请问一下这个题怎么做
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　　考研数学在考试中所占比例比较大，是考试复习的重点内容，2018年考研的同学一定要对这部分知识必须&吃懂&、&吃透&，以下是跨考网老师为大家整理的：考研数学不定积分的计算之裂项积分法，希望对大家的复习有所帮助。
第八讲　不定积分与定积分的各种计算方法
　　一、不定积分
　　2不定积分的计算
　　(1)裂项积分法
& & & &小编说：有事没事考个研，现在投资自己，10年之后就不会挣扎在5k左右的工资，不会被训练的为不到1k的调薪就觉得应该欢呼，不会看着年轻人如何时间自主的文章而兴叹，也不会将出国游的计划一再被搁置...没有出社会的人总觉得工作很容易，月薪过万就是应该，可骨感的现实告诉你，高学历的人往往更容易更快的实现月薪过万！！改变，就从你加入秋季集训营开始！
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微积分与数列的问题一道微积分题,前面求了一大堆,然后求出递推公式A(n)=1-A(n-1)/2且A1=1.想问下怎么求通项.我用递推法最后要讨论A1前的运算符号,其他方法套不上.答案上这里是用先列出几项,然后用猜通项的,我觉得这样不好.对了,然后是要求A(n)趋近无穷时的值,还是比较简单的.
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此体应当用构造法,(2An)-2=-(An-1).两边同时加2/3得2((An)-2/3)=-((An-1)-2/3).除过来可以看出An-2/3是等比数列,令bn=an-2/3则bn=(1/3)*2^(1-n),所以an=bn+2/3,取极限得2/3 .你好好想想
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我不是大神。 背景：某二本院校大四学生； 说一说自己的学习经历吧。不知道能不能对题主有所帮助。 跟大多数人一样，是从Andrew Ng大神的coursera课程接触到机器学习。在学那门课的时候也就老老实实的看完，看到最后，听到Andrew说看完这些课程的人基本上已…
好东西不敢独享，转载一发。&br&&br&正在学习林轩田的机器学习基石和吴恩达的机器学习，感觉讲的还不错，数学基础还是蛮重要的。&br&&br&&blockquote&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&&/p&&p&感谢贡献者： tang_Kaka_back@新浪微博&/p&&p&欢迎补充指正，转载请保留原作者和原文链接。 本文是 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习日报&/a&的一个专题合集，欢迎订阅：请给&a href=&mailto:?subject=%E8%AE%A2%E9%98%85%E6%9C%BA%E5%99%A8%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%97%A5%E6%8A%A5%20from%20guide&&&/a&发邮件，标题＂订阅机器学习日报＂。&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E5%259F%25BA%25E6%259C%25AC%25E6%25A6%%25BF%25B5& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&基本概念&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//zh.wikipedia.org/zh/%25E6%259C%25BA%25E5%%25E5%25AD%25A6%25E4%25B9%25A0& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习&/a& 机器学习是近20多年兴起的一门多领域交叉学科，涉及概率论、统计学、逼近论、凸分析、算法复杂度理论等多门学科。机器学习理论主要是设计和分析一些让计算机可以自动“学习”的算法。机器学习算法是一类从数据中自动分析获得规律，并利用规律对未知数据进行预测的算法。因为学习算法中涉及了大量的统计学理论，机器学习与统计推断学联系尤为密切，也被称为统计学习理论。算法设计方面，机器学习理论关注可以实现的，行之有效的学习算法。&/p&&p&下面从微观到宏观试着梳理一下机器学习的范畴：一个具体的算法，领域进一步细分，实战应用场景，与其他领域的关系。&/p&&p&图1: 机器学习的例子：NLTK监督学习的工作流程图 (source: &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.nltk.org/book/ch06.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&nltk.org/book/ch06.html&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&)&/p&&p&图2: 机器学习概要图 by Yaser Abu-Mostafa (Caltech) (source: &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//work.caltech.edu/library/181.