数学是数学家的墓志铭 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
数学是数学家的墓志铭
数学家在墓碑上书写自己的荣耀
本文作者:严酷的魔王
你想在自己的墓碑上刻下什么文字？也许对于我们来说，考虑这个问题为时尚早，但是许许多多的前辈数学家已经用自己的实际行动告诉了我们：墓碑上书写着自己的荣耀。
“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。”
这是一道小学水平的应用题，但如果倒退两千多年，它无疑属于难题。正是这段话，传说被刻在了古希腊数学家丢番图的墓碑上。
丢番图被誉为代数学之父，著有《算术》一书，他对一次方程和二次方程做了深入的研究，其中还包括大量的不定方程。在现代，对于整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，那就把这类方程叫做丢番图方程——因为这基本上正是丢番图当年所研究的内容。古希腊数学家们崇尚几何，认为所有的代数问题只有在一个几何背景下才有意义。丢番图将代数解放了出来，使之成为独立的学科，而且引入了未知数的概念——他的墓志铭就是一道经典的解方程的题目。而那段话既是丢番图一生仅有的传记，也是对他一生成就的最高概括和褒奖。
丢番图的工作在后人的努力下，得到了极大的扩充和发展。 20 世纪最牛数学家希尔伯特在 1900 年数学家大会上提出了 23 个著名的问题，其中的第十个就与丢番图方程密切相关。
一个方程最基本的特征之一就是它是否有解，丢番图方程也不例外。例如经典的勾股定理对应的丢番图方程：
就是有整数解的，而且有无穷多组解。而与此很像的是费马大定理方程：
就不存在非平凡的整数解。
两个长得如此之像的丢番图方程结果居然完全不同，历代数学家经过数百年的探索后，最终使用了当年的费马不敢想象的数学工具才艰难地得以证明。在人们解决费马大定理之前，希尔伯特提出了他的第十个问题：是否存在一种只有有限步骤的方法，使得我们能够判断任意一个丢番图方程的可解性？
如果存在这样的办法，那对费马大定理的证明就变成了很平凡的步骤，许许多多的数学问题也能巧妙地转化成一个丢番图方程进行解答了。因此，这个问题就相当于是在寻找数学中的一个“通法”，如果能找到，那么全世界所有数学家都会去研究丢番图方程和自己的研究领域的关系了，世界将是多么的美好。然而，并不完美的世界还是给了我们一个不完美的答案。 1970 年，前苏联数学家
给出了否定的答案，也就是说，不能在有限步内判断任意丢番图方程是否有解，更进一步地，我们甚至可以构造出一个无法证明其是否可解的丢番图方程！实际上，数学家们在 1900 年对这个问题没有任何的概念，直到在图灵提出了他著名的
后才对此有了初步的认识，在此之后，数理逻辑和计算机得到大力发展，最终解决了许多重大难题，丢番图方程的不可解性就是其中之一。丢番图先生当年做这些研究，可能想不到他手下的这些式子会延伸出如此多的奇妙变化吧。
这位数学全才生前的最后一句话响彻寰宇：“不要踩坏我的圆！”他的墓碑上面也正是遵照他早已明确的意思，刻上了一幅与圆有关的图像：圆柱体与其内接球的体积比和表面积比都是 3 : 2 ——显然，阿基米德对这个结果很满意。
阿基米德完善并发展了前人提出的“穷竭法”，穷竭法由古希腊的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改进，将其定义为：在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。阿基米德进一步改进这种方法后，将其应用到对曲线、曲面以及不规则体的体积的研究和讨论上，为现代积分学打开了一道隐隐的门。
他的著作《论球和圆柱》全篇以穷竭法为基础，证明了许多的相关定理。其中命题 34 的陈述是：任一球的体积等于一圆锥体积的4倍，该圆锥以球的大圆为底，高为球的半径。实际上，他的墓志铭就是这个命题的推论。
