《重积分论文》_优秀范文十篇 范文一：重积分论文《高等数学》——重积分摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的 过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出 的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非 常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分 主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求 空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。 其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用.在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数 的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二 重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映， 三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实 过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种 知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科 中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于 重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而 计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学 习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1 曲面的面积 设曲面 ? 的方程为 z? f ?x, y ?， 在 xoy 面上的投影为 D xy ，函数 f ?x, y ? 在 D 上具 ?有连续偏导数，则曲面 ? 的面积为：A ? ??D? ?f ? ? ?f ? 2 2 1 ? ? ? ? ? ? dxdy ? ?? 1 ? f x ?x, y ? ? f y ?x, y ?d? ? ? ? ?x ? ? ?y ? D22若曲面 ? 的方程为 x ? g? y, z ?， ?在 yoz 面上的投影为 D yz ，则曲面 ? 的面积为：A ? ??D? ?g ? ? ?g ? 2 2 1 ? ? ? ? ? ? dydz ? ?? 1 ? f y ? y, z ? ? f z ? y, z ?d? ? ?y ? ? ? ? ?z ? D22若曲面 ? 的方程为y ? h?z, x ?， 在 zox 面上的投影为 D zx ，则曲面 ? 的面积为：?2 2A ? ??D? ?h ? ? ?h ? 2 2 1 ? ? ? ? ? ? dzdx ? ?? 1 ? f z ?z, x ? ? f x ?z , x ?d? ? ?z ? ? ?x ? D? xy 被柱面 x 2 ? y 2 ? R 2 所截出的面积 A 。2例 1：计算双曲抛物面 z解：曲面在 xoy 面上投影为 D : x? y 2 ? R 2 ,则2 2A ? ?? 1 ? z x ? z y dxdyD即有:A ? ?? 1 ? x 2 ? y 2 dxdy ? ? d? ?0 D2?R03 2 1 ? r 2 rdr ? ? ??1 ? R 2 ? 2 ? 1? ? 3 ? ? ?? y 2 ? R 2 所截出的面积 A 如上所示。 例 2:求半径为 a 的球的表面积.从而被柱面 x2解:取上半球面方程为 z? a2 ? x2 ? y2 ,则它在 xoy 面上的投影区域 D ? 又由??x, y? x2? y 2 ? a2?.?z ?x ?z ?y ? , ? , 2 2 2 2 2 2 ?x ?y a ?x ?y a ?x ?ya ? ?z ? ? ?z ? 1? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? ?x ? ? ?y ? a2 ? x2 ? y 22 2得 因为这函数在闭区域D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域D1 ? ?x, y? x2 ? y 2 ? b2 ?0 ? b ? a? 为积分区域,算出相应于 D1 的球面面积 A1 后,令b ? a 取 A1 的极限就得半球面的面积.??A1 ? ??

D1a a ?x ?y2 2 2dxdy,利用极坐标,得A1 ? ??D1a a2 ? ? 2?d?d? ? a ? d? ?02?b?d?a2 ? ? 20于是lim A1 ? lim 2?a a ? a 2 ? b 2 ? 2?a 2 .b?a b?a??这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为A ? 4?a 2 .1.2 质量 1.2.1 平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域 D ，面密度为 ? 其中 dm ? ??x, y ?，则它的质量为 m ? ?? ? ?x, y ?d? ，D?x, y ?d? 称为质量元素.1.2.2 物体的质量 若物体占有空间闭区域 ? ，体密度为 ??x, y, z ? ，则它的质量为 m ? ??? ? ?x, y, z ?dvD例 3：由螺线 ? 求它的质量。? 2? ，与直线 ? ?? 2，围成一平面薄片 D ，它的面密度为 ?? x2 ? y 2 ，yox解：如图所示， m ?2 ?? ?dxdy ? ?? ?x ? y ?dxdy ? ? 2 d? ? ? ? ?d? 2 2 2? 0 0 D D?1 5 2 ?5 ? 4? ? d? ? 4 ? ? ? 5 0 402 0 4??1.3 质心 1.3.1 平面薄片的质心 若平面若平面薄片占有平面比区域 D ，面密度为 ??x, y ?，则它的质心坐标为：1 ? x ? ?? x? ?x, y ?d? ? mD ? ? ? y ? 1 y? ?x, y ?d? ? m ?? D ?1.3.2 物体的质心 若物体占有空间闭区域 ? ，体密度为 ?，其中 m 为平面薄片的质量.?x, y, z ? ，则它的质心坐标为：? 1 ? x ? ??? ? ? x, y, z ?dv m D ? ? 1 ? ? y ? ??? ? ? x, y, z ?dv m D ，其中 m 为物体的质量. ? ? 1 ? z ? ??? ? ? x, y, z ?dv m D ? ?例 4：求位于两球面 x2? y 2 ? ?z ? 2? ? 4 ，和 x2 ? y 2 ? ?z ?1? ? 1 之间的均匀物体的2 2质心. 解：由对称性可知，质心必须位于 z 轴上 ，故x ? 0, y ? 0由公式1 z ? ??? z?d? ? m ?由面 ???? z?d? ??? ?d?? ?? 常数，不妨设 ? ? 1 ，则??? ?d? ? ? ??的体积? ，?4 4 28 ? ? ? 23 - ? ? 13 ? ? 3 3 3??? z?d? ? ??? zd?? ?? ? d? ? 2 d? ?0 02??4 cos?2 cos?? cos?? 2 sin ?d?4 cos???2?01 d? ? 2 sin ? cos?? 4 d? 0 4 2 cos???1 ? 2? ? 2 sin ? cos 4 4 cos4 ? ? 16 cos4 ? d? ? 0 4 ? 120? ? 2 sin ? cos5 ?d?0???? 1 ?2 6 ? 120? ? ? cos ? ? ? 6 ?0 ? 20?所以?z?? ?20? 15 ? ， 28 ? 7 315 ? ?。 7 ?从而质心坐标为 ? 0,0, 例 5:求位于两圆 ? 解：如图所示：? 2 sin ? 和 ? ? 4 sin ? 之间的均匀薄片的质心。因为闭区域 D 对称于轴 y 轴，所以质心 C 再按公式?x, y ? ，必位于 y 轴上，于是 x ? 0 。y?1 yd? A ?? D由于闭区域 D 位于半径为 1 和半径为 2 的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面 计算 y ，积之差，即 A ? 3? 。再利用极坐标计算积分yDo2 ?? yd? ? ?? ? sin ? d ? d? ? ? sin ? d? ? 0 D Dx?4sin ?2sin ?? 2d ? ?56 ? 4 sin ? d? ? 7? 3 ?0因此 所以质心是 C ? 0, 1.4 转动惯量 1.4.1 平面薄片的转动惯量y?7? 7 ? , 3? 3? ?7? ? 3?。若平面薄片占有平面闭区域 D ，面密度为 ? 别为:?x, y ?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分I x ? ?? y 2 ?d? , I y ? ?? x 2 ?d? , I o ? ?? x 2 ? y 2 ?d?D D D??1.4.2 物体的转动惯量 若物体占有空间闭区域 ? ， 体密度为 ? 为:??x, y, z ? ，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别I x ? ??? x 2 ? y 2 ?d? , I y ? ??? z 2 ? x 2 ?d? , I z ? ??? x 2 ? y 2 ?d? , I o ? ??? x 2 ? y 2 ? z 2 ?d?? ??????????例 6：求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。y?x 2 ? y 2 ? a 2 解:建立坐标系如图所示: D : ? ?y ? 0ox? a 1 1 ? I x ? ?? ?y 2 dxdy ? ? ?? r 3 sin 2 ?drd? ? ? ? sin 2 ?d? ? r 3dr ? ?a 4 ? 2 ? ? 0 0 4 2 2 D D又? 半圈薄片的质量 M1 ? ?a 2 ? 2?Ix ?1 Ma 2 . . 4例 7：求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量。 解:取球心为原点,z轴为 l 轴,设球所占域为? : x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ,则I ? ??? ?x 2 ? y 2 ??dxdydz ? ???? ?r 2 sin 2 ? cos2 ? ? r 2 sin 2 ? cos2 ? ?? r 2 sin ?drd?d?? 2? ? a 2 2 2 4 ? ? ? ? ? d? ? sin 3 ?d? ? r 4 dr ? ??a 5 ? 2 ? ?1 ? a 2 M ? M ? ?a 3 ? ?. 