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& 【金版教程】2016秋高一人教版数学必修一练习：预习检测（含解析）
【金版教程】2016秋高一人教版数学必修一练习：预习检测（含解析）
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资料概述与简介
DI YI ZHANG | 第一章　集合与函数概念
1.1.1　集合的含义与表示
课时1　集合的含义
1．集合的相关概念
定义：指的是研究对象．
表示：用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
含义：指的是一些元素组成的总体．
表示：用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2．元素与集合的关系
(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.
(2)“不属于”：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点一 集合的概念
1.[2016·洛阳高一检测]下列对象能组成集合的是(　　)
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
解析　对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合．而对C，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
2．已知a和b都是自然数，且a≠b，由a，b，a2，b2，a3，b3构成的集合M中，元素的个数最少为________．
解析　或则a＝a2＝a3，b＝b2＝b3，
此时元素的个数最少，只有2个.
知识点二 元素与集合的关系
3.给出下列关系式：R,0.3∈Q,0?N,0∈N*，N*，－πZ.其中正确的有(　　)
解析　正确的有R,0.3∈Q，－πZ.
4．已知集合A中只有一个元素a，则下列各式中正确的是(　　)
解析　集合A中只有一个元素a，所以aA.
知识点三 集合中元素特性的应用
5.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1A，求实数a的值．
解　若1A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，a≠1.
当a＝－1时，
集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．
易错点 忽视集合中元素的互异性致误
6.方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？
易错分析　本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
正解　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a.
若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a.
一、选择题
1．下列各组对象中不能构成集合的是(　　)
A．正三角形的全体
B．所有的无理数
C．高一数学第一章的所有难题
D．不等式2x＋3>1的解
解析　因为A、B、D三项可以确定其元素，而C中难题的标准无法确定．因此选C.
2．若aR，但aQ，则a可以是(　　)
解析　由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数．
3．下列三个结论：
集合N中最小的数是1，
－aN，则aN，
a∈N，bN，则a＋b最小值是2.
其中正确结论的个数是(　　)
解析　因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以错；对于，取a＝，则－N，N，所以错；对于，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以错．
4．[2016·衡水高一调研]若集合M中的三个元素a、b、c分别是ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析　因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，所以三角形不可能为等腰三角形，选D.
5．[2016·泰安高一检测]下列所给关系正确的个数是(　　)
π∈R；?Q；0∈N*；|－4|N*.
解析　π是实数，对；是无理数，对；0不属于N*，错；|－4|＝4,4N*，错，故选B.
二、填空题
6．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“”或“”)．
解析　直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．
由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)P.
7．设P，Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中aP，bQ，则P＋Q中元素的个数是________．
解析　由于aP，a＝0或2，bQ，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．
8．[2016·连云港高一检测]集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为________．
答案　0,1,2
解析　由题意知3－x是6的正约数，当3－x＝1时，x＝2；当3－x＝2时，x＝1；当3－x＝3时，x＝0；当3－x＝6时，x＝－3；而xN，x＝0,1,2，即集合A中的元素为0,1,2.
三、解答题
9．判断下列说法是否正确，并说明理由．
(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；
(2)由1，，，，这些数组成的集合有五个元素；
(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是相等的．
解　(1)不正确．因为判断是不是“年轻人”没有明确的标准，对象不具有确定性，不能组成集合．
(2)不正确．由集合的互异性可知，这个集合是由三个元素组成的．
(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们仍表示同一个集合．
10．已知集合中含有三个元素：a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，且1A，求实数a的值．
解　1∈A，
a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.
a＝－1或a＝0或a＝－2.
当a＝－1时，集合中的元素为：a＋2＝1，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性，舍去；
当a＝0时，集合中的元素为：a＋2＝2，(a＋1)2＝1，
a2＋3a＋3＝3，符合元素的互异性；
当a＝－2时，集合A中的元素为：a＋2＝0，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性，舍去．
课时2　集合的表示
1．列举法表示集合
(1)定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法．
(2)形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
2．描述法表示集合
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
知识点一 用列举法表示集合
1.用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x，yR}为________．
答案　{(－1,1)}
解析　因为(x＋1)2≥0，|y－1|≥0，所以(x＋1)2＝0且|y－1|＝0，故有x＝－1且y＝1，因此答案为{(－1,1)}．
2．已知集合A＝{x|x<5且xN*}，B＝{(a，b)|a＋b2＝1，bA}，试用列举法表示集合B＝________.
答案　{(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)}
解析　x∈N*，且x<5，x＝1,2,3,4，A＝{1,2,3,4}．又a＋b2＝1，且bA，
当b＝1时，a＝0，当b＝2时，a＝－3，
当b＝3时，a＝－8，当b＝4时，a＝－15.
B＝{(0,1)，(－3,2)，(－8,3)，(－15,4)}.
知识点二 用描述法表示集合
3.集合A＝{2,4,6,8，…}，用描述法表示正确的是(　　)
A．{x|x＝2k，kZ}
B．{x|x＝2k，kN}
C．{x|x＝2k，kN*}
D．以上都不对
解析　因为正偶数都能被2整除，因此选C.
4．将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是(　　)
A．{x|x＝2n＋1，nN*}
B．{x|x＝2n－1，nN*}
C．{x|x＝2n－1，nZ}
D．{x|x＝2n＋1，nZ}
解析　A项中没有1；C，D两项表示奇数集.
知识点三 集合表示法的应用
5.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，aR}，若A中只有一个元素，求a的值．
解　应根据a是否为0分两种情况进行讨论：
a＝0，此时A＝，符合题意；
a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1.
a＝0或a＝1.
易错点 对描述法表示集合的理解不够而出错
6.用列举法表示下列集合．
(1)A＝{y|y＝－x2＋6，xN，yN}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，xN，yN}．
易错分析　本题产生错误的原因是对用描述法表示的集合分不清其代表元素，导致用列举法表示集合时出现错误．
正解　(1)因为y＝－x2＋6≤6，且xN，yN，
所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，xN，yN，
则有，，，
所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}.
一、选择题
1．方程组的解组成的集合是(　　)
C．{(2,1)}
D．{－1,2}
解析　先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.
2．用列举法可将集合{(x，y)|x{1,2}，y{1,2}}表示为(　　)
B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)}
D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
解析　x＝1时，y＝1,2；x＝2时，y＝1,2.共有4组，故选D.
3．[2016·成都高一一诊]已知集合P＝{1,2}，Q＝{z|z＝x＋y，x，yP}，则集合Q为(　　)
A．{1,2,3}
B．{2,3,4}
C．{3,4,5}
解析　1＋1＝2,1＋2＝3,2＋1＝3,2＋2＝4，
又集合中的元素具有互异性，
Q＝{2,3,4}，故选B.
4．[2016·成都七中高一月考]已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|xA，yA，x－yA}，则B中的元素个数为(　　)
解析　x∈A，yA，且x－yA.∴x＝2时，y＝1；x＝3时，y＝2,1；x＝4时，y＝3,2,1；x＝5时，y＝4,3,2,1.所以集合B中的元素共有1＋2＋3＋4＝10个，故选D.
5．[2016·南昌高一检测]若1{x，x2}，则x＝(　　)
D．0或1或－1
解析　若x＝1则x2＝1不满足互异性，若x2＝1则x＝±1且x＝1舍去，故x＝－1.
二、填空题
6．[2016·汉中高一检测]若集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{y|y＝x－1，xA}，将集合B用列举法表示为________．
答案　{0,1,2,3}
解析　当x＝1,2,3,4时，y＝x－1，y＝0,1,2,3，
B＝{0,1,2,3}．
7．[2016·昆明高一检测]设－5{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－5x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析　由－5{x|x2－ax－5＝0}得：25＋5a－5＝0，
a＝－4，则集合{x|x2－5x－a＝0}＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{x|(x－1)(x－4)＝0}＝{1,4}，集合中所有元素之和为1＋4＝5.
8．集合A＝{m|m＋1≥5}，B＝{y|y＝x2＋2x＋5，xR}，则A、B________(填“是”或“否”)表示同一集合．
解析　A＝{m|m≥4，mR}，即A中元素为大于或等于4的所有实数；B＝{y|y＝(x＋1)2＋4}，即y＝(x＋1)2＋4≥4，所以B中元素也为大于或等于4的所有实数，故A、B表示同一集合．
三、解答题
9．将大于0不大于15且除以4余3的整数构成的集合分别用列举法和描述法表示出来．
解　列举法：{3,7,11,15}；
描述法：{x|0<x≤15，且x＝4n＋3，nN}．
10．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解　当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，
只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
1.1.2　集合间的基本关系
课时3　集合间的基本关系
1．Venn图表示集合
通常用平面上封闭曲线的内部表示一个集合．
2．子集的有关概念
定义：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集；
记作：AB(或BA)；
读作：“A包含于B”(或“B包含A”)．
(2)集合相等
定义：如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等．
符合表示：若AB且BA，则A＝B.
定义：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集．
记法：A?B(或B?A)．
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为；
(2)规定：空集是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
若AB，且BC，则AC；
若A?B，B?C，则A?C.
(3)若AB，A≠B，则A?B.
