⑾竞赛中的概率问题
Y.P.M 数学竞赛讲座1竞赛中的概率问题高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步 ,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及 思想.概率问题最早于 2002 年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧 和思想的应用.一、知识结构一、概率含义:古典与几何 1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 m 接近于某个常数 p(0≤p≤1),则称常数 p 是事件 An的概率;2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率; 3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式 p(A)=A 包含的可能结果数/所有可能结果数;4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式 p(A)=构成事件 A 的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度 (面积或体积);二、事件关系:互斥与独立 1.关系定义:如果事件 A 与 B 不能同时发生,则称事件 A 与 B 为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件 A 的对立事件记为 A ;如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,则称事件 A 与 B 为独立事件;2.事件运算:如果事件 A 与 B 至少有一个发生,记为 A+B;如果事件 A 与 B 同时发生,记为 AB;如果事件 B 在事件 A 发生的条件下发生,记为 B|A;3.事件关系:如果事件 A 与 B 独立,则事件 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也相互独立;对任意事件 A 与 B,则事件 AB、A B 、AB与AB两两互斥;4.概率公式:如果事件 A 与 B 为互斥事件,则 p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p( A );如果事件 A 与 B 为独立事件,则 p(AB)=p(A)p(B);对任意事件 A 与 B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设 A1,A2,?,An,?是一组完 备事件(当且仅当 A1,A2,?,An,?中任意两事件互斥,且 A1∪A2∪?∪An∪?是必然事件),则对任意事件 B,都有 P(B)=P(A1) P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+?+P(An)P(B/An)+?;三、概率分布:期望与方差 1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x1、x2、?、xn,且 p(ξ =xi)=pi(i=1,2,?,n),则称右表为随机变量ξ 的概率分布列, 简称ξ 的分布列.且有性质:①pi≥0;②p1+p2+?+pn=1. ξ ) p1+(x2-Eξ ) p2+?+(xn-Eξ ) pn,或 Dξ =Eξ -(Eξ ) 为ξ 的方差.2 2 2 2 2x px1 P1x2 P2… …xn pn2.期望方差: 若离散型随机变量ξ 的概率分布如上表, 则称 Eξ =x1p1+x2p2+ ?+xnpn 为ξ 的数学期望;称 Dξ =(x1-E 3.统计意义:随机变量ξ 的数学期望 Eξ 的实质是随机变量ξ 的所有取值的平均数,反映随机变量ξ 可能取值的平均水平;而方差 Dξ 反映随机变量ξ 取值偏离平均水平的集中或离散程度;4.运算性质:若ξ 、μ 是离散型随机变量,且μ =aξ +b,其中 a,b 为常数,则 Eμ =aEξ +b,Dμ =a2Dξ ,特别地,若ξ +μ=a,则 Eξ +Eμ =a,Dξ =Dμ ;若随机变量ξ =ξ 1+ξ 2+?+ξ n+?,则 Eξ =Eξ 1+Eξ 2+?+Eξ n+?;若随机变量ξ 的一切值位于 区间[a,b]内,则期望 Eξ ∈[a,b],Eξ 可正、可负、可为零;但方差 Dξ 必为非负数;四、常见分布:概率与公式 1.两点分布:若随机变量ξ 满足:P(ξ =0)=1-p,P(ξ =1)=p,则 Eξ =p,Dξ =p(1-p);若随机变量ξ 满足:P(ξ =a)=1-p,P(ξ =b)=p,则 Eξ =a+(b-a)p,Dξ =(b-a) p(1-p);22.二项分布:若随机变量ξ ～B(n,p),即 P(ξ =k)=Cnkpk(1-p)n-k,则 Eξ =np,Dξ =np(1-p);23.几何分布:若随机变量ξ ~g(k,p),即 P(ξ =k)=pk-1(1-p)(k=1,2,3,?),则 Eξ =Y.P.M 数学竞赛讲座1 1? p ,Dξ = 2 ; p pk n?k CM CN ?M ,则称随机变 n CN4.超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有ξ 件次品的概率 P(ξ =k)=量ξ 服从超几何分布,且 Eξ =nM M ( N ? n)( N ? M ) ,Dξ =n . N N N ( N ? 1)五、解题思想:变量与事件 1.变量取值:解决离散型随机变量ξ 的概率分布问题,首要的问题是根据题意求出离散型随机变量ξ 的取值集合; 2.变量事件:随机变量ξ 的取值集合确定后,关键的是求解每一个随机变量的取值所对应的概率,为此,要建立二个对应关系:①随机变量与事件的对应关系;②事件与概率的对应关系;3.事件概率:解决离散型随机变量ξ 的概率分布问题的难点是求随机变量ξ 对应的事件的概率,基本方法是用己知的基本事件表示待求事件,然后利用概率公式求概率;4.概率分布:由以上两个对应关系及事件的概率推出的随机变量ξ 与概率的对应关系 ,即得分布列.然后利用数学期望和方差的计算公式和简化计算技巧,求期望和方差.并利用期望和方差的意义分析解决有关问题.六、正态分布:性质与转换 1.密度函数:①连续型随机变量:如果随机变量ξ 可以取某一区间内的一切值,则称该随机变量ξ 为连续型随机变量;②密度曲线:如果连续型随机变量ξ 的概率分布是某条曲线 C,则称该曲线 C 为随机变量ξ 的分布密度曲线;③连续型 随机变量ξ 的分布密度曲线 C 对应的函数 f(x)称为随机变量ξ 的分布密度函数.( x ? ? )2 2? 22.正态分布:如果随机变量的分布密度函数 f(x)=21 2??e?,x∈(-∞,+∞),其中实数μ ,σ (σ &0)是参数,则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布,用ξ ～N(μ ,σ )表示.3.分布性质:①f(x)&0,即函数 f(x)对应的分布密度曲线 C 在 x 轴上方;②分布密度曲线 C 的渐近线为 x 轴;③分布密度曲线 C 关于直线 x=μ 对称;④随机变量ξ 的分布密度函数 f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减; ⑤随机变量ξ 的分布密度函数 f(x)在 x=μ 处取得最大值 f(μ )=1 2? ?;⑥分布密度曲线 C 与 x 轴围成的面积等于 1;⑦x=μ ? σ 是函数 f(x)的拐点,即函数 f(x)在区间(μ -σ ,μ +σ )内是凸函数,在区间(-∞,μ -σ )和(μ +σ ,+∞)内是凹函 数.4.参数意义:①几何意义:直线 x=μ 是分布密度函数 f(x)的对称轴;σ 的大小决定分布密度曲线 C 的“胖” “瘦”,σ 越大分布密度曲线 C 越“矮胖”,σ 越小分布密度曲线 C 越“瘦高”;②统计意义:Eξ =μ ,Dξ =σ ,σ 越大总体分布越 分散,σ 越小总体分布越集中,Dξ =Eξ -(Eξ ) .2 2 25.特殊概率:P(ξ &a)=直线 x=a、x 轴与分布密度曲线 C 所围成的面积,P(b&ξ &a)=直线 x=b、x=a、x 轴与分布密度曲线 C 所围成的面积,特别地,P(ξ &μ )=0.5,P(μ -σ &ξ &μ +σ )=0.683,P(μ -2σ &ξ &μ +2σ )=0.954,P(μ -3σ &ξ &μ +3σ )=0.997.6.假设检验:正态分布ξ ～N(μ ,σ 2)在区间(μ -3σ ,μ +3σ )外的概率=0.003,几乎不可能发生,所以随机变量ξ 的值在区间(μ -3σ ,μ +3σ )外是非正常状态.1 2?? x2 27.标准分布:若ξ ~N(0,1),则称随机变量ξ 服从标准正态分布,则其正态曲线 f(x)==0,Dξ =1.且 P(ξ ≤x)=φ (x),φ (-x)=1-φ (x),P(a&ξ ≤b)=φ (b)-φ (a),φ (0)=1 . 2e关于直线 x=0 对称,Eξa 8.互换公式:①正态分布与定积分的互换公式:P(b&ξ &a)= ?b f ( x)②正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ≤x)=φ (x?? b?? a?? ),P(a&ξ ≤b)=φ ( )-φ ( ). ? ? ?Y.P.M 数学竞赛讲座3二、典型问题1.枚举计数 [例 1]:(2007 年全国高中数学联赛试题)将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球.其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b.则使不等式 a-2b+10&0 成立 的事件发生的概率等于 。[解析]: [类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n.则以点(0,0)、(1,-1)、(m、n)为 顶点能构成直角三角形的概率是 系数.则使方程有实根的概率是 则该二次方程有两个正根的概率 P= .2 2.2②(2010 年全国高中数学联赛广西初赛试题)某人投掷两次骰子先后得到点数 m,n,用来作为一元二次方程 x +mx+n=0 的 ③(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果一元二次方程 x -2(a-3)x-b +9=0 中,a、 b 分别是投掷骰子所得的数字, .1 322.①(2002年上海市高中数学竞赛试题)袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重 n -5n+ 23克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为__(用 分数作答). ②(2012 年全国高中数学联赛四川初赛试题)从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde,满足 条件“a&b&c&d&e”的概率是 . 3.①(2011 年全国高中数学联赛试题(B 卷))把扑克牌中的 A、2、3、?、J、Q、K 分别看作数字 1、2、3、?、11、12、 13,现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各 13 张放在一起,从中随机取出两张牌,其花色相同且两个数的积是完全平方数的概 率为 (用数字作答). . ②(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、 银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是2.组合计数 [例 2]:(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在某次商品的有奖销售活动中,有 n 人获三等奖(n≥4),三等奖的奖品共有四种,每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选一种,结果有一种奖品无人挑选的概率是_________.[解析]: [类题]:1.①(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)某学校的课外数学小组有 8 个男生和 6 个女生,要从她们中挑选 4 个组成 代表队去参加比赛,则代表队包含男女各 2 人的概率为 . . ②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)从 m 个男生,n 个女生(10≥m&n≥4)中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示 选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同.如果 A 的概率和 B 的概率相等,则(m,n)的可能值为 是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为 球的编号互不相同的概率为 . . . ③(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m&n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球 2.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的 ②(2011 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有 5 双不同号码的鞋,从中取出 4 只,恰能配成一双的概率为 游戏按每组三人依次进行.那么,一个组的成员来自不同家庭的概率为 甲比乙为 4:3 的概率是 . .3.①(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)六个家庭依次编号为1、2、3、4、5、6.每家三人,大家一起聚会做游戏, ②(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙两人之间进行一场打完 7 局的比赛(每局无平局),则比赛结果出现4Y.P.M 数学竞赛讲座3.