0 0 0 5 3 5 3 ? ? ?1.5 引力 1.5.1 平面薄片对质点的引力 若平面若平面薄片占有平面比区域 D ，面密度为 ??x, y ? ，质量为 m 的质点位于?x0 , y0 ?，设薄片对质点的引力为 F ? ?Fx , Fy ?，则 ?x ? x0 ?? d? F ? Gm ? y ? y0 ?? d? F ? Gmx???Dr3,y??Dr3其中 r 1.5.2 物体对质点的引力??x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2 , G 为引力常数.若物体占有空间闭区域 ? ， 体密度为 ??x, y, z ? ，质量为 m 的质点位于 ?x0 , y0 , z0 ?，? 设薄片对质点的引力为 F ? ?Fx , Fy , Fz ?，则Fx ? Gm?????x ? xo ?? d? Fr3y? Gm????? y ? yo ?? d? Fr3z? Gm?????z ? zo ?? d?r3其中 r??x ? x0 ?2 ? ? y ? y0 ?2 ? ?z ? z0 ?2 , G 为引力常数.z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为例 8：求一高 R ，底面半径为 R 的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。 解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为x2 ? y2 ? z ? R ，设密度为 ? ，所求 F?? ?Fx , Fy , Fz ?用微元法讨论，在圆锥任意一点 ?x, y, z ? 处取微元d? ，则此小块质量为 ?d? ，它对原点处单位质点引力为：? ?d? ? 1 ?d? ? ? dF ? G 2 r ? ? ? G 3 r ，其中 r ? ?x, y, z?, r ? x 2 ? y 2 ? z 2 . r r r由对称性可知 Fx? Fy ? 0 ，? dFz ? dF cos?因为 cos ? ? 从而z z? dFz ? G 3 d? ， ，所以 r rFz ? ??? G?z? d? r3? G? ???? 2???z2? z2R 0? ?32?d?d?dzR? G? ? d ? ? ? d ? ?00R ? G? ? 2? ? ? ? ? ? 2 ? z 2 ?0 ????z2?z2?? 12??3dRz2d? ? ?0 ?R? 2?G? ?R0? 1 ? ? ? ? 2 R2 ? ? 2 ?? ?d? ? ?? 2? ? ? 2 ? 2 ?G?R ? 2?G? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为 F ? 2 ? 2 ?G?R 。????例 9：求半径为 R 的均匀球 x 点的引力.2? y 2 ? z 2 ? R2 对位于点 M 0 ?0,0, a ??a ? R? 的单位质量质? Fx ? 0解：利用对称性知引力分量 FxFz ? ??? G???xz?a2? y ? ?z ? a ?22?3d?2? G? ? ? G? ??z ? a ?dz?? ?RR Dz?xdxdy2? y 2 ? ?z ? a ?R2 ? z 2 02?32?z ? a ?dz?0 ?RR2?d? ??rrdr2? ?z ? a ?2?32? ?dz ? ? 1 R ? ?? 2?G? ?? 2 R ? ? ? z ? a ?d R 2 ? 2az ? a 2 ? a ?R ? ? ? 2?G? ??z ? a ?? ? ?RR? 1 1 ? R 2 ? 2az ? a 2 ?a?zM ? ?G 2 aII.重积分小谈2.1 积分学与微分学? ? 4?R 3 ?M ? ?为球的质量?。 ? ? 3 ? ?积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客 观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。 对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单 的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理 想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2 浅谈积分学思想 积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此， 我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。 一重积分，即定积分，通过 NewTon.–Leibniz 公式处理，关键是确定原函数，即不定 积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一 次积分，分别可基于 X 型 Y 型区域去处理。XY 型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。 “画图投影作直线”是所有积分计 算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。 三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键 是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积 分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。 其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是 作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应， 例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分 的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力 等的过程。 2.3 浅谈积分学的计算 直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂 区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的） ，则可以回到 NewTon –Leibniz 公式。 三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY 平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如 z 具有明确上下限，而由 z 所确定的 Dz 平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。 关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此， 换元后微元都发生了改变， （这是尤为要强调记住的） 。其它过程则跟直角坐标系下一致。 平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。 柱面坐标本质是对某一个变量，如 z ，用直角坐标系表示，对 XY 用平面极坐标表示。 强调当 XY 用极坐标表示后， z 也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球 体，半球体，等类形体。 关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。 总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同 坐标系下的微元即可。 以上仅是我个人在学习重积分以后的一些想法，如果有谈的不适的地地方，请大家多 多指教，谢谢。参考文献：[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2001, 6. [2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京：人民日报出版社, 2007, 8. [3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海：同济大学出版社，2004, 7. [4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海：同济大学出版社，1981, 10. [5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3. [6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海：高等教育出版社,1989, 4. [7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007，6. 范文二：重积分论文重积分论文摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词：重积分在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积设曲面?的方程为z?f?x,y?，?在xoy面上的投影为Dxy，函数f?x,y?在D上具有连续偏导数，则曲面?的面积为：A???D??f???f??1??dxdy????????x???y?22??D?fx2?x,y??fy2?x,y?d?若曲面?的方程为x?g?y,z?，?在yoz面上的投影为Dyz，则曲面?的面积为：A???D??g1????y????g?????dydz????z??22??D?fy2?y,z??fz2?y,z?d?若曲面?的方程为y?h?z,x?，?在zox面上的投影为Dzx，则曲面?的面积为：A???D??h???h?1??????dzdx???z???x?2222??D2?fz2?z,x??fx2?z,x?d?例1：计算双曲抛物面z?xy被柱面x?y?R所截出的面积A。 解：曲面在xoy面上投影为D:x?y?R,则222A?即有:??D?zx?zydxdy22A?2??D?22?2?0d??R03??22???1?R??1?3???2从而被柱面x?y?R所截出的面积A如上所示。 例2:求半径为a的球的表面积. 解:取上半球面方程为z?a?x?y,222则它在xoy面上的投影区域D???x,y?x2?y?a22?.?z又由?x??xa?x?y222,?z?y??ya?x?y22