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Map of Machine Learning (Abu-Mostafa)&/a&)&/p&&p&图3: 机器学习实战：在python scikit learn 中选择机器学习算法 by Nishant Chandra (source: &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//n-chandra.blogspot.com/2013/01/picking-machine-learning-algorithm.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&In pursuit of happiness!: Picking the right Machine Learning Algorithm&/a&)&/p&&p&图4: 机器学习和其他学科的关系： 数据科学的地铁图 by Swami Chandrasekaran (source: &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//nirvacana.com/thoughts/becoming-a-data-scientist/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Becoming a Data Scientist&/a&)&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E5%%25E9%%25E6%2594%25BB%25E7%& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&入门攻略&p&大致分三类： 起步体悟，实战笔记，行家导读&/p&&ul&&li&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.guokr.com/post/512037/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门者学习指南 @果壳网&/a& (2013) 作者 &a 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Feasible?&/li&&li&The Linear Model I&/li&&li&Error and Noise&/li&&li&Training versus Testing&/li&&li&Theory of Generalization&/li&&li&The VC Dimension&/li&&li&Bias-Variance Tradeoff&/li&&li&The Linear Model II&/li&&li&Neural Networks&/li&&li&Overfitting&/li&&li&Regularization&/li&&li&Validation&/li&&li&Support Vector Machines&/li&&li&Kernel Methods&/li&&li&Radial Basis Functions&/li&&li&Three Learning Principles&/li&&li&Epilogue&/li&&/ol&&p&&strong&2014年 林軒田(国立台湾大学) 機器學習基石 (Machine Learning Foundations)&/strong& -- 内容更适合进阶，華文的教學講解 &a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.coursera.org/course/ntumlone& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&课程主页&/a&&/p&&p&When Can Machines Learn? 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[機器可以怎麼樣學得更好] -- Hazard of Overfitting [過度訓練的危險] -- Preventing Overfitting I: Regularization [避免過度訓練一：控制調適] -- Preventing Overfitting II: Validation [避免過度訓練二：自我檢測] -- Three Learning Principles [三個機器學習的重要原則]&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E6%259B%25B4%25E5%25A4%259A%25E9%E6%258B%25A9& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&更多选择&p&&strong&2008年Andrew Ng CS229 机器学习&/strong& -- 这组视频有些年头了，主讲人这两年也高大上了.当然基本方法没有太大变化，所以课件PDF可下载是优点。 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//v.163.com/special/opencourse/machinelearning.