利用无穷小的性质求下列极限，第三题的四个_百度知道
利用无穷小的性质求下列极限，第三题的四个
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且符号为正分子分母同时除以x²，其中相加的两项在极限的过程中均为无穷小量;，分子变成1，在极限的过程中始终为1；分母变成2/x+1/x&#178
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反三角函数极限的另一种解法
　　【摘要】根据高职学生的特点，对反三角函数的教学不需要让他们记住图像与性质，如求反三角函数的极限问题可通过三角函数的图像来解题. 中国论文网 http://www.xzbu.com/9/view-4508035.htm　　【关键词】高职数学；反三角函数；三角函数图像；求极限 　　高职数学怎么教是不少老师时下较头疼的一个问题.高职教育不同于普通高校本科教育，而且数学又是一门逻辑性非常强的学科，如果我们把传统的教学方法用在高职数学教学中，就会出现学生难学、老师难教，学生、老师都抱怨的场面，其结果是可想而知的.下面以反三角函数为例，谈一谈自己的做法. 　　在高等数学中的六种基本初等函数中，反三角函数是最难掌握的内容.事实上很多同学在学完反三角函数的图像与性质后都不太记得清甚至记不得这部分内容了.但正弦、余弦、正切、余切这四个三角函数就不一样了.这部分内容学生在高中已经学得非常扎实，又做过大量练习，所以几乎所有的学生都能记得这四个三角函数的图像和性质. 　　那我们能不能通过三角函数来解决反三角函数的相关问题呢？如果可以的话，那我们一开始就不用学生去死记反三角函数的图像和性质了.在看到反三角函数这个名词时，学生马上就会有一个反馈：这是三角函数的反函数.此时，我们有两个问题一定要问学生：“1.三角函数在其定义域上有没有反函数？2.什么样的函数有反函数？”这样我们就明确了三角函数只有在某个单调区间上才有反函数，而且是在某个特定的单调区间上的反函数才称之为对应的反三角函数.如正弦函数y=sinx在-π12，π12上的反函数称为反正弦函数y=arcsinx，从而可得反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1，1]，值域为-π12，π12.其余三个反三角函数不再叙述.通过运用让学生在解题过程中对反三角函数的性质进一步巩固. 　　下面我们来看如何用三角函数的图像求反三角函数的极限. 　　例1求limx→-∞arctanx. 　　解令y=arctanx.（1） 　　则x=tany， y∈-π12，π12.（2） 　　注意（2）式中的x与（1）式中的x是同一x，y也一样. 　　画出x=tany，y∈-π12，π12的图像：（因为在这个函数中y是自变量，所以横轴用y表示） 　　由图可见，当x→-∞时，y→-π12. 　　故limx→-∞arctanx=-π12. 　　例2求limx→+∞arccotx1x. 　　解（一）由反三角函数的性质知，arccotx是有界函数（0　　而当x→+∞时，11x是无穷小量， 　　由无穷小的性质知，limx→+∞arccotx1x=0. 　　当学生忘了反三角函数的性质时，我们怎么求极限呢？ 　　解（二）用类似例1的方法求出limx→+∞arccotx=0（不再重述）， 　　∴limx→+∞arccotx1x=limx→+∞arccotx·limx→+∞11x=0×0=0. 　　【参考文献】 　　＼[1＼]沈跃云，马怀远.应用高等数学 ＼[M＼]. 北京：高等教育出版社，. 　　＼[2＼]范成威. 浅谈“反三角函数”的教法 ＼[J＼]. 四川师院学报（自然科学版），1984（1）：80-82. 　　＼[3＼]程煜生. 求三角函数在单调区间上的反函数的简便方法 ＼[J＼]. 数学通讯，2001（10）：2.