这个精力旺盛而长寿的天才还通过使用圆外接正多边形和圆内接正多边形逼近圆周率的真实值，他最终使用到了九十六边形（因为 96 = 2 5 * 3 ，稍后我们会在后面发现这个多边形正巧是可以通过尺规作图做出来的），得到π的真实值在 3.14163 和 3.14286 之间。
高斯被称作“数学王子”，在民间也流传着许多与他声誉相符的故事。但是，他的墓碑上刻的并不是地球人都知道的等差数列求和公式，也不是他独立给出四种证明的代数基本定理，而是一个在尺规作图领域中被人津津乐道的漂亮结果：尺规作出正十七边形。
作图的方法陈述起来过于繁琐，这里我们用一张动态图，一步一步地展示出作图的方法：
有趣的是，高斯不仅给出了做法，还证明了能够通过尺规作图做出的正多边形需要满足的条件是边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积。这个费马素数是什么呢？
费马是一个拥有着大师水准的业余数学家，提出过许多的猜想和定理，很多都在他死后被证明是正确的，而“费马素数”却是他为数不多跌了跟头的地方。费马在 1640 年提出，所有的形如
的数字都是素数。这个数列的前 5 个数的值分别是 3, 5, 17, 257 和 65537 ——确实都是素数，看起来费马先生要赢了。但欧拉却指出 F( 5 ) = 641×6700417 不是一个素数，后来随着计算机技术的发展，大家从 F( 5 ) 开始就再也没有找到素数了。但谁也想不到的是，费马的这个失误意外地和尺规作图联系到了一起。
根据高斯的结论，正多边形边数只有在 K = 2 n × ( 2 ?m + 1 ) ，其中 n，m= 0，1，2，… 时才能通过尺规画出来。将正 n 边形的每一条边对应的圆弧二等分，我们可以轻易地做出正 2n 边形。因此，“正 F( m ) 边形”可以说是产生所有这些可被作图正多边形的“因子”。这是一个延绵了两千多年的尺规作图难题，较其同类们十分幸运地在高斯手中得到了一个肯定的回答。在高斯之后，也有人陆续给出了正 257 边形和正 65537 边形的尺规作图过程。其中正 65537 边形的作图过程十分繁琐，单单做图方法的计算手稿就有 200 页，完整的过程更是装满了一个皮箱，现在被收藏于高斯的母校哥廷根大学。在
我们可以围观维基百科上的正 65537 边形（ 需要SVG Viewer等软件 ）。
当你看到这个名字的时候，第一反应是不是这样的：鲁道夫？我怎么不知道还有叫这个名字的数学家？
确实，这位数学家不是最出名的，甚至可能是最不出名的（之一），但是他的墓碑一定是最霸气的。他的墓碑完整地概括了其一生的经历：
是的，他墓碑上的主要内容就是一个 π 的精确到小数点后 35 位近似值——实际上，他这辈子的大部分时间都在算这个数字！
这位德国数学家的全名是鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen），他在 1600 年成为荷兰莱顿大学的第一位数学教授，但是把主要精力全都放在了求解圆周率的更精确的值上。在那个计算基本靠手的年代，他选择了前文提到的简单而繁琐的阿基米德式方法对圆周率进行逼近，最后得到墓碑上的结果的时候，使用的多边形已达到了惊人的 262 条边！相比之下，阿基米德倒稍显“平淡无奇”。由于使用了阿基米德的夹逼法，所以墓碑上其实给出了圆周率的上界和下界。
看来把一件事情做到极致，那就是伟大。鲁道夫的这种精神无疑让很多人佩服，以至于圆周率在德国被称为鲁道夫数。到今天，人们已经把鲁道夫先生的工作向前推进了很多很多，计算圆周率也已经成为了考察计算机运算能力的一个方式。作为在这个道路上跨出坚实一步的人，鲁道夫先生一定也含笑九泉的吧。
你想在你的墓碑上刻点什么呢？
本文部分内容编译自：
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乳品专业博士，科学松鼠会成员