2,得??z???z??1??????????x???y?22aa?x?y222.因为这函数在闭区域D上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域D1???x,y?x2?y?b22??0?b?a?为积分区域,算出相应于DA1?1的球面面积A1后,令b?a取A1的极限就得半球面的面积.??D1aa?x?y222dxdy,利用极坐标,得A1???D1aa??22?d?d??a?2?d??b?d?a??22A1?lim2?aa?于是 limb?ab?a这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为?a?b22??2?a.2A?4?a.1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为??x,y?，则它的质量为m?其中dm???x,y?d?称为质量元素. 1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质量为m?1.3质心2????x,y?d?D，??x,y,z?dvD1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，则它的质心坐标为：1???m????1?m?1.3.2物体的质心??x??x,y?d?D??Dy??x,y?d?，其中m为平面薄片的质量.若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质心坐标为：?1??m??1???m??1??m??22??x,y,z?dvD??x,y,z?dv，其中m为物体的质量.D??x,y,z?dvD例3：求位于两球面x?y??z?2??4，和x?y??z?1??1之间的均匀物体的2222质心.解：由对称性可知，质心必须位于z轴上 ，故?0,?0由公式?1m???????z?d?z?d????????d?由面??常数，不妨设??1，则?????d?????的体积?，4343283???2-3??1?3?????z?d??????zd????2??02?d?d????14?2d??144cos?2cos??cos??sin?d?4cos?42cos?2?20?sin?cos??d??2??2sin?cos?4cos??16cos?d?sin?cos?d??5?444??120??2?1?26?120???cos???6?0?20?所以?20?283?157，?15??0,0,?。 从而质心坐标为?7??1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为??x,y?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:Ix???Dy?d?,Iy?2??Dx?d?,Io?2???xD2?y?d?2?1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别为:Ix?Iz?????x?2?y?d?,Iy??y?d?,Io?22?????z?2?x?d?,22?y?z?d?2?????x?2?????x?2?例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。解:取球心为原点, z轴为l轴,设球所占域为?:x?y?z?a,则2222I?????x?2?y?dxdydz222222??????rsin?cos??rsin?cos??rsin?drd?d???2?2???1.5引力2?d??sin?d??rdr??3a425??a?2?523?1?4?23aM?M??a?53?2??.?1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，质量为m的质点位于??x0,y0?，设薄片对质点的引力为F??Fx,Fy?，则Fx???DGm?x?x0??r3d?, Fy?2??DGm?y?ry0??3d?其中r?1.5.2物体对质点的引力?x?x0?2??y?y0?,G为引力常数.若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，质量为m的质点位于?x0,y0,z0?，?设薄片对质点的引力为F??Fx,Fy,Fz?，则Fx?Gm?????x?xo??r3d?Fy?Gm????2?y?ryo??3d?Fz?Gm2?????z?zo??r3d?其中r??x?x0?2??y?y0???z?z0?,G为引力常数.例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。 解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为x?y?z?R，?设密度为?，所求F?Fx,Fy,Fz用微元法讨论，在圆锥任意一点?x,y,z?处取微元22??d?，则此小块质量为?d?，它对原点处单位质点引力为：??d??1?d???dF?G2r??G3r其中r??x,y,z?,r?，rrr由对称性可知Fx?Fy?0，x?y?z.222?dFz?dFcos?因为cos??从而zr，所以dFz?Gz?r3d?，Fz????G?z?r3d??G?????z??2?zR02?3?d?d?dz2?G??2?d???d??RRz??2?z2?22?3dRz?G??2???????z??02????d????R?2?G??R?1???2??R??22??d????2????2??2?G?1??2????2?G?R??所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F?2??2?G?R。?例6：求半径为R的均匀球x?y?z?R对位于点M0?0,0,a??a?R?的单位质量质2222点的引力.解：利用对称性知引力分量Fx?Fx?0Fz?????G?z?a?x2?y??z?a?223d?2?G???z?a?dz???RDzR2?Rdxdy?x2?y??z?a?2R?z2223?G???z?a?dz??R0Rd??rdr?r2??z?a?1232?1?2?G???z?a????a?z?R?1??2?G???2R?a?R?R??dz22?R?2az?a?22?R?2az?a????z?a?d3M?4?R??G2?M??为球的质量?a?3???。?II.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。 范文三：重积分论文《高等数学II》精品课程建设之二——重积分姓名：党文慧 指导老师：林麦麦(西北师范大学 物理与电子工程学院， 甘肃 兰州 730070)摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。关键词：重积分；曲面面积；重心；转动惯量；引力；应用.The application of Heavy integralDANG wen-hui LIN Mai-mai(College of Physics and Electronic Engineering, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, Gansu, China)Abstract: The discussion of the higher mathematics includes multiple integral double integral and triple integral ,the cause of the concept of double integral process is the volume of the cylinder measuring song top reflection of the process . The triple integral concept is introed as the concept of double integral popularization, while ,in fact ,the triple integral is also some specific reflection of reality process. Heavy integral is widely used in all kinds of knowledge, we will meet them in the theoretical mechanics, mechanics, materials and some other engineering discipline .Heavy integral is mainly used to solve practical problems, in this article.First， I encountered in the study summarized the application, such as heavy points for three-dimensional volume, space objects in the quality and the applications of geometry and physics, and some examples to illustrate.Then，say something about my suggestions and opinions for the study of Heavy integral.Key words: H S G I GApplication.在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下:1.1曲面的面积 设曲面?的方程为z?f?x,y?，?在xoy面上的投影为Dxy，函数f?x,y?在D上具有连续偏导数，则曲面?的面积为：A???D??f???f?22??????dxdy??fx,y?fxyx,yd???????x???y?D22若曲面?的方程为x?g?y,z?，?2在yoz面上的投影为Dyz，则曲面?的面积为：2A???D??g???g?22????dydz??fy,z?f??yzy,zd? ????y?????z?D若曲面?的方程为y?h?z,x?，?2在zox面上的投影为Dzx，则曲面?的面积为：2A???D??h???h?221??????dzdx????fzz,x?fxz,xd???z???x?D?xy被柱面x2?y2?R2所截出的面积A。2例1：计算双曲抛物面z解：曲面在xoy面上投影为D:x?y2?R2,则22A????zx?zydxdyD即有:A?????d??D2?R2?2????1?R??1? ?3???y2?R2所截出的面积A如上所示。例2:求半径为a的球的表面积.从而被柱面x2解:取上半球面方程为z?a2?x2?y2,则它在xoy面上的投影区域D?又由??x,yx2?y2?a2?.?z?x?z?y?,?,222222?xa?x?y?ya?x?y a??z???z??1??????.??222??x???y?a?x?yD上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域22得 因为这函数在闭区域D1??x,yx2?y2?b2?0?b?a?为积分区域,算出相应于D1的球面面积A1后,令b?a取A1的极限就得半球面的面积.??A1???D1aa?x?y222dxdy,b利用极坐标,得A1???D1aa2??2?d?d??a?d??2??d?a2??2于是limA1?lim2?aa?a2?b2?2?a2.b?ab?a??这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为A?4?a2.1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为?其中dm???x,y?，则它的质量为m?????x,y?d?，D?x,y?d?称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质量为m???x,y,z?dvD?