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利用无穷小的性质，求下列极限
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baidu.2、下面给楼主提供六张图片，是极限计算方法的总结.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=7b3f11bee3dde711edfe223/bf096b63fe13cfedf81a4c510fa22d.jpg" esrc="http://g.hiphotos.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=b558a3f1dcb44aed591bb6e2832cab39/c2fdfce77f121fa2c27d1ed21b240f.jpg" esrc="http://d.hiphotos.baidu.jpg" esrc="http.baidu。& &nbsp.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=c27d1ea158/e6a7ef3c77099dfbfaaf51f3de663c.jpg" />..<img class="ikqb_img" src="http://a.hiphotos......jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://g. & 的性质作为判断://a.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bf096b63fe13cfedf81a4c510fa22d。.jpg" />...baidu://d.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2ebddd6f35. & &nbsp
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有界量乘无穷小量仍为无穷小量，得0。
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极限/极限的性质
上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的，数列的极限可以看成是函数极限的特列，所以我们将主要讨论函数极限的性质，间或给出数列极限的情况。
性质 1（极限的唯一性）：
函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）如果存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么只有一个。
这个性质告诉我们，求某个函数或数列的极限时，只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
{\displaystyle x}
趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用。
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
{\displaystyle x}
趋于正无穷大时有极限，那么由性质 1可知，极限只有一个。设这个极限为
{\displaystyle L}
。根据极限的定义，对任意的正实数
{\displaystyle \epsilon }
，都存在正实数
{\displaystyle M}
，使得对任意
{\displaystyle x&M}
{\displaystyle \vert f(x)-L\vert &\epsilon }
{\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{3}}}
，则存在对应的
{\displaystyle M}
。选择一个
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
{\displaystyle 2k\pi &M}
{\displaystyle (2k+1)\pi &M}
{\displaystyle f}
{\displaystyle f(2k\pi )=\sin(2k\pi )=1}
{\displaystyle f((2k+1)\pi )=\sin((2k+1)\pi )=-1}
{\displaystyle \vert 1-L\vert &{\frac {1}{3}}\,,\qquad \vert -1-L\vert &{\frac {1}{3}}}
也就是说，极限
{\displaystyle L}
{\displaystyle L\in ({\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}})}
{\displaystyle L\in (-{\frac {2}{3}},-{\frac {4}{3}})}
，但这不可能，因为这两个区间交集是空集（没有共同元素）。综上所述，初始的假设不成立，函数
{\displaystyle f}
{\displaystyle x}
趋于正无穷大时没有极限。
性质 2（极限的局部有界性）：
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle c}
有（有限的）极限
{\displaystyle L}
，那么函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle c}
附近有界。
这个性质可以从极限的定义导出。由于
{\displaystyle x}
{\displaystyle c}
足够近的时候，
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle L}
的差别就会足够小，所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本，比如，如果函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle c}
有（有限的）极限
{\displaystyle L}
，那么对一个大于
{\displaystyle L}
{\displaystyle M}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle c}
附近必然小于常数
{\displaystyle M}
性质 3（极限的保号性）：
如果一个函数在某一点附近大于等于0，并且在趋于这一点时有极限，那么极限也大于等于0。
如果一个函数在自变量充分大（充分小）的时候恒大于等于0，并且在正无穷（负无穷）处有极限，那么极限也大于等于0.
如果一个数列的每一项都大于等于0，并且有极限，那么它的极限大于等于0.
极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是，即使函数在一点附近严格大于0，极限也可能等于0，所以保号性只限于宽松的不等号，而不能应用于严格的不等号：一个函数在某一点附近严格大于0，并且在趋于这一点时有极限，并不能推出极限也大于0。
从极限的保号性可以推出极限的另一个性质：
如果两个函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle c}
附近有极限：
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
{\displaystyle f(x)}
总是大于等于
{\displaystyle g(x)}
，那么极限
{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}
如果一个函数两个函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
在自变量充分大（充分小）的时候有极限，比如：
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to +\infty }g(x)=L_{2}}
{\displaystyle f(x)}
恒大于等于
{\displaystyle g(x)}
，那么极限
{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}
如果两个数列
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
都有极限：
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L_{1},\qquad \lim _{n\to \infty }b_{n}=L_{2}}
{\displaystyle \forall n,\,a_{n}\geqslant b_{n}}
，那么极限
{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}
{\displaystyle \pi &3}
让我们计算单位圆内接正多边形的面积
{\displaystyle P(n)}
{\displaystyle P(n)={\frac {n}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).}
{\displaystyle n=12}
的时候，面积
{\displaystyle P(n)=3}
。使用平面几何可以证明
{\displaystyle P(2n)&P(n)}
，并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形，我们有
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=\pi }
考虑数列：
{\displaystyle a_{n}=P(12\cdot 2^{n})\,,\qquad b_{n}=P(24).}
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的每一项都比前一项大，所以
{\displaystyle \forall n,\,a_{n}&a_{1}=P(24)=b_{n}}
，所以根据性质 3，
{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}\geqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}=P(24)&P(12)=3.}