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&中文字幕视频@网易公开课&/a& | &a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/playlist%3Flist%3DPLA89DCFA6ADACE599& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&英文版视频@youtube&/a& |&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//cs229.stanford.edu/materials.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&课件PDF@Stanford&/a&&/p&&p&第1集.机器学习的动机与应用 第2集.监督学习应用.梯度下降 第3集.欠拟合与过拟合的概念 第4集.牛顿方法 第5集.生成学习算法 第6集.朴素贝叶斯算法 第7集.最优间隔分类器问题 第8集.顺序最小优化算法 第9集.经验风险最小化 第10集.特征选择 第11集.贝叶斯统计正则化 第12集.K-means算法 第13集.高斯混合模型 第14集.主成分分析法 第15集.奇异值分解 第16集.马尔可夫决策过程 第17集.离散与维数灾难 第18集.线性二次型调节控制 第19集.微分动态规划 第20集.策略搜索&/p&&p&&strong&2012年余凯(百度)张潼(Rutgers) 机器学习公开课&/strong& -- 内容更适合进阶 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//wenku.baidu.com/course/view/49e8b8f67c1cfad& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&课程主页@百度文库&/a& ｜ &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//bigeye.au.tsinghua.edu.cn/DragonStar2012/download.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&课件PDF@龙星计划&/a&&/p&&p&第1节Introduction to ML and review of linear algebra, probability, statistics (kai) 第2节linear model (tong) 第3节overfitting and regularization(tong) 第4节linear classification (kai) 第5节basis expansion and kernelmethods (kai) 第6节model selection and evaluation(kai) 第7节model combination (tong) 第8节boosting and bagging (tong) 第9节overview of learning theory(tong) 第10节optimization in machinelearning (tong) 第11节online learning (tong) 第12节sparsity models (tong) 第13节introduction to graphicalmodels (kai) 第14节structured learning (kai) 第15节feature learning and deeplearning (kai) 第16节transfer learning and semi supervised learning (kai) 第17节matrix factorization and recommendations (kai) 第18节learning on images (kai) 第19节learning on the web (tong)&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E8%25AE%25BA%25E5%259D%259B%25E7%25BD%%25AB%2599& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&论坛网站&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E4%25B8%25AD%25E6%& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&中文&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.52ml.net/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&我爱机器学习&/a& 我爱机器学习&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.mitbbs.com/bbsdoc/DataSciences.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&mitbbs.com/bbsdoc/DataS&/span&&span class=&invisible&&ciences.