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北师大版四年级数学下册《三角形内角和》教案
14:13:06&&&&&&&&标签：
　　教学目标：
　　1、通过小组合作，运用直观操作的方法，探索并发现三角形内角和等于180。能应用三角形内角和的性质解决一些简单问题。
　　2、经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用&量一量&、&算一算&、&拼一拼&、&折一折&进行验证的数学思想方法，提高动手操作能力和数学思考能力。
　　3、使学生在数学活动中获得成功的体验，感受探索数学规律的乐趣。培养学生的创新意识、探索精神和实践能力，在学生亲自动手实践和归纳中，感受理性的美。
　　教学重点：
　　1、 探索和发现三角形三个内角和的度数和等于180o。
　　2、已知三角形的两个角的度数，会求出第三个角的度数。
　　教学难点：
　　已知三角形的两个角的度数，会求出第三个角的度数。
　　教学准备：
　　小黑板、学生、老师准备几个形状不同的三角形、量角器。
　　教学过程：
　　一、预习检查
　　说一说在预习课中操作的感受，应注意哪些问题，三角形的内角和等于多少度？ 组内交流订正。
　　二、情景导入 呈现目标
　　故事引入。一天，大三角形对小三角形说：&我的个头大，所以我的内角和一定比你的大。&小三角形很不甘心地说：&是这样的吗？&揭示课题，出示目标。产生质疑，引入新课。
　　三、探究新知
　　自主学习
　　1、活动一、比一比
　　2、活动二、量一量
　　（1）什么是内角？
　　（2）如何得到一个三角形的内角和？
　　（3）小组活动，每组同学分别画出大小，形状不同的若干个三角形。分别量出三个内角的度数，并求出它们的和。
　　（4）填写小组活动记录表。发现大小，形状不同的每个三角形，三个内角的度数和都接近 度。
　　3、说一说，做一做。
　　（1）我们把三个角撕下来，再拼在一起，看一看会是怎样的。
　　（2）把三个角折叠在一起，，三个角在一条直线上。从而得到三角形三个内角和等于（ ）度。
　　四、当堂训练（小黑板出示内容）
　　1、三角形的内角和是（ ）&，一个等腰三角形，它的一个底角是26&，它的顶角是（ ）。
　　2、长5厘米，8厘米，（ ）厘米的三根小棒不能围成一个三角形。
　　3、三角形具有（ ）性。
　　4、一个三角形中有一个角是45&，另一个角是它的2倍，第三个角是（ ），这是一个（ ）三角形。
　　5、按角的大小，三角形可以分为（ ）三角形、（ ）三角形、（ ）三角形。
　　6、交流学案第三题。 先独立做，最后组内交流。
　　五、点拨升华
　　任意三角形三个角的度数和等于180度。 独立思索小组交流总结方法教师点拨。
　　六、课堂总结
　　通过这节课的学习，你有什么新的收获或者还有什么疑问？ 先小组内说一说，最后班上交流。
　　七、拓展提高
　　妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝。它的顶角是40&，它的一底角是多少？ 先独立做，最后组内交流。 板书设计：
　　三角形的内角和
　　测量三个角的度数求和
来源：网络资源
作者：@佚名
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奥数关键词三角形内角和
人教版课标四年级下册《三角形的内角和》说课稿（第2稿）一、 说教材“三角形的内角和”是人教版课标教材四年级下册第五单元第3节的内容。“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。本节课是在学生学过角的度量、三角形的特征和分类等知识的基础上进行的，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，也已具备了一些相应的三角形知识和技能，这为感受、理解、抽象“三角形的内角和”的规律，打下了坚实的基础。本节课教材是按实验、探究和验证规律到归纳揭示规律最后实现灵活应用规律，这样的顺序编排的。我深入理解编排意图，认为教材为培养学生的探究精神建立起了初步的平台。我们教师要充分挖掘学生的学习资，为培养学生的探究精神提供更广阔的空间。因此，我确定本节课的目标是：1、通过操作活动探索发现和验证“三角形的内角和是180度”的规律。2、能运用这一规律解决实际的问题。3、培养探究精神，发展空间思维能力，体验动手动脑，探究发现验证数学规律的乐趣，激发学习数学的热情。教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。二、说教法、学法整个教学将体现以人为本，先放后扶的教学策略。放，不是漫无目的的放，而是为学生提供足够的探究规律的材料和时间，放手让学生自主学习，合作探究，扶，则是根据学生的不同探究方法和出现的错误，给予恰当指导，引导学生归纳概括出规律。在教学中，学生通过测量、拼折、验证等方式确定三角形内角的度数和。这样，既培养了观察能力和归纳概括能力，又体现了动手实践、合作交流，自主探索的学习方式，同时也培养了探索能力和创新精神。三、说教学过程基于以上分析，我把教学过程设计为以下四个环节：第一，复习铺垫。让学生画角并量出角的度数，复习角的度量，接下通过多媒体对锐角、直角、钝角和平角进行复习，特别是要让学生回忆出平角的概念，以及一个平角的度数。第二，创设情景。在教学中创设某种情景，把问题隐藏在情景之中，将会引起学生迫不及待探索研究的兴趣，我会从比较一个锐角三角形与一个钝角三角形的内角和以及一个小的三角形和一个大的三角形的内角和，谁大一些，引发学生的思考，要比较内角和的大小，就要知道各自的内角的度数，从而引导学生开始对“三角形的内角和是多少”进行思索。第三，自主体验，合作探究，验证规律。动手实践，自主探究，是学生学习数学的重要方式，新课程的一个重要理念就是提倡学生“做数学”用亲身体验的方式经历数学，探究数学，这要求老师首先为学生提供充分的研究材料，如三种类型的三角形若干个（小组之间的三角形大小都不相同），剪刀，量角器，白纸，直尺等，以及充裕的时间，保证学生能真正地试验，操作和探索，通过量一量、折一折、拼一拼、画一画等方式去探究问题。这一环节我设计为以下三步：1、操作感知。组织学生通过量一量、算一算初步感知三角形的内角和。通过测量与计算，学生汇报计算结果，不同的学生可能会有不同的结果，有可能大于180°或小于180°甚至等于180°，只要相对合理（允许一点误差）都给与肯定。这时可引导学生得出结论（强调在排除测量误差的前提下）：三角形的内角和是180度。2、拼折验证。组织学生小组合作探究，用实验的方法验证得出的结论。在这一过程中，学生有困惑，有疑问，而正是这些困惑激发了学生更强的探究欲望，正是这些疑问，使得“合作”成为学生的内在需要。针对探究过程中不同思维能力的学生，要做到因材施教。对于得出结论的学生要鼓励他们思考新的方法，对于无法下手的学生，要启发他们知道三角形的内角和，我们可以把角合起看是多少？能用什么方法将三个角合起。在探究学习中，老师只是起一个引导者的作用，引导学生不断地深入探究，尽可能用多种合理的方法，验证结论。3、交流反馈，验证规律。学生完成探究活动之后，在有亲身体验的基础上，我将选择不同方法的代表，在展示平台上展示自己的探究过程，并说说自己是怎样想的。我关注的将不是学生最后论证的结果，而是学生思维的过程。学生可能通过：拼一拼、折一折、画一画的方法，验证得出三角形的内角和是180度，并通过观察对比各组的所用的三角形，是不同类型的而且大小不同的，发现这一规律是具有普遍性的，对于任意三角形都是适用。第四是灵活应用，拓展延伸。揭示规律之后，学生要掌握知识，形成技能技巧，就要通过解答实际问题的练习巩固内化。根据学生能力的不同，我将练习分为以下3个层次。1、基础练习。要求学生利用“三角形内角和是180度”在三角形内已知两个角，求第三个角。由于学生空间思维能力的局限，我将先出示有具体图形的题目，再出示文字叙述题。2、提高练习。如已知一个直角三角形的一个角的度数，求另一个角的度数；已知一个等腰三角形的顶角或底角的度数，求底角或顶角的度数。3、拓展练习。针对不同思维能力的学生，我设计的思考题是要求学生应用“三角形内角和是180”的规律，求多边形的内角和。我的目的不仅仅是为了让学生去求解多边形的内角和，更重要的是为了让学生灵活应用知识点，培养学生的空间思维能力。这样安排可以兼顾不同能力的学生，在保证基本教学要求的同时，尽量满足学生的学习需要，启发学生的思维活动。本节课通过这样的设计，学生全身心投入到数学探究互动中去，学生不仅学到科学探究的方法，而体验到探索的甘苦，领略成功的喜悦，学生在探索中学习，在探索中发现，在探索中成长，最终实现可持续性发展。板书：三角形的内角和 量：内角和接近180° 拼：拼成平角 折：组成平角 三角形的内角和是180° 画：组成平角
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新人教版初中数学教案(精品)第7章 三角形