例3：由螺线??2?，与直线??2，围成一平面薄片D，它的面密度为??x2?y2，求它的质量。x2m??dxdy?x?ydxdy?d??解：如图所示，????????d?DD2?22??2?521?5?4?2?d??4???050404??1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，则它的质心坐标为：1???m??x??x,y?d??D???1y??x,y?d????mD?1.3.2物体的质心若物体占有空间闭区域?，体密度为?，其中m为平面薄片的质量.?x,y,z?，则它的质心坐标为：?1???x,y,z?dv?mD??1?????x,y,z?dvmD，其中m为物体的质量. ??1???x,y,z?dv?mD??例4：求位于两球面x质心.2?y2??z?2??4，和x2?y2??z?1??1之间的均匀物体的22解：由对称性可知，质心必须位于z轴上 ，故?0,?0由公式1????z?d??m?由面????z?d??????d???常数，不妨设??1，则????d?????的体积?，?428343???2-??1??333???z?d?????zd?????d??d??202?2??4cos?2cos??cos??2sin?d?4cos?1??d??2sin?cos??4d?0042cos????2??201sin?cos?44cos4??16cos4?d?4????120??2sin?cos5?d???1?26?120???cos???6?0?20?20?15??，所以 ?,?。 从而质心坐标为?7??例5:求位于两圆?解：如图所示：?2sin?和??4sin?之间的均匀薄片的质心。因为闭区域D对称于轴y轴，所以质心C 再按公式?,?，必位于y轴上，于是?0。?计算1yd???AD，由于闭区域D位于半径为1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两圆面积之差，即A?3?。再利用极坐标计算积分??yd?????DD2sin?d?d???sin?d???4sin?2sin??4?d???sin?d??7?3027?7?, 因此 ?3?3?7?C?0,?。 所以质心是3??1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为?别为:?x,y?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分Ix???y2?d?,Iy???x2?d?,Io???x2?y2?d?DDD??1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域?，体密度为?为:?x,y,z?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别Ix????x2?y2?d?,Iy????z2?x2?d?,?????Iz????x2?y2?d?,Io????x2?y2?z2?d????????例6：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。?x2?y2?a2解:建立坐标系如图所示:D:? y?0? 11?Ix????ydxdy????rsin?drd????sin?d??r3dr??a4?2??00422DD232?2a12又?半圈薄片的质量M??a?2?Ix?1Ma2.. 4例7：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点,z轴为l轴,设球所占域为?:x2?y2?z2?a2,则I?????x2?y2??dxdydz??????r2sin2?cos2??r2sin2?cos2???r2sin?drd?d???2224?????d??sin?d??r4dr???a5?2??1?a2M?M??a3??.0005353??2??3a1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，质量为m的质点位于??x0,y0?，设薄片对质点的引力为F??Fx,Fy?，则Fx???D?x?x0??Gmd?r3,Fy???D?y?y0??Gmd?r3其中r?x?x02?y?y02,G为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，质量为m的质点位于?x0,y0,z0?，?设薄片对质点的引力为F??Fx,Fy,Fz?，则Fx?Gm?????x?xo??d?Fr3y?Gm?????y?yo??d?r3Fz?Gm?????z?zo??d?r3其中r??x?x0?2??y?y0?2??z?z0?2,G为引力常数.z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为例8：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。 解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为x2?y2?z?R，?设密度为?，所求F??Fx,Fy,Fz?用微元法讨论，在圆锥任意一点?x,y,z?处取微元d?，则此小块质量为?d?，它对原点处单位质点引力为：??d??1?d???dF?G2r??G3r，其中r??x,y,z?,r?x2?y2?z2.rrr由对称性可知Fx?Fy?0，?dFz?dFcos?zz?因为cos??，所以dFz?G3d?，rr从而Fz????G?z?d?3 r?G?????2?0z?2?zR02??d?d?dzR?G??d???d??zR??G??2?????2?z2??0??2?z2???Rd????0?2?G??R?1???22?2R?????d????2???2?G???1?2??2?2?G?R???所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F?2?2?G?R。????例9：求半径为R的均匀球x点的引力.2?y2?z2?R2对位于点M0?0,0,a??a?R?的单位质量质?Fx?0解：利用对称性知引力分量FxFz????G??Rz?ax2?y2??z?a?2??G???z?a?dz???RDzdxdyx2?y??z?a?2R2?z202?G??R?R?z?a?dz?0R2?d??rdrr2??z?a?2?1?1??dz?2?G???z?a???22??Ra?zR?2az?a??1R???2?G???2R???z?a?dR2?2az?a2?a?R??M??G2a??4?R3??M?3?为球的质量??。??II.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。以上仅是我个人在学习重积分以后的一些想法，如果有谈的不适的地地方，请大家多多指教，谢谢。参考文献：[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.[2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京：人民日报出版社, 2007, 8.[3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海：同济大学出版社，2004, 7.[4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海：同济大学出版社，1981, 10.[5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3.[6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海：高等教育出版社,1989, 4.[7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007，6. 范文四：重积分论文《高等数学》——重积分 麻安平贵州民族大学建筑工程学院土木一班摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用。 关键词：重积分；曲面面积. I.重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积设曲面?的方程为z?f?x,y?，?在xoy面上的投影为Dxy，函数f?x,y?在D上具有连续偏导数，则曲面?的面积为：??f???f?22?A????????dxdy??fx,y?fxyx,yd???????x???y?DD若曲面?的方程为22x?g?y,z?，?在yoz面上的投影为Dyz，则曲面?的面积为：A???D??g???g?22????dydz??fy,z?f??yzy,zd? ????y?????z?D22若曲面?的方程为的面积为：y?h?z,x?，则曲面??在zox面上的投影为Dzx，??h???h?22A?????????dzdx????fz?z,x??fx?z,x?d???z???x?DD例1：计算双曲抛物面z22?xy被柱面x2?y2?R2所截出的面积A。2解：曲面在xoy面上投影为D:x?y2?R2,则22A????zx?zydxdyD即有:A?????d??D2?R2?2????1?R??1??3??从而被柱面x1.2质量1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域2?y2?R2所截出的面积A如上所示。D，面密度为??x,y?，则它的质量为m?????x,y?d?，其中dm???x,y?d?称为质量元素.D1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质量为m???x,y,z?dvD例2：由螺线??2?，与直线???2，围成一平面薄片D，它的面密度??x2?y2。求它的质量。解：如图所示，m?1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为?2???dxdy?x?ydxdy?d??????????d?2