从性质 3还可以推出一个在实际中十分有用的结果：
推论 2（夹逼定理）：
如果两个函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle c}
附近有同一个极限：
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=L}
并且另一个函数
{\displaystyle h(x)}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).}
{\displaystyle h(x)}
{\displaystyle c}
附近也有极限，并且极限是
{\displaystyle L}
如果一个函数两个函数
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
在自变量充分大（充分小）的时候有同一个极限，比如：
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }g(x)=L}
并且另一个函数
{\displaystyle h(x)}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).}
{\displaystyle h(x)}
在趋向正无穷大时也有极限，并且极限是
{\displaystyle L}
如果两个数列
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
都有同一个极限：
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L.}
并且另一个数列
{\displaystyle \{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle a_{n}\leqslant c_{n}\leqslant b_{n}.}
{\displaystyle \{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的极限也存在，并且极限是
{\displaystyle L}
夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数（或数列）的极限比较难求的时候，可以用两个函数“夹迫”它，然后证明这两个函数有相同的极限，然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。
{\displaystyle f\,:\,x\mapsto {\frac {\sin(x)}{x}}}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限。
这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系：
{\displaystyle \cos(x)&{\frac {\sin(x)}{x}}&1}
然而两边的函数
{\displaystyle g\,:\,x\mapsto \cos(x)}
{\displaystyle h\,:\,x\mapsto 1}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限都是1，所以根据夹逼定理，
{\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限也是1。
{\displaystyle a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}}
欲运用夹逼定理求数列
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
的极限，则需要对每一项
{\displaystyle a_{n}}
进行上限和下限的估计。首先显然有：
{\displaystyle a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}&(4^{n})^{1/n}=4}
，另一方面，
{\displaystyle a_{n}&(4^{n}+4^{n}+4^{n})^{1/n}=(3\cdot 4^{n})^{1/n}=4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}}
。而我们知道：
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{3}}=1}
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}=4}
。所以根据夹逼定理，数列
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
{\displaystyle 4}
性质 4（极限的运算法则）：
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle x}
趋于某一点
{\displaystyle c}
时有（有限的）极限：
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
的和函数在
{\displaystyle c}
附近有极限，而且
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}.}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
的差函数在
{\displaystyle c}
附近有极限，而且
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)-g(x)=L_{1}-L_{2}.}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
的乘积函数在
{\displaystyle c}
附近有极限，而且
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\cdot g(x)=L_{1}\cdot L_{2}.}
{\displaystyle k}
是一个常数，那么函数
{\displaystyle k\cdot f(x)}
{\displaystyle c}
附近有极限，而且
{\displaystyle \lim _{x\to c}k\cdot f(x)=k\cdot L_{1}.}
{\displaystyle {\frac {1}{g(x)}}}
{\displaystyle c}
附近有定义，并且
{\displaystyle L_{2}\neq 0}
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
的商函数在
{\displaystyle c}
附近有极限，而且
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.}
以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点，而是趋向正无穷大（负无穷大），又或者是只是从单侧趋向一点时，极限的运算法则一样成立。如果
{\displaystyle L_{1}}
{\displaystyle L_{2}}
中有一个或两个是无穷大，那么我们有以下的运算法则：
性质 4（极限的运算法则 续）：
{\displaystyle f(x)}
{\displaystyle g(x)}
{\displaystyle x}
趋于某一点
{\displaystyle c}
时有极限：
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
{\displaystyle L_{1}}
{\displaystyle L_{2}}
都不是0，那么即使其中恰有一个是正无穷（负无穷），性质 4中极限的运算法则一样成立。
如果两个极限
{\displaystyle L_{1}}
{\displaystyle L_{2}}
都是无穷，性质 4中乘积函数和一个常数乘以函数的极限的运算法则一样成立。
{\displaystyle L_{1}}
{\displaystyle L_{2}}
都是正无穷（负无穷），那么和函数与差函数极限的运算法则不变。
对于其它的情况，极限的运算法则不再成立。例如
{\displaystyle L_{1}=-\infty }
{\displaystyle L_{2}=+\infty }
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)+g(x)}
不一定存在，即使存在，也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。
极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时，可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果，分别对其中的每部分求极限，然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子：
求分式多项式函数
{\displaystyle f\,:\,x\mapsto {\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}}
{\displaystyle x}
趋于正无穷大时的极限。
{\displaystyle x}
趋于正无穷大时，分式的分子和分母都趋于正无穷大，所以商函数极限的运算法则并不适用，但我们可以将这个分式稍作变形：
{\displaystyle {\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}={\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}}
这时分子分母都有有限的极限，所以可以应用商函数极限的运算法则：
