为什么说「一切问题都是数学问题」？ - 知乎2510被浏览183913分享邀请回答20765 条评论分享收藏感谢收起2.4K287 条评论分享收藏感谢收起查看更多回答8 个回答被折叠（）扫二维码下载作业帮
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什么叫数学问题
苦也不太差°鳟
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数学问题就是在数学领域出现的运用相关数学知识去解决的问题.比如歌德巴赫猜想,还有以下例子：在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演.他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题.这23个问题通称希尔伯特问题,后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决.他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞. 希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析. [01]康托的连续统基数问题. 1874年,康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数,即著名的连续统假设.1938年,侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性.1963年,美国数学家科恩（P•Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立.因而,连续统假设不能用ZF公理加以证明.在这个意义下,问题已获解决. [02]算术公理系统的无矛盾性. 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性.希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明,哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定.根茨（G•Gentaen,）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性. [03]只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的. 问题的意思是：存在两个登高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德恩（M•Dehn）1900年已解决. [04]两点间以直线为距离最短线问题. 此问题提的一般.满足此性质的几何很多,因而需要加以某些限制条件.1973年,苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布,在对称距离情况下,问题获解决. [05]拓扑学成为李群的条件（拓扑群）. 这一个问题简称连续群的解析性,即是否每一个局部欧氏群都一定是李群.1952年,由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决.1953年,日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果. [06]对数学起重要作用的物理学的公理化. 1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化.后来,在量子力学、量子场论方面取得成功.但对物理学各个分支能否全盘公理化,很多人有怀疑. [07]某些数的超越性的证明. 需证：如果 是代数数, 是无理数的代数数,那么 一定是超越数或至少是无理数（例如, 和 ）.苏联的盖尔芳德（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性.但超越数理论还远未完成.目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法. [08]素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题. 素数是一个很古老的研究领域.希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题.黎曼猜想至今未解决.哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润. [09]一般互反律在任意数域中的证明. 1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷（E•Artin）各自给以基本解决.而类域理论至今还在发展之中. [10]能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解? 求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图（约210-290,古希腊数学家）方程可解.1950年前后,美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破.1970年,巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论.1970年.苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的.尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系. [11]一般代数数域内的二次型论. 德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果.60年代,法国数学家魏依（A•Weil）取得了新进展. [12]类域的构成问题. 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去.此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远. [13]一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性. 七次方程 的根依赖于方程中的3个参数 、 、 ； .这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决.1957年,苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在 上连续的实函数 可写成形式 ,这里 和 为连续实函数.柯尔莫哥洛夫证明 可写成形式 ,这里 和 为连续实函数, 的选取可与 完全无关.1964年,维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决. [14]某些完备函数系的有限的证明. 即域 上的以 为自变量的多项式 , 为 上的有理函数 构成的环,并且 试问 是否可由有限个元素 的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决. [15]建立代数几何学的基础. 荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决. 注：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础. 一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法.希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础.现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系.但严格的基础至今仍未建立. [16]代数曲线和曲面的拓扑研究. 此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目.后半部要求讨论备 的极限环的最多个数 和相对位置,其中 、 是 、 的 次多项式.对 （即二次系统）的情况,1934年福罗献尔得到 ；1952年鲍廷得到 ；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布 ,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问.关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了 不超过两串.1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了 的方程具有至少3个成串极限环的实例.1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子.1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是 结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第[16]问题提供了新的途径. [17]半正定形式的平方和表示. 实系数有理函数 对任意数组 都恒大于或等于0,确定 是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决. [18]用全等多面体构造空间. 德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年,莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决. [19]正则变分问题的解是否总是解析函数? 德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein,1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决. [20]研究一般边值问题. 此问题进展迅速,己成为一个很大的数学分支.日前还在继读发展. [21]具给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明. 此问题属线性常微分方程的大范围理论.希尔伯特本人于1905年、勒尔（H•Rohrl）于1957年分别得出重要结果.1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献. [22]用自守函数将解析函数单值化. 此问题涉及艰深的黎曼曲面理论,1907年克伯（P•Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破.其它方面尚未解决. [23]发展变分学方法的研究. 这不是一个明确的数学问题.20世纪变分法有了很大发展.