2DD22?0??x,y?，则它的质心坐1???m??x??x,y?d??D标为：???1y??x,y?d????mD?1.3.2物体的质心，其中m为平面薄片的质量.若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质心坐标为：?1????x,y,z?dvmD??1????x,y,z?dv?mD，其中m为物体的质量. ??1????x,y,z?dvmD????yd?????DD2sin?d?d???sin?d???4sin?2sin?56?4?d???sin?d??7?3021.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为?点的转动惯量分别为:?x,y?，则它对轴,轴以及对原Ix???y2?d?,Iy???x2?d?,Io???x2?y2?d?DDD??1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域?，体密度为?的转动惯量分别为:?x,y,z?，则它对轴,轴以及对原点Ix????x2?y2?d?,Iy????z2?x2?d?,?????Iz????x2?y2?d?,Io????x2?y2?z2?d????????例3：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。?x2?y2?a2解:建立坐标系如图所示:D:??y?0 Ix????ydxdy????rsin?drd????sin?d??DD232?2a141?rdr??a?2??422312又?半圈薄片的质量M??a?2?Ix?1Ma2.. 4例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点,2222z轴为l轴,设球所占域为?:x?y?z?a,则I?????x2?y2??dxdydz??????r2sin2?cos2??r2sin2?cos2???r2sin?drd?d??2??2224?????d??sin?d??r4dr???a5?2??1?a2M?M??a3??.0005353???3a1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，质量为m?Fx,Fy?，则 的质点位于?x0,y0?，设薄片对质点的引力为F??Fx???GmD?x?x0??d?r3,Fy???GmD?y?y0??d?r3其中r?x?x02?y?y02,G为引力常数.1.5.2物体对质点的引力若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，质量为m的质点?Fx,Fy,Fz?，则 位于?x0,y0,z0?，设薄片对质点的引力为F??Fx?Gm?????x?xo??d?r3Fy?Gm?????y?yo??d?r3Fz?Gm?????z?zo??d?r3其中r?x?x02?y?y02?z?z02,G为引力常数.例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为x2?y2?z?R，?Fx,Fy,Fz?用微元法讨论，在圆锥任意一点 设密度为?，所求F???x,y,z?处取微元d?，则此小块质量为?d?，它对原点处单位质点引力为：??d??1?d???dF?G2r??G3r，其中r??x,y,z?,r?x2?y2?z2.rrr由对称性可知Fx?Fy?0，?dFz?dFcos?zz?因为cos??，所以dFz?G3d?，rr从而Fz????G?z?d?3 r2?G?????2?0z?2?zR0??d?d?dzR?G??d???d??zR??G??2?????2?z2??0??2?z2???Rd????0?2?G??R?1???22?2R?????d????2???2?G???1?2??2?2?G?R???所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F?2?2?G?R。????例6：求半径为R的均匀球x2?y2?z2?R2对位于点M0?0,0,a??a?R?的单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量Fx?Fx?0Fz????G??z?ax2?y2??z?a?2??G???G??R?RR?z?a?dz??Dzdxdyx2?y??z?a?2R2?z202?R?z?a?dz?0R2?d??rdrr2??z?a?2?1?1??dz?2?G???z?a???22??Ra?zR?2az?a??1R?22??2?G???2R???z?a?dR?2az?a?a?R??M??G2aII.重积分小谈2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。??4?R3??M?3?为球的质量??。??二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。 2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。参考文献：[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.[2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京：人民日报出版社, 2007, 8. [3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海：同济大学出版社，2004, 7.[4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海：同济大学出版社，1981, 10. [5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3. [6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海：高等教育出版社,1989, 4. [7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007，6. 范文五：二重积分论文(年度)浅谈二重积分的计算方法刘晓蕾（数学学院09级汉本二班 ）摘要：解决许多几何、物理以及其他实际问题，不仅需要一元函数的积分，而且还需要各种不同的多元实值函数的积分。二重积分是数学分析中的重点和难点，而学习好二重积分的计算是关键，本文主要介绍了几种二重积分的计算方法以及如何将积分区域用不等式组表示出来。关键词：二重积分 积分区域 积分次序 积分限一、二重积分的概念设二元函数f(x, y)在有界闭区域R有定义。用任意分法T将R分成n个小区域:R,R2,.....,Rn，设它们的面积分别是1，作和 Pk??k,?k?（ k=1,2,…..,n ）分和。令T= max d?R1?,d?R2?,......,d?Rn?n?1,?2,.....,?n。在小区域Rk上任取一点kk?f??,??k?1?k ，称为二元函数f(x, y)在区域R的积??定义 设二元函数f (x, y )在有界闭区域R有定义。若当T?0时，二元函数f(x, y)在区域R的积分和存在极限I（数I与分法T无关，也与点P，记为 k的取法无关） 0?f??,??nnk?1n?n?I即???0,???0,T??,?P,2,.....,n，有 k??k,?k??RK,k?1?f??,??kkk?1n?k?I??则称函数f(x, y)在R可积，I是二元函数f(x, y)在R的二重积分，记为I???f?x,y?d? 或I???f?x,y??dxdyRR例题 按照二重积分的定义，求二重积分??xydxdy，其中R?0?x?1,0?y?1?。R解：二元函数f(x, y)= xy是初等函数，则在R0?x?1,0?y?1?上连续，所?以f(x, y)= xy在R0?x?1,0?y?1?上是可积的。有重积分的定义可知，对于某区域上的可积函数，其积分值不依赖于对区域具体的划分及取值。下面采用特熟分法及取值。 用两族平行等距直线x??iky?（i, k=0,1,2,….n-1）,将R划分为n2个边n,n长等于11的正方形区域Ri,k，则Ri,k的面积为Ri,k?2。在每个区域Ri,k上取点nn?ik?Pi,k??i,?k????（i, k=0,1,2,…,n-1）.?n,n?作积分和为i,k?1?f????i,knnik11nRi,k????2?4?k??innnk?1i?1i,k?1n22n1?n?n?1??1?1?? =4???1??n?2?4?n?当n??时，对任意i, k =0,1,2,….n-1,有Ri,k? 所以得1?0。 n22??xydxdy?lim?f????Rn??i,ki,k?1n1?1?1Ri,k?lim?1???n??4?n?4二、二重积分的性质定理1 函数f(x, y)在有界闭区域R可积? ?S?T??s?T??0?????k?0k?1n?k?0定理2 若函数f(x, y)在有界闭区域R连续，则函数f(x, y)在R可积定理3 若函数f(x, y)在有界闭区域R有界，间断点只分布在有限条光滑曲线上，则函数f(x, y)在R可积。 定理4 若f(x, y)=1，则??dxdy?,其中表示R的面积。RR定理5 若函数f在R可积，k是常数，则函数kf在R也可积，且??kfd??k??fd?R定理6若函数f1与f2在R都可积，则函数f1?f2在R也可积，且???fR1?f2?d????f1d????f2d?RR定理7 若函数f在R1与R2都可积，则f在R1R2也可积，当R1与R2没有公共内点时，有R1R2??fd????fd????fd?R1R2定理8 若函数f1与f2在R都可积，且?x,y??R，有f1x,y??f2x,y?，则?????fd????fd?12RR定理9 若函数f在有界闭区域R连续，则至少存在一点??,???R，使??f?x,y?d??f??,??R其中表示R的面积。定理10 若函数f(x, y)在闭矩形域Ra?x?b,c?y?d?可积，且?x??a,b?，定积分 I?x????dcd??f?x,y?dy存在，则累次积分?ba??cf?x,y?dy?dx也存在，且??f?x,y?dxdy?????baRdcf?x,y?dy?dx?定理11 设有界闭区域R是x型区域，若函数f ( x , y )在R可积，且?x??a,b?，定积分??2?x??1?x?f?x,y?dy存在，则累次积分?x?ba2?x?dx???1?x?f?x,y?dy也存在，且b2??fx,ydxdy?dx??a?????1?x?f?x,y?dy R例题1 证明：若函数f(x, y)在有界闭区域R连续，且f(x, y) > 0,则??f?x,y?dxdy?0R证明：由题设函数在有界闭区域R上连续，有闭区域上连续函数的性质，函数在R上取到最小值，记为m0，即对任意(x , y)?R，有f(x, y) > 0，所以再根据上述定理有，??f?x,y?d????m0d??m0? f?x,y??m0?0。RR于是有??f?x,y?d??m??0R例题2 证明：若连续函数列fnx,y?在有界闭区域R上一致收敛于函数f( x , y)则 limn???????f?x,y?dxdy???f?x,y?dxdynRR证明：由题设连续函数列fnx,y?在有界闭区间R上一致收敛，即对任意??0， 存在自然数n0，对任意自然数n>n0,对任意?x,y??R，有???fn?x,y??f?x,y???。则??f?x,y??f?x,y?dxdy???f?x,y??f?x,y????nnRR（其中?表示R的面积，为正实数）。即 limn????f?x,y?dxdy???f?x,y?dxdynRR三、二重积分的计算1，计算步骤二重积分的计算有一定的方法和步骤,如按照步骤进行分析和解题,就比较容易做题。在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:(1) 画出积分区域草图;(2) 确定积分区域是否为X-型区域或Y-型区域，若既不是X型也不是Y型区域，则要将区域划分成几个X型区域或Y型区域，并用不等式组表示几个X型区域或Y型区域。(3) 用公式化二重积分为二次积分。 (4) 计算二次积分的值。 例题 1 计算???x?y?dxdy，其中D：0?x?1,0?y?2。12x?ydxdy?dx??00?????x?y?222解：做出积分区域D的图1.由于D又是X型又是Y型，因此两种积分次序都可以计算二重积分。在此把它看做X型区域。dy? ??10132dx ?x?y?0311?33?x?2?xdx ??0?3??16?。3例题2 计算??xydxdy，其中D是由y?xDD2y2?4,y2?2x围成的区域。