我忽然想到了新浪微博的墓志铭：“此墓志铭已被原作者删除”
引用Lei 的回应：高斯的墓碑上没有刻正十七边形，因为石匠说刻出来和圆没有区别。那我画一个圆，说这是正65537边形……
刻上99乘法表足矣
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全部评论(112)
很多都看过了
刻上99乘法表足矣
He Loved Meth……哈哈哈
哈哈引用zoe14的回应：He Loved Meth……哈哈哈
爷们！霸气！你爹！
乳品专业博士，科学松鼠会成员
我忽然想到了新浪微博的墓志铭：“此墓志铭已被原作者删除”
高斯的墓碑上没有刻正十七边形，因为石匠说刻出来和圆没有区别。
引用Lei 的回应：高斯的墓碑上没有刻正十七边形，因为石匠说刻出来和圆没有区别。那我画一个圆，说这是正65537边形……
感觉没有脱离了参考文献，内容比别人少，图片更是只敢弄人家一张过来，还不如直接翻译的说~楼主你真没有好奇心去多差些资料么？
前两天那个螺旋线的怎么没说。。。lz再多找点吧。。
生物技术专业
我既然第一题都算半天，哎，老了，钝了，情何以堪
正十七边形那个动态图很赞！
引用Freni的回应：正十七边形那个动态图很赞！图看得很欢乐
波尔兹曼的墓碑上= =
电子工程专业
【死】理性派……
阿基米德的夹逼法。。。。这个亮了
如何用肉眼看出正65537边形和圆的区别？
忽然想起来我的某位老师说自己的墓碑上应该刻“这里躺着一位著名的未婚人士”- -|||
录音爱好者，万有青年养成计划入围选手
引用Maxwell's de...的回应：【死】理性派……【不死】理性派……
我记得好像也是欧洲某个数学家 穷其一生算派 结果死后人们发现他悲惨得算错了何等的FML。。。
环境工程博士生，计算机爱好者
有几个中国人能静下心来研究这些繁琐无趣的东西？活该是个山寨大国
Poincare是我最喜歡的數學家之一。遠去的數學歲月
应用数学专业
伯努利的墓志铭好悲剧：
引用Mr Hsu的回应：那我画一个圆，说这是正65537边形……想起了用AUTOCAD作图的情形，画了一个圆，放大一看，变成了多边形，再刷新一下，再变成了正圆。
完全学不会数学的人飘过。。。。作为一只理科生，让偶情何以堪
引用Coyote的回应：有几个中国人能静下心来研究这些繁琐无趣的东西？活该是个山寨大国不要指着现在的中国，她真没空研究这些不能立刻产生效益的东西。后起国家从模仿起步，也是搭顺风车罢啦。至于谈到近代以前的中国，就不用罗嗦，不是一个等级。
数学差生飘过
让我想起那个好笑的墓志铭“当你看到这段话的时候，你已经踩到我了！”
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特写｜用圆周率做甜点，她可能是最会做蛋糕的数学家
时间: 00:55
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来自:网络原创
作者:时尚先生
数学可以是派，
也可以是蛋糕或者奶油冻。
就在刚才，Dr.Cheng用她独特的方式向我完美展示了结合律的概念——就如同做减法一样，这其中运算的顺序非常重要。
现在，她打算接着为我讲解纽结理论。我建议说，可以过会再继续。她有些疑惑“为什么？”
“没事，只是觉得晚饭之…
“数学可以是派，也可以是蛋糕或者奶油冻。”就在刚才，Dr.Cheng用她独特的方式向我完美展示了结合律的概念——就如同做减法一样，这其中运算的顺序非常重要。现在，她打算接着为我讲解纽结理论。我建议说，可以过会再继续。她有些疑惑“为什么？” “没事，只是觉得晚饭之前就连续吃两顿甜点，不太好吧？”我有些紧张的笑了笑。“干嘛不呢？”她紧了紧围裙，走到电炉旁边，坚持要接着做下一道甜点。 也是，干嘛不呢？两顿甜点又怎样？Dr.Cheng不是已经向我证明了，在数学中，规则就像鸡蛋一样，可以被打破、煎炒、翻滚和试味的吗？