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扫描下载二维码摘要：“问题解决”做为数学教育中的口号的提出是近；关键字：数学问题数学问题解决波利亚匈菲尔德；一、什么是数学问题；对于“问题”，科学家或者是教育学家们纷纷有自己的；虽然对问题解决的描述不同，但问题解决的目的是很明；问题有不同的类型，不同类型的问题具有不同的功能，；那么什么样的问题才是一个好的问题，好的问题具有哪；（1）问题要简单，使学生能认识并解决它；（2）
摘要：“问题解决”做为数学教育中的口号的提出是近二十年的事情，一份名曰《行动纲领》的文件，正式提出了问题解决的观点。数学问题解决开始做为中学数学教学的核心，下文我们将从什么是问题解决、数学问题解决的过程和特征以及影响数学问题解决的因素几个方面进行简要的说明。
关键字：数学问题 数学问题解决 波利亚
一、什么是数学问题
对于“问题”，科学家或者是教育学家们纷纷有自己的认识和观点。1988年的第六届数学教育大会将数学问题界定为“一个对人具有智力挑战特征的没有现场的直接方法、程序或算法的未解决的情境”，具有挑战、待解和情境的特征。鲍尔和皮格弗德认为，所谓问题，是指个人或团体接受某项具有挑战性任务的一种情境，而这项任务没有立即明显的解决办法。我国著名的数学教育家张奠宙现实认为，问题对于学生来说不是常规的，不能依靠简单的方法来解决；问题可以使一种情景，隐含的问题可以由学生自己来提出、解决；问题应具有趣味性，能够引起学生的兴趣；此外，问题并不一定要具有终极答案，不同水平的学生可以根据自己的能力给出不同层次的答案等。
虽然对问题解决的描述不同，但问题解决的目的是很明确的，就是要帮助学生提高解决实际问题的能力，而且问题解决过程是一个创造性的活动，对于问题解决的含义可以理解为一种心理活动过程，一种基本技能或者是一种教学方式。
问题有不同的类型，不同类型的问题具有不同的功能，例如：标准题和练习题常用语概念的理解及规则与程序的掌握，我们中小学生很多提醒都是练习题和标准题，开放题有助于培养学生的发散思维，这种提醒的训练正是我们所欠缺的。根据不同题型的不同功能，为学生们精心的安排习题，会起到事半功倍的效果，并且在一定程度上减轻了学生的课外负担。
那么什么样的问题才是一个好的问题，好的问题具有哪些标准？下面我们了解一下道尔顿指出的好问题的标准：
（1）问题要简单，使学生能认识并解决它
（2）依靠学生的知识能力能得出多种解法
（3）能引导学生转向类似的问题
（4）包含的数据能够被理解、分类、列成表格和分析
（5）能够通过模型和简图解决
（6）能马上引起学生的兴趣
（7）通过学生现有知识或将要学到的知识能将解法一般化
（8）能用一种再认的方式解决
（9）答案要有意思
美国著名的数学问题解决专家匈菲尔德给出了“好问题”的五条什么原则：
（1）问题是容易接受的
（2）有多种解题方法
（3）蕴含了重要的数学思想
（4）不故意设陷阱
（5）可以进一步开展和一般化
二 数学问题解决的基本过程与特征
数学问题解决做为被心理学界和教育学界广泛研究的课题之一，多年来形成了多种问题解决过程模型，如桑代克的试误说、格式塔心理学的顿悟说、信息加工论模式等。下面我们不一一做具体描述。重点介绍波利亚的“怎样解题表”。
波利亚作为数学问题解决方面的专家，经过大量的实验研究给出了问题解决表，为我们数学问题解决的教学提供了理论支持和实践指导，我们应该在数学教学中不断渗透。
匈菲尔德的问题解决是在波利亚的理论基础上发展起来的，他是继波利亚之后，在问题解决领域的重要人物。他强调数学解题的研究方向需要烤炉四个因素：知识基础、解题策略 、自我控制及信念系统。匈菲尔德研究发现，元认知因素在问题解决中居于关键地位，并且依据元认知的观点，将解题过程分为读题、分析、探索、计划、执行、验证六个阶段。
数学问题解决的基本特征
1、多步化规
过程。数学学科本身是在公理系统的基础上用逻辑方法展开和组织的。也就是一个公理往往与它之前的一个公理紧密相关。另一方面，数学的较高层次的发展往往以较低层次为基础。因此，问题解决的一个基本特征是“多步化规”。
2、多层结构