解：由于积分区域是Y型区域，有4y?4xydxdy?dy?21????2xydx??4?2x2y?2y?412y2dy?14?14?2y?4?y?ydy ???22??4??14?315?2y?8y?16y?y?dy ?2??24???=902. 交换积分次序若给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量很大，可以考虑交换积分次序，其一般步骤：（1） 先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依次做出区域图形。（2） 再根据区域图形，确定正规区域及积分限，化为另一种类型的积分。 例题 交换积分次序?10dx?xf?x,y?dy x2解：由所给的二次积分，可得积分区域D为0?x?1,x2?y?x， 改变积分次序，即先对x积分再对y积分，此时D可以表示为0?y?1,y?x??11dx?xdx2f?x,y?dy?0??f?x,y?dy x3. 选择适当的坐标系计算二重积分时，选择适当的坐标系，就可以使计算过程简单，往往是可以事半功倍，如果选择坐标系不当，计算过程就有可能非常繁难，甚至于无法计算。坐标系的选择，要从被积函数和积分区域两方面考虑。一般情况下，积分区域是矩形或三角形区域，通常用直角坐标来计算；若被积函数为fx2?y2,f????x??,f?y??y???的形式，或?x?者积分区域是圆域、环域、扇域及环扇域时，通常用极坐标来计算。 例如求积分I?yx?y??eDyx?ydxdy，其中D是由x=0,y=0以及x + y =1所围成的区域。yx?y因为积分e?dx与?eyx?ydy都不能用有限形式表示出来，所以在直角坐标系下积11?y分无法计算，但注意e?e到为f??x??的形式，积分在极坐标下有可能积出来。y??1，积分区域D：cos??sin?事实上，将直线x + y = 1 化为极坐标方程：??0????2,0????201co?s?s?in则I??d??1cos??sin?0esin?cos??sin?sin?1?12cos??sin?d? ?d???0e22?cos??sin??sin?1?sin???e?1cos2= ?0 e??sin?d???2cos??sin?2??例题 计算??arctgDydxdy,其中D是由 x2?y2?9和x2?y2?1与直线y = x, xy = 0所围成的第一象限区域。解：在极坐标系下D可表示为：0????4,1?r?3。可得：?y34??arctgdxdy??0d??1arctgtg??rdrxD????414d???rdr??0?r213d?231???401?2??9?1?d??284. 在极坐标下用二次积分计算二重积分的步骤（1）在一般情况下，积分区域是圆域或其一部分，或者D的边界由极坐标方程给出较为简单，或者被积函数含有x?y,22y等表达式时，用极坐标比较简单。 x（2）作变量代换，x?arcos?,y?brsin?，（a , b 为常数，由被积函数或区域来确定）。（3）改变面积元素d??D?x,y?Dr,?2drd??x2?y2例题 计算以圆域R：x?y?a为底，R上的曲面是z?e积。解：已知曲顶柱体的体积V?22??的曲顶柱体的体??eR?x2?y2??dxdy222作极坐标变换x?rcos?,y?rsin?。它将圆域R：x?y?a变换为矩形域R?0?r?a,0???2??，且???x,y??r。有?r,?2V???eR?x2?y2??2?ad??0re?rdr dxdy???e?rrdrd?=?02R??2???e?r??1?22?a?a20??1?e???5. 二重积分的一般变量替换的步骤在运用前两种方法比较困难时考虑一般变量替换。（1） 作变量替换X?x??,??,Y?y??,??或者????x,y?,????x,y? （2） 改变面积元素d??D?x,y?1??d??d d?dD?,?D?,v?Dx,y（3） 区域D作了变量替换后变成区域D?，再按照前两种方法进行判断和计算。掌握了以上解二重积分的技巧后，只要给出一个二重积分题，对症下药，问题就迎刃而解了。xy?xy?例题 计算曲线????? （a > 0 , b > 0 ）与 y = 0 所围成区域R的面?ab?ab积。解：已知区域R的面积（被积函数f?x,y??1）? 设??2??dxdyRxyxyab?,???或x??????,y??????。 abab22这个函数组将x y平面上的区域R变换为??平面上的区域R?，2R?是曲线???,???所围成的区域。a??x,y?2???,?b2?aab2??。有 ?b22??dxdy???RR???,???x,y??d??ab1ab?d?d?? 20??2?12总结：通过本文的具体概括，对二重积分有了更深刻的理解，从这些例题中可以看出，二重积分计算的技巧还是很强的。对多重积分来说，新变量的引进也是非常重要的。变换理论 对于积分的地位是显而易见的。参考文献：林承初，二重积分的计算方法与技巧，【J】广西财经学院学报，2006年10月 辛春元，二重积分的计算方法，【J】现代商贸工业，2010年15期 文武，关于二重积分的计算，【J】，川东学刊（自然科学版）1995年4月，第5卷第2期 范文六：王娟娟+重积分论文高 等 教 育 自 学 考 试毕 业 论 文N重积分的计算方法姓 名： 王 娟娟主考学校： 兰 州 大 学 准考证号： 指导教师姓名职称： 陈 建 文甘肃省高等教育自学考试办公室印制年 月 日专 业： 数 学 与 应 用 数 学数学教育专业N重积分的计算方法The calculation method of N integral作者：王娟娟Wang Juanjuan目录摘要： ...................................................................................................................................................................3 正文： ...................................................................................................................................................................3I.重积分的应用归纳如下: .........................................................................................................................41.1曲面的面积 ....................................................................................................................................4 1.2质量 ................................................................................................................................................6 1.3质心 ................................................................................................................................................6 1.4转动惯量 ........................................................................................................................................8 1.5引力 ................................................................................................................................................8 II.重积分小谈 ........................................................................................................................................... 112.1积分学与微分学 .......................................................................................................................... 11 2.2浅谈积分学思想 .......................................................................................................................... 11 2.3浅谈积分学的计算 ......................................................................................................................12参考文献： .........................................................................................................................................................12 后记： .................................................................................................................................................................13重积分论文摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用，并借以实例加以说明。其次，谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词：重积分 积分 累次积分 变量代换正文：在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用，对于重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用，会用重积分的思想解决实际问题，然而计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。I.重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积设曲面?的方程为z?f?x,y?，?在xoy面上的投影为Dxy，函数f?x,y?在D上具有连续偏导数，则曲面?