数学教师网[]精品资料免费下载第七章“三角形”简介“三角形”一章章节结构是“与三角形有关的线段” “与三角形有关的角” “多 边形及其内角和” “课题学习 镶嵌” ．这与以往的内容安排有所不同．按照以往 的教材， 受三角形、 多边形、 圆顺次展开的限制， 这些内容分别属于不同年级． 而 新的结构是一种专题式设计，以内角和为主题，先研究三角形内角和，再顺势推 广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌． 本章教学时间约需 10 课时，具体分配如下（仅供参考） ： 7.1 与三角形有关的线段 2 课时 7.2 与三角形有关的角 2 课时 7.3 多边形及其内角和 2 课时 7.4 课题学习 镶嵌 2 课时 数学活动 小结 2 课时 一、教科书内容和课程学习目标 （一）本章知识结构本章知识结构框图如下： （二）教科书内容 本章首先介绍三角形的有关概念和性质． 例如， 在了解三角形的高的基础上， 了解三角形的中线、角平分线．又如，在知道三角形的三个内角的和等于 180° 的基础上，了解这个结论成立的道理．通过本章内容的学习，可以丰富和加深学 生对三角形的认识．另一方面， 这些内容是以后学习各种特殊三角形 （如等腰三角形、 直角三角形） 的基础， 也是研究其他图形的基础知识． 以三角形的有关概念和性质为基础， 本章接着介绍多边形的有关概念与多边 形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多 边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念 推广而来．三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利 用三角形的性质研究多边形． 多边形的内角和公式就是利用上述方法，由三角形『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载的内角和等于 180°得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安 排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习． 镶嵌作为课题学习的内容安排在本章的最后， 学习这个内容要用到多边形的 内角和公式．通过这个课题的学习，学生可以经历从实际问题抽象出数学问题， 建立数学模型， 综合应用已有知识解决问题的过程， 从而加深对相关知识的理解， 提高思维能力． （三）课程学习目标 1 了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线） ，知道三角形两边 的和大于第三边，会画出任意三角形的高、中线、角平分线，了解三角形的稳定 性． 2 了解与三角形有关的角（内角、外角） ，会用平行线的性质与平角的定义 说明三角形内角和等于 180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和． 3 了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形） ，探索并 了解多边形的内角和与外角和公式． 4 通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以 镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计． 二、本章编写特点 （一）加强与实际的联系 三角形是最常见的几何图形之一，在生产和生活中有广泛的应用．教科书通 过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形，形成三角形的概念．多边形 概念的引入，也是类似处理的． 三角形有很多重要的性质，如稳定性，三角形的内角和等于 180°．教科书 在介绍三角形的稳定性的同时， 顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过 如下的实际问题引入的： “盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在 窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？” ．然后让学生通过实验得出三角形 有稳定性，四边形没有稳定性的结论，进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木 条”的道理．除此之外，教科书还举出了一些应用三角形的稳定性，四边形的不 稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于 180°，教科书则安排求视角的实 际问题作为例题，加强与实际的联系． 在本章的课题学习中， 教科书从用地砖铺地引入镶嵌，进而让学生探究一些 多边形能否镶嵌成平面图案，并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设 计．在编写时关注上述从实践到理论，再从理论到实践的全过程，使学生对理论 来源于实践又运用于实践的认识进一步加深． （二）加强与已学内容的联系 学生在前两个学段已学过三角形的一些知识， 对三角形的许多重要性质有所 了解，在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识，初步了解了一些 简单几何体和平面图形及其基本特征，会进行简单的说理． 上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的 垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于 180°可以启发学生得出说明这个结论正确的方法，而说明的过程中要用到平行 线的性质与平角的定义． 在编写时关注本章内容与已学内容的联系，帮助学生掌 握本章所学内容．另一方面，又注意让学生通过本章内容的学习，复习巩固已学 的内容．『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载（三）加强推理能力的培养 在本章中加强推理能力的培养，一方面可以提高学生已有的水平，另一方面 又可以为学生正式学习证明作准备．为达到上述要求，在编写时注意了以下内容 的处理： （1）由“两点之间，线段最短”说明“三角形两边的和大于第三边” ； （2）由平行线的性质与平角的定义说明“三角形的内角和等于 180°” ； （3）由“三角形的内角和等于 180°”得出“三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和” ； （4）由“三角形的内角和等于 180°”得出多边形内角和公式； （5）由多边形内角和公式得出多边形外角和公式； （6）由多边形内角和公式说明任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶 嵌平面． 上述内容都包含了推理，教科书注意分析得出结论的思路，通过多提问题， 留给学生足够的思考时间，让学生经历得出结论的过程． 三、几个值得关注的问题 （一）把握好教学要求 与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到了解（认识）的程度就可以 了， 进一步的要求可通过后续学习达到．如在本章中知道什么是三角形的角平分 线就可以了， 如学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这 个结论，对这个结论的证明在后面学习“全等三角形”一章时再介绍．同样，三 条中线交于一点的结论也可直接点明，以后还会知道这个点是三角形的重心． 在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边对应相等 的两个三角形全等” 可进一步明白其中的道理． ， 说明三角形的内角和等于 180° 有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力， 以免影响对内容本身的理解与掌握．要明确本章仍是正式介绍证明的准备阶段， 对推理的要求应循序渐进． （二）开展好课题学习 可以如下展开课题学习： 背景 了解多边形覆盖平面问题来自实际． 实验 发现有些多边形能覆盖平面，有些则不能． （3）分析 讨论多边形能覆盖平面的基本条件，发现问题与多边形的内角 大小有密切关系，运用多边形内角和公式对实验结果进行分析． （4）运用 进行简单的镶嵌设计． 首先引入用地砖铺地， 用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数 学问题： 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过 实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案，并记下实验结果： （1） 用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图 1） ．用 正五边形不能镶嵌成一个平面图案． （2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边 形也可以镶嵌成一个平面图案． （3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一 个平面图案(图 2)． 观察上述实验结果，得出多边形能镶嵌成一个平面图案需要满足的两个条 件:『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载（1） 拼接在同一个点 （例如图 2 中的点 O） 的各个角的和恰好等于 360° （周 角） ； （2） 相邻的多边形有公共边 （例如图 2 中的 OA 两侧的多边形有公共边 OA） ． 运用上述结论解释实验结果， 例如， 三角形的内角和等于 180°， 在图 2 中， ∠1+∠2+∠3=180°． 因此,把 6 个全等的三角形适当地拼接在同一个点 （如图 2） , 一定能使以这点为顶点的 6 个角的和恰好等于 360°,并且使边长相等的两条边 贴在一起． 于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案． 又如， 由多边形内角和公式， 可以得到五边形的内角和等于 (5－2)×180°=540°． 因此,正五边形的每个内角等于 540°÷5=108°, 360°不是 108°的整数倍,也就是说用一些 108°的角拼不成 360°的角． 因 此，用正五边形不能镶嵌成一个平面图案． 最后，让学生进行简单的镶嵌设计，使所学内容得到巩固与运用．『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.1.1三角形的边教学目标 1、知识与技能：结合具体实力进一步认识三角形的概念及基本要素，能用符 号语言表示三角形，懂得判断三条线段能否构成三角形的方法，并能用于 解决有关问题。 2、过程与方法：在丰富的现实情境中，抽象出三角形，体会三角形在现实生 活中的应用。 