纽维尔和西蒙将问题分为三种类型：良好结构问题、中等结构问题、不良结构问题。良好结构问题是总是具有相同的解题步骤，只有一个正确答案；中等结构问题是需要改变策略以适应新的背景，具有多种解题途径，只有一个正确答案。不良结构问题，没有清晰的解题途径，并有一定的限制，解法是不可预测的，通常有多个观点、目的和解法，没有一个标准的答案。
3、多元表征
问题表征是人们解决问题时所用的一种认知结构，具有多种形式，多元表征具有三种功能：启发功能、转化功能和理解功能。
4、多种背景
数学的实用性决定了数学问题的背景的重要性。
5、知识丰富
今年来，问题解决研究的一个新动向是区分出了“知识丰富领域”的问题解决与“知识贫乏领域”的问题解决。而数学问题则属于典型的知识丰富的问题，要解决数学问题，仅仅依靠对题目的理解是不行的，要有丰富的知识基础。
三案例分析
数学问题解决案例分析---1，1，2，2，3，3排列
【题目】 将六个数字1，1，2，2，3，3排成一排，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有3个数字。
此题的解决并不困难，我们可以采用枚举法：因为两个1之间有一个数字，这个数字只有2或3两种可能。如果两个1之间是2，可以排出三个数字：121，这时左右两侧只能是两个3，即排出了五个数字：31213，还剩下一个2，可以放在左侧或右侧，于是得到本题的两个答案：2132；如果两个l之间是3，可以排出三个数字：131，这时就只能在左侧或右侧写2，即，而另一个2就无处可放了，这说明两个1之间不能是3。所以本题的答案只能是：2132。
题目做完了，我们可以进一步想，如果把本题的六个数改为八个数，即：1，1，2，2，3，3，4，4，将这八个数排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?利用前面的方法我们可以很快得到答案：312432。
再进一步想，如果将数字增加为十个，即：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，将这十个数字排成一排，使得两个几之间就有几个数，能否办到呢?这次，经过反复试验，无论我们如何努力也排不出来。
数学问题解决，作为创造性的思维活动过程，其重要特点是思维的变通性和流畅性。当主体接触的问题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化成为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。
问题转化是数学家特别善于使用的解题策略，是数学教学中必须予以关注的。作为数学问题解决的策略，应用转化的必要条件是：和原问题相比，转化后所得的新问题必须是较为简单的，或者是已经解决了的，否则，转化就失去了意义。一个正确的转化策略的产生，往往要经过多次的试验和失败，也就是在尝试错误中进行学习，但是现代认知心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确解题策略的产生还需要靠顿悟。
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国学教育中的数学问题
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　　◎早在春秋战国时期，就有孔子将数学纳入教育课程中，老子纳入哲学思辨中，墨子纳入技术操作中，管子纳入行政管理中，孙子纳入军事作战中。因此，数学在先秦时期便已作为一门显学了，我们到了21世纪，到了复兴国学、弘扬传统文化时，怎么就没有数学了呢？
　　◎我们无论是从思想、哲学、经济、农田、水利、政治、军事，或者直接说生活、工作，都离不开数学。我们今天的私塾，或者说国学堂，应该走在时代的前列，不应该成为社会发展的另类，更不应该成为家长、学生选择学习时的矛盾所在。只有一批真正博学的国学先生，才能创造一片国学的美好家园，才能为民族的进步作出积极的贡献。
　　　《九章算术》，四部丛刊子部