排列计数 [例 3]:(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染 4个顶点.则任一棱的两个端点都不同色的概率是 .[解析]: [类题]:1.①(2005 年上海市高中数学竞赛试题)a、b、c、d、e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的 5 个元素(允许重复),则 abcd+e 为奇数的概率为_____. ②(2006 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在 6 个产品中有 4 个正品、2 个次品.现每次取出 1 个作检查(检查完后不 再放回),直到 2 个次品都找到为止.则经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部找到的概率是 . ③(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)有20张卡片上分别写有数字1,2,?,20,将它们放入一个盒子内.有4个人从 中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到 5、14,则此两人在同一组的概率等于 名志愿者的概率为 . A C D (用 B (用最简分数作答). 2.①(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一 ②(2012 年全国高中数学联赛广西初赛试题)如图,用红、篮、黄三色将图 中区域 A、B、C、D 染色,要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色,则 满足区域 A 恰好染篮色的概率是 .3.①(2012 年上海市高中数学竞赛试题)一个口袋里有 5 个大小一样的小球, 其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 数字作答). 后不再放回,每个球被取出的可能性相等,直到某种颜色的球全部被取出,则最后取出的是黑球的概率为 .②(2011 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个盒子里有 3 个黑球和 4 个白球,现从盒子里随机每次取出一个球,取出4.容斥原理 [例4]:(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是 .[解析]: [类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员, 已知其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人.现从中选出2人,设ξ 为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(ξ &0)= 则n= .7 , 10②(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有六张分别写有数字 1,2,3,4,5,6 的卡片,每次从中抽取一张,记下上面的 数字,然后放回.这样取了 4 次,则抽到的最大数与最小数的差等于 5 的概率为__________. ③(1972 年美国数学奥林匹克(USAMO)试题)假设一个随机数选择器只能从 1,2,?,9 这九个数字中选择一个,并且以等 概率做这些选择.试确定在 n(n&1)次选择后,选出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率. 2.①(2011 年美国数学邀请赛(AIME)试题)有九位代表来自三个不同的国家,每个国家三人.他们随机地选择有九把椅子 的圆桌.若每位代表旁至少有来自另外国家的一位代表的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n② (2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题 ) 随机地投掷 4 颗骰子 , 其中有两颗骰子所示数字之和为 9 的概率 为 . 3.①(2002 年美国数学邀请赛(AIME)试题)许多洲用三字母后加三位数的排序作为该洲标准的车牌号的排列模式.已知每 三个字母、每三个数码的排列是等可能的概率.若车牌号中三字母或三数字中至少包含一个是“回文数”(即三字母或三Y.P.M 数学竞赛讲座数字的排列自左至右和自右至左的读法是相同的)的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n5②(2001 年美国数学邀请赛(AIME)试题)将 3×3 方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3 ×3 方格表中没有的 2×2 红色正方形的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n5.一一对应 [例 5]:(2005 年全国高中数学联赛试题)将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法, 经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).[解析]: [类题]:1.①(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在 1,2,?,2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 差数列的概率是 列的概率是_______. 2.①(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)圆周上有 10 个等分点,则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形 中,梯形所占的比为 方形的概率是________. 3.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)将 1,2,?,9 随机填入右图 正方形 ABCD 的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而下、自左而右 顺次成等差数列的概率 P= . ②(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从 1,2,3,?,10 这 10 个号码 中任意抽取 3 个号码,其中至少有两个号码是连续整数的概率是__________. . ②(2008年上海市高中数学竞赛试题)有一个19×19的正方形棋盘,从中任取2条水平线,2,条垂线,围成的图形恰好是正 . . ②(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选 3 个不同的数排成一个数列,则这个数列为等 ③(2012 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数6.不定方程 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关.问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关？ (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少？ (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体.抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数).n[解析]: [类题]:1.①(原创题)等可能的随机抽取集合 N={1,2,3,?,n}(n≥7)的一个三元子集,则所取三元子集满足: “任意两元素之差的 绝对值不小于 3”的概率是 . . 我们称子集 A 为 N 的“好子集”,则这样的“好子集”的个数为 编号数的概率是 . .②(原创题)将 20 个相同的小球等可能的随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,则每个盒内的球数不小于盒子的 ③(原创题)3 个人随机坐在一条有 9 个座位的长椅上,则相邻两人之间至少有两个空位的概率是 的和与第二组数的和相等的概率是 .2.①(2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)将正整数 1,2,3,4,5,6,7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数6Y.P.M 数学竞赛讲座②(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一项“过关游戏”的规则规定:在第 n 关要抛一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛 n 掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关.则连过前 3 关的概率为_________. 3.①(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试试题)从 1 到 9 这九个数字中任取 3 个数字组成没有重复 数字的三位数,则这个三位数能被 3 整除的概率为 .m ((m,n)=1), n②(2001 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一枚骰子掷四次,后三次的点数都不小于上一次的点数的概率为 求 m+n.7.对立事件 [例7]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)骰子是一个质量均匀的立方体,6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6.现在桌面上有3枚骰子分别为木制、 骨制、 塑料制的,重复下面操作,直至桌面上没有骰子:将桌面上的全部骰子掷出,然后去掉那 些奇数点的骰子.求完成以上操作的次数多于三次的概率.[解析]: [类题]:1.①(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)同时投掷三颗骰子,至少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 成既约分数). ②(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名女生 的概率为34 .则 n=__________. 35(结果要求写③(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业 被抽中的概率是 (结果用最简分数表示). (用最简分数作答). 2.①(2010 年上海市高中数学竞赛试题)设甲袋中有 4 只白球、5 只红球、6 只黑球,乙袋中有 7 只白球、6 只红球、2 只 黑球.若从两袋中各取一球,则两球颜色不同的概率是 ②(2010 年上海市高中数学竞赛试题)已知由 1,2,?,1000 这 1000 个正整数构成的集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a,取出后把 a 放回集合 A,然后再从集合 A 中随机取一个数 b,求a 1 & 的概率. b 3 2 3 mx -nx+1 在 33.①(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n,则函数 y= [1,+∞)上为增函数的概率是 .2②(1979 年美国数学竞赛(AMC)试题)任意选择一对有序整数(b,c),其中每一个整数的绝对值小于或等于 5,每一对这样 的有序整数被选择的可能性是相等的.方程 x +bx+c=0 没有相异正实根的概率是 .8.事件关系 [例 8]:(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图是一个由 3×4 个单位方格组成的街道地图,线条为 道路.甲从 A(0,0)点出发按最短路程走向 B(4,3), 乙从 B 点按最短路程走向 A 点,如果他们同时出发, 并且以相同的速度前进,那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少？ A(0,0)B(4,3)[解析]: [类题]:1.①(1994年美国数学竞赛(AMC)试题)一袋正在爆的玉米,其中 有2 1 1 是白粒的, 是黄粒的,又知白粒的有 会爆开,黄粒的 3 3 22 会爆开.今从袋中任选一粒放锅中发生爆花,则它是白粒玉米的概率是 3.Y.P.M 数学竞赛讲座1 ,则甲最后获胜的概率是 27②(2011 年上海市高中数学竞赛试题)甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为 .③(1983年美国数学竞赛(AMC)试题)事件A出现的概率是 含的区间是 .3 2 ,事件B出现的概率是 ,设P是A和B同时出现的概率,那么包 4 32.①(2009 年美国数学邀请赛(AIME)试题)抛一枚硬币,设正面朝上的概率为 p(0&p&1),背面朝上的概率为 1-p.现抛该硬 币8次,其中,3次正面朝上5次背面朝上的概率是5次正面朝上3次背面朝上的m 1 .令p= (m,n∈N+,(m,n)=1),求m+n. n 25②(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一次投篮测试中,每人只要投中3个,即为合格,不用再投,不过每人至多 只能投5次.一投篮命中率为2 的球员,其测试合格的概率为 3.3.①(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)甲队在某足球联赛中要和其他六支队伍各比赛一场.已知甲队在任何一场比赛 中胜、负、平的概率都为m 1 .设甲队在这六场比赛中胜的场数多于负的场数的概率为 ((m,n)=1),求m+n. n 3②(2009 年美国数学邀请赛(AIME)试题)戴维和琳达各自掷六面骰子.当掷出“6 点”时停止掷骰子.