知识点一 子集的概念
1.下列四个命题：
空集没有子集；
空集是任何一个集合的真子集；
任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为(　　)
解析　空集是其本身的子集，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
2．写出A＝{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是集合A的真子集．
解　{0,1,2}的所有子集：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中集合A的真子集有：，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.
知识点二 集合间的关系
3.已知A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－5<0}，则A与B之间的关系是(　　)
D．不能确定
解析　B＝{x|x<5}，利用数轴易知A?B.
4．[2016·福建六校高一联考]已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是(　　)
解析　“”用于元素与集合之间，而{1}是A的子集，
知识点三 集合相等问题
5.设P＝{a，b,2}，Q＝{2a,2，b2}，且P＝Q，求a，b的值．
解　由P＝Q得或
当a＝b＝0时，不符合元素的互异性，舍去．
a＝0，b＝1或a＝，b＝.
易错点 遗忘空集致误
6.已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且BA，则实数a的值为________．
易错分析　由集合BA及B的含义求a时，易忽略B＝时的情况，也就丢了a的可能解．
答案　0或或－2
正解　由A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}得
当BA时，B＝或B＝{－1}或B＝{3}，
当B＝时，a＝0.
当B＝{－1}时，得a＝－2.
当B＝{3}时，得a＝.
综上可知：a＝0或a＝－2或a＝.
一、选择题
1．下列各式中，正确的是(　　)
A．2{x|x≤3}
B．2{x|x≤3}
C．2{x|x≤3}
D．{2}?{x|x≤3}
解析　2表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但2不在集合中，故2{x|x≤3}，A，C不正确，又集合{2}{x|x≤3}，故D不正确．
2．[2016·成都七中高一月考]下列四个集合中，表示空集的是(　　)
B．{(x，y)|x2＋y2＝0，x，yR}
C．{x||x|＝5，xZ，xN}
D．{x|2x2＋3x－2＝0，xN}
解析　A中，{0}有元素0，不是空集；B中，集合为{(0,0)}，不是空集；C中，集合为{－5}，不是空集；D中，方程没有非负整数解，为空集，选D.
3．[2016·福建漳州高一质检]定义集合A*B＝{x|xA，且xB}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A*B的子集个数为(　　)
解析　A*B中的元素有{1,7}，
A*B的子集个数为22＝4个，选D.
4．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足AB，AC，则集合A的个数是(　　)
解析　若A＝，则满足AB，AC；若A≠，由AB，AC知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．
5．[2016·浏阳高一检测]已知集合A＝{x|3≤x2≤5，xZ}，则集合A的真子集个数为(　　)
解析　A＝{x|3≤x2≤5}＝{2，－2}，它的真子集有，{2}，{－2}，共3个．
二、填空题
6．已知集合U，S，T，F之间的关系如下图所示，下列关系中错误的有________．(只填序号)
S?U；F?T；S?T；S?F；S?F；F?U.
解析　根据子集、真子集的Venn图，可知S?U，S?T，F?U正确，其余错误．
7．[2016·玉溪高一检测]已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x≥m}，若AB，则实数m的取值范围为________．
答案　m≤－2
解析　由已知AB，画数轴
可得m≤－2.
8．设x，yR，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
解析　A中(x，y)，xR，yR，所以A表示直线y＝x上所有点构成的集合．
B中的x≠0，所以B表示直线y＝x上所有点构成的集合，但除去原点．
三、解答题
9．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}．若A＝B，求a的值．
解　由A＝B及集合中元素特点可得
把a＝1代入验证，满足集合中元素的互异性．
10．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求实数a的值．
解　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.
所以M＝{2，－3}．
若a＝2，则N＝{2}，此时N?M；
若a＝－3，则N＝{2，－3}，此时N＝M；
若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，此时N不是M的子集，故所求实数a的值为2或－3.1.1.3　集合的基本运算
课时4　并集、交集
(1)定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB.
(2)并集的符号语言表示为AB＝{x|xA，或xB}．
(3)性质：AB＝BA，AA＝A，A＝A，AB＝AB?A，AA∪B.
(1)定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B.
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝{x|xA，且xB}．
(3)性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝AA?B，A∩BA∪B，A∩BA，A∩BB.
知识点一 并集的运算
1.设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{xZ|2≤x≤5}，则PM＝(　　)
A．{2,3,4,5,6}
B．{1,2,3,4,5,6}
C．{1,2,3,4,5}
D．{2,3,4,5}
解析　M＝{2,3,4,5}，P∪M＝{1,2,3,4,5,6}．
2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x5}，则MN＝(　　)
A．{x|x－3}
B．{x|－5<x<5}
C．{x|－3<x<5}
解析　由题意画出数轴．
可知，MN＝{x|x－3}．
知识点二 交集的运算
3.已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于(　　)
B．{－1,0}
D．{－1,0,1}
解析　－1,0B,1?B，A∩B＝{－1,0}．
4．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x－1
解析　结合数轴可知a>－1.
知识点三 并集、交集运算的应用
5.设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，aR}，若A∩B＝B，求a的值．
解　A∩B＝B，B?A.
∵A＝{－2}≠，B＝或B≠.
当B＝时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠时，此时a≠0，则B＝，
－A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
易错点 忽略空集致误
6.集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围是________．
易错分析　本题由A∩B＝B得BA，则B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}，忽视了B＝的可能性，从而导致a的取值范围错误．
答案　{a|a≥2}
正解　由题意得A＝{1,2}，
A∩B＝B，B?A，B＝或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．
当B＝时，Δ＝4－4(a－1)2.
当B＝{1}时，，得a＝2.
当B＝{2}时，，无解．
当B＝{1,2}时，此时a无解．
综上可知，a的取值范围是{a|a≥2}.
一、选择题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合AB＝(　　)
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
解析　由并集的概念，可得AB＝{0,1,2,3,4}．
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为(　　)
A．x＝3，y＝－1
B．(3，－1)
C．{3，－1}
D．{(3，－1)}
解析　要求集合M与N的公共元素，
解得M∩N＝{(3，－1)}，选D.
3．设全集U＝R，A＝{xN|1≤x≤10}，B＝{xR|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为(　　)
C．{－3,2}
D．{－2,3}
解析　注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}，选A.
4．满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　)
解析　直接列出满足条件的M集合有{a1，a2}、{a1，a2，a4}，因此选B.
5．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于(　　)
A．{x|x<1}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－1≤x<1}
解析　由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．
二、填空题
6．[2015·江苏高考]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合AB中元素的个数为________．
解析　AB＝{1,2,3,4,5}，A∪B中元素的个数为5.
7．[2016·福建六校高一联考]已知集合A＝{1,3，m}，
B＝{3,4}，AB＝{1,2,3,4}，则m＝________.
解析　由题意易知2(A∪B)，且2B，2∈A，m＝2.
8．已知集合P＝{－1，a＋b，ab}，集合Q＝，若PQ＝P∩Q，则a－b＝________.
解析　由PQ＝P∩Q易知P＝Q，由Q集合可知a和b均不为0，因此ab≠0，于是必须a＋b＝0，所以易得＝－1，因此又必得ab＝a－b，代入b＝－a解得a＝－2.所以b＝2，因此得到a－b＝－4.
三、解答题
9．[2016·山东烟台模块检测]已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x5}．
(1)若A∩B＝，求a的取值范围；
(2)若AB＝B，求a的取值范围．
解　(1)要使A∩B＝，
则需满足下列不等式组
解此不等式组得－1≤a≤2，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤2}．
(2)要使AB＝B，即A是B的子集，
则需满足a＋35，
解得a>5或a5或a<－4}．
10．[2016·衡水高一调研]已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠且AB＝A，求a，b的值．
解　B≠且AB＝A，所以B≠且BA，故B存在两种情况：
(1)当B含有两个元素时，B＝A＝{－1,1}，此时a＝0，b＝－1；
(2)当B含有一个元素时，Δ＝4a2－4b＝0，a2＝b.
若B＝{1}时，有a2－2a＋1＝0，a＝1，b＝1.
若B＝{－1}时，有a2＋2a＋1＝0，a＝－1，b＝1.
综上：或或
课时5　补集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA
符号语言 UA＝{x|xU，且xA}
3.补集的性质
UU＝，U?＝U，U(?UA)＝A. A∩(UA)＝.
?U(A∩B)＝(UA)∪(?UB)．
U(A∪B)＝(UA)∩(?UB).
知识点一 补集的简单运算
1.若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,4}，B＝{2,4,5}，则(UA)∩(?UB)等于(　　)
解析　由题意可知：UA＝{2,5}，UB＝{1,3}．
(?UA)∩(?UB)＝，选A.
2．[2015·浙江高考]设全集U＝{xN|x≥2}，集合A＝{xN|x2≥5}，则UA＝(　　)
解析　A＝{xN|x2≥5}＝{xN|x≥3}，U＝{xN|x≥2}，UA＝{2}，故选B.
知识点二 补集的应用
3.如下图所示，阴影部分表示的集合为________．
答案　A∩(UB)
解析　由韦恩图可知阴影部分位于集合A内，但不位于集合B内，阴影部分表示的集合为A∩(UB)．
4．[2015·上海高考]设全集U＝R.若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(UB)＝________.