{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}\right)}{\lim _{x\to +\infty }\left(4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\\&={\frac {1-3\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}-19\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}{4+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}-7\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}+2\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}}
性质 5（复合函数极限法则）：
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle f}
{\displaystyle x}
趋于某一点
{\displaystyle c}
时有极限：
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=l\in \mathbb {R} }
{\displaystyle g}
{\displaystyle x}
{\displaystyle l}
时有极限：
{\displaystyle \lim _{x\to l}g(x)=L}
。那么：复合函数
{\displaystyle g\circ f:\,x\mapsto g(f(x))}
{\displaystyle x}
{\displaystyle c}
{\displaystyle \lim _{x\to c}g\circ f(x)=L}
有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则，我们就可以计算大部分初等函数的极限。
{\displaystyle f\,:\,x\mapsto e^{-(3-2x)^{3}}}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 2}
时的极限。
这里的函数
{\displaystyle f}
是一个复合函数：
{\displaystyle f=g\circ h}
，其中的两个函数是
{\displaystyle g:x\mapsto e^{x}}
{\displaystyle h:x\mapsto -(3-2x)^{3}}
。利用性质 5中的法则，我们可以将复和函数的极限拆分：
{\displaystyle \lim _{x\to 2}e^{-(3-2x)^{3}}=e^{\lim _{x\to 2}-(3-2x)^{3}}=e^{-(3-\lim _{x\to 2}2x)^{3}}=e^{-(3-4)^{3}}=e^{1}=e.}
无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力，我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中，无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是
{\displaystyle 0}
，那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点（或无穷大）时极限为
{\displaystyle 0}
，那么就称这个函数是在这一点（无穷大）附近的无穷小。也就是说，无穷小并不是一个数值，也不是一个过程，而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小，但在另一点不一定是无穷小。比如函数
{\displaystyle f\,:\,x\mapsto \sin(x^{2}+x)}
{\displaystyle f}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限是
{\displaystyle 0}
{\displaystyle f}
{\displaystyle 0}
附近的无穷小。但
{\displaystyle f}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 1}
时的极限是
{\displaystyle \sin(2)}
{\displaystyle f}
{\displaystyle 1}
附近的无穷小。
无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是（某点附近）的无穷小，那么它就是（某点附近）的无穷大。同样地，如果某个数列
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
是无穷小，那么数列
{\displaystyle \{a_{n}^{-1}\}_{n=1}^{\infty }}
就是无穷大。
经过极限的四则运算法则，可以知道：若干个无穷小的和与差仍然是无穷小，常数乘以无穷小仍然是无穷小，若干个无穷小的乘积仍然是无穷小，有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。
无穷小是函数或数列的一种，但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向
{\displaystyle 0}
的速度（收敛速度），可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向
{\displaystyle 0}
的速度比另一个快，就说它是后者的高阶无穷小，反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达，就是：设函数
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
是某一点附近的（非零）无穷小，
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0}
{\displaystyle f}
{\displaystyle g}
的高阶无穷小，
{\displaystyle g}
{\displaystyle f}
的低阶无穷小，记为
{\displaystyle f(x)={\mathit {o}}_{c}\left(g(x)\right)}
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M}
{\displaystyle f}
{\displaystyle g}
的同阶无穷小，记为
{\displaystyle f(x)={\mathcal {O}}_{c}\left(g(x)\right)}
{\displaystyle 0&m\leqslant \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M}
{\displaystyle f}
{\displaystyle g}
的等阶无穷小，记为
{\displaystyle f(x)=\Theta _{c}\left(g(x)\right)}
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}
{\displaystyle f}
{\displaystyle g}
的等价无穷小，记为
{\displaystyle f(x)\sim _{c}g(x)}
利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小：
{\displaystyle \sin(x)\sim _{0}x\;,\quad \tan(x)\sim _{0}x\;,\quad 1-\cos(x)\sim _{0}{\frac {1}{2}}x^{2}\;,\quad e^{x}-1\sim _{0}x\;,\quad \ln(1+x)\sim _{0}x}
{\displaystyle f(x)={\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限。
{\displaystyle f(x)}
可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替，就可以得到：
{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=2}
要注意的是，只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换，将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数
{\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}-1-\tan(x)}{1-\cos(x)}}}
{\displaystyle x}
{\displaystyle 0}
时的极限，如果将
{\displaystyle e^{x}-1}
{\displaystyle \tan(x)}
等都用它们的等价无穷小代替，就会变成
{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=0.}
但实际上结果不是
{\displaystyle 0}
。关于无穷小和函数（或数列）的极限有如下关系：
性质 6（极限与无穷小的关系）：
如果函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。
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数列、函数上下极限的性质及其应用
一、前言部分
极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.
极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内
5接正6边形、正12边形、
、直至6 2(192)边形的面积。他利用公式s2n n r ln(ln2
为内接正n边形的边长，“割s2n为内接2n边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.
刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法――归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做
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