记两人掷骰子次数 至多相差一次的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n9.计数事件 [例9]:(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2,?,6,每次投掷这样两个相同的骰子,规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数.那么,投掷3次所得3个点数之积能被14整除的概率是 (用最简分数表示).[解析]: [类题]:1.①(2011 年全国高中数学联赛广西初赛试题)在 1～2000 中随机地取一个数,取到的整数能被 6 整除但不能被 4 整除的 概率是 . ②(2005 年美国数学邀请赛(AIME)试题)某饭店为 3 位客人准备了早餐,每份早餐包括三种不同的饭团,一个坚果的、 一 个奶酪的、 一个水果的.厨师在做这 9 个饭团时,给这 9 个饭团都做了包装,而一旦包装后,饭团的类型就无法区分了.厨师 随机地给 3 位客人的餐包里各放了 3 个饭团.若三位客人均能得到三种不同饭团的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n2.(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体的 4 个面分别写着 1,2,3,4,将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于 桌面上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 . 3.(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)标号 1,2,?,13 各 4 种颜色的卡片,共计 52 张,加上两张空白卡片,平均放入 三个不同的盒子,若某个盒子中,有两张空白卡片,4 张 1,且 2,3,?,13 号卡片各一张,称该盒是 “超级盒” .则出现超级盒 的概率为 (列出算式即可).10.递推概率 [例10]:(2006年全国高中数学联赛山东初赛试题)中国男子篮球甲级联赛的规则规定:每场比赛胜者得2分,负者得1分(每场比赛,即使通过加时赛也必须分出胜负).某男篮甲级队实力强劲,每场比赛获胜的概率为3 1 、 失利的概率为 .求该 4 4队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率(设该队这一赛季的全部比赛场次数为S,这里0&n≤S).[解析]: [类题]:8m ((m,n)=1),求 m+n. nY.P.M 数学竞赛讲座1.①(2003 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一只蚂蚁从等边三角形的一个顶点开始爬行,每次爬行可随机选择向另一个顶 点沿边线爬行.假设蚂蚁第十次爬回起始顶点的的概率为②(1985 年美国数学邀请赛(AIME)试题)设正四面体的四个顶点是 A,B,C,D,各棱长为 1 米.有一个小虫从点 A 开始按以 下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这个棱的尽头.设它爬了 7 米以 后位于顶点 A 的概率为n ,求 n 的值. 7292.(1994 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一种单人纸牌游戏,其规则如下:将 6 对不相同的纸牌放入一个书包中,游戏者每 次随机地从书包中抽牌并放回,不过当抽到成对的牌时,就将其放到一边.如果游戏者每次总取三张牌,若抽到三张牌的中 两两互不成对,游戏就结束;否则抽牌继续进行直到书包中没有牌为止.设书包空的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n3.(《中等数学》.2012 年第 6 期.数学奥林匹克高中训练题(154))已知条 100 线段的长度集合 N={x||x-50|≤50,且 x∈ N+}.试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率.11.数学期望 [例 11]:(2008 年全国高中数学联赛试题)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 比赛停止时已打局数ξ 的期望 Eξ 为 .2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则 3 3[解析]: [类题]:1.①(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)随机抛掷一颗 6 个面分别刻有 1,2,3,4,5,6 个点的骰子,其出现(即向上一 面)的点数的数学期望值为 .②(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)有n把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门打开的锁打开.设抽 取钥匙是相互独立且等可能的,每把钥匙试开后不再放回,求试开次数ξ 的分布列及数学期望Eξ . 2.①(2008 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)将 6 个形状大小相同的小球(其中红色、黄色、蓝色各 2 个)随机放入 3 个 盒子中,每个盒子中恰好放 2 个小球,记η 为盒中小球颜色相同的盒子的个数,求η 的分布. ②(2006 年全国高中数学联赛山西初赛试题)盒子里装有大小相同的球 8 个,其中三个 1 号球,三个 2 号球,两个 3 号球. 第一次从盒子中先任取一个球,放回后第二次再任取一个球,记第一次与第二次取到的球上的号码的积为随机变量ξ ,则 ξ 的数学期望 Eξ = . 3.①(2009 年全国高中数学联赛试题)某车站每天 8:00―9:00,9:00―10:00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 到站时刻 概率 8:10 9:101 68:30 9:301 28:50 9:501 3一旅客 8:20 到车站,则它候车时间的数学期望为 ②(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)如图, 记从“田字型”网格(由四个边长为 1 的正方形组 成)的 9 个交点中任取 3 个点构成的三角形面积为 ξ (当所取的三点共线时ξ =0),则ξ 的期望 Eξ =(精确到 1 分). A D G . B E H I C F12.条件概率 [例 12]:(2006 年全国高中数学联赛试题)袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为 .Y.P.M 数学竞赛讲座 [解析]: [类题]:赛,都拿其中的 2 个球用,用完后全部放回.设第二次比赛时取到新球的个数为ξ ,则ξ 的数学期望 Eξ =91.(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)有 5 个乒乓球,其中有 3 个是新球,2 个是旧球(即至少用过一次的球).每次比 . 2.(2012 年全国高中数学联赛福建初赛试题)有 14 个大小、形状相同的球,其中 7 个红球,7 个白球.它们分别装在甲、乙 两个盒子内,其中甲盒子内装有 4 个红球,3 个白球,乙盒子内装有 3 个红球,4 个白球.现从甲盒子内随机摸出一个球放入 乙盒子内,再从乙盒子内随机摸出一个球放回甲盒子内,记此时乙盒子内红球的个数为ξ ,则ξ 的数学期望 Eξ = . 3.(2003 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一场篮球比赛临终场还有 0.1 秒时,A 队获得一个两次罚球的机会,当时 A 队以 100:101 落后.关于该队罚球队员两次罚球命中率的统计资料显示:其第一投的命中率为 0.6.若第一投命中,则其第 二投的命中率为0.8;若第一投不中,则其第二投的命中率为0.7.该队罚球后得分的数学期望值为 .13.典型分布 [例 13]:(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知 7 件产品中有 4 件正品和 3 件次品.(Ⅰ)从这 7 件产品中一次性随机抽取 3 件,求正品件数不少于次品件数的概率; (Ⅱ)从这 7 件产品中一次性随机抽取 5 件,记其中次品件数为ξ ,求ξ 的数学期望.[解析]: [类题]:1.①(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在 5 件产品中有 4 件正品、 1 件次品． 从中任取 2 件,记其中含正品的个数 个数为随机变量ξ ,则ξ 的数学期望 Eξ 是 . ②(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同 时出“剪刀、石头、布”中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为ξ ,则随机变量ξ 的数学期望 Eξ 的值 为 0.5)= .22.①(2011 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知随机变量奋服从正态分布 N(1.5,σ ),P(ξ ≤2.5)=0.78,则 P(ξ ≤ . 解:由标准正态分布的性质:P(ξ ≤0.5)=P(ξ &2.5),P(ξ ≤2.5)+P(ξ &2.5)=1 ? P(ξ ≤0.5)=1-P(ξ ≤2.5)=0.22. ②(2008 年湖南高考试题)设随机变量ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ &c+1)=P(ξ &c-1),则 c= 解:由标准正态分布的性质:P(ξ &c+1)=P(ξ &c-1) ? (c+1)+(c-1)=2×2 ? c=2. ③(2008 年安徽高考试题)设两个正态分布 N(μ 1,σ 1 )(σ 1&0) 和 N(μ 2,σ 2 )(σ 2&0)的密度函数图像如图所示.则有( (A)μ 1&μ 2,σ 1&σ (C)μ 1&μ 2,σ 1&σ2 2 2 2.)(B)μ 1&μ 2,σ 1&σ2 2(D)μ 1&μ 2,σ 1&σ3.①(2007 年安徽高考试题)以φ (x)表示标准正态分布在区间 (-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),则概率 P(|ξ -μ |&σ )等于( (A)φ (μ +σ )-φ (μ -σ ) (B)φ (1)-φ (-1) (C) ? (1? ?2) (D)2φ (μ +σ ) .?)②(2012 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设随机变量 X～N(1,2),Y～N(3,4).若 P(X&0)=P(Y&a),则 a=14.概率综合 [例14]:(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)三棱锥A-BCD中,△BCD、△ACD均为边长为2的正三角形,△BCD在平面α 内,侧棱AB=3 .现对其四个顶点随机贴上写有数字1至8的8个标签中的4个,并记A D E B C对应的标号为f(η ),(η 取值为A、B、C、D),E为侧棱AB上一点. (Ⅰ)求事件“f(C)+f(D)为偶数”的概率P1;10? (Ⅱ)若|BE|:|EA|=f(B)+f(A),求二面角 E-CD-A 的平面角大于 的概率 P2. 4Y.P.M 数学竞赛讲座[解析]: [类题]:1.①(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正整数 n≤500,具有性质:从集合{1,2,?,500}中任取一个元素 m,使得 m|n 的概率是1 ,则 n 的最大值是 100.2②(2010 年美国数学邀请赛(AIME)试题)玛娅随机地选出两个不同的 2010 的正约数,两个正约数中恰有一个为完全平 方数的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n 2 )ln(1+t)&2; t2.①(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)(Ⅰ)设实数 t&0,求证:(1+(Ⅱ)从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中,每次随机地抽取张,然后放回;用这种方式连续抽取 20 次,设抽的 20 个号码互不 相同的概率为 p,求证:P&1 e2.2x ,证明:当 x&0 时,f(x)&0; x?2本题改编于 2011 年全国高考试题:(Ⅰ)设函数 f(x)=ln(1+x)-(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互补相 同的概率为 P.证明:P&(9 19 1 ) & 2 . 10 e②(第八届美国数学奥林匹克(USAMO)试题)给定三只相同的 n 面骰子,它们的对应面标上同样的任意整数.证明:如果随 机投掷它们,那么向上的三面上的数的和被 3 整除的概率大于或等于1 . 43.①(2012 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相 应获奖的概率是以 a 为首项、2 为公比的等比数列,相应获得的奖金是以 700 元为首项、-140 为等差的等差数列.则参加 这项游戏活动获得奖金的期望是______元. ②(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中 一人的得分比另一人的得分多 2 分时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛, 得分多者赢得这场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 P(0&p&1),乙获胜的概率为 q=1-P.假定各次比赛 的结果相互独立的,比赛经ξ 次结束,求ξ 的期望 Eξ 的变化范围.Y.P.M 数学竞赛讲座详解1竞赛中的概率问题详解高中阶段的概率是数学的一个重要分支概率论的初步 ,主要问题是概率与期望(含概率分布),主要工具是计数方法及 思想.