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& MITBBS－ 电脑网络 - 数据科学版&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.guokr.com/group/262/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习小组&/a& 果壳 & 机器学习小组&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//cos.name/cn/forum/22& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&cos.name/cn/forum/22&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a& 统计之都 >> 统计学世界 >> 数据挖掘和机器学习&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//bbs.byr.cn/%23%21board/ML_DM& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&北邮人论坛-北邮人的温馨家园&/a& 北邮人论坛 && 学术科技 && 机器学习与数据挖掘&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E8%258B%25B1%25E6%& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&英文&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/josephmisiti/awesome-machine-learning& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&josephmisiti/awesome-machine-learning · GitHub&/a& 机器学习资源大全&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//work.caltech.edu/library/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Machine Learning Video Library&/a& Caltech 机器学习视频教程库，每个课题一个视频&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.kdnuggets.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Analytics, Data Mining, and Data Science&/a& 数据挖掘名站&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.datasciencecentral.com/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&datasciencecentral.com/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a& 数据科学中心网站&/p&&a class=& wrap external& href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ml.memect.com/article/machine-learning-guide.html%23%25E4%25B8%259C%25E6%258B%%25A5%25BF%25E6%2589%25AF& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习入门资源不完全汇总&/a&东拉西扯&p&一些好东西，入门前未必看得懂，要等学有小成时再看才能体会。&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Machine_learning%23Machine_learning_and_data_mining& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习与数据挖掘的区别&/a&&/p&&ul&&li&机器学习关注从训练数据中学到已知属性进行预测&/li&&li&数据挖掘侧重从数据中发现未知属性&/li&&/ul&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.quora.com/What-are-some-good-machine-learning-jokes& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dan Levin, What is the difference between statistics, machine learning, AI and data mining?&/a&&/p&&ul&&li&If there are up to 3 variables, it is statistics.&/li&&li&If the problem is NP-complete, it is machine learning.&/li&&li&If the problem is PSPACE-complete, it is AI.&/li&&li&If you don't know what is PSPACE-complete, it is data mining.