答案　{1,4}
解析　UB＝{x|x3}，A＝{1,2,3,4}，
A∩(?UB)＝{1,4}．
5．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(UA)∩B＝{2}，A∩(UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
解　(?UA)∩B＝{2}，2∈B，4－2a＋b＝0.
又A∩(?UB)＝{4}，4∈A，16＋4a＋12b＝0.
联立，得解得
易错点 遗漏端点致误
6.设U为实数集，集合M＝{x|0<x<2}，N＝{y|y＝x2}，则(UM)∩N＝________.
易错分析　本题易产生的错解是在进行集合的交集运算时，遗漏了0这个端点值．由于集合变成了单元素集，所以常常会出现遗漏的情况．
答案　{x|x≥2或x＝0}
正解　N＝{y|y＝x2}＝{x|x≥0}，UM＝{x|x≤0或x≥2}，则(UM)∩N＝{x|x≥2或x＝0}．
一、选择题
1．设全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d}，则(UM)∩N等于(　　)
解析　由题意可知，UM＝{b}，
(?UM)∩N＝{b}，选A.
2．设全集U＝MN＝{1,2,3,4,5}，M∩(UN)＝{2,4}，则N等于(　　)
A．{1,2,3}
B．{1,3,5}
C．{1,4,5}
D．{2,3,4}
解析　M∩(?UN)＝{2,4}，2,4∈M且2,4N，又M∪N＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,3,5}，选B.
3．[2016·杭州七校高一联考]已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且UA＝{－1}，则a的值是(　　)
解析　由A(?UA)＝U，可知A＝{1,3}，
又a2＋2≥2，a＋2＝1且a2＋2＝3.
解得a＝－1，故选A.
4．如下图，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)S
C．(M∩P)∩(US)
D．(M∩P)(?US)
解析　由题图不难判断阴影部分位于M∩P中，但不在S中，故阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(US)，选C.
5．[2016·哈尔滨九中期末]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，则集合{2,7}等于(　　)
B．(UM)∩(?UN)
C．(UM)∪(?UN)
解析　根据元素与集合的关系和集合的运算规律可知，2,7既不在集合M中，也不在集合N中，所以2,7在集合UM且在UN中，根据交集的意义即可知{2,7}＝(UM)∩(?UN)．
二、填空题
6．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有________人．
解析　设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示，
则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．
7．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A(?RB)＝R，则实数a的取值范围是________．
答案　{a|a≥2}
解析　RB＝{x|x≤1或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，且A(?RB)＝R，a≥2.
8．已知集合U＝{(x，y)|y＝3(x－1)＋2}，A＝(x，y)
，则UA＝________.
答案　{(1,2)}
解析　A＝{(x，y)|y＝3(x－1)＋2，x≠1}．又当x＝1时，由y＝3(x－1)＋2得y＝2，UA＝{(1,2)}．
三、解答题
9．[2016·郑州期末]已知集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝.
(1)当a＝1时，求A(?RB)；
(2)若AB，求实数a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，A＝，
A∪(?RB)＝{x|x≤1或x≥2}．
解得－1<a≤1，所以a的取值范围是{a|－1<a≤1}．
10．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{5,6,7,8,9,10}．
(1)求(UA)∩(?UB)，U(A∪B)，(UA)∪(?UB)，U(A∩B)；
(2)从(1)的计算结果，能发现什么规律？
解　(1)(UA)∩(?UB)＝{7,8,9,10}∩{1,2,3,4}＝，U(A∪B)＝，(UA)∪(?UB)＝{7,8,9,10}{1,2,3,4}＝{1,2,3,4,7,8,9,10}，U(A∩B)＝
{1,2,3,4,7,8,9,10}．
(2)(UA)∩(?UB)＝U(A∪B)，
(UA)∪(?UB)＝U(A∩B)．
集合是数学中最基本的概念，学习时一是要注意把集合知识作为一种语言来学习，集合语言是用集合的有关概念和符号来描述问题的语言，能简洁、准确地表达相关的数学内容；二是要注意集合中元素的互异性及空集的特殊性；三是要注意使用集合间的运算法则或运算思想，解决一些逻辑关系较复杂的问题，例如运用补集思想解决问题等．
一、选择题
1．下列各项中，不能组成集合的是(　　)
A．所有三角形
B．数学《必修1》中的所有习题
C．所有有理数
D．数学《必修1》中的所有难题
解析　因A、B、C三项可以确定其元素，而D中难题的标准无法确定，因此选D.
2．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么(　　)
解析　因a＝＜，{}?{x|x≤}，
3．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(RB)等于(　　)
A．{x|1<x<4}
B．{x|3<x<4}
C．{x|1<x<3}
D．{x|1<x<2或3<x<4}
解析　B＝{x|－1≤x≤3}，则RB＝{x|x3}，A∩(?RB)＝{x|3<x<4}．
已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{xR|x≥3}，右图中阴影部分所表示的集合为(　　)
C．{1,2,3}
D．{0,1,2}
解析　由题意得，A∩B＝{3,4,5}，阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合，所以为{1,2}．
5．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为(　　)
解析　记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分别为A、B，则依题意有card(AB)＝50，card(A)＝30，card(B)＝25，card(A∩B)＝30＋25－50＝5，于是只参加了一项活动的学生人数是(30－5)＋(25－5)＝45.(也可利用Venn图解决问题)
6．[2016·洛阳高一检测]已知全集U＝{x|0<x<8，且xZ}，集合A，B均为全集U的子集，若U(A∪B)＝{1,2,3}，(UA)∩B＝{6,7}，则集合A为(　　)
A．{1,2,3,4,5}
C．{4,5,6,7}
D．{1,2,3,6,7}
解析　U＝{1,2,3,4,5,6,7}，如图：
由图可知，UA＝{1,2,3,6,7}，A＝{4,5}，选B.
二、填空题
7．[2016·邯郸高一检测]已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么M∩N＝________.
答案　{(3，－1)}
解析　，解得x＝3，y＝－1，即{(3，－1)}．
8．定义A－B＝{x|xA且xB}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.
解析　关键是理解A－B运算的法则，
N－M＝{x|xN，且xM}＝{6}．
9．[2016·湖南省长沙一中月考]已知集合A＝{－2,1,2}，B＝{＋1，a}，且BA，则实数a的值是______．
解析　由题意知a≥0，又BA，所以或，解得a＝1.
三、解答题
10．[2015·山西太原五中期中]已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求实数a的值．
解　A∩B＝{－3}，－3B，
又a2＋1≠－3，a－3＝－3或2a－1＝－3，
a＝0或a＝－1.
当a＝0时，A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，A∩B＝{－3,1}，不合题意．
当a＝－1时，A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，满足题意．
综上可知a的值为－1.
11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，aR}至多有一个真子集，求a的取值范围．
解　若A＝，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，则a≠0，且Δ＝4－4a1；
若集合A恰有一个真子集，这时集合A必为单元素集，可分为两种情况：
a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－；
a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，实数a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}．
12．[2016·许昌五校高一联考]已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若AB＝A，求实数a的值．
解　依题意得A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
因为AB＝A，所以BA，所以集合B可分为{1,2}，{1}，{2}，或.
①当B＝{1,2}＝A时，有，所以a＝3符合题意；
当B＝{1}时，有，所以a＝2符合题意；
当B＝{2}时，有，无解；
当B＝时，即方程x2－ax＋(a－1)＝0无实根，
所以Δ＝a2－4(a－1)<0(a－2)2<0，无解．
综上，a＝2或a＝3.1.2　函数及其表示
1.2.1　函数的概念
课时6　函数的概念
1．函数的有关概念
前提条件：给定的两个集合A，B为非空数集．
对应关系：A中的任何一个数x对应B中唯一确定的数f(x)．即：一一对应或多一对应．
结论：f：A→B称为从集合A到集合B的一个函数．
(2)函数的记法
集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x)，xA.
2．区间及有关概念
定义 符号 数轴表示
a≤x≤b [a，b]
a<x<b (a，b)
定义 符号 数轴表示
a≤x<b [a，b)
a<x≤b (a，b]
xa (a，＋∞)
— (－∞，＋∞) 数轴上的所有点
知识点一 函数的概念
1.函数符号y＝f(x)表示(　　)
A．y等于f与x的乘积
B．f(x)一定是一个式子
C．y是x的函数
D．对于不同的x，y也不同
解析　符号y＝f(x)，即“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当y＝x2时，x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误．
2．[2016·北师大附中月考]下列图形中不是函数的图象的是(　　)
解析　对于图B，取x＝1，由图可知有2个y值与之对应，故B中图象不是函数图象.
知识点二 函数值问题
3.[2016·福建六校高一联考]由下表给出函数y＝f(x)，则f[f(1)]等于(　　)
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
解析　由题可知，f(1)＝4，f[f(1)]＝f(4)＝2，故选B.
4．已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝3x＋2.则f[g(x)]＝__________.