3、情感态度与价值观：创设具体现实性、趣味性和挑战性的情境，体现三角 形的广泛应用；通过小组合作与交流，培养团结协作的精神。 重点、难点 重点： 1、对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形. 2、能从图中识别三角形. 3、通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系. 难点： 1、在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2、用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、看一看 1.投影:图形见章前 P68-69 图. 教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古 埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构??的投影,给同学放映)从古埃及的金字 塔到现代的飞机、 上天的飞船,从宏大的建筑如 P68-69 的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角 形”这个课题来源于实际生活之中. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中. 2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.AB AAB D(1)CB(2)CE (3)CEDCAD (4)BA (5)B(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载图(1)三条线段 AC、CB、AB 是否首尾顺序相接.(是) (2)观察发现,以上的图,哪些是三角形? (3)描述三角形的特点: 板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”. 教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视. 学生回答: a.不在一直线上的三条线段. b.首尾顺次相接. 二、读一读 指导学生阅读课本 P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题: (1)什么叫三角形? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形 ABC 用符号表示________. (4)三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写字母分别表示为________. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边; 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形 ABC 用符号表示为△ABC,三角形 ABC 的三边,AB 可用边 AB 的所对的角 C 的小写字母 c 表示,AC 可用 b 表示,BC 可用 a 表示. 三、做一做 画出一个△ABC,假设有一只小虫要从 B 点出发,沿三角形的边爬到 C,它有几 种路线可以选择?各条路线的长一样吗? 同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题: (1)小虫从 B 出发沿三角形的边爬到 C 有如下几条路线. a.从 B→C b.从 B→A→C (2)从 B 沿边 BC 到 C 的路线长为 BC 的长. 从 B 沿边 BA 到 A,从 A 沿边 C 到 C 的路线长为 BA+AC. 经过测量可以说 BA+AC&BC,可以说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议 1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论? 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 五、想一想 三角形按边分可以,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: ? 三角形 不等三角形 ? 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ? ? ? 等边三角形 ? (2)三角形按角分类如下: 三角形? 直角三角形 ? 斜三角形 锐角三角形 ? ? ? 钝角三角形 ?『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载六、练一练 有三根木棒长分别为 3cm、6cm 和 2cm,用这木棒能否围成一个三角形? 分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角 形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三 角形. (2)要让学生明确两条木棒长为 3cm 和 6cm,要想用三根木棒合起来构成一个 三角形,这第三根木棒的长度应介于 3cm 和 8cm 之间,由于它的第三根木棒长只有 2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形. 错导:∵3cm+6cm&2cm ∴用 3cm、6cm、2cm 的木棒可以构成一个三 角形. 错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差 小于第三边,这里 3+6&2,没错,可 6-3 不小于 2,所以回答这类问题应先确定最大 边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构 成. 七、忆一忆 今天我们学了哪些内容: 1.三角形的有关概念(边、角、顶点) 2.会用符号表示一个三角形. 3.通过实践了解三角形的三边不等关系. 八、作业 1.课本 P71 练习 1.2,P75 练习 7.1 1.2. 2.补充：如图，线段 AB 、 CD 相交于点 O ，能否确定 AB ? CD 与 AD ? BC 的 大小，并加以说明．A O DCB『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.1.1三角形的边基础训练一、选择题: 1.已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5. 其中可构成三角形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 C.4 个 2.如果三角形的两边长分别为 3 和 5,则周长 L 的取值范围是( ) A.6&L&15 B.6&L&16 C.11&L&13 D.10&L&16 3.现有两根木棒,它们的长度分别为 20cm 和 30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成 一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( ) A.10cm 的木棒 B.20cm 的木棒; C.50cm 的木棒 D.60cm 的木棒 4.已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 6,则它的周长为( ) A.9 B.12 C.15 D.12 或 15 5.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为 12cm,则它的最短边长为( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 6.已知三角形的周长为 9,且三边长都是整数,则满足条件的三角形共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 二、填空题: 1.若三角形的两边长分别是 2 和 7,则第三边长 c 的取值范围是_______;当周长 为奇数时,第三边长为________;当周长是 5 的倍数时,第三边长为________. 2.若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的 两边长分别是 3 和 4,则它的周长为_____. 3.若等腰三角形的腰长为 6,则它的底边长 a 的取值范围是________;若等腰三角 形的底边长为 4,则它的腰长 b 的取值范围是_______. 4.若五条线段的长分别是 1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可构成 ______个三角形. 5.已知等腰三角形 ABC 中,AB=AC=10cm,D 为 AC 边上一点,且 BD=AD,△BCD 的周长 为 15cm,则底边 BC 的长为__________. 6.已知等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 7cm,且它的周长大于 16cm,则第三边长 为_____.能力提高1.如图所示,已知 P 是△ABC 内一点,试说明 PA+PB+PC&1 (AB+BC+AC). 2B PAC2.已知等腰三角形的两边长分别为 4,9,求它的周长.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载拓展延伸1.设△ABC 的三边 a,b,c 的长度都是自然数,且 a≤b≤c,a+b+c=13,则以 a,b,c 为边的三角形共有几个?2. 若三角形的各边长均为正整数,且最长边为 9,则这样的三角形的个数是多 少?『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载答案:基础训练一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.B 二、 1.5&c&9 6 或 8 6 2.17 10 或 11 3.0&a&12 b&2 4.3 5.5cm 6.7cm能力提高1.