概率问题最早于 2002 年出现在我国中学数学竞赛中,高中联赛中的概率问题主要出现在一试中,重点关注计数技巧 和思想的应用.一、知识结构一、概率含义:古典与几何 1.概率定义:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 m 接近于某个常数 p(0≤p≤1),则称常数 p 是事件 An的概率;2.频率概率:概率是频率的期望值,频率可近似地作为概率; 3.古典概型:具有如下特点的概率模型称为古典概率模型简称为古典概型:①试验中出现的可能结果只有有限个;②每个结果出现的可能性相同;古典概型的概率公式 p(A)=A 包含的可能结果数/所有可能结果数;4.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型;几何概型的概率公式 p(A)=构成事件 A 的区域长度(面积或体积)/构成全部结果的区域长度 (面积或体积);二、事件关系:互斥与独立 1.关系定义:如果事件 A 与 B 不能同时发生,则称事件 A 与 B 为互斥事件;必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件,事件 A 的对立事件记为 A ;如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,则称事件 A 与 B 为独立事件;2.事件运算:如果事件 A 与 B 至少有一个发生,记为 A+B;如果事件 A 与 B 同时发生,记为 AB;如果事件 B 在事件 A 发生的条件下发生,记为 B|A;3.事件关系:如果事件 A 与 B 独立,则事件 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也相互独立;对任意事件 A 与 B,则事件 AB、A B 、AB与AB两两互斥;4.概率公式:如果事件 A 与 B 为互斥事件,则 p(A+B)=p(A)+p(B);特别地,p(A)=1-p( A );如果事件 A 与 B 为独立事件,则 p(AB)=p(A)p(B);对任意事件 A 与 B,则①p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB);②p(B|A)=p(AB)/p(A);设 A1,A2,?,An,?是一组完 备事件(当且仅当 A1,A2,?,An,?中任意两事件互斥,且 A1∪A2∪?∪An∪?是必然事件),则对任意事件 B,都有 P(B)=P(A1) P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+?+P(An)P(B/An)+?;三、概率分布:期望与方差 1.概率分布:设离散型随机变量可能取值为:x1、x2、?、xn,且 p(ξ =xi)=pi(i=1,2,?,n),则称右表为随机变量ξ 的概率分布列, 简称ξ 的分布列.且有性质:①pi≥0;②p1+p2+?+pn=1. ξ ) p1+(x2-Eξ ) p2+?+(xn-Eξ ) pn,或 Dξ =Eξ -(Eξ ) 为ξ 的方差.2 2 2 2 2x px1 P1x2 P2… …xn pn2.期望方差: 若离散型随机变量ξ 的概率分布如上表, 则称 Eξ =x1p1+x2p2+ ?+xnpn 为ξ 的数学期望;称 Dξ =(x1-E 3.统计意义:随机变量ξ 的数学期望 Eξ 的实质是随机变量ξ 的所有取值的平均数,反映随机变量ξ 可能取值的平均水平;而方差 Dξ 反映随机变量ξ 取值偏离平均水平的集中或离散程度;4.运算性质:若ξ 、μ 是离散型随机变量,且μ =aξ +b,其中 a,b 为常数,则 Eμ =aEξ +b,Dμ =a2Dξ ,特别地,若ξ +μ=a,则 Eξ +Eμ =a,Dξ =Dμ ;若随机变量ξ =ξ 1+ξ 2+?+ξ n+?,则 Eξ =Eξ 1+Eξ 2+?+Eξ n+?;若随机变量ξ 的一切值位于 区间[a,b]内,则期望 Eξ ∈[a,b],Eξ 可正、可负、可为零;但方差 Dξ 必为非负数;四、常见分布:概率与公式 1.两点分布:若随机变量ξ 满足:P(ξ =0)=1-p,P(ξ =1)=p,则 Eξ =p,Dξ =p(1-p);若随机变量ξ 满足:P(ξ =a)=1-p,P(ξ =b)=p,则 Eξ =a+(b-a)p,Dξ =(b-a) p(1-p);22.二项分布:若随机变量ξ ～B(n,p),即 P(ξ =k)=Cnkpk(1-p)n-k,则 Eξ =np,Dξ =np(1-p);2Y.P.M 数学竞赛讲座详解1 1? p ,Dξ = 2 ; p pk n?k CM CN ?M ,则称随机变 n CN3.几何分布:若随机变量ξ ~g(k,p),即 P(ξ =k)=pk-1(1-p)(k=1,2,3,?),则 Eξ =4.超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有ξ 件次品的概率 P(ξ =k)=量ξ 服从超几何分布,且 Eξ =nM M ( N ? n)( N ? M ) ,Dξ =n . N N N ( N ? 1)五、解题思想:变量与事件 1.变量取值:解决离散型随机变量ξ 的概率分布问题,首要的问题是根据题意求出离散型随机变量ξ 的取值集合; 2.变量事件:随机变量ξ 的取值集合确定后,关键的是求解每一个随机变量的取值所对应的概率,为此,要建立二个对应关系:①随机变量与事件的对应关系;②事件与概率的对应关系;3.事件概率:解决离散型随机变量ξ 的概率分布问题的难点是求随机变量ξ 对应的事件的概率,基本方法是用己知的基本事件表示待求事件,然后利用概率公式求概率;4.概率分布:由以上两个对应关系及事件的概率推出的随机变量ξ 与概率的对应关系 ,即得分布列.然后利用数学期望和方差的计算公式和简化计算技巧,求期望和方差.并利用期望和方差的意义分析解决有关问题.六、正态分布:性质与转换 1.密度函数:①连续型随机变量:如果随机变量ξ 可以取某一区间内的一切值,则称该随机变量ξ 为连续型随机变量;②密度曲线:如果连续型随机变量ξ 的概率分布是某条曲线 C,则称该曲线 C 为随机变量ξ 的分布密度曲线;③连续型 随机变量ξ 的分布密度曲线 C 对应的函数 f(x)称为随机变量ξ 的分布密度函数.( x ? ? )2 2? 22.正态分布:如果随机变量的分布密度函数 f(x)=21 2??e?,x∈(-∞,+∞),其中实数μ ,σ (σ &0)是参数,则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布,用ξ ～N(μ ,σ )表示.3.分布性质:①f(x)&0,即函数 f(x)对应的分布密度曲线 C 在 x 轴上方;②分布密度曲线 C 的渐近线为 x 轴;③分布密度曲线 C 关于直线 x=μ 对称;④随机变量ξ 的分布密度函数 f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减; ⑤随机变量ξ 的分布密度函数 f(x)在 x=μ 处取得最大值 f(μ )=1 2? ?;⑥分布密度曲线 C 与 x 轴围成的面积等于 1;⑦x=μ ? σ 是函数 f(x)的拐点,即函数 f(x)在区间(μ -σ ,μ +σ )内是凸函数,在区间(-∞,μ -σ )和(μ +σ ,+∞)内是凹函 数.4.参数意义:①几何意义:直线 x=μ 是分布密度函数 f(x)的对称轴;σ 的大小决定分布密度曲线 C 的“胖” “瘦”,σ 越大分布密度曲线 C 越“矮胖”,σ 越小分布密度曲线 C 越“瘦高”;②统计意义:Eξ =μ ,Dξ =σ ,σ 越大总体分布越 分散,σ 越小总体分布越集中,Dξ =Eξ -(Eξ ) .2 2 25.特殊概率:P(ξ &a)=直线 x=a、x 轴与分布密度曲线 C 所围成的面积,P(b&ξ &a)=直线 x=b、x=a、x 轴与分布密度曲线 C 所围成的面积,特别地,P(ξ &μ )=0.5,P(μ -σ &ξ &μ +σ )=0.683,P(μ -2σ &ξ &μ +2σ )=0.954,P(μ -3σ &ξ &μ +3σ )=0.997.6.假设检验:正态分布ξ ～N(μ ,σ 2)在区间(μ -3σ ,μ +3σ )外的概率=0.003,几乎不可能发生,所以随机变量ξ 的值在区间(μ -3σ ,μ +3σ )外是非正常状态.1 2?? x2 27.标准分布:若ξ ~N(0,1),则称随机变量ξ 服从标准正态分布,则其正态曲线 f(x)==0,Dξ =1.且 P(ξ ≤x)=φ (x),φ (-x)=1-φ (x),P(a&ξ ≤b)=φ (b)-φ (a),φ (0)=1 . 2e关于直线 x=0 对称,Eξa 8.互换公式:①正态分布与定积分的互换公式:P(b&ξ &a)= ?b f ( x)②正态分布与标准正态分布的互换公式:p(ξ≤x)=φ (x?? b?? a?? ),P(a&ξ ≤b)=φ ( )-φ ( ). ? ? ?Y.P.M 数学竞赛讲座详解3二、典型问题1.枚举计数 [例 1]:(2007 年全国高中数学联赛试题)将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球.其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b.则使不等式 a-2b+10&0 成立 的事件发生的概率等于( ) (A)52 81(B)59 81(C)60 81(D)61 812 [解析]:甲、 乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 9 =81 个.由不等式 a-2b+10&0 ? 2b&a+10.当 b=1,2,3,4,5 时,a=1,2,?,9,有 5×9=45 种;当 b=6 时,a=3,4,?,9,有 7 种;当 b=7 时,a=5,6,?,9,有 5 种;当 b=8 时, a=7,8,9,有 3 种;当 b=9 时,a=9,有 1 种.于是,所求事件的概率为45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 = .选(D). 81 81[类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)连续两次掷骰子得到的点数依次为m、n.则以点(0,0)、(1,-1)、(m、n)为 顶点能构成直角三角形的概率是 . 解:因(m,n)共有36种取值情况.而以点(0,0)、(1,-1)、(m,n 为顶点能构成直角三角形的(m,n)有以下10种取值的可能: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(3,1),(4,2),(5,3),(6,4).故所求概率为=10 5 = 36 18.2②(2010 年全国高中数学联赛广西初赛试题)某人投掷两次骰子先后得到点数 m,n,用来作为一元二次方程 x +mx+n=0 的 系数.则使方程有实根的概率是( (A)1 22). (B)5 9(C)17 36(D)19 36解:方程有实根 ? m -4n≥0.当 n=1 时,m≥2,有 5 个;当 n=2 时,m≥3,有 4 个;当 n=3 时,m≥4,有 3 个;当 n=4 时,m≥4,有 3 个;当 n=5 时,m≥5,有 2 个;当 n=6 时,m≥5,有 2 个.故所求概率为=219 . 362③(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果一元二次方程 x -2(a-3)x-b +9=0 中,a、 b 分别是投掷骰子所得的数字, 则该二次方程有两个正根的概率 P=( (A)1 18)1 9(B)(C)1 6(D)13 18?? ? 4(a ? 3) 2 ? 4(9 ? b 2 ) ? 0 ?a 2 ? b 2 ? 2a ? ? ? ? 解:方程有两个正根 ? ? .当 b=1 时,a&3,有 3 个;当 b=2 时,a&3,有 3 个;故所求概 a ?3?0 a?3 ? ? 2 ? ? 9 ? b ? 0 b ? 3 ? ? ? ?率为=1 . 6 1 322.①(2002年上海市高中数学竞赛试题)袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重 n -5n+ 23克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为__(用 分数作答). 解: n -5n+23 的对称轴为 n=1 3215 1 ,重量相等的有(7,8),(6,9),?(1,14),概率 P= . 2 85②(2012 年全国高中数学联赛四川初赛试题)从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde,满足 条件“a&b&c&d&e”的概率是 .3 2解:①当 b=5,d=4 或 b=4,d=5 时,均有 A3 ;②当 b=5,d=3 或 b=3,d=5 时,均有 A2 .概率=2 . 153.①(2011 年全国高中数学联赛试题(B 卷))把扑克牌中的 A、2、3、?、J、Q、K 分别看作数字 1、2、3、?、11、12、4率为 (用数字作答).2Y.P.M 数学竞赛讲座详解13,现将一幅扑克牌中的黑桃、红桃各 13 张放在一起,从中随机取出两张牌,其花色相同且两个数的积是完全平方数的概 解:从 26 张牌中任意取出 2 张,共有 C26 =325 种取法.牌的花色相同且积是完全平方数的有 4=1×4,9=1×9,16=2×8,36=2 ×13=4×9,共有 5×2=10 对.因此,所求概率为10 2 = . 325 65②(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)圆环形手镯上等距地镶嵌着 4 颗小珍珠,每颗珍珠镀金、 银两色中的一种.其中 镀 2 金 2 银的概率是 .1 3解:枚举法,注意可翻转,有 6 种情况,2 金 2 银有两种,概率为 .2.组合计数 [例 2]:(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在某次商品的有奖销售活动中,有 n 人获三等奖(n≥4),三等奖的奖品共有四种,每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选一种,结果有一种奖品无人挑选的概率是_________.