?123??101?????235?011???；将x1??1,x2??1,x3?1代入方程组（Ⅱ；b?1,c?2或b?0,c?1.；当b?1,c?2时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以；?112??101??????，?213??01；当b?0,c?1时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以；?101??101??????，202000??；综上所述，当a?2,b?1
?123??101?????235?011????， ?112??000?????故(?1,?1,1)T是方程组（Ⅰ）的一个基础解系． 将x1??1,x2??1,x3?1代入方程组（Ⅱ）可得 b?1,c?2 或 b?0,c?1. 当b?1,c?2时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有 ?112??101??????， ?213??011?显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解． 当b?0,c?1时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有 ?101??101??????， 202000????显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的解不相同． 综上所述，当a?2,b?1,c?2时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解． 15．设有齐次线性方程组 ?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解． 解
对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 (n?2) 11?1??1?a11?1??1?a????22?a2?2?2aa0?0?????B. A????????????????????nnn?n?a?na00?a????当a?0时，R?A??1?n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1?x2???xn?0, 由此得基础解系为 ?1?(?1,1,0,?,0)T, ?2?(?1,0,1,?,0)T,?,?n?1?(?1,0,0,?,1)T, 于是方程组的通解为 x?k1?1???kn?1?n?1,
其中k1,?,kn?1为任意常数． 当a?0时，对矩阵B作初等行变换，有 n(n?1)??00?0??1?a11?1??a?2?????210?0???210?0?. B?????????????????????n00?1???????n00?1???n(n?1)可知a??时，R(A)?n?1?n，故方程组也有非零解，其同解方程组为 2 16 ??2x1?x2?0,??3x?x?0,?13 ????????nx1?xn?0,由此得基础解系为 ??(1,2,?,n)T， 于是方程组的通解为 x?k?，其中k为任意常数． 16．设?1?(1,2,0)T, ?2?(1,a?2,?3a)T, ?3?(?1,?b?2,a?2b)T, ??(1,3,?3)T, 试讨论当a,b为何值时,
(1) ?不能由?1,?2,?3线性表示； (2) ?可由?1,?2,?3惟一地线性表示, 并求出表示式； (3) ?可由?1,?2,?3线性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式．
设有数k1,k2,k3,使得 k1?1?k2?2?k3?3??． 记A?(?1,?2,?3)．对矩阵(A,?)施以初等行变换, 有 1?11??11?11??1????(A,?)??2a?2?b?23???0a?b1?． ?0?3aa?2b?3??00a?b0?????（1） 当a?0时, 有 ?11?11???(A,?)??00?b1?． ?000?1???可知R(A)?R(A,?)． 故方程组无解, ?不能由?1,?2,?3线性表示． （2） 当a?0, 且a?b时, 有 1??1001???a?11?11???1??? (A,?)??0a?b1???010?a??00a?b0?????0010??????R(A)?R(A,?)?3,
方程组有惟一解： 11k1?1?,
k3?0． aa此时?可由?1,?2,?3惟一地线性表示, 其表示式为 11??(1?)?1??2． aa（3） 当a?b?0时, 对矩阵?A,??施以初等行变换, 有
17 1??1001???a11?11????1???， (A,?)??0a?b1???01?1?a??00a?b0?????0000??????R(A)?R(A,?)?2，方程组有无穷多解，其全部解为 11k1?1?,
其中c为任意常数． aa?可由?1,?2,?3线性表示, 但表示式不惟一，其表示式为 11??(1?)?1?(?c)?2?c?3． aa17．设线性方程组 ?x1??2x1?3x?1?λx2?x2?(2?λ)x2?μx3?x3?(4?μ)x3?x4?0,?2x4?0, ?4x4?1,已知(1,?1,1,?1)T是该方程组的一个解，试求 （1） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （2） 该方程组满足x2?x3的全部解． 解
将(1,?1,1,?1)T代入方程组，得λ?μ．对方程组的增广矩阵B施以初等行变换, 得 ??1?B??21?32???1（1） 当λ?时，有 2?14??10??10?2?1????????20???01311?， ??41???002(2??1)2??12??1????10010???11B??010???， ?22??11??001??22?11R(A)?R(B)?3?4，故方程组有无穷多解，且?0?(0,?,,0)T为其一个特解，对应的齐次线性方程22T组的基础解系为
??(?2,1,，故方程组的全部解为 ?1,2)11???0?k??(0,?,,0)T?k(?2,1,?1,2)T
(k为任意常数)． 221当??时，有 211??10?1??22???B??01311?， ?00000????? 18 1R(A)?R(B)?2?4，故方程组有无穷多解，且?0?(?,1,0,0)T为其一个特解，对应的齐次线性方程2T组的基础解系为