解:在△APB 中,AP+BP&AB, 同理 BP+PC&BC,PC+AP&AC, 三式相加得 2(AP+BP+PC)&AB+AC+BC, 1 ∴AP+BP+CP& (AB+AC+BC). 2 2.22拓展延伸1.5 个 2.25 个『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.1.2三角形的高、中线与角平分线教学目标 1、知识与技能：认识三角形的高、中线、角平分线，会作三角形的高、中线、 角平分线。 2、过程与方法：经历折纸、画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分 线。 3、情感态度与价值观：经历探索、作图等过程，学会研究问题的方法。 重点、难点 1.重点： (1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的 高、中线与角平分线。 (2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点。 2.难点： (1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别. (2)钝角三角形高的画法. (3)不同的三角形三条高的位置关系. 教学过程 一、看一看 把下面图表投影出来: 三角形的 意义 图形 表示法 重要线段 从三角形的 一个顶点向 A 1.AD 是△ABC 的 BC 上 它的对边所 三角形的 的高线. 在的直线作 高线 2.AD⊥BC 于 D. 垂线,顶点 3.∠ADB=∠ADC=90°. B D C 和垂足之间 的线段 三角形中, 连结一个顶 点和它对边 中的 线段A三角形的 中线BDC1.AE 是△ABC 的 BC 上 的中线. 1 2.BE=EC= BC. 2三角形一个 内角的平分 线与它的对 三角形的 边相交,这 角平分线 个角顶点与 B D 交点之间的 线段 1.指导学生阅读课本 P71-72 的课文.『数学教师网』收集整理A2 1C1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 1 2.∠1=∠2= ∠BAC. 2欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题. (1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从 三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线. (2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系? 三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有 着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线. (3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联 系? 三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶 点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线. 3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线? 三角形的高、 中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的 一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上. 二、做一做 1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如 果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角 形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系? 三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三 角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的 外部. 2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如 果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这 些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系? 三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内. 3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线, 观察这三条角平分线的位置有何关系? 无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都 在三角形内,并且交于一点. 三、议一议 通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流. 四、练习 1.课本 P72,练习 1.2. A 2.画钝角三角形的三条高. 五、作业 1.P75 习题 7.1 3.4.B C『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.1.2三角形的高、中线与角平分线、三角形的稳定性基础训练一、选择题： 1.如图 1 所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线 AC 翻折 180°,使点 B 落 在点 B′的位置,则线段 AC 具有性质( ) A.是边 BB′上的中线 B.是边 BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一AAA D EE FBCB'BCBDC(1) (2) (3) 2.如图 2 所示,D,E 分别是△ABC 的边 AC,BC 的中点,则下列说法不正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是 DE 3.如图 3 所示,在△ABC 中,已知点 D,E,F 分别为边 BC,AD,CE 的中点, 且 S 2 ) △ABC=4cm ,则 S 阴影等于( 1 1 A.2cm2 B.1cm2 C. cm2 D. cm2 2 4 4.在△ABC,∠A=90°,角平分线 AE、中线 AD、高 AH 的大小关系为( ) A.AH&AE&AD B.AH&AD&AE C.AH≤AD≤AE D.AH≤AE≤AD 5.在△ABC 中,D 是 BC 上的点,且 BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么 S△ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24 6.不是利用三角形稳定性的是( ) A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条 二、填空题:(每小题 3 分,共 12 分) 1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度. 2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________. 3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠ DAE 的度数为_________. 4.三角形的三条中线交于一点,这一点在_______, 三角形的三条角平分线交于 一点,这一点在__________,三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点在 _____.能力提高1.如图所示,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载A B EC2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为 34cm,△ABD 的周长为 30cm, 求 AD 的长.拓展延伸1.在△ABC 中,∠A=50°,高 BE,CF 所在的直线交于点 O,求∠BOC 的度数.2.(2000.杭州)AD,AE 分别是等边三角形 ABC 的高和中线,则 AD 与 AE 的大小关 系为____.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载基础训练一、1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 二、 1.135 2.3 条或 7 条 3.20° 4.三角形内部 三角形内部 三角形内部、边 上或外部能力提高1.∠AEC=45° 2.AD=13cm拓展延伸1.∠BOC=50°或 130° 2.AD=AE.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.1.3 三角形的稳定性教学目标： 1、 知识与技能：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性 在生产、生活都有广泛的作用。 2、 过程与方法：通过观察和操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 3、 情感态度与价值观：经历动手、猜想、归纳等过程，认识到数学起源于实际 生活，又服务于生产和生活。 