&/li&&/ul&&p&几篇高屋建瓴的机器学习领域概论, 参见&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//machinelearningmastery.com/best-machine-learning-resources-for-getting-started/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&原文&/a&&/p&&ul&&li&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.cs.cmu.edu/%7Etom/pubs/MachineLearning.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Discipline of Machine Learning&/a&Tom Mitchell 当年为在CMU建立机器学习系给校长写的东西。&/li&&li&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//homes.cs.washington.edu/%7Epedrod/papers/cacm12.pdf& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A Few Useful Things to Know about Machine Learning&/a& Pedro Domingos教授的大道理，也许入门时很多概念还不明白，上完公开课后一定要再读一遍。&/li&&/ul&&p&几本好书&/p&&ul&&li&李航博士的《统计学习方法》一书前段也推荐过，给个&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//book.douban.com/subject//& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&豆瓣的链接&/a&&/li&&/ul&&/blockquote&
好东西不敢独享，转载一发。 正在学习林轩田的机器学习基石和吴恩达的机器学习，感觉讲的还不错，数学基础还是蛮重要的。 感谢贡献者： tang_Kaka_back@新浪微博欢迎补充指正，转载请保留原作者和原文链接。 本文是 …
作者：许铁-巡洋舰科技&br&链接：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&非线性动力学是怎么解复杂系统的 - 混沌巡洋舰 - 知乎专栏&/a&&br&来源：知乎&br&著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。&br&&br&&p&&b&非线性动力学，是物理学的思维进入传统方法所不能解决的问题的一座丰碑。&/b&也是非常有前途的工具学科，它为大数据时代提供潜在的分析引擎。&/p&&p&为什么说非线性，因为物理之外的系统大多数不能用线性系统表述（详情请见《动力学是如何做预测的》）。&/p&&p&&b&上一篇文章说过，动力学的核心使命是预测系统的变化，非线性动力学在这点上也是一样的。&/b&一个经典的非线性动力学系统具有标准的表述形式：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c92d9b04e23c4589abe8fa6a6e694198_b.png& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&181& class=&content_image& width=&365&&&/figure&预测一个系统的未来，你需要知道它在微小时间尺度里的性质并列出动力学方程（上文）。&/p&&p&x是一个向量（vector），它所具有的分量个数即系统的维度。&br&&/p&&p&&b&维度是动力学系统的最基本属性 。它决定系统的复杂性，及其可能具有的基本性质。 还有，我们有多大把握预测系统的未来。&/b&&br&&/p&&p&看完这篇文章你就明白，高维空间绝非之存在于宇宙之边（广义相对论）或者加速器的深处（弦论），而是你我的生活中处处皆是。&br&&/p&&p&&b&本篇我将就着从低维到高维的顺序，用图形的思维， 讲述复杂性是如何随着维度升高而产生的，同时，庞加莱，秦皇或者凯恩斯又是如何联系起来的。&/b&&br&&/p&&p&最简单的系统是一维系统，预测一个一维的非线性系统，往往只需抓住一个关键性信息-定点。&br&&/p&&p&&b&I 一维系统与定点（Fix Point） “简单系统偏好平衡”&/b&&br&&/p&&p&&b&马尔萨斯人口论合不合理？&/b&&br&&/p&&p&18世纪末，在工业革命前夜的英国，一个叫做马尔萨斯的伟大思想家提出了这样一个困扰了人类几个实际的问题： 人类的人口呈指数增长，而食物的总量至多成代数增长， 所以当人口的增长超过食物，人类将不可避免的陷入饥荒，疾病和战争。而普遍性的贫穷，是人类文明的宿命。&br&&/p&&p&这个理论解释了为什么许多古代文明陷入发展停滞的泥沼，从埃及，两河领域到古中国。&br&&/p&&p&马尔萨斯的理论，其实诠释的是一个叫&b&Fix Point-定点&/b&的动力学概念。 它所说的是，在一个复杂系统里，事物的增长往往不是线性的，而是存在一定的稳恒状态，系统的变化会逐步减速并自发的把自己维持在这个状态上。&/p&&p&这样的现象几乎在生活中一挑一大把。比如说小孩子长高到一定程度就不长了，你在网上发状态，开始很多人点赞，但在一定时间后减速直至停止。&/p&&p&&b&非线性动力学用定点fix point来描述这种现象。 为什么fix point 普遍存在？ 因为负反馈的普遍存在。&/b&当一个事物像一个方向走的太远，就往往有一种反方向的作用力把它拉回，有点像我们所说的物极必反或阴阳相抵。