[解析]:因每人对奖品有 4 种不同的选择,所以全部可能的不同选择结果共有 4n 种;一种奖品无人挑选,即有 3 种奖品均有人选.从 4 种奖品选择 3 种奖品的方法共有 C4 种,因为针对 3 种奖品,n 个人的不同选择结果有 3 种,但须去除仅有 1 种 奖品的 3 种情况和仅有 2 种奖品的 C3 (2 -2)种情况 有 C4 {3 -3-[C3 (2 -2)]}=4×3 +12×2 +12 种不同结果,其相应概率为 4(3 n 1 n 1 n ) -12( ) +12( ) . 4 2 42 n 3 n 2 n n n 3 n[类题]:1.①(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)某学校的课外数学小组有 8 个男生和 6 个女生,要从她们中挑选 4 个组成 代表队去参加比赛,则代表队包含男女各 2 人的概率为( (A)10 1432 2 C8 C6 4 C14) (C)60 143(B) =60 . 14330 143(D)70 143解:P=②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)从 m 个男生,n 个女生(10≥m&n≥4)中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示 选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同.如果 A 的概率和 B 的概率相等,则(m,n)的可能值为 解:P(A)=P(B) ?2 Cm 2 ? Cn 2 Cm ? n.=1 1 Cm Cn 2 Cm ?n? Cm +Cn =Cm Cn ? (m-n) =m+n,即 m+n 是完全平方数,且 9≤m+n≤19,因此(m,n)=(10,6).22112③(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m&n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球 是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为( (A)3 解:2 2 Cm ? Cn 2 Cm ?n) (D)6(B)4 =1 1 Cm Cn 2 Cm ?n2 2 1 1 2(C)5? Cm +Cn =Cm Cn ? (m-n) =m+n,即 m+n 是完全平方数,且 9≤m+n≤40,因此(m,n)=(10,6),(15,10),(21,15). 2.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的 球的编号互不相同的概率为( (A)5 21) (B)2 74(C)1 3(D)8 21解:从 10 个球中取出 4 个,不同的取法有 C10 =210 种.如果要求取出的球的编号互不相同,可以先从 5 个编号中选取 4 个编 号,有 C5 种选法.对于每一个编号,再选择球,有两种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有 C5 2 =80 种.因 此,取出的球的编号互不相同的概率为80 8 = .故选(D). 210 214 4 4②(2011 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)现有 5 双不同号码的鞋,从中取出 4 只,恰能配成一双的概率为.Y.P.M 数学竞赛讲座详解1 2 251 1解:4 只中,恰能配成一双,先从 5 双中取一双有 C5 种,然后从余下的 4 双中取 2 双,并分别从每双中取一只,有 C C2 C2 种, P=1 2 1 1 C5 C4 C 2C2 4 C10=4 . 73.①(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)六个家庭依次编号为1、2、3、4、5、6.每家三人,大家一起聚会做游戏, 游戏按每组三人依次进行.那么,一个组的成员来自不同家庭的概率为( (A)5 68). (D)5 204(B)15 683(C)45 68解:从18个人中选出3人,不同的选法共有C18 =816(种).因为一个家庭的三个人编号是相同的,所以,为使所选的组员编号 不同,应先从6个编号中选取3个号,有C6 种选法,而对每一个编号再选人,又有3种选择.因此,选出的小组成员来自不同家 庭的选法种数为C6 ×3 =540,故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为=3 3 3540 45 = . 816 68②(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)甲、乙两人之间进行一场打完 7 局的比赛(每局无平局),则比赛结果出现 甲比乙为 4:3 的概率是( (A)35 1284 C7) (B)5 16(C)4 7(D)5 8解:符合条件的概率为27=35 .故选(A). 1283.排列计数 [例 3]:(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染 4个顶点.则任一棱的两个端点都不同色的概率是1 4 4.[解析]:当其中一种颜色染 4 个顶点时,其余两种颜色可任意染色剩余的 4 个顶点(每个顶点均有 2 种染法).于是满足要求的染色方法共有 C3 C8 2 ;若要求任一棱的两个端点都不同色,则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种,此时其余两种颜色 仍可任意染色剩余的 4 个顶点.于是这样的染法共有 C3 ×2×2 .故所求概率为2 41 . 35[类题]:1.①(2005 年上海市高中数学竞赛试题)a、b、c、d、e 是从集合{1,2,3,4,5}中任取的 5 个元素(允许重复),则 abcd+e 为奇数的概率为_____. 解:abcd+e 为奇数 ? ①abcd 为奇数,且 e 为偶数 ? a,b,c,d 均为奇数,且 e 为偶数,其取法有 3 ×2;②abcd 为偶数,且 e 为奇数 ? a,b,c,d 中至少有一个为偶数,且 e 为奇数,其取法有(5 -3 )×3.故总取法有 3 ×2+(5 -3 )×3=4 4 4 4 4 41794 . 3125②(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)在6个产品中有4个正品、2个次品.现每次取出1个作检查(检查完后不再放 回),直到2个次品都找到为止.则经过4次检查恰好将2个次品全部找到的概率是( (A)1 15) (D)4 15(B)2 15(C)1 5.解:经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部找到 ? 第 4 次抽取的是次品,且前 3 次中恰有一次抽取的是次品.建立排列模型:6个产品抽取 4 个的排列数=A6 ;其中满足条件的排列数=A2 A3 A4 (先从 2 个次品中选一个排在第 4 位,再把另一个次品排在前 三位中,最后从个正品中选个排在余下 2 位),故所求概率=1 1 2 A2 A3 A4 4 A64112=1 .故选(C). 5③(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)有20张卡片上分别写有数字1,2,?,20,将它们放入一个盒子内.有4个人从 中不放回地各抽取一张卡片,抽到两个较小数字的两人在同一组,抽到两个较大数字的两人在同一组.现其中有两人抽到 5、14,则此两人在同一组的概率等于 (用最简分数作答).2 2解:由于已有两人分别抽到 5 和 14 两张卡片,则另外两人只需从剩下的 18 张卡片中抽取,共有 A18 种情况.抽到 5 和 14 两人在同一组,有两种情况:①5 和 14 为较小两数,则另两人需从 15～20 这 6 张中各抽 1 张,有 A6 种情况;②5 和 14 为较6大两数,则另两人需从1～4这4张中各抽1张,有A4 种情况.于是,概率为P=2Y.P.M 数学竞赛讲座详解2 2 A6 ? A4 2 A18=7 . 512.①(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一 名志愿者的概率为( (A)3 5) (B)1 155(C)5 8(D)50 81解:5 名志愿者随进入 3 个不同的奥运场馆的方法数为 3 =253 种.每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第 1 类,一个场馆去 3 人,剩下两场馆各去 1 人,此类的方法数为 C3 C5 A2 =60 种;第 2 类,一场馆去 1 人,剩下两场馆各 2 人,此类 的方法数为 C3 C5 C4 =90 种.故每个场馆至少有一名志愿者的概率为3 1 2 2 3 250 .选(D). 81②(2012 年全国高中数学联赛广西初赛试题)如图,用红、篮、黄三色将图 中区域 A、B、C、D 染色,要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色,则 满足区域 A 恰好染篮色的概率是3A C DB.解:先给 A,B,C 染色,有 A3 种,再给 D 染色,有 2 种(A 与 B 中的一个同色),计有 A3 ×2=12 种;当 A 染篮色时,先给 B,C 染色,有 A2 种,再给 D 染色,有 2 种(A 与 B 中的一个同色),计有 A2 ×2=4 种.P= . 3.①(2012 年上海市高中数学竞赛试题)一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑 色的,依次从中摸出 5 个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 (用数字作答). 解:本题等价于把这 5 个球排成一列(其排法数=5 A5 2 2 A2 A23 2 21 3=30),求相邻两个小球的颜色均不相同(其排法是从红球或白球中选1 2其中一对,把黑球放其之间,然后把红球或白球中另一对插入其中,有 C2 C4 =12)的概率=12 2 = . 30 5②(2011 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)一个盒子里有 3 个黑球和 4 个白球,现从盒子里随机每次取出一个球,取出 后不再放回,每个球被取出的可能性相等,直到某种颜色的球全部被取出,则最后取出的是黑球的概率为( (A)3 5) (D)3 7(B)4 7(C)1 2解:最后取出的是黑球,说明至少还有一个白球未取出(否则取球己终止),所以,本题等价于把这 7 个球排成一列,求最后 一个是白球的概率,故只需考虑最后一个位置,概率=4 .选(B). 74.容斥原理 [例4]:(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是 .[解析]:设集合 U={5 个球放入 5 个盒子内的放法},A={红球在红盒内的放法},B={黄球在黄盒内的放法},则|U|=5！ ,|A|=|B|=4！,|A∩B|=3！ ? 红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法数|CU(A∪B)|=|A|+|B|-|A∩B|=78.故概率 P=0.65.[类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项,该文娱队共有n名队员, 已知其中会唱歌的有2人,会跳舞的有5人.现从中选出2人,设ξ 为选出的2人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(ξ &0)= 则n= .1 1 C1 C5 2 C67 , 10解:设|U|=n,|A|=2,|B|=5,U=A∪B,由|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| ? |A∩B|=7-n≤2;若 n=6,则|A∩B|=1 ? P(ξ &0)=7 7 C 1C 1 C 2 ;若 n=5,则|A∩B|=2 ? P(ξ &0)= 2 2 3 + 2 = .故 n=5. 2 10 10 C5 C5≠②(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)有六张分别写有数字 1,2,3,4,5,6 的卡片,每次从中抽取一张,记下上面的Y.P.M 数学竞赛讲座详解数字,然后放回.这样取了 4 次,则抽到的最大数与最小数的差等于 5 的概率为__________.74解:要使抽到的最大数与最小数的差等于 5,就是在 4 次抽取中 6 和 1 都必须抽到过.4 次抽取可能出现的结果有 6 种,在 这 6 种结果中,没有抽到 1 的有 5 种,没有抽到 6 的有 5 种,1 和 6 都没有抽到的有 4 种.从而 1 与 6 都抽到过的结果有 6 -2 ×5 +4 =302 种.故所求概率为4 4 4 4 4 4 4302 64=151 . 648③(1972 年美国数学奥林匹克(USAMO)试题)假设一个随机数选择器只能从 1,2,?,9 这九个数字中选择一个,并且以等 概率做这些选择.试确定在 n(n&1)次选择后,选出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率. 解:设集合 A:“n 次选择中没有数字 5 的选法”,集合 B:“n 次选择中没有数字 2,4,6,8 的选法”,则|A|=8 ,|B|=5 ,|A∩ B|=4 ,由容斥原理知,|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=8 +5 -4 ? n 次选择中有数字 2,5 的选法=| A ∩ B |=9 -(8 +5 -4 ) ? 选出 的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率=9n ? (8n ? 5n ? 4n ) 9nn n n n 9 n n n n 5.2.①(2011 年美国数学邀请赛(AIME)试题)有九位代表来自三个不同的国家,每个国家三人.他们随机地选择有九把椅子 的圆桌.