(x+y-z-1)2+λ(x2+y2-z), 得点?,,?
3?222?到平面的距离最短为
20. 求函数f(x,y,z)=x2+2y2+z2-2xy-2yz在条件x2+y2+z2=4下的最大值和最小值。
【答案】【答案】 F=x2+2y2+z2-2xy-2zy+λ(x2+y2+z2-4),
F'x=2x-2y+2λx=0, 0F'y=4y-2x-2z+2λy=, F'z=2z-2y+2λz=0, 解得 λ=0或x+y+z=0,
-20??2(1+λ)
??2, D=?-2若λ=0, 则x=y=z=±-2?,
特征值2(2+λ)3?0-22(1+λ)???
λ=0,2,6, 正定型, 函数取极小值0;
?(2+λ)x+z=02
若x+y+z=0, 则??x+(2+λ)z=0, 要非零解, 得λ+4λ+3=0, λ1=-1,
若λ1=-1, 则D=?-22-2?, 特征值λ=0,4,-2, 不定型. 函数不取极值;
?0-20????-4-20?
λ=-3, x=z=±, 则D=?-2-2-2?, 特征值λ=0,-4,-6, 负, y=m
定型, 函数取极大值12.
21. 在上半椭球体2+2+2≤1,z≥0内嵌入一个体积最大的长方体，求其
abc长、宽、高及体积。【答案】 长宽高分别为
224a,b,c时体积最大，为abc.3339
(x+y4)在条件x+y=a下的最小值，其中x≥0，y≥0，a为常2
数。并证明不等式
x4+y4?x+y?
≥??。22??
x+y4+l(a-x-y), fx′=2x3-l=0, fy′=2y3-l=0, 得2
+=a, 得l=, x=y=时函数z取极小值.因此, 记
x4+y4a4?x+y?
≥=??.216?2?
23. 当x>0,y>0,z>0时，求函数
f(x,y,z)=lnx+2lny+3lnz
在球面x2+y2+z2=6R2上的最大值。并由此证明：当a,b,c为正实数时，成立不等式
?a+b+c?ab2c3≤108??.
′=【解】.令 L=lnx+2lny+3lnz+l(6R2-x2-y2-z2), Lx
′=-2lz=0, x2=, y2=, z2= , 根据约束条件得-2ly=0, Lz
=6R2, l=. 此时x=R, y=2R, z=R, 函数取最大值22l2R
fmax(R,2R,R)=ln(63R6).
若令x2=a, y2=b, z2=c, 则
x2+y2+z2?236
?lnxyz≤ln(63R)=ln?,??6??
ab2c3≤108??
24. 某公司通过电台和报纸两种方式作销售某种商品广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费x1（万元）和报纸广告费x2（万元）间的关系是
R=15+14x1+32x2-x1x2-2x1-8x2。
试求：（1）在广告费不受限制情况下的最优广告策略；
（2）在广告费限制1.5（万元）时，其相应的最优广告策略。【解】 (1)
R=15+14x1+32x2-x1x2-2x1-8x2则
′1=14-x2-4x1=0,
Rx′2=32-x1-16x2=0Rx
=. 此时R取极大值.21217
(2) R=15+14x1+32x2-x1x2-2x1-8x2+λ(x1+x2-1.5)当解得 x1=
15729, x2=时, R取最大值=45.
《高等数学》习题参考资料第三篇 多元函数微积分第七章 多元函数微分学§1 多元函数的极限与连续习 题1. 当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限x3+xy2;（1）2x+y2（3）（2）x2+y2x+y+1-122;x…
《高等数学》习题参考资料第三篇 多元函数微积分第七章 多元函数微分学§1 多元函数的极限与连续习 题1. 当(x,y)→(0,0)时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限x3+xy2;（1）2x+y2（3）（2）x2+y2x+y+1-122;x…
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