答案　9x2＋12x＋5
解析　因为f(x)＝x2＋1，g(x)＝3x＋2，
所以f[g(x)]＝(3x＋2)2＋1＝9x2＋12x＋5.
知识点三 区间的表示
5.将下列集合用区间表示．
(1){x|x≥2或x<1}；
(2){x|x＝1或2<x≤3}；
(3){x|2x－1≥0}．
解　(1){x|x≥2或x<1}＝(－∞，1)[2，＋∞)．
(2){x|x＝1或20时，一个x存在两个y与之对应，不是函数，故选B.
3．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
解析　将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．
对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C.
4．[2015·许昌五校高一联考]下列各组函数中表示同一函数的是(　　)
f(x)＝与g(x)＝x；f(x)＝|x|与
g(x)＝；f(x)＝x0与g(x)＝；f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
解析　中，两函数定义域相同，都是(－∞，0]，但f(x)＝＝－x与g(x)对应关系不同，不是同一函数；中，两函数定义域相同，都是R，但g(x)＝＝x与f(x)对应关系不同，不是同一函数；中，定义域相同，对应关系也相同；中虽然表示自变量的字母不相同，但两函数的定义域和对应关系都相同．故选C.
5．[2016·西安高一检测]下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是(　　)
B．y＝x＋1
C．x＋y＝0
解析　根据函数的定义判断，由于A中对于一个确定的x，有2个y与它对应，所以不符合函数的定义要求，故选A.
二、填空题
6．已知f(x)＝π(xR)，则f(x2)＝________.
解析　由函数的定义可知，f(x2)＝π.
7．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析　3a－1>a则a>，故a的取值范围是.
8．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，则f(1)＝________，f(4)＝________.
答案　0　2
解析　f(xy)＝f(x)＋f(y)，
f(2)＝f(2×1)＝f(2)＋f(1)，f(1)＝0.
又f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝2.
三、解答题
9．判断下列各组的两个函数是否相等，并说明理由．
(1)y＝x－1，xR与y＝x－1，xN；
(2)y＝与y＝·；
(3)y＝1＋与y＝1＋.
解　(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故两个函数不相等．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故两个函数不相等．
(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数)，对应关系相同(都是自变量取倒数后加1)，故两个函数相等．
10．已知f(x)＝，xR.
(1)计算f(a)＋f的值；
(2)计算f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f的值．
解　(1)由于f(a)＝，f＝，所以f(a)＋f＝1.
(2)解法一：因为f(1)＝＝，f(2)＝＝，
f＝＝，f(3)＝＝，
f＝＝，f(4)＝＝，
f＝＝，所以f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋＋＋＋＋＋＝.
解法二：由(1)知f(a)＋f＝1，所以f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，又f(1)＝＝，
所以f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋1＋1＋1＝.
课时7　函数的定义域、值域
1．函数的定义域是自变量的取值集合．
2．函数的值域是函数值的取值集合．
3．函数定义域的求法
(1)y＝中f(x)≠0.
(2)y＝中f(x)≥0.
(3)y＝[f(x)]0中f(x)≠0.
(4)当f(x)由几部分构成时，定义域是使各部分都有意义的实数的集合．
(5)若f(x)是由实际问题列出的，则定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
知识点一 已知函数解析式求定义域
1.[2016·郑州高一检测]函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0}
D．{x|0≤x≤1}
解析　由解得0≤x≤1，故选D.
2．[2016·重庆一中高一检测]函数f(x)＝的定义域是________．
解析　若使函数有意义，则2x＋3≥0且x＋1≠0.
x≥－且x≠－1.
知识点二 抽象函数的定义域
3.已知函数f(x)的定义域为[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域为________．
答案　[0,1]
解析　f(x)的定义域为[－1,1]，
－1≤2x－1≤1，0≤x≤1.
∴函数f(2x－1)的定义域为[0,1].
知识点三 简单函数的值域
4.[2016·荆门高一检测]若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是(　　)
解析　由y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8且x≠5}，排除A、D，再由函数的定义知，对任意一个x值都有唯一确定的y值与它对应，排除C，故选B.
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．
(1)画出f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的值域．
解　(1)f(x)的图象如图所示．
(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，则f(x)的值域是[－1,3].
易错点 求函数定义域时忽视细节致误
6.求函数y＝的定义域．
易错分析　解本题时考虑到1＋≥0解出x的取值范围，未考虑到x≠0导致定义域解错．
正解　解得x≤－1或x>0.
所以函数的定义域为(－∞，－1](0，＋∞)．
一、选择题
1．[2016·广东深圳中学月考]已知函数y＝，则其定义域为(　　)
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
解析　要使式子有意义，
所以x≤1且x≠－，
即该函数的定义域为，故选D.
2．[2016·北京海淀期末]函数y＝－x2＋1，－1≤x0时，值域为[1，＋∞)，a<0时，值域为(－∞，1]；
C中函数，a＝0时，值域为R.
a0时，值域为；
D中函数的值域为.
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
D．y＝x2＋1
解析　A中x≥0，所以y≥0；B中x>0，所以y>0；C中x≠0，所以y≠0；D中，xR，所以y≥1，故选B.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝2x－3，x{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　x{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，x＝1时y＝－1；x＝2时y＝1；x＝3时，y＝3；x＝4时，y＝5；x＝5时，y＝7，y∈{－1,1,3,5,7}．
7．已知f(2x－1)的定义域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域为________．
答案　[－3,1]
解析　f(2x－1)的定义域为[－1,1]，
x∈[－1,1]．
令t＝2x－1，－3≤t≤1.
f(x)的定义域为[－3,1]．
8．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________．
解析　由得
三、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
解　(1)要使函数有意义，
则即在数轴上标出，
如图，即x<－3，或－3<x<3，或3<x≤5.故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)(－3,3)(3,5]．
当然也可以表示为{x|x<－3，或－3<x<3，或30}，N＝R，f：x→|y|＝x2
B．M＝{－2,0,2}，N＝{4}，f：x→y＝x2
C．M＝R，N＝{y|y>0}，f：x→y＝
D．M＝{0,2}，N＝{0,1}，f：x→y＝
解析　A中，当x＝2时，y＝±4，不符合；B中，x＝0，没有y与之对应，不符合；C中，x＝0时，没有y与之对应，不符合，选D.
知识点三 分段函数的应用
4.李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢，然后他们索性停下来将问题彻底解决，最后他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是(　　)
解析　由题意可知李明同学离家的距离先是变化得比较慢，然后保持不变，最后快速变化直至为0，只有D项符合题意．
5．已知f(x)＝且f(a)＝3，求a的值．
解　按a≤－1，－1<a<2和a≥2进行讨论．
当a≤－1时，f(a)＝a＋2，
由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．
当－1<a<2时，f(a)＝2a，
由2a＝3，得a＝，满足－1<a<2.
当a≥2时，f(a)＝，
由＝3，得a＝±，又a≥2，a＝.
综上可知，a的值为或.
易错点 忽视分段函数的定义域而致误
6.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
易错分析　题目中f(x)为分段函数，在求值时需要根据定义域取值范围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a0时，1－a1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.
一、选择题
1．[2016·西安高一检测]已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f＝(　　)
解析　由图知f(x)＝
f＝－1＝－，f＝－＋1＝，
f＝，故选B.
2．设f(x)＝g(x)＝
则f[g(π)]的值为(　　)
解析　g(π)＝0，f[g(π)]＝f(0)＝0.
3．[2016·天津高一检测]集合A的元素按对应关系“先乘再减1”和集合B中的元素对应，在这种对应所成的映射f：A→B，若集合B＝{1,2,3,4,5}，那么集合A不可能是(　　)
A．{4,6,8}
C．{2,4,6,8}
解析　按题中对应法则，由B＝{1,2,3,4,5}知A中元素可能含有B中元素“加1再乘2”，即4,6,8,10,12，所以集合A中不可能含有元素2，故选C.
4．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，得
方程f(x)＝x等价于或
解得x＝2或x＝－1或x＝－2，选C.
5．[2016·济宁高一检测]已知f(x)＝
则f＋f等于(　　)
解析　由题意知f＝2×＝，
f＝f＝f＝f＝f＝2×＝，f＋f＝＋＝4.
二、填空题
6．函数f(x)＝的定义域是___________．
答案　[－2,3]
解析　分段函数的定义域是各段定义域的并集，所以此函数的定义域是[－2,3]．
7．设A＝R，B＝{x|x≥1}，映射f：A→B，且A中元素x与B中元素y＝x2＋1对应．当y＝2时，x＝________.
解析　由x2＋1＝2，得x＝±1.
8．[2016·福建六校高一联考]已知函数f(x)＝，若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.
解析　f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a.
由题可知，4＋2a＝4a，解得a＝2.
三、解答题
9．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素．
解　x＝－1，y＝2，
3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，
4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1.
所求的B中的元素为(－6,1)．
10．已知f(x)＝g(x)＝
求f[g(x)]的函数解析式．
解　当x≥0时，g(x)＝x，
f[g(x)]＝f(x)＝x2.
当x0且>0，
解得0<x<，
所以定义域为.
此框架围成的面积y与x的函数关系式为：
y＝－x2＋lx,0<x0.