重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用 难点：准确使用三角形稳定性与生产生活之中 课前准备：小木条 8 个，小钉若干 教学过程： 一、看一看，想一想 课本 P73 投影出来 盖房子时在窗框未安装好之前， 林工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么 要这样做呢？（1） （2） (3) (4) 二、做一做 1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它， 它的形状会改变吗？ 三、议一议 从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。 三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定 性，四边形没有稳定性。 四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载五、练一练 课本 P74 练习 作业：课本 P75DD5,9『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.2.1 三角形的内角教学目标 1、 知识与技能：掌握三角形内角和定理，能用平行线的性质推出这个定理，能 应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。 2、 过程与方法：经历实验活动的过程，进一步发展几何观念和推理能力。 3、 情感态度与价值观：经历猜想、归纳、证明等过程，学会研究问题的方法。 重点：三角形内角和定理。 难点：三角形内角和定理的推理的过程。 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形。 教学过程 一、做一做 1 在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 2 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量 出 ?BCD 的度数，可得到： ?A ? ?B ? ?ACB ? 180? 图13 剪下 ? A ，按图（2）拼在一起，从而还可得到： ?A ? ?B ? ?ACB ? 180?图2 4 把 ? B 和 ?C 剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量 ?MAN 的度数，会得 到什么结果。二、想一想 如果我们不用剪、 拼办法， 可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确 性呢？ 已知 ?ABC ，说明 ?A ? ?B ? ?C ? 180? ，你有几种方法？结合图（1） 、图（2） 、『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载图（3） 能不能用图（4）也可以说明这个结论成立三、例题如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50? 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80? 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40? 方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ?ACB 是多少度？练习：课本 P80，练习 1，2 作业：P81 1，2，3，4，5 补充练习 1 三角形中最大的角是 70? ，那么这个三角形是锐角三角形（ 2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ 3 一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ） 4 一个三角形最少有一个角不大于 60? （ ） ） ）『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.2.1三角形的内角基础训练一、选择题: 1.如果三角形的三个内角的度数比是 2:3:4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三 角形 2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于 60° 2 4 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的 ,是第三个内角的 ,则这个三角形 3 5 各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90° 4.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.设α ,β ,γ 是某三角形的三个内角,则α +β ,β +γ ,α +γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角 1 1 7.在△ABC 中,∠A= ∠B= ∠C,则此三角形是( ) 2 3 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 二、填空题:(每小题 3 分,共 15 分) 1.三角形中,若最大内角等于最小内角的 2 倍,最大内角又比另一个内角大 20°, 则此三角形的最小内角的度数是________. 2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B&∠C,则 此三角形是_____三角形. 3.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为 1: 2, 则这个等 A 腰三角形的顶角为_______. 4.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,若∠BOC=132°,则 ∠A=_______度. 5.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC 的度 D 数为________. 12能力提高1.如图所示,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,AE 平分∠BAC(∠C&∠B), 1 试说明∠EAD= (∠C-∠B). 2BC『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载ABE D C2.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.拓展延伸1.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.C A1 2P B3 4D2.如图所示,将△ABC 沿 EF 折叠,使点 C 落到点 C′处,试探求∠1,∠2 与∠C 的关 系.A E C F1C' B2『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载答案:基础训练一、1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 二、1.40° 2.直角 钝角 3.36°或 90° 4.84 5.80°能力提高1.解:∵AD⊥BC, ∴∠BDA=90°, ∴∠BAD=90°-∠B, 又∵AE 平分∠BAC, 1 1 ∴∠BAE= ∠BAC= (180°-∠B-∠C), 2 2 ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE 1 =90°-∠B- (180°-∠B-∠C) 2 1 1 =90°-∠B-90°+ ∠B+ ∠C 2 2 1 1 = ∠C- ∠B 2 2 1 = (∠C-∠B). 2 2.∠A=50°,∠B=55°,∠C=75.拓展延伸1.∠P=30° 2.解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE, ∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+ ∠CFE) =360°-2(180°-∠C) =360°-360°+2∠C=2∠C.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.2.2 三角形的外角教学目标 1、 知识与技能：了解三角形的外角的两条性质，能利用三角形的外角性质解决 问题。 2、 过程与方法：经历观察、探索、交流等过程，增强表达能力和推理能力。 3、 情感态度与价值观：学会研究问题的方法，进一步发展几何观念。 重点： （1）三角形的外角的性质； （2）三角形外角和定理 难点：三角形外角的定义及定理的论证过程 一、 想一想 1 三角形的内角和定理是什么？ 二、 做一做 把 ?ABC 的一边 AB 延长到 D，得 ?ACD ，它不是三角形的内角，那它是三角形 的什么角？它是三角形的外角。 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 想一想：三角形的外角有几个？ 每个顶点处有两个外角，但这两个是对顶角 三、 议一议 ?ACD 与 ?ABC 的内角有什么关系？ （1） ?ACD ? ?A ? ?B （2） ?ACD ? ?A ， ?ACD ? ?B 再画三角形 ABC 的外角试一试，还会得到这个性质吗？ 同学用几何语言叙述这个性质： 三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？ 