的面积为：A???D??f???f?22?1?????dxdy??fx,y?fxyx,yd???????x???y?D22若曲面?的方程为x?g?y,z?，?2在yoz面上的投影为Dyz，则曲面?的面积为：2??g???g?22?A???1???dydz??fy,z?fyzy,zd? ????y???z?????DD若曲面?的方程为y?h?z,x?，?在zox面上的投影为Dzx，则曲面?的面积为：22??h???h?22A???1??????dzdx????fz?z,x??fx?z,x?d???z???x?DD例1：计算双曲抛物面z?xy被柱面x2?y2?R2所截出的面积A。2解：曲面在xoy面上投影为D:x?y2?R2,则A????zx?zydxdyD22即有:A?????d??D2?R2?2????1?R??1? ?3???y2?R2所截出的面积A如上所示。例2:求半径为a的球的表面积.从而被柱面x222z?a?x?y解:取上半球面方程为,2222xoy?D?x,yx?y?a则它在面上的投影区域.??又由?z?x?z?y?,?,222222?xa?x?y?ya?x?y a??z???z??1??????.??222??x???y?a?x?y22得 因为这函数在闭区域D上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域D1??x,yx2?y2?b2?0?b?a?为积分区域,算出相应于D1的球面面积A1后,令b?a取A1的极限就得半球面的面积.??A1???D1aa?x?y222dxdy,b利用极坐标,得A1???D1aa??22?d?d??a?d??2??d?a2??2于是limA1?lim2?aa?a2?b2?2?a2.b?ab?a??这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为A?4?a2.1.2质量1.2.1平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为?其中dm???x,y?，则它的质量为m?????x,y?d?，D?x,y?d?称为质量元素.1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，则它的质量为m???x,y,z?dvD1.3质心1.3.1平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，则它的质心坐标为：1??x??x,y?d????mD????1y??x,y?d????mD?1.3.2物体的质心若物体占有空间闭区域?，体密度为?，其中m为平面薄片的质量.?x,y,z?，则它的质心坐标为：?1????x,y,z?dvmD??1????x,y,z?dv?mD，其中m为物体的质量. ??1????x,y,z?dvmD??2222例3：求位于两球面x?y??z?2??4，和x?y??z?1??1之间的均匀物体的22质心.解：由对称性可知，质心必须位于z轴上 ，故?0,?0由公式1????z?d??m?由面????z?d??????d???常数，不妨设??1，则????d?????的体积?，?4428???23-??13??333???z?d?????zd?????d??d??202??4cos?2cos??cos??2sin?d?4cos???d??2??201sin?cos??4d?42cos???2??21sin?cos?44cos4??16cos4?d?4????120??2sin?cos5?d???1?26?120???cos???6?0?20?所以20?15??，28?7315???。 从而质心坐标为?0,0,7??1.4转动惯量1.4.1平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为?别为:?x,y?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分Ix???y2?d?,Iy???x2?d?,Io???x2?y2?d?DDD??1.4.2物体的转动惯量若物体占有空间闭区域?，体密度为?为:?x,y,z?，则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别Ix????x2?y2?d?,Iy????z2?x2?d?,?????Iz????x2?y2?d?,Io????x2?y2?z2?d????????例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点,2222z轴为l轴,设球所占域为?:x?y?z?a,则I?????x2?y2??dxdydz??????r2sin2?cos2??r2sin2?cos2???r2sin?drd?d???2224?????d??sin?d??r4dr???a5?2??1?a2M?M??a3??.0005353??2??3a1.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为??x,y?，质量为m的质点位于??x0,y0?，设薄片对质点的引力为F??Fx,Fy?，则Fx???D?x?x0??Gmd?r3,Fy???D?y?y0??Gmd?r3其中r1.5.2物体对质点的引力?x?x02?y?y02,G为引力常数.若物体占有空间闭区域?，体密度为??x,y,z?，质量为m的质点位于?x0,y0,z0?，?Fx,Fy,Fz?，则 设薄片对质点的引力为F??Fx?Gm?????x?xo??d?Fr3y?Gm?????y?yo??d?Fr3z?Gm?????z?zo??d?r3其中r?x?x02?y?y02?z?z02,G为引力常数.z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。 解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为x2?y2?z?R，?Fx,Fy,Fz?用微元法讨论，在圆锥任意一点?x,y,z?处取微元 设密度为?，所求F??d?，则此小块质量为?d?，它对原点处单位质点引力为：??d??1?d???dF?G2r??G3r，其中r??x,y,z?,r?x2?y2?z2.rrr由对称性可知Fx?Fy?0，?dFz?dFcos?因为cos??从而zz?dF?Gd?， ，所以z3rrz?Fz????G3d?r??G?????2?0z?2?zR02??d?d?dzR?G??d???d??zR??G??2?????2?z2??0??2?z2???Rd????0?2?G??R?1???22?2R?????d????2???2?G???1?2??2?2?G?R???所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F?2?2?G?R。????例6：求半径为R的均匀球x点的引力.2?y2?z2?R2对位于点M0?0,0,a??a?R?的单位质量质解：利用对称性知引力分量Fx?Fx?0Fz????G??Rz?ax2?y2??z?a?2??G???z?a?dz???RDzdxdyx2?y??z?a?2R2?z202?G??R?R?z?a?dz?0R2?d??rdrr2??z?a?2?1?1??dz?2?G???z?a???22??Ra?zR?2az?a??1R???2?G???2R???z?a?dR2?2az?a2?a?R??M??G2a??4?R3??M?3?为球的质量??。??II.重积分小谈 2.1积分学与微分学积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。2.2浅谈积分学思想积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。2.3浅谈积分学的计算直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。参考文献：[1]聂洪珍，朱玉芳。高等教育（一）微积分[M] 北京：中国对外经济贸易出版社，2003.(6)[2]华东师范大学数学系，数学分析（下册）[M],3版。 北京：高等教育出版社 1[3]同济大学应用数学系，高等数学（下册）[下册][M]，版. 北京：高等教育出版社，0.后记：我在这里向我参考过文献的作者致以衷心的感谢和真诚的问候，向我的论文指导老师致以衷心的感谢。 范文七：巧用二重积分求解定积分之例说毕业论文2006年10月???JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)???August2006文章编号:06)05-*巧用二重积分求解定积分之例说吴耀强(宿迁学院?教师教育系,江苏?宿迁?223800)??摘要:将高维数转化为低维数问题进行研究是数学解题教学中常见的策略之一,本文通过范例说明如何将高维定积分转化为二重积分求解,为定积分提供了一个计算技巧,同时也丰富了高等数学中低维数与高维数互化的数学思想方法。关键词:高维数;低维数;二重积分;定积分中图分类号:O17???????文献标识码:A??众所周知,计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(或累次积分)加以计算,至于两个单积分关于自变量有不同次序等问题,可能影响到计算的繁与简,以及积分区域的多样性而导致转化困难或计算困难甚至无法计算等情形时,二重积分总可以通过变量替换(如极坐标变换)等技巧简化计算最终使问题获解。对于某些结构特殊的被积函数的定积分很难通过常规方法加以计算时,是否可以将低维数转化为高维数的特殊办法,进一步将定积分转化为二重积分运算呢?这里通过五个例子介绍巧用二重积分求解定积分的方法。例1?计算解?10=[ln|1+y|]0=ln2.注?例1的一般形式:计算1?1badx(这lnx里b>a>0)(第四届北京市大学生(非数学专业)数学竞赛第一题)(答案:ln).1+a例2?试证:证明??1dx=ln2.81+x?1dy=[ln(1+xy)]11+xy=ln(1+x),?一方面,dx=?lnx?x1dx.lnx10??1+x将Ddx转化为1+x?dxdy=1+xy??dx011?dy1+x1+xyydxdy(这里(这里D=[0,1]?[0,1]),为方便计,令I=DD=[0,1]?[0,1]);另一方面,由1y1y可知xdy==0lnx0lnx?101dx,交换积分次序得1+x2??xDydxdy=??1dy10xdx=y??1dxxydy,通过交换积分次序可得,?xDydxdy=?xdydy=?y+1y01011dx=?1y+1y+10dx??=(1+xy)(1+x)dxdy,对于(1+x)(1+xy)dx可以利用不定积I=010110dydx(1+xy)(1+x)1010分中的待定系数法进一步将被积函数(含参量y)分解为(1+x)(1+xy)2*收稿日期:??作者简介:吴耀强(1973-),男,江苏宿迁人,宿迁学院讲师,硕士,从事数学教学研究.462006年10月???JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)???August2006,这样一来,2-21+xy(1+y)1+xdx0(1+x)(1+xy)1=dx2+2-21+x1+xy1+y01+x示此结果利用泊松积分等方法加以计算。实际上,对于这一积分类型完全可以通过维数的改变,利用二重积分的计算而获解。.02记D表示xoy平面上的第一象限所在平面区域即证明?