　　近来很多私塾学堂，都没有数学、英语，或者有英文课，也只是跟着录音读读而已。英文，姑且不论，但对于数学，我以为如果私塾自身有一定经济条件能聘请教师的话，还是开设一门数学课为好。
　　首先，数学，简称为数，人类在结绳而治时已经用打结的方式创造了原始的数字。殷墟甲骨文的发现，更是证明了商代已出现较为完整的数字。数学来源于生活，也要回归于生活，这可以说是普通大众学数学最好的方式了。 《九章算术》就有246道与生产相关的数学题，稍后提到，此不赘言。孔子教育学生，讲求六艺：礼、乐、射、御、书、数。礼、乐属于文化课程，射、御属于体育课程，六书是基础课程，数学则是生活课程。可以说，孔子在六艺的教学中，从文化到体育，从基础到生活，是非常完备的。同时期的墨子，其信徒多是木匠、工匠出身。墨子及其门徒，非常注重数学的运用。如《杂守》云：“参食，终岁二十四石；四食，终岁十八石；五食，终岁十四石四斗；六食，终岁十二石。斗食食五升；参食食参升小半。 ” 《经说上》 ：“体：若二之一，尺之端也。 ”孔子、墨子是如此， 《易经》 《道德经》更将数字上升到哲学的高度。 《道德经》言：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。 ”
　　战国时期，有时人伪造《管子》一书，曰：“虙戏作造六峜，以迎阴阳；作九九之数，以合天道。 ”什么是九九呢？即是数学。九九八十一，六六三十六，所以用九九作为算术的代名词，也可见战国时期已完全能运用乘法口诀了（罗振玉、杨树达有相关论断） 。这里尚有个故事，据《汉书·艺文志》中的《韩诗外传》载：齐桓之时，有以九九见者，桓公不逆，欲以致大也。可见，春秋早期，可能已有九九称呼法，并有人因擅长数学而得到齐桓公的重用。
　　军事家孙子，对于数学则尤其重视。 《孙子》曰：“凡用兵之法，驰车千驷，革车千乘，带甲十万，千里馈粮。则内外之费，宾客之用，胶漆之材，车甲之奉，日费千金，然后十万之师举矣。 ”孙子认为在发动战争前，需要先做一道数学题。驰车千驷，一驷为四匹马，共四千匹马，革车千乘，配备四千匹马，每车需弓箭手、持枪者、驾驭者共三人，则为三千人。每车如果配备至少七十二人，则为七万二千人，加上此前的三千人，至少为七万五千人。如果加上其他作战人员，就很接近十万人了。除此外，行军千里，需要有士兵专门运粮、护粮，负责后勤、采购及间谍等，至少两万人，这不在“带甲十万”的范畴内。如此算来，光口粮，就要日费千金，才能勉强发动战争，并且还不能保证战争的绝对胜利。
　　由此可见，早在春秋战国时期，就有孔子将数学纳入教育课程中，老子纳入哲学思辨中，墨子纳入技术操作中，管子纳入行政管理中，孙子纳入军事作战中。因此，数学在先秦时期便已作为一门显学了，我们到了21世纪，到了复兴国学、弘扬传统文化时，怎么就没有数学了呢？
　　其次，从数学作品来看，数学本身就是国学中的一部分，战国有《甘石星经》 ，是我国已知最早的一部关于天文学的著作。既然是天文学，那与数学有什么关系呢？须知，天文学对于日月星辰的变化、春夏秋冬的更迭，都要依据很多数学原理来计算。我想，这点大家都应该能想得通。关于传统的干支问题，陈遵妫《中国天文学史》中提到，“在四千多年前的夏代，可能已有干支产生了” 。郑文光《中国天文学源流》甚至认为可以追溯到伏羲时代。当然，我们且相信干支起源于夏代，我想不会如郭沫若《甲骨文字研究·释干支》中提到十二时辰来源于巴比伦的黄道十二宫那样。总之，干支、岁时、月令等，在我们中国古代已成为高度的文明，是不争的事实。
　　另外，儒家经典《周礼》中对于土地、河渠、道路等丈量、分封，尤其是齐国（今主要在山东）地区流传的《考工记》 ，需要很强的几何知识，这与古希腊数学家欧几里得的《几何原本》时代是差不多的。因此说，中国在战国时期，虽然没有专门的著作来谈论几何，但只要从古籍中数学的运用就可以知道几何学确实存在于中国的战国时期，甚至更早。
　　汉代时，有《九章算术》 ，三国时期刘徽为之作注（刘徽本人亦有作品《海岛算经》 ） ，更加丰富了《九章算术》的内容，其中圆周率等概念为现在所熟知。对于圆周率，在汉以前，应该有数学家提出，到了南北朝时期的祖冲之，更是将圆周率精确在3 .
