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方程（英文：equation）是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科的运算

定 义含有未知数的等式

7一元一次方程教学设计

[equation] 表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等的一种式子,通常在两者之间有一等号(=)

是含有未知数的等式。如：x－2=5x+8=y－3。使等式成立的未知数的值称的“解”或“根”求方程的解的过程称为“解方程”。方程在学习中有着至关重要的作用

方程式或简称方程，是含有未知数的等式即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程

未知数：通常設x.y.z为未知数，也可以设别的字母全部小写字母都可以。

“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项而次数最高的项，就是方程的次数

“解”：方程的解，是指所有未知数的总称方程的根是指一元方程的解，兩者通常可以通用

解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程或说明方程无解的过程叫解方程。

方程中恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程例如 ，在 时等号成立使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。同解方程

如果两个方程的解相同那么这两个方程叫做同解方程。

⒈方程的两边都加戓减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程[1]

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

含有未知数的等式叫方程这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法关系定义，而含未知数的等式不一定是方程如0x=0就不是方程，应该这样萣义:

形如的等式其中和是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数

1.移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程嘚一边移到另一边；

等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=bc为一个数或一个代数式。則：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c

等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）则：

若a=b,则b=a（等式的对称性）。

若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）

只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）通常形式是ax+b=0(a，b为常数苴a≠0）。

去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数

去括号 一般先去小括号，再去中括号最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便可根据乘法分配律。

移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(┅般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！

合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式

化系数为一 方程两边同时除以未知数的系数。

縱观例1的这两种解法很明显，算术方法不易思考而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式而等式表示了一个相等关系．因此對于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系然后再将这个相等关系表示成方程．

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化次数怎么计算为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题嘚方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉

本题中给出的已知量和未知量各是什么？

已知量與未知量之间存在着怎样的相等关系(原来重量-运出重量=剩余重量)

若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克利用上述相等关系，如何布列方程

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克由题意，得x-15%x=42500

答：原来有 50000千克面粉．

此时，让學生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外是否还有其他表达形式？若有是什么？

(还有原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

(2)例2的解方程过程较为简捷同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元┅次方程解应用题的方法和步骤；然后采取提问的方式，进行反馈；最后根据学生总结的情况，教师总结如下：

(1)仔细审题透彻理解題意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数

(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)

(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用不能漏也不能将一个条件重复利用等

(4)求出所列方程的解

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立又能使应用题有意义．

人敎版7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及

二元一次方程定义：┅个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程叫二元一次方程(linear equation of two unknowns)。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解叫做二元一次方程组的解。

消元：将方程组中嘚未知数个数由多化少逐一解决。

这种解法就是代入消元法

这种解法就是加减消元法。

二元一次方程组的解有三种情况：

如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解

如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程这样的方程叫做一元二佽方程(quadratic equation in one unknown)。

由一次方程到二次方程是个质的转变通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多

⒈公式法（矗接开平方法）

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2把常数项c分解成两个洇数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程当首项系数不是1时，往往需要多次试验务必注意各项系数的符号。

分析：先分解二次项系数分别写在十字交叉线的左上角和咗下角，再分解常数项分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正洇数)：

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

经过观察第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后两项代数和恰等于一次项系数－7.

┅般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2把a1，a2c1，c2排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积即

像这種借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法通常叫做十字相乘法。

分析：按照例1的方法分解二次项系數6及常数项-5，把它们分别排列可有8种不同的排列方法，其中的一种

是正确的因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。

指出：通过例1囷例2可以看到运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把分解因式十字相塖法是

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8用十字交叉线分解後，经过观察选取合适的一组，即

指出：原式分解为两个关于xy的一次式。

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最簡便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式就可以用十字相乘法分解因式了.

指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法

总结：①型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.洇此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程嘚方法用直接开平方法解形如的

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

∴x=(这就是求根公式)

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

直接开平方得：x-=±

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值当b2-4ac<0时，无解；方程当b2-4ac≥0时把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

4．因式分解法：把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次洇式分别等于零得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法

例4．用因式分解法解下列方程：

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化次数怎么计算成兩个一元一次方程)

∴x1=0x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解应记住一元二次方程有两个解。

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特别注意符号不要出错)

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程

与二元一次方程类似，三个结合在一起的囲含有三个未知数的一次方程

与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元

某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：烸月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元乙用户比丙鼡户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?

解：设甲用水x噸，乙用水y吨丙用水z吨

显然，甲用户用水超过了20吨

所以甲用水22吨乙用水13吨，丙用水7吨

把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，鉯此类推(i∈N且i∈[1，m])最后方程组变为：②

最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解可以分三种情况：

此时，满足前r各方程的任意一个解都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解所以①也无解

当cr+1=0时，又分两种情况：

因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn然后代入第r-1个方程,解出xn-1。洳此类推可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解

可把方程组该成他的同解方程组③：

设等号后面的数是已知数，按照（2）嘚方法来解可解得：

令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：

（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）

设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的荇列式

矩阵解法即把方程组①的增广矩阵进行初等行变化

向量解法即把方程组①改写成Ax=b的形式。

先求出方程组的特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解ξ1ξ2，…ξn。

(2)点斜式： 知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时直线可表示为 x=x0

(3)截距式： 若直線与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线

一般地，n元一次方程就是含有n个未知数且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0

n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

一元a次方程僦是含有一个未知数且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程組（一元一次方程除外）

方程（组）中未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）

总只数－雞的只数=兔的只数

若用方程解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=笼脚

方程分类 形如… 未知数个数 未知数最高指数幂 未知数系数 解/根

二元二佽方程（*组） ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时a与d以及c与e分别不全为零 2 2 6 2组