“你说的对！”我走到她身边，准备“烘焙”式学习另一个数学理论。 Dr. Cheng 从烤箱里拿出她起名叫做“巴赫派”的点心——似乎全世界的数学家都爱这位著名的作曲家！这份“巴赫派”用一块长方形的黑巧克力当派底，上面点缀着香蕉片，最上面有四条交错的油酥带，就如同艾歇尔的特异视觉画一样，总是让你感到错位。 ▲Bach Pie 这份派的馅料很有巧意—“香蕉（BAnana）加上巧克力（CHocolate）就等于巴赫(Bach)。”Dr. Cheng解释说。这些油酥皮就像巴赫前奏曲的节奏，也是纽结理论家们所研究的模型：“他们要研究的是这些带子是如何打结，是否可以通过缠绕不同的线让一根绳子变成另一根。” 这道点心是真正意义上艺术和数学的完美结合——太完美以至于让人下不去口，毕竟，你也不能用牙来解开这些结，不是吗？ Dr. Cheng 是一位39岁的数学家，她研究的领域是数学理论中很少见的一门——分类理论。这个理论十分抽象，就连许多数学家也觉得它“太抽象，脱离数学本质。”同时，她还是一位出名的数学推广者，她坚信数学给人带来的愉悦是巨大的，而且这种愉悦是每个人都可以感受到的——包括那些在高中时受尽代数折磨的人文学科的学生。她还曾经上过“深夜Stephen秀”的节目，在线教授的数学课程点击率已超过100万次。▲Dr. Cheng 参加节目 她的第一本书“如何制作π：可以吃的数学”已经在美国售出25000本，被译成了6种语言。JohnBaez是加州大学的数学教授，他也在尝试推广数学理论：“我花了很多时间在博客上为大家解释数学理论，我会尽量尝试减少术语，让大家更容易去接受和理解。”即便如此，他的博客还是只针对那些有一定数学背景的科学家们。“Cheng比我做的更远，她在向每一个人解释数学，每一个人，不管他们是否有任何的数学背景。我觉得她做的真的很棒。” 不仅仅是烘焙Dr. Cheng 对于数学的去神秘化工作热情坚定——她最近辞去了谢菲尔德大学终身教授的工作，来到芝加哥艺术学院，一边为这里的艺术学生教授数学，一边继续她的分类理论研究。她用一种非常直观的方式，让数学变得“秀色可餐。”“数学就是把原料拿来，放在一起，看看你能用这些原料得到什么，然后自己决定这个组合是否美味。” 在“如何制作π”这本书中，每一章都有Cheng精心设计的以数学主题的烘焙食谱。为了证明“数学是在杂乱问题中寻找蕴含于其中的简单性”这个命题，Dr.Cheng 准备了一份制作荷兰酸酱的食谱。这份食谱看起来跟普通的荷兰酸酱不太一样，更像是蛋黄酱。“其他人可能会告诉你，荷兰酸酱不是这么做的”她在书中写到，“但是我打算忽视那些指导，用更简单的方法。数学也是这样，它的目的也是让问题变得简单，方法就是寻找共同性，忽略那些无关紧要的细节。”
她写的千层面的食谱则展示了数学中情景的重要性。在食谱中，她练出了一系列准备做千层面的基础材料，包括一份“新鲜千层面条。”接着又指出，其他的菜谱可能觉得，这份面条一点也不“基础”，是已经经过处理的，他们一般会教你从头开始做起。所以，同样被叫做“基础”材料，两份面条其实是不一样的。 数字也是这样，在不同的情景中，它们的“基础性”也会发生变化。比如数字5，在自然数中是一个质数，除了1和它本身以外不再有其他的除数整除。但是在有理数中，这个规则就不适应了。因为有理数包含分数，所以5可以被任意分解——就像蛋糕一样。 数字1在乘法运算中是一个单位元，其他数与之相乘值不变，6乘1还是1。但是在加法运算中，如果1一直与自己相加，却可以得到无穷大的自然数。不同数学情景可能会打破你对基本运算规则的认知：比如我们都知道2加2等于4，但是如果在一个只有三个刻度的钟表上，从2开始走两步，又会回到1——这样看来，2加2又等于1了。 Steven Strogatz 是康奈尔大学应用数学的教授，他也在进行数学推广的工作：“我承认，一开始我对这种把数学和烘焙相比的做法很是怀疑，但是现在我已经成为她的粉丝了”她把数学中发明性和创造性的精神传递给了大众，这些精神其实数学家们都有，但是却在日常的教学过程中无法传递出来。看她的书，总有让人耳目一新的感觉。