一、选择题
1．下列表格中的x与y能构成函数的是(　　)
解析　选项A中x＝0时，分别对应1，－1，不符合函数定义；选项B中的偶数没有对应值，不符合函数定义；选项D中的自然数分别对应1,0，－1，不符合函数定义．故选C.
2．已知f(x＋1)＝x2－1，则f(x)的表达式为(　　)
A．f(x)＝x2＋2x
B．f(x)＝x2－2x
C．f(x)＝x2－2x＋2
D．f(x)＝x2－2x－2
解析　解法一：令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t.故f(x)＝x2－2x.故选B.
解法二：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1－1)2－1，即f(x)＝(x－1)2－1＝x2－2x，故选B.
3．[2016·福建厦门一中月考]函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
解析　由f(x)＝|x－1|得f(x)＝，所以f(x)的图象为B.
4．对于任意实数m，n，若函数f(x)满足f(mn)＝f(m)·f(n)，且f(0)≠0，则f(2013)的值为(　　)
D．无法确定
解析　因为m，nR，可令m＝n＝0，则f(0)＝f(0)·f(0)，又f(0)≠0，所以f(0)＝1.再令m＝x，n＝0，则f(x)＝1.所以f(2013)＝1.故选B.
5．[2016·安徽合肥一中月考]已知f(x)＝，则不等式x＋(x＋2)·f(x＋2)≤5的解集是(　　)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，＋∞)
解析　当x＋2≥0，即x≥－2时，f(x＋2)＝1，则有x＋x＋2≤5，得－2≤x≤；当x＋2<0，即x<－2时，f(x＋2)＝－1，则有x－x－2≤5，不等式恒成立．综上可知，x≤，故选A.
二、填空题
6．[2016·太原五中高一月考]若函数f(x)满足f(n2)＝f(n)＋2，且n≥2，f(2)＝1，则f(256)＝________.
解析　由f(n2)＝f(n)＋2可知，f(256)＝f(162)＝f(16)＋2＝f(4)＋4＝f(2)＋6＝1＋6＝7，填7.
7．已知3f(x)＋5f＝2x＋1，则函数f(x)的表达式为________．
答案　f(x)＝(x≠0)
解析　因为3f(x)＋5f＝2x＋1，用代替x，得3f＋5f(x)＝＋1.
两式联立得
消去f，得f(x)＝(x≠0)．
8．已知对应：
ax2＋bx＋c －3 0 1
是实数集M到实数集N的映射，若对于实数tN，t在M中不存在对应值，则t的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　由题意得，解得，
ax2＋bx＋c＝－x2＋2x.若t在M中存在对应值，则方程－x2＋2x＝t有实数根；若t在M中不存在对应值，则方程－x2＋2x＝t没有实根，因此Δ＝4－4t1.
三、解答题
9．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解　对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
故f(x)＝x2＋x＋1.
10．[2016·甘肃庆阳一中月考]在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d(米)是车速v(千米/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50千米/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
解　根据题意可设d＝kv2S(k>0)．
当v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，解得k＝.
d＝v2S.当d＝时，解得v＝25.
复习要点1．函数的概念、定义域与值域．
2．函数的三种表示方法及在实际中的应用．
提升训练　　　　　
一、选择题
1．[2016·广东惠州一中期中]下列各对函数中，图象完全相同的是(　　)
A．y＝x与y＝
B．y＝与y＝x0
C．y＝()2与y＝|x|
D．y＝·与y＝
解析　对于A，y＝＝|x|与y＝x不是同一个函数，故它们的图象不同；对于C，函数y＝()2的定义域为[0，＋∞)，函数y＝|x|的定义域为R，故它们的图象不同；对于D，函数y＝·的定义域为[1，＋∞)，而y＝的定义域为(－∞，－1][1，＋∞)，故它们的图象不同．故选B.
2．[2016·陕西月考]已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，那么f＝(　　)
解析　令g(x)＝，则1－2x＝，x＝，所以f＝f＝＝15，故选A.
3．[2016·福建六校高一联考]函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
D．[1,2)(2，＋∞)
解析　若使函数有意义，则
解得x≥1且x≠2.
函数的定义域为[1,2)(2，＋∞)，
4．[2015·荆州中学高一质检]已知函数f(2x＋1)的定义域为[1,2]，则函数f(4x＋1)的定义域为(　　)
解析　1≤x≤2，3≤2x＋1≤5.3≤4x＋1≤5.
解得≤x≤1.
f(4x＋1)的定义域为，选B.
5．[2016·聊城七校高一联考]已知符号函数sgnx＝则方程x＋1＝(2x－1)sgnx的所有解之和是(　　)
解析　分情况：当x>0时，sgnx＝1，
方程为x＋1＝2x－1，解得x＝2；
当x＝0时，sgnx＝0，
方程为x＋1＝1，解得x＝0；
当x0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．
解　依题意，函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，函数f(x)的值在[1,3]上随着x的增大而增大，
故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝3a－b＋3＝5，
当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝－a－b＋3＝2，
所以联立方程得，解得a＝，b＝.
12．当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？并讨论m为何值时，方程有三个实数根，两个实数根，没有实数根．
解　直接解方程会比较麻烦，借助于图象较容易找到答案．先作出y＝x2－4|x|＋5的图象，如下图所示，从图中可以直接看出：当1<m5或m＝1时，方程有2个不相等的实数根；当m<1时，方程没有实数根．
1.3　函数的基本性质
1.3.1　单调性与最大(小)值
课时11　函数的单调性(1)
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．用定义证明函数单调性的步骤
(2)作差变形．
(3)判断符号．
知识点一 函数单调性的概念
1.对于函数y＝f(x)，在给定区间内有两个值x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，则y＝f(x)(　　)
A．一定是增函数
B．一定是减函数
C．可能是常数函数
D．无法确定单调性
解析　有两个值x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，不是对任意两个值都成立，所以选D.
2．[2016·昆明高一检测]下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
B．y＝3－x
D．y＝－x2＋4
解析　A中，y＝|x|，在(0,1)上，y＝x单调递增；B中，y＝3－x在R上单调递减；C中，y＝在(0,1)上是减函数；D中，y＝－x2＋4在(0,1)上单调递减.
知识点二 函数单调性的判断
3.函数f(x)的图象如图所示，则(　　)
A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数
B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数
C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数
D．函数f(x)在[2,4]上是增函数
解析　由图象知，f(x)在[－1,2]上是增函数，在(2,4]上是减函数，故选A.
4．函数f(x)＝的单调性为(　　)
A．在(0，＋∞)上为减函数
B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数
C．不能判断单调性
D．在(－∞，＋∞)上是增函数
解析　画出函数图象．如图，由图知f(x)在R上为增函数．
知识点三 函数单调性的证明
5.证明函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
证明　任取x1，x2(2，＋∞)，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
2<x1<x2，x1－x24，x1x2－4>0，
f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数.
易错点 忽视单调区间的端点值而致误
6.[2016·柳州高一检测]函数y＝在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．
易错分析　分离常数后解析式为y＝1－，根据单调性得出－a2，由于忽视了端点值而得出a>2的错误结论．
答案　a≥2
正解　y＝＝1－依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a，即a≥2.
一、选择题
1．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
解析　根据题意有2a－1<0，a0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)<f(x1)<f(x2)0
解析　f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A、B、D都正确．
5．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋4)的递增区间是(　　)
B．(－2,3)
C．(－6，－1)
解析　由f(x)在(－2,3)上是增函数知，－2<x＋4<3，解得－6<x<－1，即y＝f(x＋4)的递增区间为(－6，－1)，故选C.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
答案　a≤－1
解析　当xR时，f(x)＝|x＋a|＝
f(x)的递减区间为(－∞，－a]．
由题意，(－∞，1](－∞，－a]，
－a≥1，a≤－1.
7．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调________函数．
解析　y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
a<0，b<0，y＝ax2＋bx＝a2－，
对称轴x＝－<0，
y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调减函数．
8．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.
解析　作出函数f(x)＝|2x＋a|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为，即－＝3，a＝－6.
三、解答题
9．[2016·山东烟台模块检测]已知函数f(x)＝x＋，且函数y＝f(x)的图象经过点(1,2)．
(1)求m的值；
(2)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
解　(1)由题意知2＝1＋，m＝1.
(2)证明：设1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
x1－x20，x1x2>0，
f(x1)<f(x2)，
y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
10．已知函数y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(x)0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．
解　F(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
证明如下：任取x1，x2，使0<x10时，f(x)0.
又y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
F(x2)－F(x1)<0，即F(x2)0时，它的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a0时，它的单调增区间为，它的单调减区间为.
当a0)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
y＝(k0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
答案　f(－3)>f(－π)
解析　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0可知函数f(x)为增函数，又因为－3>－π，所以f(－3)>f(－π).
知识点三 函数单调性的简单应用
5.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．
解　由题意，得解得1≤x≤2.
因为f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，
且f(x－2)<f(1－x)，
所以x－2<1－x，解得x<.
由得，1≤x<.所以x的取值范围为.