若每位代表旁至少有来自另外国家的一位代表的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n9 A9 3 3 3 A3 A3 A3解:设集合 A,B,C 分别是第一、二、三个国家的代表坐在相邻座位的坐法,则他们随机地的坐法数==1680,|A|(从九把椅子中选一把给第一个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选三把安排第二个 国家的代表就坐,第三个国家坐余下的三把椅子)=9C6 ,同理可得:|B|=|C|=9C6 ;|A∩B|(从九把椅子中选一把给第一个国 家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选一把给第二个国家的一名代表坐 ,其他两名按 顺时针依次就坐(有 4 种),第三个国家坐余下的三把椅子)=9×4,同理可得:|B∩C|=|C∩A|=9×4;|A∩B∩C|=9×2.由容 斥原理知,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=450 ?m 450 41 =1= ? m+n=97. n 1680 563 3② (2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题 ) 随机地投掷 4 颗骰子 , 其中有两颗骰子所示数字之和为 9 的概率 为 .4解:4 颗骰子的每次投掷所示结果为一基本事件,X 记全部基本事件的集合.显然有|X|=6 ,里|X|表示集合 X 所含元素的个 数,对于每一个 i,i=1,2,?,6},定义集合 Ai:Ai={4 颗骰子所示之数中没有 i 的所有基本事件}.因 9=3+6=4+5,所以每次投 掷结果中有两颗骰子所示数字之和为 9 的集合记为 B,则 B= A3 ? A6 ∪ A4 ? A5 .| A3 ? A6 |=|X|-|A3∪A6|=|X|-(|A3|+|A6||A3 ∩A6|=6 -(5 +5 -4 )=302; 同理有 | A4 ? A5 |=302, 从而得|B|=| A3 ? A6 |+| A4 ? A5 |-| A3 ? A6 ∩ A4 ? A5 |=604-24=580 所求概率=580 644 4 4 4=145 . 3243.①(2002 年美国数学邀请赛(AIME)试题)许多洲用三字母后加三位数的排序作为该洲标准的车牌号的排列模式.已知每 三个字母、每三个数码的排列是等可能的概率.若车牌号中三字母或三数字中至少包含一个是“回文数”(即三字母或三 数字的排列自左至右和自右至左的读法是相同的)的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n解:设事件 A:“车牌号中三字母是“回文数””,事件 B:“车牌号中三数字是“回文数””则 P(A)=1 m 1 7 =P(A+B)(由容斥原理知)=P(A)+P(B)-P(AB)= ? P(AB)=P(A)P(B)= ? ? m+n=59. 260 n 10 52262 263=1 102 ,P(B)= 3 = 26 10②(2001 年美国数学邀请赛(AIME)试题)将 3×3 方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3 ×3 方格表中没有的 2×2 红色正方形的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n8解:给 3×3 方格表编号如图,记事件 Ai:“以 i 为左上角的正方形是红 色正方形”(i=1,2,4,5),则 P(Ai)=(1 4 1 9 ) ,?,P(A1∩A2∩A4∩A5)=( ) . 2 2Y.P.M 数学竞赛讲座详解1 4 7 2 5 8 3 6 9由容斥原理知,3×3 方格表中至少有一个的 2×2 红色正方形的概率= P(A1∪A2∪A4∪A5)=P(A1)+P(A2)+P(A4)+P(A5)-P(A1∩A2)-P(A1∩A4)P(A1∩A5)-P(A2∩A4)-P(A2∩A5)-P(A4∩A5)+P(A1∩A2∩A4)+P(A1∩A2∩A5)+P(A1∩A4∩A5)+P(A2∩A4∩A5)-P(A1∩A2∩A4∩A5)= 4(m 95 417 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 95 ) -[4( ) +2( ) ]+4( ) -( ) = = ? 没有的 2×2 红色正方形的概率 =1? m+n=929. 512 n 512 512 2 2 2 2 25.一一对应 [例 5]:(2005 年全国高中数学联赛试题)将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法, 经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法).[解析]:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列,故共有8！种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有8 ！ 种. 2下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设 x1,x2,?,xk 是依次排列 于 这 段 弧 上 的 小 球 号 码 , 则 |1-x1|+|x1-x2|+ ? +|xk-9| ≥ |(1-x1)+(x1-x2)+ ? +(xk-9)|=|1-9|=8, 上 式 取 等 号 当 且 仅 当 1&x1&x2& ?&xk&9, 即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此 Smin=2 × 8=16. 由上知 , 当每个弧段上的球号 {1,x2,x3,?,xk,9}确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定.在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将 它们分为两个子集,元素较少的一个子集共有 C7 +C7 +C7 +C7 =2 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法, 即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P=6 0 1 2 3 61 26 = . 8 ！ 315 2[类题]:1.①(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)在 1,2,?,2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是 . 解:(法一)三个数成递增等差数列,设为 a,a+d,a+2d,按题意必须满足 a+2d≤2006 ? d≤1002,对于给定的 d,a 可以取 1,2, ?,2006-2d.故三数成递增等差数列的个数为 ? (2006? 2d ) =.三数成递增等差数列的概率为d ?1 10023 C2006=3 ; 4010(法二)三个数 an,am,ak 成等差数列 ? an+ak=2am ? n+k=2m ? n 与 k 同奇,或同偶,且当 n 与 k 确定后,m 惟一确定.令 A= {a1,a3,?,a2n-1},B={a2,a4,?,a2n}.则所取三数 x,y,z 成等差数列与 x,z∈A,或 x,z∈B 成一一对应,故不同等差数列的个数 =An +An =2An ,成递增等差数列的个数=An .本题中,n=1003,概率为2 2 2 22 A1003 3 C 2006=3 . 4010②(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选 3 个不同的数排成一个数列,则这个数列为等 差数列的概率是( (A)1 762 2 A10 3 A20) (B) =1 . 38 1 38(C)1 19(D)2 19解:本题中,n=10,概率为③(2012 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数 列的概率是_______. 解:本题中,n=3,概率为2 A3 3 C6=3 . 102.①(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)圆周上有 10 个等分点,则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形Y.P.M 数学竞赛讲座详解中,梯形所占的比为( (A)8 21494 21 1 126 2 7) (B) (C) (D)解:任选 4 点,共有 C10 =210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行于直径的 5 条平行弦中选取,也可以 5 组 从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,去除矩形,梯形共有 60 个,所以,梯形所占的比为2 . 7②(2008年上海市高中数学竞赛试题)有一个19×19的正方形棋盘,从中任取2条水平线,2,条垂线,围成的图形恰好是正 方形的概率是________. 解:在 n×n 的正方格中,长方形的个数=在 n+1 个横边中,任取 2 个,然后在其中一个横边上的 n+1 个点中,任取 2 个=(Cn+1 ) ; 其中:边长为 1 的正方形有 n 个,边长为 2 的正方形有(n-1) 个,?, 边长为 n 的正方形有 1 个,故正方形的个数=n +(n-1) +1 n(n ? 1)(2n ? 1) 1 13 4n ? 2 ?+1 = n(n+1)(2n+1) ? 概率= 6 = .本题 n=19,P= . 2 2 6 90 3 n ( n ? 1 ) (Cn ) ?12 2 2 2 2 2 2 23.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)将 1,2,?,9 随机填入右图 正方形 ABCD 的九个格子中,则其每行三数,每列三数自上而下、自左而右 顺次成等差数列的概率 P= . 解:把 1,2,?,9 的任意一个排列 a1a2?a9 分成三段 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,然后 把这三段顺次填入表中的一、 二、 三行中,这样 1,2,?,9 的一个排列与表中的一种填法构成一一对应(多排问题单排法), 所以任意填法数为 9！.{(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)},{(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)}分别有 4 种(上、下、左、右不同的填 法)填入法.故 P=8 . 9！②(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)从 1,2,3,?,10 这 10 个号码中任意抽取 3 个号码,其中至少有两个号码是 连续整数的概率是__________. 解:记取得三个互不相邻的号码分别为(m,n,k)(1≤m&n&k≤10),则(m,n-1,k-2)(1≤m&n-1&k-2≤8),即从集合{1,2,?,8} 中取三数,概率=3 3 C10 ? C8 3 C10=8 . 156.不定方程 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关.问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关？ (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少？ (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体.抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数).n[解析]:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的.(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6×4&2 ,6×5&2 ,因此,当 n≥5 时,n 次出现的点数之和大于 2 已不可能.即这是一个 不可能事件,过关的概率为 0.所以最多只能连过 4 关; (Ⅱ)设事件 An 为“第 n 关过关失败”,则对立事件 An 为“第 n 关过关成功”.第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个. 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ? 过此关的概率为:P1=1-p(A1)=11 1 1 n 4 5 n2 2 = ; 6 3第 2 关:事件 A2 所含基本事件数为方程 x+y=a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之和.即有 C1 +C2 +C3 =6 ? 过此关的概 率为:P2=1-P(A2)=16 62=5 ; 62 2 2 2 2 2第 3 关:事件 A3 所含基本事件为方程 x+y+z=a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整数解组数之和.即有 C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 =1056 ? 过此关的概率为:P3=1-P(A3)=156 63Y.P.M 数学竞赛讲座详解=20 2 5 20 100 .故连过前三关的概率为:P1P2P3= × × = . 27 3 6 27 243[类题]:1.①(原创题)等可能的随机抽取集合 N={1,2,3,?,n}(n≥7)的一个三元子集,则所取三元子集满足: “任意两元素之差的 绝对值不小于 3”的概率是 . . 我们称子集 A 为 N 的“好子集”,则这样的“好子集”的个数为解:设抽取集合 A={a1,a2,a3},其中 a1&a2&a3,且 a3≥a2+3≥a1+6.