已知： ?ACD 是 ?ABC 的外角 说明： （1） ?ACD ? ?A ? ?B （2） ?ACD ? ?A ， ?ACD ? ?B 结合下面图形给予说明练一练：课本 P81，练习 作业：课本 P82，6，7，8，9『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载备选题 1 如图， ?1, ?2, ?3 是三角形 ABC 的不同三个外角，则 ?1 ? ?2 ? ?3 ?2 三角形的三个外角中最多有 直角锐角，最多有个钝角，最多有个3 ?ABC 的两个内角的一平分线交于点 E， ?A ? 52? ，则 ?BEC ? 4 已知 ?ABC 的 ?B, ?C 的外角平分线交于点 D， ?A ? 40? ，那么 ?D = 5 如图， ?BDC 是 外角， ?BDC ? + ， ?EFC 是 外 角， ?EFC = + ， ?BFC 是 外角， ?BFC = + ， ?BFC & , ?BFC & 6 在 ?ABC 中 ? A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于 ? B 的两倍，那 么 ?A ? ， ?B ? ， ?C ?『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.2.2三角形的外角基础训练一、选择题: 1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为 180°,那么与这个外 角相邻的内角的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 3.已知三角形的三个外角的度数比为 2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 4.已知等腰三角形的一个外角是 120°,则它是( ) A.等腰直角三角形; B.一般的等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰钝 角三角形 5.如图 1 所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105°AA F B E C DE215 4F680?B3C1140?(1) (2) (3) 6.如图 2 所示,在△ABC 中,E,F 分别在 AB,AC 上,则下列各式不能成立的是( ) A.∠BOC=∠2+∠6+∠A; B.∠2=∠5-∠A; C.∠5=∠1+∠4; D.∠1=∠ ABC+∠4 二、填空题: A 1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. D 2.如图 3 所示,∠1=_______. 3. 如 果 一 个 三 角 形 的 各 内 角 与 一 个 外 角 的 和 是 O 225°,则与这个外角相邻的内角是____度. B 4.已知等腰三角形的一个外角为 150°,则它的底角 C 为_____. 5.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点 O,∠ E A ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 D, ∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点 E,且∠ A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________. D 6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.能力提高BC1.如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载数.A O B C2.如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠ DAC 的度数.A1234BDC拓展延伸如图所示,在△ABC 中,∠A=α ,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点 P, 且∠P=β ,试探求下列各图中α 与β 的关系,并选择一个加以说明.A P B(1)A PACB(2)CBCP(3)『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载答案:基础训练一、1.C 二、1.1 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 2.120° 3.95 4.30°或 75° 5.120° 30° 60° 6.120°能力提高1.∠BOC=125° 2.∠DAC=24°拓展延伸1 (1) ? ? 900 ? ? 2 1 (2) ? ? ? 2 1 (3) ? ? 900 ? ? 2(说明略)『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7．3．1多边形教学目标 1、 知识与技能：了解多边形的有关概念，理解正多边形和有关概。 2、 过程与方法：经历动手、作图等过程，进一步发展空间能力。 3、 情感态度与价值观：经历探索、归纳等过程，学会研究问题的方法。 教学重点、难点 1．重点： （1）了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念． （2）区别凸多边形和凹多边形． 2．难点： 多边形定义的准确理解． [教学过程] 一、新课讲授 投影：图形见课本 P84 图 7．3 一 l． 你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗？ 上面三图中让同学边看、边议． 在同学议论的基础上，老师给以总结，这些线段围成的图形有何特性？ （1）它们在同一平面内． （2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的． 这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多 边形呢？ 提问：三角形的定义． 你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？ 1．在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫做 n 边形． （一个多边 形由几条线段组成，就叫做几边形． ） 2．多边形的边、顶点、内角和外角．多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角， 多边形的边与它的邻边的延长 线组成的角叫做多边形的外角． 3．多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 让学生画出五边形的所有对角线． 4．凸多边形与凹多边形『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载看投影：图形见课本 P85．7．3―6．在图（1）中，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这 条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而 图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画 BD 所在直线，整个多边形不 都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的 多边形都是凸多边形． 5．正多边形 由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．二、课堂练习 课本 P86 练习 1．2． 三、课堂小结 引导学生总结本节课的相关概念． 四、课后作业 课本 P90 第 1 题．7．3．1多边形基础训练一、判断题． 1．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形． （ ） 2．由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形． （ ） 3．由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所 在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形． （ ）『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载4．在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形． （ ） 二、填空题． 1．连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的 多边形叫凸多边形． 3．各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．能力提高1．画出图（1）中的六边形 ABCDEF 的所有对角线．2．如图（2） 为四边形 ABCD 内一点，连接 OA、OB、OC、OD 可以得几 ，O 个三角形？它与边数有何关系？拓展延伸1.如图（3） 在五边形 ABCDE 的 AB 上，连接 OC、OD、OE，可以得到几个 ，O 三角形？它与边数有何关系？ 2.如图（4） ，过 A 作六边形 ABCDEF 的对角线，可以得到几个三角形？它与边 数有何关系？『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7．3．2多边形的内角和教学目标 1、 知识与技能：了解多边形的内角、外角等概念，能通过不同方法探索多边形 的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算。 2、 过程与方法：经历合作、交流等过程，初步形成推理思维。 