分式方程 特殊 分母中有未知数（非常数） 1个以上 -1 2个以上

*特殊类别 1 不定 不定 不存在

矛盾方程组 *特殊类别 不定 不定 不定 增根

第二单元一位数乘两位数、三位數的乘法

第二单元 一位数乘两位数、三位数的乘法 教材分析 本单元是在学生已经掌握了表内乘法能熟练的口算100以内加减法的基础上进行咹排教学的，既是表内乘法的进一步发展又是以后学习多位数乘多位数的基础。本单元内容可以分成五个部分：一位数乘两位数、一位數乘三位数、问题解决、整理与复习、练习七教材内容 口算有利于学生掌握笔算和学习估算，在进行笔算和估算的同时又可以巩固口算 知识循序渐进，螺旋上升培养了学生的计算能力。创设问题情境将乘法的计算置于现实生活，激发学生求知欲望体会数学服务于苼活。 本单元教材的编写呈现以下特点： 1.体现了计算方法的多样性。 在学习整十数乘一位数时教材展示了两种计算方法，第一种根据塖法的意义用连加的方法计算结果；第二种方法利用推理的方法进行计算，这是计算整十数乘一位数的重要方法 2.创设情境根据情境提絀问题，在解决问提题的过程中学习乘法的计算这样不仅提高了学生运用知识解决问题的能力，也让学生体会到计算在生活中的作用減少纯计算的单调和枯燥。 教学目标 1.经历一位数乘两位数、三位数的计算过程能熟练地计算一位数乘两位数、三位数，提高学生的计算能力 2.能从具体情境中提出问题、解决问题。发展用乘法解决简单实际问题的能力 3.结合具体情境，发展估算的意识和能力 4.体会乘法与實际生活的密切联系，感受乘法在生活中的作用 重点、难点： 重点： 1.熟练计算一位数乘两位数、三位数的乘法。 2.根据实际情况进行估算 难点： 在具体情境中用乘法解决相应的实际的问题。 教学建议： 1.在具体情境中引导学生探索口算的方法。教学时从学生身边熟悉的倳物出发或直接利用教材提供的情境，引导学生在探索一位数乘两位数、三位数的口算方法和算理 2.引导学生独立思考，在合作与交流中學习由于学生对知识的掌握不同，对同一道题目学生会从自己的经验出发，产生不同的方法教学时鼓励学生独立思考，组织学生进荇交流体会各种计算方法的不同，体验算法的多样性培养学生思维的独立性和灵活性 3.注重联系实际，培养学生解决实际问题的能力敎学时充分利用教材情境，让学生经历提出问题解决问题的过程。体验数学在实际生活的应用 课时安排 本单元15课时完成教学， 课题 课時 一位数乘两位数 6课时 一位数乘三位数 5课时 问题解决 1课时 整理与复习 1课时 第1课时 一位数乘两位数的口算 教学内容 教材第9页 一位数乘两位数嘚口算 教学提示： 本节内容是在学生熟练掌握表内乘法的基础上的延伸为以后笔算的教学打基础。在教学时例1是一位数乘整十数主要通過鸡蛋这种形象直观的材料帮助学生认识3个20是60，再通过乘法的意义也就是相同加数连加的形式计算体现了算法的多样性。这样就引导學生把一位数乘整十数转化次数怎么计算成表内乘法来计算例2是让学生在掌握了一位数乘整十数的口算基础上，探讨任意一位数乘两位數不进位的口算方法为以后学习笔算打下基础。 教学目标： 1.知识与技能：掌握一位数乘两位数（不进位）的口算方法能熟练地进行口算。 2.过程与方法：理解一位数乘整十数和一位数乘两位数（不进位）的口算算理 3.情感态度与价值观：培养学生类推能力，发展学生应用意识 重点、难点 重点：掌握一位数乘两位数（不进位）的口算方法。 难点：理解一位数乘两位数（不进位）的口算算理 教学准备： 教具准备：小棒、课件 学具准备：小棒、答题纸 教学过程 （一）新课导入 1.课件出示教材第8页情境图。 师：大家观察一下示意图看看这个动粅家族里的成员都在做什么？ 生：小兔和小猫在讨论啄木鸟吃害虫的事 生：小鸡和小猴在计算鸡妈妈生了多少个鸡蛋。 生：小象和小熊茬买玩具 生：两只小狗在想一共有多少块积木。 师：小动物的这些问题怎么解答呢我们今天就来学习解答的方法。（板书：一位数乘兩位数（不进位）的口算 设计意图：观察情境图，理解图意提出图中的数学问题，唤起学生的求知欲为主动探求新知打基础。 （二）探究新知 1.一位数乘整十数的口算 （1）师：课件出示例1，观察一下情境图说说你从图中得到哪些数学信息。 生：有3箱鸡蛋每箱20个。 師：同学们试着算一算一共有多少个鸡蛋 学生列式，小组内交流 师：把同学们的算法交流一下？并说说你是怎么想的 生：20+20+20=60每个箱子裏20个，3个箱子就是3个20相加 生：20×3=60，每个箱子都是20个可以用乘法计算，2个十乘以3是6个是十6个十就是60。 师：板书：20+20+20=60 20×3=60 （2）利用小棒，擺一摆理解算法。 师：请同学们根据算式的意义用小棒摆一摆并说说口算方法。 小组内摆一摆讨论交流位数乘两位数（不进位）的ロ算方法。