易错点 漏掉定义域致误
6.已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求a的取值范围．
易错分析　解不等式f(1－a)2a－1来解，容易忽视定义域(－1,1)导致错误．
正解　由题意知：解得：0<a<，
即a的取值范围是.
一、选择题
1．[2016·济南检测]已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(－1)<f(1)
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析　因为二次函数的对称轴为x＝1，所以f(－1)＝f(3)，又函数f(x)为开口向上的抛物线，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)(3，＋∞)
解析　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
4．[2015·衡水高一调研]已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
解析　若f(x)在R上递减，则
解得0f(x2)，则x1与x2的大小关系是________．
答案　x1>x2
解析　因为f(x)是R上的增函数，所以f(x1)>f(x2)时，x1>x2.
7．函数f(x)＝(a为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是________．
解析　函数f(x)＝＝a＋，由于f(x)存在增区间，所以1－2a＜0，即a＞.
8．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f________f(a2－a＋1)(填“≥”“≤”“>”“<”)．
解析　a2－a＋1＝2＋≥，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f≥f(a2－a＋1)．
三、解答题
9．[2016·烟台高一检测]已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
解　(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{xR|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2(1，＋∞)，且x1x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
10．已知定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2R，且x1≠x2，总有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，且函数f(x)的图象经过点A(5，－2)，若f(2m－1)＜－2，求m的取值范围．
解　对任意x1，x2R，且x1≠x2，总有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，
f(x)在R上是增函数．
又f(x)的图象经过点A(5，－2)，f(5)＝－2.
f(2m－1)＜－2等价于f(2m－1)＜f(5)．
2m－1＜5，m＜3，即m的取值范围是(－∞，3)．
课时13　函数的最大值、最小值
1．函数最大值定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的xI，都有f(x)≤M.
(2)存在x0I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．函数最小值定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：
(1)对于任意的xI，都有f(x)≥M.
(2)存在x0I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
3．函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
　　　　　　　　
知识点一 用图象求最值
1．函数f(x)的图象如图，则f(x)在[－2,2]上的最大、最小值分别为(　　)
B．f(0)，f
C．f(0)，f
D．f(0)，f(－1)
解析　由最大(小)值的几何意义及定义可知．
2．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为(　　)
C．3，无最小值
解析　观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
知识点二 用单调性求最值
3.函数y＝x＋(　　)
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
解析　设y1＝x，y2＝，则y＝y1＋y2，y1＝x在R上为增函数，y2＝在上为增函数，y＝x＋在上为增函数，y有最小值，无最大值．
4．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值为(　　)
D．以上都不对
解析　当x[1,2]时，f(x)＝2x＋6为增函数，则f(x)max＝f(2)＝10，f(x)min＝f(1)＝8，当x[－1,1]时，f(x)＝x＋7为增函数，f(x)max＝f(1)＝8，f(x)min＝f(－1)＝6，综上，f(x)max＝10，f(x)min＝6，选A.
知识点三 二次函数的最值
5.已知函数f(x)＝x2－2x－1，xA，当A为下列区间时，分别求f(x)的最大值和最小值．
(1)A＝[－2,0]；
(2)A＝[－1,2]；
(3)A＝[2,3]．
解　(1)当A＝[－2,0]时，函数f(x)在[－2,0]上为减函数，
f(x)max＝f(－2)＝7，f(x)min＝f(0)＝－1.
(2)当A＝[－1,2]时，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．
f(x)min＝f(1)＝－2，f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}＝f(－1)＝2.
(3)当A＝[2,3]时，f(x)在[2,3]上是增函数，
f(x)max＝f(3)＝2，f(x)min＝f(2)＝－1.
易错点 用函数最值求参数时求错
6.若函数f(x)＝x2－6x＋m在区间[2，＋∞)上的最小值是－3，则实数m的值为________．
易错分析　不考虑函数的单调性，想当然地认为函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)，从而令f(2)＝－3去求m，忽视了函数的单调情况致误．
正解　函数f(x)＝x2－6x＋m的对称轴是x＝3，开口向上，所以函数f(x)在[2,3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，故函数在x＝3处取得最小值，即f(3)＝32－6×3＋m＝－3，解得m＝6.
故实数m的值为6.
一、选择题
1．[2016·银川高一检测]函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　　)
解析　函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，
f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.
2．[2015·成都七中高一月考]函数f(x)＝的最大值为(　　)
解析　f(x)＝＝＝
，　2＋≥，
0<≤，即f(x)max＝，选B.
3．某商店按每件80元购进某种品牌的衣服1000件，根据市场预测，当每件售价100元时，可全部售完，定价每提高1元时，销售量就减少5件，若要获得最大利润，则每件售价应定为(　　)
解析　设每件提高x元，则总利润为y＝(100＋x－80)·(1000－5x)＝(20＋x)(1000－5x)＝－5x2＋900x＋20000.当x＝90时，y取最大值，故每件售价定为190元．
4．已知00时，y＝ax＋1在[1,2]上单调递增．
x＝1时，ymin＝a＋1，x＝2时ymax＝2a＋1
2a＋1－(a＋1)＝2即a＝2.
当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上单调递减．
x＝1时，ymax＝a＋1；x＝2时，ymin＝2a＋1，a＋1－(2a＋1)＝2，a＝－2，a＝2或a＝－2，故选C.
二、填空题
6．[2016·郑州高一检测]如图为函数y＝f(x)，x[－4,7]的图象，则它的最大值、最小值分别是________，________.
答案　3　－2
解析　观察图象可知：图象的最高点为(3,3)，最低点为(－2，－2)，y＝f(x)的最大值为3，最小值为－2.
7．[2016·襄阳四校高一月考]函数y＝
的最大值是________．
解析　由f(x)的解析式可知f(x)在定义域内，先增再增后减，所以f(x)的最大值为f(1)＝4.
8．[2016·成都高一测试]函数y＝2x－1＋的最小值是________．
解析　(换元法)令＝t≥0，
则x＝t2＋2，所以
y＝2(t2＋2)－1＋t＝2t2＋t＋3.
在[0，＋∞)上单调递增，
所以当t＝0时，有最小值3.
三、解答题
9．[2016·日照高一检测]求函数f(x)＝＋x在[2，＋∞)上的最小值．
解　设2≤x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝＋x1－－x2
＝＋(x1－x2)
＝(x1－x2)<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，
所以f(x)＝＋x在[2，＋∞)上单调递增．
所以f(x)min＝f(2)＝＋2.
10．设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x[t，t＋1]，tR)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为直线x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，由下图(1)知，[t，t＋1]为函数的减区间，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1<t＋1，即01时，由下图(3)知，[t，t＋1]为函数的增区间，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上，g(t)＝
1.3.2　奇偶性
课时14　函数奇偶性的概念
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数图象的对称性
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
3．判断函数奇偶性的原则
判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．
知识点一 奇偶性的概念
1.函数y＝f(x)，x[－1，a](a＞－1)是奇函数，则a等于(　　)
D．无法确定
解析　由奇函数定义知，函数定义域必须关于原点对称，a＋(－1)＝0，a＝1，选C.
2．[2016·南宁高一检测]函数f(x)＝|x|＋1是(　　)
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析　f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，f(x)为偶函数，故选B.
知识点二 奇偶性的图象
3.已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是(　　)
解析　因为f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
4．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解是______．
答案　(－2,0)(2,5)
解析　根据函数是奇函数这一条件将图象补充完整如图：
f(x)0时，－x<0，f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)；当x0，
f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数.
易错点 忽视定义域导致错误
6.函数f(x)＝是________函数．(填“奇”“偶”“既奇又偶”“非奇非偶”中的一个)．
易错分析　没有求出函数的定义域，而直接将f(x)化简为f(x)＝－x3，用定义得f(－x)＝－f(x)，得f(x)为奇函数，由于定义域不对称导致奇偶性判断错误．
答案　非奇非偶
正解　由题意知1－x≠0，即x≠1，
所以此函数的定义域为{x|x≠1}，
因为定义域不关于原点对称，
所以此函数是非奇非偶函数.
一、选择题
1．[2016·临沂高一检测]下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　)
解析　由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，观察选项知只有B关于y轴对称，故选B.
2．[2015·衡水高一调研]若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是(　　)
解析　由f(－x)＝f(x)可得2(m－2)x＝0.
因x不恒等0，所以m－2＝0，
则m＝2，选B.
3．[2016·桂林高一检测]若函数f(x)满足＝1，则f(x)图象的对称轴是(　　)
C．直线y＝x
D．不能确定
解析　f(x)满足＝1，f(－x)＝f(x)，
f(x)是偶函数，它的图象关于y轴对称．
4．[2015·襄阳四校高一质检]定义两种运算：ab＝ab，ab＝a2＋b2，则函数f(x)＝的奇偶性为(　　)
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析　由题意可得
f(x)＝＝，定义域为{x|x≠±1}．
f(－x)＝＝－＝－f(x)．
f(x)为奇函数，选A.
5．[2016·滁州高一检测]若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx(　　)
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不偶函数
解析　f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，b＝0，g(x)＝ax3＋cx.g(－x)＝－g(x)，g(x)是奇函数，故选A.
