解：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴tan∠PAF===，
∵点D是AC的中点，∴AD=2，∴AF=1，∴=，解得PF=，
∴AP===．故答案为：；
（2）∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．∴∠ABC=∠DEC，=．∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB=5．∵AP=2，∴PB=PE=3，DE=1，∴=，CE=；
（3）如图2，设BE的中点为Q，连接PQ，AP=x∵PB=PE，∴PQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，∴PQ∥AC，∴==，∴==，∴PQ=4x，BQ=3x．
当以BE为直径的圆和⊙P外切时，4x=x+3x．解得x=，即AP的长为．
（4）如果点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），由（2）知，△ABC∽△DEC，∴=，
∴=，DC=（2x5），当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x5）=x，x=．
如果点P在线段AB上，点E在线段BC上时（如图3），DC=（2x5），
当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x5）=x，x=，
∵＞5，与点P在线段AB上矛盾，∴x=（舍去）．
如果（如图4），点E在线段BC的延长线上时，DC=（2x5），当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x5）=x，x=．
综上，AP=或AP=．
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在RT△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求BEoCE的值．
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过P作AC、AB的垂线，交AC于点F，交AB于点G．∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，∴PE=PF=PG，∴P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．设直角三角形ABC内切圆的半径PE=r，则r=2×S△ABCL△ABC=2×12×3×43+4+5=1；在四边形PFAG中，PG⊥AB，AF⊥AB，∴PG∥FA，∠A=90°，∴四边形PFAG是正方形，∴AG=PG=AF=1，∴BG=2，CF=3；又∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，∴BG=BE=2，CE=CF=3，∴BEoCE=2×3=6．
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据魔方格专家权威分析，试题“在RT△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∠ABC，∠ACB的平分线交于..”主要考查你对&&角平分线的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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角平分线的性质
角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。角平方线定理：①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心 ，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。逆定理：在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。角平分线作法：在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；2.连接AN与BM，他们相交于点P；3.作射线OP。则射线OP为角AOB的角平分线。
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98685903613355702136527349864373829当前位置：
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如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以AC为直径的圆交AB于点D，则BD=______；CD=______．
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①∵∠ADC是直径AC所对的圆周角，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．∴CD=AC×BCAB=3×432+42=125．②∵BC⊥AC，AC是圆的直径，∴BC是此圆的切线．由切割线定理可得：BC2=BD×BA，∴42=5BD，解得BD=165．故答案分别为165，125．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．以AC为直径的圆交AB于点D..”主要考查你对&&圆的切线的性质及判定定理，与圆有关的比例线段&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆的切线的性质及判定定理与圆有关的比例线段
&圆的相切的定义：
直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。直线与圆的位置关系：
相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的长的积相等。
割线长定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：
（1）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理的应用：
相交弦定理、切割线定理及它们的推论和切线长定理一样，揭示了和圆有关的一些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题.另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用
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如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）A． B． C． D．
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多项式4yx2﹣2x﹣7是________次______项式．
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