另设小于或等于 a1 的数的个数记为 x1;大于 a3,且小于或等 于 a2 的数的个数记为 x2;大于 a2,且小于或等于 a3 的数的个数记为 x3;大于 a3 的数的个数记为 x4,则 x1+x2+x3+x4=n(x1≥1,x2 ≥3,x3≥3,x4≥0),令 y1=x1,y2=x2-2,y3=x3-2,y4=x4+1,则 y1+y2+y3+y4=n-3.故这样的集合 A 的个数=不定方程 y1+y2+y3+y4=n-33 正整数解的组数= Cn ? 4 .概率=3 Cn ?4 3 Cn.②(原创题)将 20 个相同的小球等可能的随机放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,则每个盒内的球数不小于盒子的 编号数的概率是 .3解:设编号为 1,2,3,4 的盒子中分别放入 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=20,其中非负整数解的组数=C23 ;且满足 xi≥i(令 yi=xi3 i+1,则 y1+y2+y3+y4=14)正整数解的组数= C13 =286.概率=2863 C23=26 . 161③(原创题)3 个人随机坐在一条有 9 个座位的长椅上,则相邻两人之间至少有两个空位的概率是.解:三人坐下后,把空位从左到右分成四部分,设这四部分的空位个数分别为 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4=6,且 x1≥0,x2≥2,3 3 3 x3≥2,x4≥0,令 y1=x1,y2=x2-2,y3=x3-2,y4=x4,则 y1+y2+y3+y4=2,非负整数解个数= C5 ,不同的坐法有 A3 =60 种.概率= C5603 A9=5 . 422.①(2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)将正整数 1,2,3,4,5,6,7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数 的和与第二组数的和相等的概率是 .7解:因为 U={1,2,3,4,5,6,7}的每一个分组 U=X∪CUX 与 U 的非空真子集 X 构成一一对应,所以分组数为 2 -2;因 1+2+3+4+5+ 6+7=28,所以 X 中数的和=14,无两数和等于 14,x1+x2+x3=14(1≤x1&x2&x3≤7)的解:(1,6,7),(2,5,7),(3,5,6),(3,4,7);x1+ x2+x3+x4=14(1≤x1&x2&x3&x4≤7)的解:(1,2,5,6),(1,2,4,7),(1,3,4,6),(2,3,4,5). 共 8 组,故所求概率=8 27 ? 2=4 . 63②(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)一项“过关游戏”的规则规定:在第 n 关要抛一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛 n 掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关.则连过前 3 关的概率为_________. 3.①(2007 年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试试题)从 1 到 9 这九个数字中任取 3 个数字组成没有重复 数字的三位数,则这个三位数能被 3 整除的概率为 .解:三位数能被 3 整除 ? 三个数字 a,b,c 和被 3 整除 ? a+b+c=6,9,12,15,18,21,24.①a+b+c=6 ? (a,b,c)=(1,2,3),1 个;②a+b+c=9 ? (a,b,c)=(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4),3 个;③a+b+c=12 ? (a,b,c)=(1,2,9),(1,3,8),(1,4,7),(1,5, 6),(2,3,7),(2,4,6),(3,4,5),7 个;④a+b+c=15 ? (a,b,c)=(1,5,9),(1,6,8),(2,4,9),(2,5,8),(2,6,7),(3,4,8),(3, 5,7),(4,5,6),8 个 ; ⑤ a+b+c=18 ? (a,b,c)=(1,8,9),(2,7,9),(3,6,9),(3,7,8),(4,5,9),(4,6,8),(5,6,7),7 个 ; ⑥ a+b+c=21 ? (a,b,c)=(4,8,9),(5,7,9),(6,7,8),3 个;⑦a+b+c=24 ? (a,b,c)=(7,8,9),1 个.共 30 个.P= ②(2001 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一枚骰子掷四次,后三次的点数都不小于上一次的点数的概率为 求 m+n. 解:一枚骰子掷四次有 6 种结果;设掷骰子四次得到的点数分别为 x1,x2,x3,x4(x1≤x2≤x3≤x4).考虑 x4-x1=n(0≤n≤5);43 30 A3 3 A9=5 . 14m ((m,n)=1), nY.P.M 数学竞赛讲座详解211①若 x4-x1=0,则 x1 与 x4 有 6 种,x2 与 x3 有 1 种取法,计 6×1 种;②若 x4-x1=1,则 x1 与 x4 有 5 种,x2 与 x3 有 3 种取法,计 5×3 种;③一般地,若 x4-x1=k,则 x1 与 x4 有 6-k 种,x2 与 x3 有 Ck+2 (x2 与 x3 可从 x1,x1+1,?,x2=x1+k 共 k+1 个中选 2 个(允许重复)=(k2 +1)+Ck+1 =Ck+2 )种取法,计(6-k)Ck+2 种;因此, ? (6 ? k )Ck ?2 =126.2 2 25k ?0m 126 7 = 4 = ? m+n=79. 72 n 67.对立事件 [例7]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)骰子是一个质量均匀的立方体,6个面上分别刻有1,2,3,4,5,6.现在桌面上有3枚骰子分别为木制、 骨制、 塑料制的,重复下面操作,直至桌面上没有骰子:将桌面上的全部骰子掷出,然后去掉那 些奇数点的骰子.求完成以上操作的次数多于三次的概率.[解析]:先考虑至多三次完成操作的概率,其中:①第一次有 3 枚骰子出现奇数点的概率为 C33( 1 )3(此时仅一次即完成操2作);②第一次有 2 枚骰子出现奇数点,且二次或三次完成操作的概率为 C3 ( 数点,且二次或三次完成操作的概率为 C3 ( 率为 C3 (0 121 3 1 1 2 ) [ +( ) ];③第一次有 1 枚骰子出现奇 2 2 21 3 2 1 2 ) [C2 ( ) +;④第一次有 3 枚骰子出现偶数点,且二次或三次完成操作的概 2 21 3 ) (此时).综上,至多三次完成操作的概率为故完成以上操作多于三次的概率为 2[类题]:1.①(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)同时投掷三颗骰子,至少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 成既约分数). 解:考虑对立事件,P=1-(5 3 91 )= . 216 6(结果要求写②(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名女生 的概率为34 .则 n=__________. 353 C3 3 Cn ?3解:考虑对立事件,1-=34 3 ? Cn+3 =35 ? n=4. 35③(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业 被抽中的概率是 解:考虑对立事件,P=12 C28 2 C30(结果用最简分数表示). =19 . 1452.①(2010 年上海市高中数学竞赛试题)设甲袋中有 4 只白球、5 只红球、6 只黑球,乙袋中有 7 只白球、6 只红球、2 只 黑球.若从两袋中各取一球,则两球颜色不同的概率是 解:两球颜色相同的概率= (用最简分数作答).4 ? 7 ? 5 ? 6 ? 6 ? 2 14 14 31 = = . ? 两球颜色不同的概率=115 ? 15 45 45 45②(2010 年上海市高中数学竞赛试题)已知由 1,2,?,1000 这 1000 个正整数构成的集合 A,先从集合 A 中随机取一个数 a,取出后把 a 放回集合 A,然后再从集合 A 中随机取一个数 b,求1000a 1 & 的概率. b 3解:a 1 1 1 a 1 ≤ ? a≤ b ? a≤[ b] ? P( ≤ )= b ?1 = b 3 3 3 b 3 1000 ? 1000? [ 3 b]1332k ?1? 3k ? 333 ? 3331000 2=333 1667 a 1 a 1 . ? P( & )=1-P( ≤ )=
b 3 b 33.①(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n,则函数 y= [1,+∞)上为增函数的概率是 .2 3 mx -nx+1 在 312解:函数 y=Y.P.M 数学竞赛讲座详解2 3 2 mx -nx+1 在[1,+∞)上为增函数 ? y?? =2mx -n≥0 在[1,+∞)恒成立 ? 2m-n≥0.但符合 2m&n 条件的有(1,3), 3 6 5 = . 36 6(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共 6 种,故概率=1-②(1979 年美国数学竞赛(AMC)试题)任意选择一对有序整数(b,c),其中每一个整数的绝对值小于或等于 5,每一对这样 的有序整数被选择的可能性是相等的.方程 x +bx+c=0 没有相异正实根的概率是2 2.解: “没有相异正实根” 的对立事件 “有相异正实根” ? b -4c&0,b&0,c&0 ? (b,c)=(-3,1),(-4,1),(-5,1),(-3,2)(-4,2), (-5,2),(-4,3),(-5,3),(-5,4),(-5,5),共 10 对;概率=110 112=111 . 1218.事件关系 [例 8]:(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)如图是一个由 3×4 个单位方格组成的街道地图,线条为 道路.甲从 A(0,0)点出发按最短路程走向 B(4,3), 乙从 B 点按最短路程走向 A 点,如果他们同时出发, 并且以相同的速度前进,那么,甲和乙在路上相遇的概率是多少？ A(0,0)B(4,3)[解析]:设甲乙经过一个单位长的线段需要时间 T＝1 如图不难算出,甲从 A 出发,当 T＝3 时,到达点 P1(0,3),P3(1,2),1 3 3 1 P5(2,1),P7(3,0)的概率分别为 , , , .同理,乙从 B 点出发,当 T＝3 时,到达点 P2(1,3),P4(2,2),P6(3,1),P8(4， 0)的概率 8 8 8 8 1 3 3 1 1 1 1 1 分别为 , , , .甲和乙在路段 P1P2 上相遇的概率是:甲经过 P1P2 的概率×乙经过 P1P2 的概率＝ ×( × )＝ ;同理;甲和 8 8 8 8 8 8 2 128 乙在路段 P2P3 上相遇的概率为 在路段 P5P6 上相遇的概率为 3 9 9 ;甲和乙在路段 P3P4 上相遇的概率为 ;甲和乙在路段 P4P5 上相遇的概率为 ;甲和乙 256 256 2569 3 1 ;甲和乙在路段 P6P7 上相遇的概率为 ;甲和乙在路段 P7P8 上相遇的概率为 .综上所述. 256 256 1281 3 9 9 9 3 1 37 甲和乙在路上相遇的概率为 + + + + + + = . 128 256 256 256 256 256 128 256[类题]:1.①(1994年美国数学竞赛(AMC)试题)一袋正在爆的玉米,其中 有2 1 1 是白粒的, 是黄粒的,又知白粒的有 会爆开,黄粒的 3 3 22 会爆开.今从袋中任选一粒放锅中发生爆花,则它是白粒玉米的概率是 3.1 2 2 2 1 1 1 3 解:会爆白粒玉米占 × = ,会爆黄粒玉米占 × = ,则在会爆的玉米中是白粒玉米的概率= 3 = . 1 2 5 3 9 3 2 3 3 ? 3 9②(2011 年上海市高中数学竞赛试题)甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为1 ,则甲最后获胜的概率是 2.1 2 1 3 ) +2( ) + 2 2解:设每局比赛甲胜的事件为 A,则甲最后获胜的概率 P=P(AA)+P(A A A+ A AA)+P( A A AA+ A A A A+A A A A)=( 3(1 4 11 )= . 2 16③(1983年美国数学竞赛(AMC)试题)事件A出现的概率是3 2 ,事件B出现的概率是 ,设P是A和B同时出现的概率,那么包 4 3Y.P.M 数学竞赛讲座详解含的区间是 .13解:因P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=5 5 2 3 2 3 2 + -P;由P(A+B)≤1 ? P≥ ;由P(A+B)≥max{P(A),P(B)}= ? P≤ .P∈[ , ]. 12 12 3 4 3 4 32.①(2009 年美国数学邀请赛(AIME)试题)抛一枚硬币,设正面朝上的概率为 p(0&p&1),背面朝上的概率为 1-p.现抛该硬 币8次,其中,3次正面朝上5次背面朝上的概率是5次正面朝上3次背面朝上的 解:C9 p (1-P) =3 3 5m 1 .令p= (m,n∈N+,(m,n)=1),求m+n. n 251 5 5 5 3 C9 p (1-P) ? p= ? m+n=11. 25 6②(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)在一次投篮测试中,每人只要投中3个,即为合格,不用再投,不过每人至多 只能投5次.一投篮命中率为2 的球员,其测试合格的概率为 33.解:3 次投篮投中 3 个的概率=C3 ( 5 次必命中)的概率=C4 (22 3 2 2 2 2 2 ) ;4 次投篮投中 3 个(第 4 次必命中)的概率=C3 ( ) (1- ) ;5 次投篮投中 3 个(第 3 3 3 32 2 2 22 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 64 3 2 ) (1- ) .