&/p&&p&回到马尔萨斯， 人口理论其实符合一个叫做Logistic Model的经典一维动力学模型, 它也因它那美妙绝伦的S曲线而闻名。&br&&/p&&p&这个模型说的是，在没有环境压力的时候（人人吃饱饭）人口的增长率是恒定的，所以如果第一年是2，那么第N+1年即使2的N次方（几何增长），但是一旦人口接近环境的阈值，就会有人开始饿死，而这个饿死的比例随着人口的增长而增大（负反馈）。这样，当饿死的人等于出生的人，两个此消彼长的要素就在某个点上平衡了。 所谓定点。&br&&/p&&p&反映在数学上，就是这样一个微分方程 ：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/7ffe8e096c170da70a7e_b.png& data-rawwidth=&504& data-rawheight=&240& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&504& data-original=&https://pic2.zhimg.com/7ffe8e096c170da70a7e_r.png&&&/figure&&p&人口的变化取决于两个相乘的因子，一个描述增长 （rN），一个描述饥饿（1-K/N）。 定点，就是使微分（人口变化率）为0的点，当人口数恰好处在这个点上，就会不增不减。&/p&&p&&b&这个定点具有一个更深刻的性质，无论你的人口一开始是多少，只要K给定，系统都会趋于一个相同的值。这个值由环境本身的容量所确定。&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/438932ecea4cfd3bf8a127_b.png& data-rawwidth=&785& data-rawheight=&421& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&785& data-original=&https://pic4.zhimg.com/438932ecea4cfd3bf8a127_r.png&&&/figure&这个微分方程的解是一条优美的S型曲线（Sigmoid Function），它的身影在自然界中比比皆是，反映了自然生长的一般规律。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/5f319e699cf_b.png& data-rawwidth=&703& data-rawheight=&454& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&703& data-original=&https://pic4.zhimg.com/5f319e699cf_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/bb5fcb305cd4_b.png& data-rawwidth=&740& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&740& data-original=&https://pic2.zhimg.com/bb5fcb305cd4_r.png&&&/figure&&p&&b&注： 上图为系统N随时间的变化， 不同的曲线代表从不同初始位置出发的结果。箭头带表N变化的趋势。 下图是N的导数和N的关系图，可以看到使得N导为0的N值即系统的定点，这里是0和K&/b&。&/p&&p&马尔萨斯的确是一个有着深刻洞察力的思想家，它在没有任何这些数学概念的时候发现了这一原理。 当人口的增长达到一定限度，大规模的饥荒和战争将使人口增速变慢实现大自然的平衡。&/p&&p&&b&这的确是人类社会的基本矛盾，而且是古代社会变化的一个核心动力。&/b&为什么欧亚草原的游牧民族没个几百年就会对农业文明的世界进行一次大扫荡，从2世纪横扫中国直至欧洲的匈奴到14世纪的蒙古帝国？ 为什么中国每到一个朝代的结束就会发生饥荒？ 难道是真有天意？其实都是由于人口增长与环境负载的矛盾。在游牧民族这是侵略的动力（饿了，跟我走！）。而在中国，表现在人口与土地的矛盾，显然王朝初年和王朝末年都有灾荒，但是唯独在王朝末年具备破坏力（系统脆弱）。为什么？&b&王朝末年往往经历了较长的太平期，人口增长，土地不变（可开垦的荒地往往被开垦光了），造成人多地少局面，马尔萨斯的预言就开始发挥效力，系统通过农民战争，饥荒，需找平衡（定点）。&/b&&/p&&p&（注： 土地与人口的比例，是中国历史的第一主要变量，但是它无法解释为何中国历史进入循环而非静态平衡? 有待下文。）&/p&&p&（注：懂动力学的人，不会去信古代那些史学家别有用心的说辞，而是写出一行漂亮的微分方程。）&br&&/p&&p&但是，马尔萨斯完全正确吗？ 事实上，马尔萨斯的诅咒可以用于所有古代文明，却唯有一个不再试用，那就是产生马尔萨斯的文明本身-西方文明。西方文明崛起的时代，就是人类人口快速增长，而人均生活水平却在不断提高的时代。 为什么？ 很简单，答案依然在定点理论。&/p&&p&&b&刚才我们的动力学系统有一个隐含的假定，就是环境的负载K一定，所以定点是不随时间改变的。但是这个假设依赖于一个条件-技术。&/b&&/p&&p&&b&农业技术的发展使得环境的负载值K也在增长，甚至比人口N还快，就使得系统的定点随时间增长，因而人口可以不停增长&/b&。这里面其实还有一个潜在的动力学效应。&b&就是人口数量增加如果配合良好的教育，甚至会成为科技发展的动力，&/b&因为有更多的人从事研究，而这种效应，无疑&b&提供一个人口增长强大的正反馈&/b&，事实上观察美国等现代国家的发展也正是这样的例子。&/p&&p&动力学系统定点的分析，告诉中国人，要感激的是袁隆平而不是邓小平。