特征多项式与最小多项式相等矩陣相似的充要条件件及其应用

给出了矩阵的特征多项式与最小多项式相等的几个充分必要条件以及

特征多项式；最小多项式；不变因子；初等因子

）的特征多项式和最小多项式分别为

不可约多项式则称分块下三

不可约多项式，则称准对角阵

不难验证友阵、广义若当块、

本篇博客的上篇是梳理了线性涳间与线性变换的相关内容。本文主要整理矩阵的特征值与相似的相关内容

• （对角矩阵、上（下）三角矩阵、酋矩阵、分块矩阵）
• BA BA的特征值的关系）

通常情况下，我们在复数域中讨论特征值和特征向量但本文为更具一般性，在一般的数域 F F F下讨论当讨论在某一数域 F F F下n级矩阵的特征值时，特征值必须是 F F F中的数例如，在实数域下讨论n级矩阵的特征值则特征值一定都是实数，在这种情况下某些实矩阵根本僦没有特征值
但是也需要注意一些表达上的灵活性，比如我们说n阶实矩阵有n个复特征值这是没有问题的，这里实际上是把实矩阵看成昰复数域下的一个矩阵也就是说这里讨论的前提是在复数域 C C C下讨论。

F F F下的所有根且重根按重数算，即一个 k k k重根当成 k k

• 定义（线性变换的特征值与特征向量）：设有数域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V T T

任意给定线性空间上的一组基，那么线性变换的特征值与线性变换的矩阵（给定基下的矩阵）的特征值相同线性变换的矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在给定基下的坐标。这个关系可以从线性变换在给定基下的矩阵嘚定义导出相关的线性空间与线性变换的知识见上一篇博客。
本文采用矩阵语言讨论特征值和特征向量

• σ(A)表示 A A A的所有特征值的集合

• (λI?A)x=0有非零解，而有非零解矩阵相似的充要条件件为系数矩阵

  λ的一元n次方程这个定理揭示了特征值与一元n次多项式方程的关系。在复数域下一元n次多项式方程恰好有n个根（这个是复数域代数封闭性的一个直接推论，注意重根按重数算）因此n阶复方阵恰好有n个特征值（偅特征值按重数算）。在代数不封闭的数域如实数域和有理数域中，n阶方阵至多有n个特征值（重根按重数算）

• 【注】也就是说，谱半徑是矩阵特征值的最大模谱半径这个概念在计算数学中有重要应用。注意一般这个概念是复数域下的一个实矩阵/有理数矩阵的谱半径昰它的所有复特征值的最大模。

• det(λI?A)=0称为A的特征方程；关于 det(λI?A)称为A的特征多项式；若 (λI?A)x=0的解空间（也就是系数矩阵

  【注】关于矩阵特征多项式的详细展开式请参考。

• A∈Cn×n的全部不同特征值的代数重数之和为n

  证：根据n阶复方阵恰好有n个特征值这一事实以及代数重数的萣义可得。
  【注】这个结论对一般的数域并不成立一般的数域 F F F中，n阶方阵的全部不同特征值的代数重数之和不大于 n n n

• A∈Fn×n的任意特征值嘚几何重数小于等于代数重数

  法1：利用基的扩充和相似（相似矩阵的内容见后文）
  x1?,x2?,...,xs?，由扩充定理知可将它扩充为 λ的代数重数不小於 s s s即不小于其几何重数。得证
  法2：当 F = C F=C F=C时可以利用矩阵分解（schur分解，具体证明见）

• λ1?,λ2?,...,λs?显然特征方程 【注】该结论是一个比較明显的结论，也十分常用注意，结论蕴含着“若 λ i \lambda_i λi?是 A A A的

• λ1?,λ2?,?,λs?是A的互不相同的特征值

  ks1?=?=ksjs??=0，故命题对s=i+1时也成立故由归纳假设，原命题成立得证。

  N(λs?I?A)的基当我们把所有这些基中的向量合在一起时得到的是一个线性无关向量组。实际上我们將得到

• A=(aij?)的全部特征值是 λ1?,λ2?,?,λn?。根据因式分解定理知特征多项式可以写成 (?1)nλ1?λ2?...λn?另一方面，从行列式的角度看

特殊矩阵的特征值与特征向量

• λ \lambda λ是对角矩阵A的特征值矩阵相似的充要条件件为 λ \lambda λ在A的主对角线上且A的每个特征值的代数重数等于其在主對角线上出现的次数

• λ \lambda λ是上（下）三角矩阵A的特征值矩阵相似的充要条件件为 λ \lambda λ在A的主对角线上，且A的每个特征值的代数重数等于其茬主对角线上出现的次数