3、 情感态度与价值观：经历猜想、探索、归纳等过程，学会多角度、全方位研 究问题的方法。体会转化、类比等数学思想。 教学重点、难点 1．重点： （1）多边形的内角和公式． （2）多边形的外角和公式． 2．难点：多边形的内角和定理的推导． [教学过程] 一、探究 1．我们知道三角形的内角和为 180°． 2．我们还知道，正方形的四个角都等于 90°，那么它的内角和为 360°，同样 长方形的内角和也是 360°． 3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为 360°，那么一般的四边形 的内角和为多少呢？ 画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴 交流你的结果． 从中你得到什么结论？ 同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为 360°的感性认识，是否成为定理要进行推导． 二、思考几个问题 1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角 形？那么四边形的内角和等于多少度？ 2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 那么这五边形的内角和为多少度？ 3．从 n 边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将 n 边形分成几个三角 形？n 边形的内角和等于多少度？ 综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？ 设多边形的边数为 n，则 n 边形的内角和等于（n 一 2） ?180°． 想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成， 就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外， 还有其他的分法吗？你会用新的分法得到 n 边形的内角和公式吗？ 由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳： （以五边形为例） 分法一：在五边形 ABCDE 内任取一点 O，连结 OA、OB、OC、OD、OE，则得五 个三角形．其五个三角形内角和为 5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 不是 五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为 5×180°一 2×180°＝（5―2）× 180°=540°． 如果五边形变成 n 边形， 用同样方法也可以得到 n 个三角形的内角和减去一『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载个周角，即可得：n 边形内角和＝n×l80°一 2×180°=（n 一 2）×180°．EA1O 2DE3 4B5AD12O3 4C BC分法二：在边 AB 上取一点 O，连 OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形， 而∠1、∠2、∠3、∠4 不是五边形的内角，应舍去． ∴五边形的内角和为（5―1）×180°一 180°＝（5―2）×180° 用同样的办法，也可以把 n 边形分成（n 一 1）个三角形，把不是 n 边形内 角的∠AOB 舍去，即可得 n 边形的内角和为（n 一 2）×180°． 三、例题 例 1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 已知：四边形 ABCD 的∠A＋∠C＝180°．求：∠B 与∠D 的关系． B 分析：本题要求∠B 与∠D 的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°， 所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．AC解：如图，四边形 ABCD 中，∠A＋∠C＝180°。 ∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°， A 1 ∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180° B 这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补． 2 例 2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角， C 这些外角的和叫做六边形的外角和． 六边形的外角和等于 3 多少？ DD6F5E4已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 分别为六边形 ABCDEF 的外角． 求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的值． 分析： 关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的 6 个外 角加上它相邻的内角的总和为 6×180°． 由于六边形的内角和为 （6―2） ×180° =720°． 这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°． 解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为 180°． ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为 6×180°． 由于六边形的内角和为（6―2）×180°=720° ∴它的外角和为 6×180°一 720°=360° 如果把六边形横成 n 边形． 为不小于 3 的正整数） （n 同样也可以得到其外角和等于 360°．即 多边形的外角和等于 360°． 所以我们说多边形的外角和与它的边数无关． 对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于 360°． 如下图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到 A『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和， 由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于 360°．四、课堂练习 课本 P89 练习 1、2、3 题． P90 第 2、3 题 五、课堂小结 引导学生总结本节课主要内容． 六、课后作业『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.3.2 多边形及其内角和基础训练一、选择题: 1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.不能作为正多边形的内角的度数的是( ) 4 A.120° B.(128 )° C.144° D.145° 7 3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是 ( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4 4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( ) A.都是钝角; B.都是锐角 C.是一个锐角、一个钝角 D.是一个锐角、一个直角 6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引 10 条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形 8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为 2570°,则这个内角的度数 为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 二、填空题: 1.多边形的内角中,最多有________个直角. 2.从 n 边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将 这个多边形分成________个三角形. 3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于 135°, 那么这个 多边形的边数最少为________. 4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为 9:2, 则这个多边形的边数为_________. 5.每个内角都为 144°的多边形为_________边形.能力提高1.如图所示,用火柴杆摆出一系列 三角形图案,按这种方式摆下去, 当摆到 20 层(n=20)时,需要多少 n=1 根火柴?n=2n=32.一个多边形的每一个外角都等于 24°,求这个多边形的边数.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载拓展延伸1.一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为 m:n,其 中 m,n 是互质的正整数,求这个多边形的边数(用 m,n 表示)及 n 的值.2.从 n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下 n 边形共 有多少条对角线.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载答案:基础训练一、1.D 二、1.4 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C 2.