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
解析　由g(1)＝1，且g(x)＝f(x)＋2，f(1)＝g(1)－2＝－1，又y＝f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝1，从而g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
7．[2016·黄山高一检测]已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
解析　f(x)的定义域为，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a的值为________．
解析　偶函数定义域关于原点对称，
a－1＝－2a，a＝.
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
解　(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1,0)(0,1]，所以f(x)的解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为R.
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1；
当x0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)．
综上，对任意xR，
都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
10．已知f(x)＝(－1≤x≤1)为奇函数，求a、b的值．
解　f(x)为奇函数，
f(－x)＝－f(x)，
(－x＋a)(x2＋bx＋1)＝－(x＋a)(x2－bx＋1)．
－x3＋(a－b)x2＋(ab－1)x＋a＝－x3＋(b－a)x2＋(ab－1)x－a，
比较系数得
a＝0，b＝0.
课时15　函数奇偶性的应用
奇偶性的应用中常用到的结论
(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)＝0.
(2)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(3)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
　　　　　　　
知识点一 含参数的函数奇偶性
1．设函数f(x)＝ax3＋bx＋c的图象如图所示，则f(a)＋f(－a)＝________.
解析　由图可知f(x)的图象关于原点对称，f(x)为奇函数，f(a)＋f(－a)＝0.
2．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
解析　f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，
又f(x)为偶函数，
a－4＝0，则a＝4.
知识点二 函数奇偶性与单调性的关系
3.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是(　　)
A．f(5)>f(－5)
B．f(4)>f(3)
C．f(－2)>f(2)
D．f(－8)＝f(8)
解析　f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，
f(x)在(－∞，0)上是减函数，f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
又－2f(2)，故选C.
4．给出下列四个函数：
f(x)＝－x－x3;
f(x)＝1－x；
其中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是________．(只填序号)
解析　为非奇非偶函数，虽为奇函数，但在定义域上不为减函数，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
知识点三 求函数解析式
5.已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋)，求当x<0时，f(x)的解析式．
解　当x0，
f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)．
f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)．
f(x)＝x(1－).
易错点 分段函数的奇偶性判断错误
6.f(x)＝，判断f(x)的奇偶性．
易错分析　忽视对定义域的讨论，对分段函数的奇偶性判断方法使用不当致误．
正解　当x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x0时，f(x)＝x－2012，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当xf>f(－π)
B．f>f(－1)>f(－π)
C．f(－π)>f(－1)>f
D．f(－1)>f(π)>f
解析　由f(x)为偶函数可知f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)．
又因f(x)在[0,4]上递减，
f(1)>f>f(π)，
即f(－1)>f>f(－π)．选A.
5．[2016·唐山高一检测]若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　)
A．最小值6
B．最小值－6
C．最大值－6
D．最大值6
解析　假设f(x)在[2,5]上，当x＝x0，x0[2,5]时，f(x)min＝6.
f(x)为奇函数且过点(x0,6)，
x∈[－5，－2]时，f(x)过点(－x0，－6)，
即f(－x0)＝－6，f(x)有最大值－6.
二、填空题
6．[2016·信阳高一检测]已知定义域为R的函数f(x)在(－5，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x－5)为偶函数，设a＝f(－6)，b＝f(－3)，则a，b的大小关系为________．
解析　因为函数y＝f(x－5)为偶函数，
所以图象关于x＝0对称，
又因为由y＝f(x－5)向左平移5个单位可得函数y＝f(x)的图象，
所以y＝f(x)的图象关于x＝－5对称，
因为函数f(x)在(－5，＋∞)上为减函数，
所以a＝f(－6)＝f(－4)>b＝f(－3)，
7．f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝－2009，则F(－a)＝________.
答案　2013
解析　由f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，知f(a)＋f(－a)＝0，g(a)＋g(－a)＝0.
所以F(a)＋F(－a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＋3f(－a)＋5g(－a)＋2＝4，所以F(－a)＝4－F(a)＝4＋.
8．[2016·威海高一检测]如果定义在(－∞，0)(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．
答案　{x|x3}
解析　由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)3；当x0，所以x3或x<－3.
三、解答题
9．定义在[－3，－1][1,3]上的函数y＝f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
解　(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．
10．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
解　由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，
即f(1－m)＜f(m)．
又f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，f(x)在[－2,2]上为减函数，
解得－1≤m＜.
因此实数m的取值范围是.
奇偶性是函数在定义域上的对称性质；单调性反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．
函数奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数观点，挖掘函数的奇偶性与单调性，并注意奇偶性与单调性的相关性质．
(1)奇函数在对称区间上有相同的单调性；
(2)偶函数在对称区间上有相反的单调性．
常见的题型有：利用函数的奇偶性判断单调性、解不等式、求字母参数的取值范围、判断最值等．
提升训练　　　　　
一、选择题
1．函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(－∞，0)，(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析　函数y＝的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，由定义可知，函数y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为单调递减函数．
2．下列说法错误的是(　　)
A．f(x)＝－是奇函数
B．f(x)＝|x－2|是偶函数
C．f(x)＝0，x[－6,6]既是奇函数又是偶函数
D．f(x)＝不具有奇偶性
解析　f(x)＝－的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数，A正确；f(x)＝|x－2|的图象是由f(x)＝|x|的图象向右平移了两个单位，图象不关于y轴对称，所以B不正确；f(x)＝0，x[－6,6]的图象既关于原点对称又关于y轴对称，所以C正确；f(x)＝的定义域为{x|x≠1}不关于原点对称，函数不具有奇偶性，所以D正确．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则满足f(1)≤f(a)的实数a的值组成的集合是(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．(－∞，－1][1，＋∞)
D．(－∞，0)
解析　f(x)为偶函数，f(a)＝f(|a|)．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
|a|≥1，a≥1或a≤－1.
4．[2015·湖南长沙一中期中]若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　)
A．f<f(－1)<f(2)
B．f(－1)<f<f(2)
C．f(2)<f(－1)<f
D．f(2)<f<f(－1)
解析　因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)<f<f(－1)，即f(2)<f<f(－1)，故选D.
5．[2015·吉林高一质检]已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时f(x)＝x－1，则f(x)<0的解集是(　　)
A．(－1,0)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)(1，＋∞)
解析　x≥0时，x－1<0，解得0≤x<1，根据对称性，知f(x)<0的解集为(－1,1)，选C.
6．[2015·江西临川一中月考]设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意tR都有f(t)＝f(1－t)，且当x时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f＝(　　)
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－t)＝－f(t)，又f(t)＝f(1－t)，所以f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－f(－1)＝f(1)＝f(0)＝0，f＝－f＝－f＝f＝－2＝－，所以f(3)＋f＝－，故选C.
二、填空题
7．若f(x)在(－∞，0)(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)<0的解集为________．
答案　(－2,0)(0,2)
解析　f(－2)＝0，则f(2)＝0，而f(x)在(0，＋∞)上为增函数，则当x<－2时，f(x)<0；
当－2<x0；
当0<x<2时，f(x)2时，f(x)>0.
x·f(x)<0的解集为(－2,0)(0,2)．
8．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.
答案　－15
解析　当x＜0时，则－x＞0，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
所以f(x)＝－x2＋2x.即g(x)＝－x2＋2x，
因此，f(g(－1))＝f(－3)＝－f(3)＝－9－6＝－15.
9．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝，若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f(x)，g(x))的最大值为________．
解析　f(x)－g(x)＝4－x2－3x，当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f(x)≥g(x)；当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)1或x<－4时，f(x)=>
11．[2015·吉林一中月考]已知函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断并证明函数f(x)在(－1,0)上的单调性．
解　(1)由题意得a＝1，b＝0，得f(x)＝.
(2)函数f(x)在(－1,0)上单调递增，
证明如下：任取x1，x2(－1,0)，且x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
－1<x1<x20，x＋1>0，x1－x20，
f(x1)－f(x2)<0.
即f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在(－1,0)上单调递增．
12．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论；
(3)若f(a)＞2，求实数a的取值范围．
解　由f(1)＝2得1＋m＝2，所以m＝1，
所以f(x)＝x＋.
(1)f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，
f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是增函数．
证明：设任意的x1，x2(1，＋∞)，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－＝(x1－x2)·，
因为1＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
(3)设任意的x1，x2(0,1)，且x1＜x2，由(2)知
f(x1)－f(x2)＝，
由x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0,1)上是单调递减的．
由f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，
在(0,1)上是单调递减的，且f(1)＝2知，
当a(0,1)时，f(a)＞2＝f(1)成立；
当a(1，＋∞)时，
f(a)＞2＝f(1)成立；
而当a＜0时，f(a)＜0，不满足题设．
综上可知，实数a的取值范围为(0,1)(1，＋∞)．第一章高考真题集训
一、选择题
1．[2015·重庆高考]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(　　)
解析　由子集的概念知B?A，故选D.
2．[2015·北京高考]若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－3<x<2}
B．{x|－5<x<2}
C．{x|－3<x<3}
D．{x|－5<x<3}
解析　利用交集的定义求解，则A∩B＝{x|－3<x<2}，故选A.