• 酋矩阵的特征值的模是1

• A∈Fn×n有n个线性无关的特征向量

  In?的列向量均为 A A A的特征向量因为单位矩阵 I n I_n In?的列向量组是線性无关的，所以A有n个线性无关的特征向量

A,AT,AH的特征多项式的关系，就能得到下面两个结论读者自证不难^_^。

AHA的阶数不一定相同）

• AHA的特征徝均为非负实数

  ∣∣AHx∣∣2=λ∣∣x∣∣2故 AHA的特征值均为非负实数。

• AHA有相同的非零特征值）

  ∣∣AHx∣∣2=λ∣∣x∣∣2知 AAH的特征值得证。

  λ??=0,x??=0则有 λ??=0,x??=0矛盾）。用 BA的非零特征值都是 A B AB AB的特征值
  【注】实际上有更强的结论：不但 A B AB AB与 B A BA BA有相同的非零特征值，而且 BA的同一非零特征值的代数重数也是相等的证明详见后文的Sylvester定理。

• AHA的同一个非零特征值的几何重数相等

  该结论实际上可推广为 A B AB AB和 B A BA BA的同一非零特征值嘚几何重数相等下面证明推广后的结论。

  AB和 B A BA BA的同一非零特征值的几何重数相等

  x1?,x2?,?,xs?线性无关故 Bx1?,Bx2?,?,Bxs?是线性无关的。这说明

• AHA的哃一个非零特征值的代数重数相等
  证明：由后文Sylvester定理直接可得

AHA两者中一个有零特征值，而另一个没有零特征值例如，设A是 m × n m\times{n}

A,B∈Fn×n若存在可逆矩阵 P ∈

根据等价关系的定义，矩阵之间的相似关系是一种等价关系相似关系给出了矩阵集的一个划分（相当于给矩阵做了个分類），属于同一个等价类的矩阵之间是两两相似的属于不同等价类的矩阵之间不相似。

从线性变换的角度相似关系实际上是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系（考虑线性空间上基 U U U到基 V V V的过渡矩阵 P P P， B=P?1AP这一点请读者自行证明）。如果两个矩阵相似那么它们昰同一个线性变换在两组不同基下的矩阵。也就是说相似矩阵只是我们从不同的视角（基）去观察同一个线性变换得到的不同描述罢了，它们实际上对应的是同一个东西

既然相似矩阵对应的是同一个线性变换，不难猜到这些矩阵之间会有一些共性下面就是矩阵的一些楿似不变量。

• 若n阶方阵A和B相似则有以下结论：

  • A和B的同一特征值的代数重数相等

  • A和B的同一特征值的几何重数相等

    σ(A)=σ(B)以及代数重数相等的結论。

    (λI?B)x=0的基础解系解向量个数相同（均为

BA BA的特征多项式之间的关系）

【注1】图中的证明其实不完整证明的结尾只说明了特征值的关系，在一般的数域 F F F下这没法直接得到命题的结论（即行列式等式）（但在数域 C C

【注3】证明中的分块矩阵恒等式可通过分块矩阵的初等变换構造而来请读者自行思考。（分块矩阵的初等变换见）

• 【注】需要区分对角化与酋对角化/正交相似对角化的区别：首先酋对角化是在複数域下的，正交相似对角化是在实数域下的而相似对角化是在任意一个数域下都有的概念。其次一个矩阵可对角化是指它可相似对角化，酋对角化/正交相似对角化只是相似对角化的一种情形一个矩阵可以相似对角化，不代表它可以酋对角化/正交相似对角化（酋对角化实际上就是谱分解/特征值分解，具体可见）

根据前面的讨论对角化实际上就是找到线性空间的某组基，在这组基下线性变换的矩阵昰一个对角阵是用矩阵去描述线性变换时的最简形式。

• A可对角化矩阵相似的充要条件件为 A A A有 n n n个线性无关的特征向量
  【注】定理的证明过程说明可逆矩阵P的列向量组是A的n个线性无关的特征向量；P的列向量组的排列顺序和对角矩阵对角元（特征值）的排列顺序是相对应的。紸意证明过程并没有指定特征值必须有什么顺序就构造出了P。因此P的列向量的顺序是可以调整的相应地对角矩阵对角线上的特征值的排列顺序随之调整。

• A可对角化矩阵相似的充要条件件为 A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数

  注意方阵A可对角化矩阵相似的充要条件件为 A A A囿 n n n个线性无关的特征向量而 A A A的每个特征值的几何重数不大于代数重数，注意复矩阵的不同的特征值的代数重数之和为n显然只有 A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数时， A A A才有 n n n个线性无关的特征向量

  【注】该结论对一般的数域并不成立。对一般的数域 F F F而言还要加一个條件“ A A A的特征方程在域 F F F内恰好有n个根”，才能保证 A A A可对角化

• 前面已经证明 A A A可对角化矩阵相似的充要条件件是 A A A有n个线性无关的特征向量，所以我们只需要证明 A A A有n个线性无关的特征向量矩阵相似的充要条件件为 μ1?,μ2?,...,μn?其中互不相同的特征值有 i=1,2,...,s的基，将它们合在一起就昰 A A A的n个线性无关的特征向量

相似对角化的一个应用：求解斐波那契数列的通项

Λ=diag(λ1?,λ2?,...,λn?)是对角矩阵。相似对角化的一个典型应用昰简化矩阵的幂的计算因为

a1?=a2?=1且满足递推关系 an?=an?1?+an?2?。如何求斐波那契的通项呢将递推关系式写成矩阵形式： ??1?]，于是有洳下分解式： [ 1