根据对称性,下证?1?+?e-x2dx==I=+y-ln(1+y).可得241+y10D=[0,+?)?[0,+?),一方面,由于?=dy+dy-21+y41+y1+ydy,dy+dy-I即I=21+y41+y101010101022+y-ln(1+y)dy1+y24=??e+?e-x2dx2=+?e-x2dxe+?e-另一方dxdy=2+?+?0-x2-y2dxdy=?D-(x2+y2)面,利用极坐标变换,易求得(1-e4-R2?D1e-(x2+y2)[ln(1+y2)]1=[arctany]10+0-I,28计算可得I=ln2+ln2-I,88)(这里D1表示xoy平面上的第一象限2内半径为R的四分之一圆域)。这样一来,也就是I=ln2.证毕。8例3?试证:+?e-x2dx=Rlim?+??D1e-(x2+y2)dxdy?+?-?e-xdx=2?.(1-e-R2)=,=Rlim?+?44说明?由一元函数积分学的知识可以知道,对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数,换言之,在这种意义下,并不是任何初等函数的不定积分都能?积?出来,如大家所熟知的不定积分:?进而??从而?+?e-x2dx=,2?.证毕。+?-?e-xdx=2例4?设f(x)在[0,1]上连续,f(x)>0,证明?xedx,dx,dx,dx等却无法用初xlnxx等函数来表示。所以,正是鉴于这一事实,数学出x2?dx?1.00f(x)证明?作D=[0,1]?[0,1],一方面,根据f(x)dx?1?1定积分的结果与积分参量的符号无关性可知,现运用积分形式来定义某些非初等函数解决了某些形式特殊的积分计算问题。尽管如此,公理化定义的合理性与纯粹性的验证对于非数学专业的理工科大学生来说仍然存在诸多困难,这无疑对于他们在后继专业课程学习中存在一定的认知障碍。如经济专业的学生在基础专业课程?概率论与数理统计?的学习中,一维与二维连续型随机变量的正态分布是几种常见的分布类型之一,在数理统计的理论和应用中占有极其重要的地位。但是对于教材中经常使用的一个结论:?0101f(x)dx?0dx=f(x)101?10101f(x)dx?010101dy,0f(y)dxdyf(y)而后一式又可以转化为二重积分的形式,即?+?-?e-xdx2=?往往感到茫然,因为这一类型的广义积分恰好是不好直接?积?出来的积分形式,那么,为了帮助学生理解并熟悉如上的结论,教材中往往提???dxdy,也就是f(x)dx?dx=?f(y)??f(x)类似地,f(x)dx?dx=?f(y)??f(x)=dxdy.综上可得f(x)dx??f(x)??f(x)dx=+另一方面,由于f(x)2f(y)f(x)dx?dy=f(y)f(x)?D1010D110DDf(x)>0,于是+?2f(y)f(x)?(y)f(x)472006年10月???JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)??bb?August2006=2.??dx?1.证毕。步地有f(x)dx???f(x)从而D1010+dxdy?2dxdy=2,进一f(y)f(x)D注?例4的一般结论:设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明f(x)g(x)dx?f(x)g(x)dxdy=?dy?=(b-a)f(x)g(x)dx与??f(x)g(y)dxdy=?f(x)dx??g(y)dy,DaababbDaa?bf(x)dx?a?abdx?f(x)进而将如上结果比较之,即证。此外,下例亦可以仿照例5给出相应的证明:设f(x)在[0,1]上为单调递减的连续函数,且f(x)>0,证明(b-a)2(证明同例4,故略).此外,下例亦可以仿照例4给出相应的证明:设f(x)在[0,1]上连续,证明?b1e0f(x)dx??1e0-f(x)dx?1(第十三届北京市大?(清?xf(x)dx?f(x)dx001xf(x)dx2100f(x)dx2学生(非数学专业)数学竞赛试题第七题)(证略).例5?设f(x),g(x)均为[a,b]上连续增函数,且b>a>0,证明华大学1985年数学竞赛试题第五题)(证明略).由此可见,某些结构复杂、特征显现的定积分求解的问题可以通过将待求或待证的结果转化为相应的二重积分的计算,然后依据二重积分交换积分次序的有效运算形式进行合理变形后进而获解。从一定角度来讲,此种解法的运用巧妙地避开了定积分自身理论中?并不是任何初等函数的不定积分都能积出来?的运算缺陷,丰富了积分运算内涵,堪称巧妙之举。总体来说,此种转化技巧在实际应用过程中需要较为细致的数学分析能力及熟练运算二重积分的能力,但是从数学思维训练的角度和数学解题方法论的范畴而言,这种利用高维数计算低维数的方法的运用,克服了数学解题中的高维数化为低维数的思维定势,对于培养理工科大学生数学思维能力与提升数学素养是大有裨益的。参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992.[3]林源渠,方企勤.数学分析解题指南[M].北京:北京大学出版社,2003.[4]邵剑,陈维新,张继昌,何勇编著.大学数学考研专题复习[M].北京:科学出版社,2003.[5]李心灿.大学生数学竞赛试题研究生入学考试试题解析选编[M].北京:机械工业出版社,2005.?f(x)dx??g(x)dx?aab(b-a)?f(x)g(x)dx.ab证明?f(x)-f(y)一方面,??x,y?[a,b],有?0.(事实g(x)-g(y)上,当x=y时,等号成立;当x>y时,根据题设中f(x),g(x)均为[a,b]上连续增函数的条件即得f(x)>f(y)与g(x)>g(y),结论自然成立;类似地,对于x?[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]dxdyD?0(这里D=[a,b]?[a,b]).整理得?DD[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+g(x)g(y)]dxdy?0,也就是???f(x)g(y)dxdy+?f(y)g(x)dxdy,f(x)g(x)dxdy+DDDf(y)g(y)dxdy?仿照例4中的对称轮换性可得??另一?f(x)g(x)dxdy??f(x)g(y)dxdy成立。2f(x)g(x)dxdy?2f(x)g(y)dxdy,即DDDD方面,据二重积分运算性质可得如下结论成立48 范文八：微积分论文1微积分论文微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具. 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学有超人的直觉，并且对于设计符号很第三。他的微积分符号 “dx\" 和 ”∫” 已被证明是很发用的。 牛顿和莱布尼茨总结了前人的工作，经过各自独立的研究，掌握了微分法和积分法，并洞悉了二者之间的联系。因而将他们两人并列为微积分的创始人是完全正确的，尽管牛顿的研究比莱布尼茨早 10 年，但论文的发表要晚 3 年，由于彼此都是独立发现的，曾经长期争论谁是最早的发明者就毫无意义。牛顿和莱尼茨的晚年就是在这场不幸的争论中度过的。由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景.到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作.笛卡尔1637年发表了《科学中的正确运用理性和追求真理的方法论》（简称《方法论》），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立着的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。不幸的是牛顿和莱布尼茨各自创立了微积分之后，历史上发生了优先权的争论，从而使数学家分为两派，欧洲大陆数学家两派，欧洲大陆的数学家，尤其是瑞士数学家雅科布?贝努利（）和约翰?贝努利（）兄弟支持莱布尼茨，而英国数学家捍卫牛顿，两派争吵激烈，甚至尖锐到互相敌对、嘲笑。牛顿死后，经过调查核实，事实上，他们各自独立地创立了微积分。这件事的结果致使英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交流，使英国人在数学上落后了一百多年，因为牛顿在《自然哲学的数学原理》中使用的是几何方法，英国人差不多在一百多年中照旧使用几何工具，而大陆的数学家继续使用莱布尼茨的分析方法，并使微积分更加完善，在这100年中英国甚至连大陆通用的微积分都不认识。虽然如此，科学家对待科学谨慎和刻苦的精神还是值得我们学习的。总之，微积分在数学史方面作为一个专题出现在了课本中,我觉得这是一个很值得庆兴的一件事,因为我发现微积分的学习对学生来讲本来就是枯燥的学习，所以在某些方面来说它可以激发学生兴趣，启发学生的思维，增强学生的爱国情操，活跃课堂气氛，增进师生间的共同了解，也让学生了解数学，了解数学的美.......所以我们把数学微积分的一些辉煌的成就和一些感人的事例，以一种精神的力量融入到我们的教学中，会使我们的数学课变得非常的丰富。 范文九：定积分论文不定积分计算的若干方法姓名: 孙辉 学号: 指导老师:张德然摘要：不定积分的计算是微积分课程中的重要内容。本文探讨了关于有理函数的不定积分，三角函数的不定积分以及无理函数的不定积分的计算方法。 关键词：不定积分 有理函数 三角函数 无理函数Some methods about the calculation of indefinite integralAbstract: the calculation of indefinite integral is an important content in the course of calculus.Thispaper discusses calculation methods about the indefinite integral of favorable function,the indefinite integral of trigonometric function and the indefinite integral of unreasonable function . Keywords :indefinite integral favorable function trigonometric function unreasonable function在不定积分的学习过程中，我们经常遇到的是求解有理函数，三角函数以及无理函数的不定积分问题，这几类不定积分的求解是微积分学习中的重要内容。这些不定积分形式变化多样，有些问题求解起来难度较大。因此，在学习这些不定积分，应注意总结规律，对于不同类型的不定积分的求解应采用相应的合适的方法，这样能大大的降低解题难度，提高解题速度，逐步解决不定积分学习中遇到的困难，增强学习高等数学的信心与毅力。对于这些不定积分求解的灵活掌握，能有效地打牢学习高等数学的基本功，而且可以加深对微积分学习的兴趣，并为进一步学习多元积分奠定良好的基础。1.有理函数不定积分P?x??0xn??1xn?1??????n形式为R?x?==（其中n，m为非负整数，Qx?0xm??1xm?1??????m?0,?1,???,?n与?0,?1,???,?m都是常数，且?0?0,?0?0）的函数，称为有理函数。形式为?R?x?dx的不