3．[2014·辽宁高考]已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0<x<1}
解析　AB＝{x|x≥1或x≤0}，因此U(A∪B)＝{x|0<xf(1)，则(　　)
A．a>0　4a＋b＝0
B．a0　2a＋b＝0
D．af(1)，f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
10．[2013·山东高考]已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)
解析　函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，
f(－1)＝－f(1)，又x＞0，时，f(x)＝x2＋，
f(－1)＝－f(1)＝－2.故答案为D.
11．[2012·江西高考]设函数f(x)＝则f(f(3))＝(　　)
解析　f(3)＝＜1，f(f(3))＝2＋1＝，故选D.
二、填空题
12．[2015·重庆高考]设全集U＝{nN|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(UA)∩B＝________.
答案　{7,9}
解析　依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，UA＝{4,6,7,9,10}，(UA)∩B＝{7,9}．
13．[2014·浙江高考]设函数f(x)＝
若f(f(a))＝2，则a＝________.
解析　当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，
于是f(f(a))＝f(a2＋2a＋2)＝－(a2＋2a＋2)2，
令－(a2＋2a＋2)2＝2，显然无解；
当a>0时，f(a)＝－a20，则x的取值范围是________．
答案　(－1,3)
解析　f(2)＝0，f(x－1)>0，f(x－1)>f(2)，
又f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，
－2<x－1<2，－1<xf(x－1)，则正实数a的取值范围为________．
解析　由题意可知，f(x－1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，要保证任给xR，f(x)>f(x－1)，f(x－1)的图象则应由原图象至少向右平移6a个单位，需满足6a<1，即a<，又因为a为正实数，故答案为.
第一章　单元质量测评(一)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第卷　(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2015·广东高考]已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则MN＝(　　)
B．{－1,0,2}
C．{－1,0,1,2}
D．{－1,0,1}
解析　依题意得MN＝{－1,0,1,2}，故选C.
2．[2015·天津高考]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩UB＝(　　)
C．{2,5,6}
D．{2,3,5,6,8}
解析　因为UB＝{2,5,8}，又A＝{2,3,5,6}，所以A∩UB＝{2,5}，故选A.
3．50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是(　　)
解析　全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；仅跳远及格的人数为(40－x)人；仅铅球及格的人数为(31－x)人；两项都不及格的人数为4人，
40－x＋31－x＋x＋4＝50，x＝25.
4．[2015·陕西工大附中高一质检]如图所示的韦恩图中A，B是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合，则A*B＝(　　)
A．U(A∪B)
C．(UA)∪(?UB)
D．(AB)∩?U(A∩B)
解析　阴影部分为AB去掉A∩B后的部分，为(AB)∩?U(A∩B)．选D.
5．函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)
解析　根据题意，得解得≤x0
B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
解析　f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
9．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(8)＝3，则f(2)＝(　　)
解析　依题意得f(x＋y＋z＋w)＝f(x＋y)＋f(z＋w)＝f(x)＋f(y)＋f(z)＋f(w)，令x＝y＝z＝w＝2可得f(8)＝4f(2)，因此代入f(8)＝3可解得f(2)＝，选B.
10．下图所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为(　　)
(1)小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)小明骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)小明出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
A．(1)(2)(4)
B．(4)(2)(3)
C．(4)(1)(3)
D．(4)(1)(2)
解析　事件(1)中因为返回，故回家后距离应该为0，应该选图象(4)；事件(2)中交通堵塞，就是说离开家的距离停顿下来，故应该选图象(1)；事件(3)说明速度先慢后快，故选图象(2)．
11．[2016·南安高一检测]已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上是单调递减的，则a的取值范围是(　　)
C．[2，＋∞)
解析　当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上是单调递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减．则
解析　函数f(x)＝4x2－mx＋5的图象对称轴为x＝，则有≤－2，m≤－16，而f(1)＝4－m＋5＝9－m，f(1)≥25.
第卷　(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数y＝＋的定义域为________．
答案　[－1,2)(2，＋∞)
解析　由题意知x≥－1且x≠2.
14．[2016·江苏盐城中学月考]设函数f(x)＝，则f[f(－1)]的值为________．
解析　f(－1)＝(－1)2＋1＝2，
f[f(－1)]＝f(2)＝22＋2－2＝4.
15．[2016·荆州市中学期中]已知A是有限集合，xA，B＝A{x}，若A，B的子集个数分别为a，b，且b＝ka，则k＝________.
解析　不妨设集合A中的元素个数为n，则集合B中的元素个数有n＋1，所以a＝2n，b＝2n＋1，因此b＝2a，故所求k的值为2.
16．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调减区间是________．
解析　f(x)＝，图象如下图所示f(x)减区间为，.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17．[2016·郑州高一检测](本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2a}，AC，求a的取值范围．
解　(1)A∩B＝{x|3≤x<10}∩{x|2<x≤7}＝{x|3≤x≤7}；
AB＝{x|3≤x<10}{x|2<x≤7}＝{x|2<x<10}；
(UA)∩(?UB)＝{x|x≤2，或x≥10}．
(2)A＝{x|3≤xa}，要使AC，结合数轴分析可知a<3，即a的取值范围是{a|a<3}．
18．[2016·云南玉溪一中高一期中](本小题满分12分)设集合A＝{a，a2，b＋1}，B＝{0，|a|，b}且A＝B.
(1)求a，b的值；
(2)判断函数f(x)＝－bx－在[1，＋∞)的单调性，并用定义加以证明．
解　(1)由集合A＝B知，a≠0，b＋1＝0，即b＝－1.此时A＝{a，a2,0}，B＝{0，|a|，－1}，a＝－1，
A＝{－1,1,0}，B＝{0,1，－1}．满足集合的互异性，
a＝－1，b＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝x＋，f(x)＝x＋在[1，＋∞)上单调递增．
任取x1，x2[1，＋∞)且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)，
x1，x2[1，＋∞)且x1＜x2，
x1－x2＜0，x1·x2－1＞0，x1·x2＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)＝x＋在[1，＋∞)上单调递增．
19．[2016·淄博高一检测](本小题满分12分)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，＋∞)时，f(x)＝·(1＋x)．
(1)求f(27)与f(－27)的值；
(2)求f(x)的解析式．
解　(1)由题意知f(27)＝×(1＋27)＝84，f(－27)＝－f(27)＝－84，所以f(27)＝84，f(－27)＝－84.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
f(－x)＝·[1＋(－x)]＝－·(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝(1－x)，
所以f(x)＝
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x[1，＋∞)．
(1)当a＝时，判断并证明f(x)的单调性；
(2)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值．
解　(1)当a＝时，f(x)＝＝x＋2＋＝x＋＋2.
设x1，x2是[1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2)·.
因为1≤x1＜x2，所以x1－x21，
x1x2－>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)当a＝－1时，f(x)＝x－＋2.
因为函数y1＝x和y2＝－在[1，＋∞)上都是增函数，所以f(x)＝x－＋2在[1，＋∞)上是增函数．
当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝1－＋2＝2，
即函数f(x)的最小值为2.
21．(本小题满分12分)定义在实数集R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.
(1)求f(x)在R上的表达式；
(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．
解　(1)设x0.
f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3.
f(x)是R上的偶函数，f(－x)＝f(x)．
当x0时，f(x)<0，若f(－1)＝2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求证：f(x)是R上的减函数；
(3)求函数f(x)在区间[－2,4]上的值域．
解　(1)证明：f(x)的定义域为R，令x＝y＝0，
则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0.
f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)证明：任取x1，x2R，且x10，f(x2－x1)<0，
f(x2)－f(x1)f(x2)．
故f(x)是R上的减函数．
(3)f(－1)＝2，f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝4.
又f(x)为奇函数，f(2)＝－f(－2)＝－4，
f(4)＝f(2)＋f(2)＝－8.
由(2)知f(x)是R上的减函数，
所以当x＝－2时，f(x)取得最大值，最大值为f(－2)＝4；
当x＝4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)＝－8.
所以函数f(x)在区间[－2,4]上的值域为[－8,4]．
第一章　单元质量测评(二)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第卷　(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知M＝{x|x>2或x2或x<0}，
所以RM＝[0,2]，
又N＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，
故N∩(RM)＝[0,2]．
2．[2016·太原五中高一月考]下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是(　　)
A．若A∩B＝，则(UA)∪(?UB)＝U
B．若AB＝，则A＝B＝
C．若AB＝U，则(UA)∩(?UB)＝
D．若A∩B＝，则A＝B＝
解析　若A＝{2}，B＝{3}，则A∩B＝.
∴D不正确，选D.
3．已知集合A＝{y|y＝－x2－2x}，B＝{x|y＝}，且AB＝R，则实数a的最大值是(　　)
解析　根据题意，得A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，因为AB＝R，画出数轴可知a≤1，即实数a的最大值是1.
4．[2016·广西桂林中学段考]已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝(　　)
A．{x|x≥－2}
B．{x|x<2}
C．{x|－2<x<2}
D．{x|－2≤x<2}
解析　M＝{x|x<2}，N＝{x|x≥－2}，M∩N＝{x|－2≤x<2}，故选D.
5．使根式与分别有意义的x