?1?(1,，?3,1,0)?2?(?1,?2,0,2)T，故方程组的全部解为 1???0?k1?1?k2?2?(?,1,0,0)T?k1(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T 2(k1,k2为任意常数)． 1（2） 当λ?时，由于x2?x3，即 211??k??k， 221解得k?，故方程组的解为 2111??(1,?,,0)T?(?2,1,?1,2)T?(?1,0,0,1)T ． 2221当λ?时，由于x2?x3，即1?3k1?2k2?k1，解得 211k1??k2， 42故方程组的全部解为 ??(?,1,0,0)T?(?k2)(1,?3,1,0)T?k2(?1,?2,0,2)T ?(?,,,0)T?k2(?,?,?,2)T 444222其中k2为任意常数． 18．已知平面上三条不同直线的方程分别为 ?l1:ax?2by?3c?0,??l2:bx?2cy?3a?0, ?l:cx?2ay?3b?0.?3试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0． 解
必要性．设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组 ?ax?2by??3c,??bx?2cy??3a, ?cx?2ay??3b??a2b??a2b?3c?????有惟一解，故系数矩阵A??b2c?与增广矩阵B??b2c?3a?的秩均为2，于是B?0．由于 ?c2a??c2a?3b?????a2b?3cB?b2c?3a?6(a?b?c)[a2?b2?c2?ab?ac?bc] c2a?3b
=3(a?b?c)[(a?b)?(b?c)?(c?a)], 但根据题设(a?b)?(b?c)?(c?a)?0，故 222222a?b?c?0. 充分性．由a?b?c?0，则从必要性的证明可知，B?0，故秩(B)?3．由于
19 a2b13?2(ac?b2)??2[a(a?b)?b2]=?2[(a?b)2?b2]?0， 24b2c故秩(B)?2．于是，秩(A)?秩(B)?2．因此方程组有惟一解，即三直线l1,l2,l3交于一点． *19．求方程组 ?x1?x2?x3?1,?x?0,?1 ?x?x?x??1,?123??x1?2x2?4x3?2,的最小二乘解． 解 方程组的系数矩阵和常数项矩阵为 ?1?1?10?A??11??12?记 1??1????0?0??，b?， ??1?1????2??4?????x1???x??x2?， ?x??3?则方程组的正规方程AAx?Ab为 TT?426??x1??2???????268???x2???2?， ?6818??x??8????3???解之得 ?x1???3/5?????x??4/52????， ?x??1??3???因此，方程组的最小二乘解为 34x1??,x2??,x3?1. 55*20．当外加电压E(单位:V)分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流I(单位:A)分别为4，6，8，9，试根据公式E?E0?R0I确定电源内阻R0与电源的端电势E0． 解 根据公式E?E0?R0I，把测得的数据代入方程，得 ?E0?4R0?5,?E?6R?8,?00 ??E0?8R0?10,??E0?9R0?12.该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为
20 三亿文库包含各类专业文献、中学教育、行业资料、外语学习资料、应用写作文书、各类资格考试、165第五章线性方程组习题解答等内容。　
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matlab 基础 绘图练习题... 　由 1 1 2 r 1 0 1 A E = 5 2 3 ~ 0 1 1 1 b 1 0 0 0 知 R(AE)=2, 所以齐次线性方程组(AE)x=0 的基础解系只有一个解向量. 因此 A ... 　第五章习题解答(部分) 5页 免费 第五章 习题详细解答 22页 免费 第五章习题...T+k3(1,1,0,0)T+k4(1,0,0,0)T 根据对分量相等可得下列线性方程组: ... 　应用数值分析(第四版)课后习题答案第5章_理学_高等教育_教育专区。第五章习题...0 可得线性方程组 0 ? 2 ? ? M0 ? ? 0 ? ? ?? M ? ? ? ? 0.... 　李庆扬-数值分析第五版第5章习题答案()_理学_高等教育_教育专区。我...(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。 答:错误,不选主... 　线性代数第五习题答案详解_理学_高等教育_教育专区。线性代数第五章 n 维向量空间...5 a1+ a2+(- )a3 中可得: 2 3 6 1 根据对分量相等可得下列线性方程组...新版线性代数1-2章练习和参考答案_百度文库
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你可能喜欢基本题型，必需的练习，尤其是（3）这类系数由通式；交化？很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投；型为标准型，实际上就是一个对角化的问题，但因为是；α1，α2，…，αn（n≥2）线性无关的充分必要；，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方；
基本题型，必需的练习，尤其是（3）这类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高，注意不要出错。21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。22、就是习题三的15题，两者无本质区别。23、基本题，求方程组的基础解系，另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果。24、题目涉及的重要命题有两个，一是：若AB=0，则R(A)+R(B)&=0；另一个是：R(A)+R(B)&=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊情况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程很多参考资料都给出了。26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。28、讨论参数取值对方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习，不强求掌握。30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。31、32、33都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用。同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。34及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。通过三、四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需要从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里，“见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。同济五版《线性代数》习题解读（五）1、涉及与正交相关的条件的基本计算题，可作为运算方面的练习。2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆，最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交的，怎么做？可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交