还有，人类不想返贫的办法只有不停的投入研发。&/p&&p&&b&定点的稳定性：&/b&&/p&&p&&b&动力学里最重要的概念-定点（fix point），但是定点本身却只具有系统很少的信息，更关键的性质来自于对定点周围区域的分析。 或者说定点的稳定性。&/b&&/p&&p&那在一些情况里，定点好想是系统变化的宿命。起点还是什么都不重要，你不需要担心输在起跑线上，只要你起跑了，就会到一个地方-定点。 而在另一些情况里，定点虽然存在，但是你只有在极特殊的条件下才能达到，类似于屌丝逆袭，屌丝的逆袭是有的，但是要有极好的运气+相当高的智慧才行。即使你达到了这样的定点，稍有风吹草动也会失去它。&/p&&p&&b&我们用一个叫做稳定性的概念来描述这一特性。稳定性是描述当系统处在定点周边的状态，它是比较容易进到定点还是离开它。&/b&&/p&&p&一个典型的例子是单摆, 单摆的微分方程有两个取零的点，但是你通常看到摆处在最低点却极少有机会看到一个处在顶点的单摆。原因很简单，单摆的低谷是稳定定点而高点是不稳定的。 除非你一开始就静止在最高点而且排除任何外力，否则最轻微的偏离就可以导致单摆回到稳定的最低点。&/p&&p&&b&在物理的角度很容易理解一个定点是稳定的还是不稳定的，只需要稍微的离开定点，看一下系统的运动情况，看看系统在定点的相邻区域里的运动趋势怎么随位置变化。&/b&而这翻译成动力学语言就是在定点周围进行泰勒展开，并取一阶线性近似（在一维得到一个线性的斜率，高维就是雅可比矩阵的特征值）。如果在定点周围的运动趋势指向定点（线性的斜率为负，雅可比矩阵特征值为负），则定点在局域内稳定，反之则局域不稳定。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/6cb4e41575e8fdf93a7fadb_b.png& data-rawwidth=&433& data-rawheight=&213& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&433& data-original=&https://pic4.zhimg.com/6cb4e41575e8fdf93a7fadb_r.png&&&/figure&&p&&b&注：定点的稳定性，取决于泰勒展开的不为零的第一项的正负。左图为稳定平衡，右图为不稳定平衡，虽然均为定点，但周边性质迥异。&/b&&/p&&p&&b&稳定性，换一个词叫吸引力&/b&。一个稳定性定点，就像一个区域的主人，它能把进入其辖区内的所有人都吸收到它的点上。它所管辖的区域，称为-Basin of Attraction。它是强韧性的代表，无论你怎么干扰它，迫害它，结局都将归于它。找到Basin of attraction 是利用定点预测系统的必备条件，给定一个系统，如果它的初始位置处在basin of attraction，那么它必归于定点。&/p&&p&不稳定性呢，就是脆弱性的代表了。任何环境的风吹草动都能结束她表面的美丽。如同得了艾滋病的人，今天看着好好的，随便一个病毒就可以摧毁他。&/p&&p&&b&最强的定点具有全局稳定性，即无论任何初始条件，系统都将趋于这样的定点，这样的系统就是高度可预测系统。&/b&&/p&&p&很多系统往往具备一个稳定点和一个不稳定点成对出现。比如刚才的人口模型，人口为0就是一个不稳定平衡点。当人口为0的时候，它可以永远为0，但只要系统的人口增长了1，它就会趋于定点K，掌控系统除0之外所有区域的稳定点。&/p&&p&算命先生往往就是掌握动力学定点理论的人，它们往往根据一些片段的细节，做出一些“大胆”的预测，比如看到一个20岁左右打扮漂亮的女士，就会说你会有一个有钱的老公，漂亮的房子一类，看到满手老茧的老妈子就会说你一定一切为丈夫和孩子操心了一辈子一类。 它们往往知道系统有一个稳定点和一个不稳定点，美丽的大姑娘找到幸福美满的婚姻呢是稳定点，跟了一个穷二代是不稳定。沧桑的老妪为家庭奔波一生是稳定点，风流一生是不稳定点，所以有50%以上概率命中就不足为奇了。&/p&&p&&b&判断简单系统，抓住定点就是抓住了命门。&/b&&br&&/p&&p&&b&II. 二维系统与振动&/b&&/p&&p&请先看下面几个问题，&/p&&p&&b&为什么振动普遍存在？&/b&&/p&&p&&b&为什么自由竞争的结果往往是垄断？&/b&&/p&&p&&b&如何理解经济周期的运行？&/b&&br&&/p&&p&解决这些非常基本的问题，我们需要一个二维的动力学系统。 二维可以描述比一维丰富多的现象，正如通物理学从描述两个物体的相互作用开始描述了世界。&/p&&p&&b&一维的系统往往归于单调的定点，而二维系统的主角却是振动&/b&，人类几千年来描述自然最有利的工具。&/p&&p&看看我们周围，从自然到人类，世界可以看作一部不同频率振动组成的交响曲。四季周而复始，太阳升起落下，我们的呼吸，脉搏，心跳，新陈代谢，生命的更替,经济系统的周期涨落，中国历史的王朝更替， 几乎有运动的地方，就有振动。&/p&&p&&b&为什么振动的形式这么广泛的存在？ 其实依然是因为定点的广泛存在， 所谓振动，无非围绕一个却确定的状态的上下波动。&/b& 就好像那希腊神话痛苦的西西弗斯，把石头推上山，可它却滚下去，然后他又推上山， 他想叫石头停在山上不动，可他就是达不到。&/p&&p&&b&对于为什么振动如此普遍， 非线性动力学之父庞加莱有一个神一样的定理： Poincare-Bendixson Theorem：&/b&&/p&&p&&b&条件：&/b&&/p&&p&&b&1.2D - 你有一个二维的动力学系统&/b&&/p&&p&&b&2.Continous - 系统连续可微&/b&&/p&&p&&b&3. Confined - 动力学流在一个区域内封闭&/b&&/p&&p&&b&4. No Fix point- 在此区域内定点不可达到&/b&&/p&&p&&b&结论：&/b&&br&&/p&&p&&b&该区域内的动力学流将收敛于一条闭合轨道（等价于圆）。