其测试合格的概率=C3 ( ) +C3 ( ) (1- ) +C4 ( ) (1- ) = . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 813.①(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)甲队在某足球联赛中要和其他六支队伍各比赛一场.已知甲队在任何一场比赛 中胜、负、平的概率都为m 1 .设甲队在这六场比赛中胜的场数多于负的场数的概率为 ((m,n)=1),求m+n. n 3 1 36解:设甲队胜多负少的概率为 p,胜负一样的概率为 q,则甲队胜少负多的概率也为 p ? 2p+q=1.①全是平局的概率=( ) ; ②一胜一负的概率=C6 C5 ( ) ;③二胜二负的概率=C6 C4 ( ) ;④三胜三负的概率=C6 ( ) ? q=(1+30+90+20)(? p=98 1 (1-q)= ? m+n=341. 243 21 11 36221 3631 361 6 47 )= 243 3②(2009 年美国数学邀请赛(AIME)试题)戴维和琳达各自掷六面骰子.当掷出“6 点”时停止掷骰子.记两人掷骰子次数 至多相差一次的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n解:因第 k 次才出现“6 点”的概率 Pk=(11 5 k-1 1 ) .①若戴维掷一次即停止,则琳达应掷一次,或二次,概率为 P1(P1+P2)= 3 ; 6 6 6 91 64②若戴维掷 k 次即停止,则琳达应掷 k-1 次,或 k 次,或 k+1 次,概率为 Pk(Pk-1+Pk+Pk+1)=5 8 6 = ? ? m+n=41. 5 2 33 1? ( ) 6(m 11 91 5 2k-3 ) ? = + n 63 6 4 6k ?2? ( 6 ) 2k ?3 =?511 63+91 649.计数事件 [例9]:(2012年全国高中数学联赛试题(B卷))一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字1,2,?,6,每次投掷这样两个相同的骰子,规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数.那么,投掷3次所得3个点数之积能被14整除的概率是 (用最简分数表示).[解析]:(法一)易知,在一次投掷中,投出的点数是 7 的概率为是奇数但不是 7 的概率为6 1 1 = ,投出的点数是奇(偶)数的概率为 ? 投出的点数 36 6 21 1 1 - = .在 3 次投掷中,记 “仅有一次投出的点数是 7,另两次中至少有一次投出的点数是偶数” 2 6 3为事件 A,“有两次投出的点数都是 7,另一次投出的点数是偶数”为事件 B,显然 A 与 B 互斥.故所求事件为 C=A+B.因为14P(A)=C3 ×1Y.P.M 数学竞赛讲座详解1 1 1 1 2 7 1 2 1 1 7 1 1 1 2 [C2 × × +( ) ]= ,P(B)=C3 ( ) × = + = ; ? P(C)=P(A)+P(B)= 6 2 3 2 24 6 2 24 24 24 3(法二)在3次投掷中,记“至少有一次投掷的点数是偶数”为事件A,“至少有一次投掷的点数是7”为事件B,则所求事件为 C=A ? B=A∩B ? C = A ∪ B ? P( C )=P( A ∪ B )=P( A )+P( B )-P( A ∩ B )=(11 3 6 3 1 6 3 2 1 ) +(1) -( ) = ? P(C)= . 2 36 2 36 3 3[类题]:1.①(2011 年全国高中数学联赛广西初赛试题)在 1～2000 中随机地取一个数,取到的整数能被 6 整除但不能被 4 整除的 概率是( (A)1 4) (B)83 1000(C)167 1000(D)3 4解:设事件 A 为“取到的数能被 6 整除”,事件 B 为“取到的数能被 4 整除”.由 333& 的最小公倍数为 12,166& P(A)-P(AB)=167 . 10004,知 P(A)= .而 6 与 4 6 20007,所以,恰有 166 个数既能被 6 整除又能被 4 整除,即 P(AB)= .因此所求概率为 12 2000②(2005 年美国数学邀请赛(AIME)试题)某饭店为 3 位客人准备了早餐,每份早餐包括三种不同的饭团,一个坚果的、 一 个奶酪的、 一个水果的.厨师在做这 9 个饭团时,给这 9 个饭团都做了包装,而一旦包装后,饭团的类型就无法区分了.厨师 随机地给 3 位客人的餐包里各放了 3 个饭团.若三位客人均能得到三种不同饭团的概率为 解:第一位客人得到三种不同饭团的概率为1 3 (C 3 ) 3 C9m ((m,n)=1),求 m+n. n=9 (C 1 ) 3 2 ;第二位客人得到三种不同饭团的概率为 23 = ;第三位客人得 28 5 C6到三种不同饭团的概率为1 ?m 9 2 = × ×1 ? m+n=79. n 28 52.(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)正四面体的 4 个面分别写着 1,2,3,4,将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于 桌面上,与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 解:事件 “4个数均为奇数” 的概率P1=( .1 4 1 1 31 1 13 1 ) = ;事件 “3个数为奇数,1个数为2” 的概率P2=C4 ( ) = .故P=1-P1-P2= . 2 16 2 4 8 163.(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)标号 1,2,?,13 各 4 种颜色的卡片,共计 52 张,加上两张空白卡片,平均放入 三个不同的盒子,若某个盒子中,有两张空白卡片,4 张 1,且 2,3,?,13 号卡片各一张,称该盒是 “超级盒” .则出现超级盒 的概率为 (列出算式即可).1 1 4 ,4 个 1 放入该盒的概率为( ) ,以后 3 31 12 1 1 4 (C4 ) ( ) . 12 3 3 C48解:先考虑一张空白卡片肯定要放入一个盒中,第二张空白卡也放入该盒的概率为 的过程是从剩余的 48 张卡片中取出 12 张,每个号码恰取一个的概率为1 12 (C4 ) 12 C48? 出现超级盒的概率为10.递推概率 [例10]:(2006年全国高中数学联赛山东初赛试题)中国男子篮球甲级联赛的规则规定:每场比赛胜者得2分,负者得1分(每场比赛,即使通过加时赛也必须分出胜负).某男篮甲级队实力强劲,每场比赛获胜的概率为3 1 、 失利的概率为 .求该 4 4队在赛程中间通过若干场比赛获得n分的概率(设该队这一赛季的全部比赛场次数为S,这里0&n≤S).[解析]:设经过若干场比赛,该队获n分的概率为pn,则有p1= ,p2=p12+ ==4 3 3 n + (- ) . 7 7 41 43 413 1 3 ;当n&2时,有Pn+1= Pn-1+ Pn-2(2&n≤S) ? Pn 16 4 4Y.P.M 数学竞赛讲座详解 [类题]:m ((m,n)=1),求 m+n. n151.①(2003 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一只蚂蚁从等边三角形的一个顶点开始爬行,每次爬行可随机选择向另一个顶 点沿边线爬行.假设蚂蚁第十次爬回起始顶点的的概率为解:设蚂蚁第n次爬回起始顶点的的概率为Pn,则P0=1,P1=0,又第n-1次不在起始顶点,而在另外2个点上的概率为1-Pn-1,从 而第n步回到起始顶点的概率为171 1 1 2n ?1 ? (?1) n (1-Pn-1) ? Pn= (1-Pn-1) ? Pn= ? P10= ? m+n=683. 512 2 2 3 ? 2n ?1②(1985 年美国数学邀请赛(AIME)试题)设正四面体的四个顶点是 A,B,C,D,各棱长为 1 米.有一个小虫从点 A 开始按以 下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一,并一直爬到这个棱的尽头.设它爬了 7 米以 后位于顶点 A 的概率为n ,求 n 的值. 729解:设它爬了n米以后位于顶点A的概率为Pn,则P0=1,P1=0,又第n-1步不在点A,而在另外n-1个点上的概率为1-Pn-1,从而第n 步回到点A的概率为182 1 1 3n ?1 ? (?1) n (1-Pn-1) ? Pn= (1-Pn-1) ? Pn= ? P7= ? n=182. 729 3 3 4 ? 3n ?12.(1994 年美国数学邀请赛(AIME)试题)一种单人纸牌游戏,其规则如下:将 6 对不相同的纸牌放入一个书包中,游戏者每 次随机地从书包中抽牌并放回,不过当抽到成对的牌时,就将其放到一边.如果游戏者每次总取三张牌,若抽到三张牌的中 两两互不成对,游戏就结束;否则抽牌继续进行直到书包中没有牌为止.设书包空的概率为 解:设书包中有 n(n≥2)对不相同的纸牌,第一次抽取的三张牌书中有 2 张成对的概率为m ((m,n)=1),求 m+n. n1 1 Cn C2n ? 2 3 C2 n=3 ;设包空的概率为 2n ? 1Pn,则 P2=1(抽到三张牌的中不可能两两互不成对,故游戏不结束,即直到书包空),P(n)=? P(n)=9 3n ? 2 ? P(6)= ? m+n=394. 385 5 ? 7 ? ? ? ?(2n ? 3)(2n ? 1)3 P(n-1)(即逐次减少一对) 2n ? 13.(《中等数学》.2012 年第 6 期.数学奥林匹克高中训练题(154))已知条 100 线段的长度集合 N={x||x-50|≤50,且 x∈ N+}.试求从这些线段中任取三条线段能够构成三角形的概率. 解:|x-50|≤50 ? 0≤x≤10 ? N={1,2,?,100},本题转化并一般化为:从集合 N={1,2,?,n}中任取三个数,且其中两个 较小数的和大于最大数的取法有 an,易得 a3=0,a4=1,对于 an+1: Ⅰ:所取三数中没有 n+1,此时有 an 种;Ⅱ:所取三数中有 n+1,此时分类如下表: 由表知需分两种情况: ①当 n 为偶数时,表中个数和=(n-2)+ (n-4)+?+2=n ( n ? 2) n ( n ? 2) ? an+1=an+ 4 4最大数 n+1 n+1 n+1 …较大数 n n-1 n-2 …最小数 2,3,…,n-1 3,4,…,n-2 4,5,…,n-3 …个数 n-2 n-4 n-6 …②当 n 为奇数时,表中个数和=(n-2)+ (n-4)+?+3+1=(n ? 1) (n ? 1) ,an+1=an+ ; 4 42 2⑴当 n 为偶数时,an+2=an+1+8 2n2 n ( n ? 1) n ( n ? 2) n 2 1 2 2 =an+ + =an+ ? an=a4+(a6-a4)+(a8-a6)+?+(an-an-2)=1+ [(4 -4)+(6 -6)+ 4 4 2 4 22 2(8 -8)+?+((n-2) -(n-2))]=1+2[2 +3 +?+(n?2 2 n?2 n?2 2 n?2 2 2 2 ) ]-(3+4+?+ )=2[1 +2 +3 +?+( ) ]-(1+3+4+?+ )= 2 2 2 2n?2 n?2 n?2 n?2 n?2 ( ? 1)(2 ? ? 1) ( ? 1) 1 65 a 2 2 2 2 2 - 2 = n(n-2)(2n-5);本题 P= 100 = . 3 24 132 6 2 C10016⑵当 n 为奇数时,an+2=an+1+2 2Y.P.M 数学竞赛讲座详解( n ? 1)(n ? 1) 1 (n ? 1) 2 ( n ? 1)(n ? 1) n ( n ? 1) 2 =an+ + = ? an=a3+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(an-an-2)=0+ [(3 4 4 2 2 4n ?1 2 n ?1 2 1 1 1 n ?1 2 2 2 2 [(1 +3 +5 +?+(n-2) -(1+3+5+?+(n-2)]= { [4( ) -1]-( ) }=?. 2 2 2 2 3 22 23)+(5 -5)+?+((n-2) -(n-2))]=2 2 2 2 2 2注:1 +3 +5 +?+(2n-1) =4(1 +2 +3 +?+n )-4(1+2+3+?+n)+(1+1+1+?+1)=4n ( n ? 1)(2 n ? 1) n ( n ? 1) 1 2 -4 +n= n(4n -1). 6 2 311.数学期望 [例 11]:(2008 年全国高中数学联赛试题)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 比赛停止时已打局数ξ 的期望 Eξ 为( (A)241 81 2 1 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则 3 3)266 81(B)(C)247 81(D)2 3670 81 1 3[解析]:(法一)依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为( )2+( )2=5 .若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从 9而有 P( ξ =2)= (B).5 5 5 20 16 5 20 16 266 ,P(ξ =4)=(1- ) = +6 × = .选 ? P( ξ =6)=1-P(ξ =2)-P( ξ =4)= ? E ξ =2 × +4× 81 9 9 9 81 81 9 81 81(法二)依题意知,ξ 的所有可能值为 2,4,6.令 An 表示甲在第 n 局比赛中获胜,则 An 表示乙在第 n 局比赛中获胜.由独立性5 20 ,P(ξ =4)=P(A1 A2 A3A4+A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A2 A3A4+ A1 A2 A3 A4 )= ? P(ξ =6) 9 81 16 5 20 16 266 =1-P(ξ =2)-P(ξ =4)= +6× = .选(B). ? Eξ =2× +4× 81 81 9 81 81与互不相容性得 P(ξ =2)=P(A1A2+ A1 A2 )=[类题]:1.①(2005 年全国高