交化？很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了。3、判断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基本题。4、5是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。6、求特征值和特征向量的基本题型，需要练习纯熟。7、证明特征值相同，按特征值定义即可，此命题可作为结论用。8、较难的一道题，把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决，要重点体会解题思路。9、10、11都是与特征值有关的一些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中10题是一个常用的结论。12、13是特征值性质的应用，即特征值与矩阵特有的对应关系，比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化，基本题，也是常见题型。14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？15、16题涉及到相似对角化，这就要求把相似对角化的条件搞清楚，那么什么样的矩阵可相似对角化？条件是特征向量线性无关，从这点出发就可以解决问题。至于16（1）则是特征值特征向量定义的直接考察。17、18涉及到求矩阵的乘方，实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的，这里自然是化为对角阵以后计算，18题是应用题形式。 19、20题涉及正交的相似变换矩阵，基本题，计算量较大且容易出错，是值得重视的练习。21、22、23题则是特征值问题的反问题，实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。值得注意的是：对一般矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的；对对称矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关，还是正交的，这显然是个更有用的结果。24是一个重要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是1，而且是对称的，所以必可对角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不难求出，就是这个列向量转置后生成的数。此题的结论很常用，要重点掌握。25题涉及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，与17、18题类同。26、27题考察二次型的概念，基本题，要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵，反过来也一样。28、29题考察用正交变换化二次
型为标准型，实际上就是一个对角化的问题，但因为是对称矩阵，所以既可正交又可相似对角化。同时要注意二次型的几何意义：是一个二次曲面。曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的，所以对于一个复杂的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通过化为主坐标系下的二次型（即标准型）来进行观察。30、综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。31、用配方法化二次型的练习，基本题，注意计算不要出错。32、33都是判断二次型的正定性，对于具体给出的二次型，用顺序主子式的符号即可判断，这个是其中一个充分必要条件。34、实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵，故只能从最基本的正定的定义出发，此命题是一个有用的结论，要求掌握。 最后是一些线性代数核心知识点的相关思维训练学好线代的最关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。1、任何一个向量α=（a1, a2, ..., an）都能由单位向量ε1=（1, 0, ..., 0）、ε2=（0, 1, ..., 0）、……、εn=（0, 0, ..., 1）线性表出，且表示方式唯一。2、向量组α1，α2，…，αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。3、判断下列说法正确性：（1）“向量组α1，α2，…，αn，如果有全为零的数k1, k2, ..., kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（2）“如果有一组不全为零的数k1, k2, ..., kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0，则α1，α2，…，αn线性无关。”（3）“若向量组α1，α2，…，αn（n≥2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。5、n+1个n维向量必线性相关。6、如果向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1也线性无关。7、如果向量组α1，α2，α3，α4线性无关，判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是否线性无关。8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αn线性无关。9、设向量组α1，α2，…，αn线性无关，β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0，则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α(i-1)，β，α(i+1)，…，αn也线性无关。10、由非零向量组成的向量组