. 1415927之间，其本人也有数学著作《缀术》 。
　　大约同时期，还有赵君卿《周髀算经》 ，该书是对先秦数学的总结，明确提出了盖天说、四分历法、勾股定理和公式，并将数学运用到天文学，在唐代奉为数学经典，李淳风为之作注，成为国子监明算科（相当于专业的数学系）经典教材。晋末宋初，又有《孙子算经》 ，其中一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”诸君看着大概眼熟，的确，这道题曾出现在小学数学中。另有一有名的题目：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：‘二十三’ 。 ”同时对乘、除，已有更加系统的叙述：“凡乘之法：重置其位，上下相观，头位有十步，至十有百步，至百有千步，至千以上命下所得之数列于中。 ”“凡除之法：与乘正异乘得在中央，除得在上方，假令六为法，百为实，以六除百，当进之二等，令在正百下。 ”至于面积、体积、比例等算法则更多了。
　　南北朝时期，可谓是数学家的高峰期，如北周甄鸾的《五曹算经》是针对田亩、军事、贸易、税收等五个行政部门即五大经济领域做出的总结。另有《夏侯阳算经》 ，亡佚无考。北魏张丘建《算经》 ，对测量、纺织、贸易、税收、冶炼、土木工程、利息等领域提出了问题。
　　自此以后，数学的著作呈几何倍增长，我就不一一赘述了。到清康熙帝，他本人在吸收西方数学的基础上结合本国数学也进行了初步的研究。到了清朝末年，嘉兴人李善兰是一位著名的数学家，著作有《测圆海镜解》 《测圆海镜图表》 《九容图表》 《粟布演草》等。
　　除了在农田、水利、律法、历法、贸易、税收、音乐、医学等各方面需要完整的数学知识，其实在很多其他领域也存在着数学的影子。
　　最后，再看数学在古代教育中的地位。除先秦时期外，有史料可记载的，可追溯到隋文帝时期。隋朝时，中央设国子寺，寺下设五学：国子学、太学、四门学、算学、书学，凡弟子九百八十人。唐代继承了隋的成规，算科称为明算科，是当时重要的仕途入门科目（唐代最重进士、明经、明算等） 。以后历代都有设置，并一直发展到现代，为现代科学、文明创造了巨大的价值。
　　综上所述，我们无论是从思想、哲学、经济、农田、水利、政治、军事，或者直接说生活、工作，都离不开数学。而且，为了方便学习，我个人将小学六年级十二册内容的单元顺序全部打乱，设计出一套一年到一年半针对零基础的同学讲完十二册数学内容的计划。如果计划可行，岂不是儿童的福音？我们今天的私塾，或者说国学堂，应该走在时代的前列，不应该成为社会发展的另类，更不应该成为家长、学生选择学习时的矛盾所在。只有一批真正博学的国学先生，才能创造一片国学的美好家园，才能为民族的进步作出积极的贡献。（吴贤若）
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