Dr. Cheng 戴一副细框眼镜，黑色直发，走路像舞者般挺拔优雅。她有时热情外向，有时又沉稳平静。作为数学家的她，同时还是一位训练有素的钢琴手，有一台斯坦威大三角钢琴。除此之外，她还是一位顶尖厨师。这天下午，她在用鸡蛋黄、糖和奶油做为我上一堂关于不相关性的数学课：“做奶油冻，组合材料的方式很重要。如果你想做蛋糕，你可以随便把面粉、糖、黄油和鸡蛋搅在一起，总会做出来蛋糕——这是一个相关的过程。但是做奶油冻就不能这样了，你必须先把糖和鸡蛋黄放在一起打发，然后才能倒在奶油里。要是随心所欲的搅拌材料不管顺序的话，会做出一团糟的东西。” 数学的“原料”数学也是这样，加法和乘法都是符合结合律的运算。你可以随意组合数字，但是最后得出的结果都是一样的：就像(4+5)+ 6 完全等于 4+(5+6). 但是减法、除法和乘方运算不符合结合律了：数字的组合方式非常重要。比如10-(6-4)等于8，但是(10-6)-4就等于0。 Dr. Cheng 继续搅拌奶油冻，确保没有结块：“人们问我，我是趁热吃奶油冻还是放凉吃。我说，我一次全部都吃掉。”她不断调整着炉子的温度，“做成一份刚刚好的奶油冻还是挺难的——比数学难，更像是生活。”她觉得大众对于数学很难，只有高智商的数学家才能研究的认知是错的。恰恰相反，数学的存在就是为了让生活更加简单，用数学中最强大的工具去解决生活的难题——逻辑。“科学可能需要你做出假设，然后做实验收集数据来证明或者推翻你的假设。但是研究数学，只需要你的写出论点，然后用逻辑去证明它就好了。” “数学奇妙的地方就在于，你不需要太多复杂的东西去研究它”Dr.Baez 说，“不需要花高价买实验器材，你只需要一支铅笔，一张纸，就可以开始钻研公式和数字。”逻辑化思维的关键是，让脑子适应抽象的概念。其实，数字本身就是一个我们平常没有察觉的、非常抽象的概念：3可以是3个香蕉，3个派，或者3首巴赫变奏曲。 下一步，你可以尝试把确切的数字换成任意符号x或者y，这样你就可以把自己的论点的应用范围扩展的更大。就像一份通用的如何做派的食谱——掌握了之后，你就可以自己随心所欲做香蕉派、蓝莓派、南瓜派、坚果派等各种派。 Dr. Cheng说，她理解人们可能不太习惯这种研究数学所需要的抽象思维方式。日常生活中，大家不会刻意去忽略一个紫色枕头和绿色枕头的区别，单单把一个枕头叫做“x”。“熟能生巧，这种思维方式完全可以练习。”Dr.Cheng建议，“可以先从你比较熟悉的、可掌控的东西开始练习。慢慢你会发现，自己可以迅速分辨出对解决问题来说相关的东西和不相关的东西，这在日常生活中也很有用。”有时候，她喜欢在脑海中给一个邋遢的男生剃胡子，或者想象一只毛绒绒的狗在湖里洗完澡的样子，这种想象“很奇怪，但是让人心情愉悦。”“这就是抽象思维”，她补充说，“不能只看表面，而要去发现深层次的结构。” 成为一名“数学主厨”Dr. Cheng在英国的萨塞克斯长大，家里还有一个姐姐。母亲是一位统计学家，在香港的高中曾被认为是一位数学天才学生。她经常会带两个女儿到海边，做上一天的逻辑测验题。因为母亲每天要赶去伦敦的统计公司上班，父亲却离家很近，两个女生都习惯了妈妈带着公文包，爸爸穿着围裙。 “我觉得我们在这种非传统的组合中还是受益良多。”AletheaCheng是Dr. Cheng的姐姐，现在是纽约的一名工程师，“在我们成长的过程中，不会对性别角色和能力做任何的提前设定。”在剑桥大学读硕士、美国和欧洲国家攻读博士的时候，Dr.Cheng才慢慢觉得自己属于“少数群体。”“我去参加会议的时候，经常觉得，洗手间的隔间数量都比整个会议上的女生要多。” 在美国，大约有不到30%的女性数学研究生和12%的女性数学教授。Dr.Cheng正在努力改变这一现状：“我希望成为一个先锋模范——不管对男人还是女人来说。”作者/NatalieAngier
编译/赵元贞