α1，α2，…，αn（n≥2）线性无关的充分必要条件是每一个αi（1&i≤n）都不能用它前面的向量线性表出。11、设α1，α2，…，αn线性无关，且（β1，β2，…，βn）=A（α1，α2，…，αn），则β1，β2，…，βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。14、如果n维向量构成的向量组α1，α2，…，αn线性无关，那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。15、如果任意的n维向量都可以由α1，α2，…，αn线性表出，那么α1，α2，…，αn线性无关。16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。18、如果向量组α1，α2，…，αn和向量组α1，α2，…，αn，β有相同的秩，则β可以由α1，α2，…，αn线性表出。19、r（α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm）≤r（α1，α2，…，αn）+r（β1，β2，…，βm）。20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？24、设η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1，η2，…，ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r&n），则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r&n），设δ1，δ2，…，δm是方程组的解向量，则r（δ1，δ2，…，δm）≤n-r。27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A(kl)不为零，则向量（A(k1), A(k2), ..., A(kn)）是这个齐次线性方程组的一个基础解系。28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a(s1)*x1+a(s2)*x2+…+a(sn)*xn=0的解，其中a(ij)是矩阵A的元素，则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。30、如果η1，η2，…，ηt都是n元非齐次线性方程组的解，并且有一组数u1，u2，…，un满足u1+u2+...+un=1
，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解。31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解，η1，η2，…，ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令ν1=ν0+η1，ν2=ν0+η2，…，νt=ν0+ηt，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+...+ut*νt，其中u0+u1+u2+...+ut=1。32、设A是s*n矩阵，如果对于任意列向量η，都有Aη=0，则A=0。33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。35、对任一s*n矩阵A，AA'和A'A都是对称矩阵。36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵，一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换。38、对任一n级矩阵，A+A'都是对称矩阵，A-A'都是反对称矩阵。39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0，则A=0。41、r（A+B）≤r（A）+r（B）。42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的，则称为行（列）满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r，则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC。43、设A是n级矩阵，若AA'=E，则A的行列式为1或-1。44、如果矩阵A可逆，则A*也可逆，求A*的逆阵。45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。46、如果A^k=0，则A-E可逆，求其逆阵。47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵，如果AB=0，则r（A）+r（B）≤n。48、设A是n级矩阵，且A≠0，则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零。49、如果n级矩阵A满足A*A=E，则r（A+E）+r（A-E）≤n。50、设A是一个s*n矩阵，β是任意一个s维向量，则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1，则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。52、设A是n级矩阵（n≥2），则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。53、设A是n级矩阵（n≥2），则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时，r（A*）=1；当r（A）&n-1时，r（A*）=0。54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A, B）。55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵，则r(AB)≥r（A）+r（B）-n。56、设C是s*r的列满秩矩阵，D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r。其中55题难度较大，不作强求。另外补充说明一下，可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导，但熟悉了以后再重看的话，应该是可以仅凭头脑中的推理完成的，换句话说，我们的最终目的
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2o当a=?4时，
231?r2?2r1?1
?2r1?02??04?22?→??→?A=(A,β)=?