(n-3) (n-2) 3.9 4.11 5.十能力提高1.630 根 2.15拓展延伸2( m ? n ) ,n=1 或 2. n n( n ? 3) 2.(n-3) 条 21.边数为『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7．4 课题学习：镶嵌一、教学目标 1、知识与技能：了解平面镶嵌的几何意义，会利用有关几何图形设计“镶嵌” 的图案。 2、过程与方法：经历用正多边形镶嵌的过程，掌握正多边形的条件。 3、情感态度与价值观：体会学习数学的乐趣，认识到数学在生产和生活中的广 泛应用。 二、教学活动的建议 探究性活动是一种心得学习方式，它不是老师讲授、学生听讲的学习方式， 而是学生自己应用已有的数学知识和能力， 去探索研究生活中有趣而富有挑战问 题的活动过程。 教学活动中， 教师提供必要的指点和帮助。 引导学生对探究性活动进行反思， 不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题， 并更多地关注学生自主探 究、与他人合作的愿望和能力。 三、关于镶嵌 1. 镶嵌，作为数学学习的一项探究性活动，主要有以下两个方面的原 因： 如果用“数学的眼光”观察事物，那么用正方形的地砖铺地，就是“正方形” 这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。 “几何“中研究图形性质时，也常常要把图形拼合。比如，两个全等的直角 三角形可以拼合成一个等腰三角形，或一个矩形，或一个平行四边形；又如，六 个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形， 四个全等的等边三角形可以拼合 成一个较大的等边三角形等。 2. 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个 顶点的若干个角的和恰好等于 360°。 用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除 360°，这种正多边 形就能作平面镶嵌。比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌，而正五边 形、正七边形、正八边形、正九边形、??的内角的度数都不能整除 360°，所 以这些正多边形都不能镶嵌。 用两种或三种正多边形镶嵌，可参见有关资料内容。 用一种任意的凸多边形镶嵌。 从正多边形镶嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否 作平面镶嵌，而不必考虑其他多边形能否镶嵌（这是因为：假如这类多边形能作 镶嵌，那么这类正多边形必能作镶嵌，这与上面研究的结论矛盾）『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载单一的正多边形的平面镶嵌：两种正多边形的平面镶嵌：拼法一『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载三种正多边形的平面镶嵌：正三角形、 正四边形与正十二边形虽然能进行平面镶嵌，但不是所有顶点处都是 由这三种图形构成，如图红色部分.正五边形与正十边形虽然能够在同一顶点处内角和构成360?， 但是它们不能进行平面镶嵌.红色处形成重叠.正四边形、正五边形与正二十边形虽然能够在同一顶点处 内角和构成360?，但是它们不能进行平面镶嵌.红色处角度 为72?『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载活动 1 让学生展示利用任意形状、 大小完全相同的 10 个三角形和 10 个四边形拼成的既 不重叠，也无缝隙的平面图案. （提前布置的探究活动.） 得出平面镶嵌的基本条件：在同一个顶点处各角的和为 360°，为进一步研究下 面的问题做好准备. 通过拼图游戏，引起学生的兴趣，同时学生受到表扬，获得成就感. 为下一步活动获得必备的知识. 给出平面镶嵌的必备条件. 得出平面镶嵌的必 备条件：图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于 360°. 活动 2 探究 利用正多边形进行平面镶嵌. 1.只用同一种正多边形进行平面镶嵌， 那么哪几种正多边形可以进行平面镶嵌？ 为什么？ 分析各种正多边形的内角度数， 由上面得出的结论去探究. （正三角形、正方形、正六边形可以单一进行平面镶嵌，理由：内角度数可以整 除 360.） 课件“正多边形镶嵌”第 2、3、4 页. 由最基本的单一正多边形平面镶嵌出发，利用代数整除的知识得出结论，使学生 掌握基本的探究方法. 2.用两种边长相同的正多边形平面镶嵌， 有哪些组合方法？为什么？如何拼图？ 利用代数式：x n + y m = 360° （其中 n、m 为正多边形的内角度数，x、y 为正整数.） 探究正整数解，得出不同的组合方式： 正三角形和正方形（两种拼法） 、正三角形和正六边形（两种拼法） 、正三角形和 正十二边形、正四边形和正八边形. （课件“正多边形镶嵌”第 5、6、7、8 页.） 注：正五边形和正十边形内角（108+108+144）可以构成 360°，但是不能进行 平面镶嵌.（见课件“正多边形镶嵌”第 12 页.） 此活动为本节课的重点及难点. 更加突出利用代数方法来推理论证为什么有那些组合形式，以及不同的拼法，从 理论上解决问题，让学生感受方程的知识在几何中的应用，学会说理.3.在同一顶点处用三种边长相同的不同种类的正多边形平面镶嵌， 有哪些组合形 式？ 探究得出： 组合(1) 正三角形、正四边形和正六边形； 组合(2) 正四边形、正六边形和正十二边形；『数学教师网』收集整理 欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载（见课件“正多边形镶嵌”第 9、10 页.） 注：正四边形、正五边形和正二十边形虽能够在同一顶点处内角和构成 360°， 但是它们不能进行平面镶嵌. （见课件“正多边形镶嵌”第 13 页.） 后面两个活动主要应用前面的结论和思考方法让学生得出结论. 学生也可以采用其他方法. 4.在同一顶点处，能否用四种不同种类的正多边形平面镶嵌？为什么？ 结论：同一顶点处不能由四种不同正多边形进行平面镶嵌. 理由：选取内角最小的四种正多边形求内角和得： 60°+90°+108°+120°= 378° ＞ 360° 活动 3 知识梳理 回忆本节课所得出的结论及其探究方法. 由学生归纳总结本课学到的知识. 加强记忆，巩固知识，体会学习方法.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载7.4课题学习镶嵌基础训练一、选择题: 1.用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是( ) A.等腰三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 2.下列图形中,能镶嵌成平面图案的是( ) A E A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形 3.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( ) B A.正八边形和正方形 B.正五边形和正十边形 C D C.正六边形和正三角形 D.正六边形和正八边形 4.如图所示,各边相等的五边形 ABCDE 中,若∠ABC=2∠DBE,则∠ABC 等于( ) A.60° B.120° C.90° D.45° 5.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 C.4 种 6.用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有 m 个正三角形、n 个正六边 形,则 m,n 满足的关系式是( ) A.2m+3n=12 B.m+n=8 C.2m+n=6 D.m+2n=6 二、填空题: 1.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个 正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形. 2.用 正多边形镶嵌 , 设在一个顶点周围有 m 个正方形、 n 个正八边形 ,则 m=_____,n=______. 3.用一种正五边形或正八边形的瓷砖_______铺满地面.(填“能”或“不能”)能力提高1.计算用一种正多边形拼成平整、无隙的图案,你能设计出几种方案?画出草图.2.用一个正方形、 一个正五边形、一个正二十边形能否镶嵌成平面图案? 说明理 由.拓展延伸1.请你设计在每一个顶点处由四个正多边形拼成的平面图案, 你能设计出 多少种不同的方案?『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载2. 如图 2 所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的. (1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面? (2)像上面那样铺地砖,能否全用正十边形的材料?为什么? (3)你能不能另外想出一种用多边形(不一定是正多边形)的材料铺地面的方 案?把你想到的方案画成草图.『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料数学教师网[]精品资料免费下载答案:基础训练一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.A 6.D 二、1.2 2 4 1 2.1 2 3.不能能力提高略拓展延伸1.略 2.(1)每个顶点周围有 6 个正三角形的内角,恰好组成一个周角. (2)不能,因为正十边形的内角不能组成 360°. (3)能(图略)『数学教师网』收集整理欢迎下载教学资料