?2?2??86?00??????2?4?815b0?6?129b?2?????0，当b?2≠0时，即b≠2时，此时r(A)≠r()，方程组无解；?1
3当b=2,a=?4时，A=?
1?r2×(2)?1r2?r1?2?r1?r3?0→??02???0??0
231?4?22??012?
03?2?2?11??，得012?
x+3x=?2,?14?x=3?2x,??23
所以(x3为自由未知量)，令x3=k，得原方程组得通x+2x?x=1,?2?34
?x=2;?x3=x3,?4
??x4=2;解为：
?x=3?2k,?2
x=k,?3??x4=2;
3.当a取何值时，其次线性方程组
?x1?x2+x3=0,
?ax1+2x2+x3=0,?2x+3x=0
有非零解，并求解.
解：齐次线性方程组有非零解，则系数矩阵A=0，因此
=0，所以当a=3时，方程组有非零解，由0
10?1?r2?3r1
5r2×()r?2r1?111?11??r3?r1??r+r5??
32122?→?05?2?→?01??得A=?321?????5??230??000???????000????
x=?x3,1?35?
?x+x=0,13?2??5
所以x=x3,(x3为自由未知量)，令x3=k，得原方程组得通解为：??2
25?x?x=0;?23??x3=x3;5?
??3?x=?k,?1
2?x=k,(k∈R)?2
4.设α=(1,0,3,?2)T,β=(?3,1,0,2)T,
(1)计算：α+2β,3α?β；(2)求满足α+3(β?γ)=O的γ.解：(1)α+2β=(1,0,3,?2)T+2(?3,1,0,2)T=(?5,2,3,2)T
3α?β=3(1,0,3,?2)T?(?3,1,0,2)T=(6,?1,9,?8)T
(2)由α+3(β?γ)=O得γ=(α+3β)
3184=[(1,0,3,?2)T+3(?3,1,0,2)T]=(?,1,1,T3335.判断下列各组中的向量β是否可由其余向量线性表示？若可以，表示式是否唯一？
(1)α1=(1,1,1,2)T,α2=(3,1,0,1)T,α3=(0,2,1,3)T,β=(2,?4,?3,?7)T.(2)α1=(1,?1,2)T,α2=(?1,2,?3)T,α3=(2,?3,5)T,β=(2,3,?1)T.(3)α1=(1,2,?1,5)T,α2=(2,?1,1,1)T,β=(3,4,0,11)T.
解：(1)设k1α1+k2α2+k3α3=β，对增广矩阵A作初等变换，有
A=(α1,α2,α3,β)=?
02?r2?r1?1302?r2×(?2)?1
r3?r1r3+3r2???r?2rr4+5r2??22?6?→?→?
?0?31?5??01?3?????3?7?0?53?11???0
2?3??4??4?
?0????，因为r(A)=r(A)=3，因此向量β可由其余向量线性表示，01?2?
?k1+3k2=2?k1=?1??
且表示唯一，由?k2?k3=3，解得?k2=1，因此β=?α1+α2?2α3；
?k=?2?k=?2
?3?3(2)设k1α1+k2α2+k3α3=β，对增广矩阵A作初等变换，有
?122??1?122?r2+r1?1?1?122?r3?2r1r3+r2
?→?01?15?→?01?15?A=(α1,α2,α3,β)=??12?33??????
?2?35?1??0?11?5??0000???????
?，因为r(A)=r()=2&3，因此向量β可以由其余向量线性表→?01?15??
?k2=5+k3，令k3=k因此?k=k
示，且表示不唯一，由?，解得
β=(7?k)α1+(5+k)α2+kα3(k∈R)；
(3)设k1α1+k2α2=β，对增广矩阵作初等变换，有?123?r2?2r1?123?r3×(3)?1
r3+5r13+r1?2?14?r?r4+9r3?0r4?5r1?0?5?2?→??→?A=(α1,α2,α3,β)=?
??110??033??0??????????0
?03??→??01???5??0
3?1??1??0?
，因为r(A)≠r()，因此向量β不可由其余向量线性表示。6.(2000年考研试题)设向量组
α1=(a,2,10)T,α2=(?2,1,5)T,α3=(?1,1,4)T,β=(1,b,c)T.
试问：当a,b,c满足什么条件时，
(1)向量β可由向量组α1,α2,α3线性表示，且表示法唯一；(2)向量β不能由向量组α1,α2,α3线性表示；
(3)向量β可由向量组α1,α2,α3线性表示，且表示法不唯一，并求出一般表达式.
解：设k1α1+k2α2+k3α3=β，系数行列式A=α1,α2,α3=211=?a?4，
54(1)当a≠?4时，A≠0，方程组有唯一解，即向量β可由向量组α1,α2,α3线性表示，且表示法唯一；
(2)a=?4时，对增广矩阵作初等行变换，得
b??211b??4?2?11??211?
?→?001?→?001?A=(α1,α2,α3,β)=?211b2b+12b+1??????
?1054c??00?1?5b+c??0003b?c?1???????故当3b?c≠1时，r(A)=2,r(A)=3，方程组无解，即向量β不能由向量组α1,α2,α3线性表示；
(3)当a=?4，且3b?c=1，有r(A)=(A)=2&3，方程组有无穷多个解，即向量
β可由向量组α1,α2,α3线性表示，且表示法不唯一，此时，增广矩阵化为?k1=kb??211
?，由?2k1+k2+k3=b，解得?k=?b?2k?1，即→?
??k=2b+1?3?k=2b+1?0000????3
β=kα1+(?b?2k?1)α2+(2b+1)α3(k∈R)7.判断下列向量组的线性相关性：
(1)α1=(1,2,0,1)T,α2=(1,3,0,1)T,α3=(1,1,0,0)T;(2)α1=(1,1,1)T,α2=(1,3,3)T,α3=(1,1,k)T;(3)α1=(1,2,0,1)T,α2=(2,4,0,2)T,α3=(1,1,?1,9)T;(4)α1=(3,1,0,0)T,α2=(5,0,1,0)T,α3=(6,0,0,1)T;
(5)α1=(1,2)T,α2=(2,5)T,α3=(7,9)T.?1?2
解：(1)由A=?
1?r3?r4?1r2?2r1?1?r3?r1?0→??00???0??0
1?1??知r(A)=3，因此α,α,α线性无关；
11??111?r2?r1?1r3?r1
?→?02?，知当k≠1时，r(A)=3，因此α,α,α线(2)由A=?1310123????
?13k??02k?1?????性无关，当k=1时，r(A)=2，α1,α2,α3线性相关。?1?2
?0??1线性相关；?3?1
?0??0性无关；
(5)α1=(1,2)T,α2=(2,5)T,α3=(7,9)T.
?127?r2?2r1?127?由A=?，知r(A)=2，因此α1,α2,α3线性相关，或由任→???
?259??01?5?意n+1个n维向量线性相关知α1,α2,α3线性相关。
8.设向量组α1,α2,α3,α4线性无关，判断下列向量组的线性相关性：(1)α1+α2,α2?α3,α3?α4,α4?2α1;(2)α1?α2,α2?α3,α3?α4,α4?α2.
?，解：(1)由(α1+α2,α2?α3,α3?α4,α4?2α1)=(α1,α2,α3,α4)?
?0?110???00?11??
56?r212?3r1?r2?5r3
r2?6r4?000??→?
?010???01??0
21?r2?r1?1
r3?2r1?41?r4?2r1?0→??00?1???29??021??121?
?r4+8r1?00?1?0?1?→??，知r(A)=2，因此α1,α2,α3
???0?1000???08?000??
r3?r4?000??→?
?010???01??000?
10??，知r(A)=3，因此α,α,α线
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