&br&&/b&&/p&&p&翻译一下，相平面的闭合轨道=周期性运动=振动。 这个定理告诉我们，&b&有限二维系统里的运动形式只有有两种： 1. 平衡态（归于定点） 2. 周期运动。 &/b&不存在其它情况。 有限只得是系统不会无限取值或发散。由于自然中负反馈的普遍存在这一条一般是满足的。 这条定律解释了振动普遍存在的根本原因，因为它是二维运动的范式。&/p&&p&作为一条以拓扑学为根据的定理，它标志了人类思维的新形式-&b&拓扑思维&/b&，这种&b&把各种不同形式的系统归于空间里的拓扑研究的思想&/b&，是一种超越性的思想。它标志了数学在解释世界的能力上的新高度。 从此，我们对世界的认识，取决于我们对几何空间的拓扑性的归类。 那些能够归于同一拓扑结构的系统，则具有相同的动力学本质，即使他们的物质组成有多不同。因此，拓扑的思维具有高屋建瓴，以一敌百的特性。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/ecf9aa4e388a4be04cdb03f100b6eff3_b.png& data-rawwidth=&712& data-rawheight=&704& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&712& data-original=&https://pic4.zhimg.com/ecf9aa4e388a4be04cdb03f100b6eff3_r.png&&&/figure&&br&&p&&b&图为相平面上的闭合轨道，庞加莱引理告诉我们，二维动力学流非流向定点即指向闭合轨道。&/b&&/p&&p&这条定律确立了非随机的二维系统的绝对可预测性，二维系统没有混沌。&/p&&p&&b&它你发现振动，你就去找系统里有没有两个关键性的动力学变量，并且观察这个系统是否有稳定的平衡态&/b&（如果没有，往往预示存在一个无定点的闭合区域），这样的方法往往有效。&/p&&p&能量守恒系统的振动：&/p&&p&经典物理的振动核心在于能量守恒， 无论是弹簧的振动，单摆，还是电磁波。&/p&&p&对这类系统的传统解法是对微分方程进行积分得到运动的轨迹。但是利用一些动力学的基本知识我们也可以完全不用积分了解它的运动性质。&/p&&p&以单摆为例：&/p&&p&首先，把微分方程写成标准的二维动力学系统形式：体系内有两个动力学变量：角度和速度。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/c4da5ff801c83b625fb6a33ff49cfd14_b.png& data-rawwidth=&525& data-rawheight=&415& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&525& data-original=&https://pic1.zhimg.com/c4da5ff801c83b625fb6a33ff49cfd14_r.png&&&/figure&然后，寻找定点（Fix point，动力学流为0），显然是theta=0， v=0&/p&&p&然后看看定点可不可以达到。只要能量不为0的系统都不可以，因为theta=0,v=0意味系统能量为0，&/p&&p&根据能量守恒定律，能量不为0的系统不可以达到这个点。&/p&&p&最后： 系统是否在相平面里封闭？ 是的，回复力-sin（theta）起负反馈的作用，根据能量守恒定律，theta，v均在有限区间取值。&br&&/p&&p&因此，系统在相平面内作圆周运动。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7d53ebaedb0c5a12334bb3_b.png& data-rawwidth=&818& data-rawheight=&323& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&818& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7d53ebaedb0c5a12334bb3_r.png&&&/figure&&p&&b&单摆在相平面的圆周运动（右）对应其在真实空间的振动（左）。 只要把握了相空间的性质，无需解方程也可了解运动的性质。&/b&&/p&&p&&b&注： 如果系统内有摩擦力，能量守恒不在成立，则系统具有稳定点x=0，theta=0. 依然符合庞加莱定理。 系统如果不再振动，则归于定点。&/b&&/p&&p&当然，经典物理的例子基本是trivial的， 动力学的威力要在更复杂抽象的系统里显现。&br&&/p&&p&&b&能量不守恒的开放系统里的振动：&/b&&br&&/p&&p&当一个系统有能量流入流出，我们称之为开放系统（为与能量守恒的保守系统区分），对于一个二维的开放系统， 庞加莱定理依然成立，系统若不归于平衡，则步入永恒的循环。&br&&/p&&p&这样的系统比比皆是，神经细胞周期性的电震荡，心脏的跳动（心肌细胞的电震荡引致）， 宏观经济运动的周期， 中国的王朝更迭等。这一类的问题，显然具有比两个多的多的变量，&b&但是如果把关注点集中在它们进行周期运动的时间范围，往往可以抓住两个关键性变量，从而用二维动力学系统的知识解决&/b&。这体现了物理的核心思维-Reductionism（简化-抓住主要矛盾）的应用。&br&&/p&&p&例如在经济周期的问题里，两个关键性的变量是国民收入与资本存量。 对于神经细胞，关键性的变量是电位和疲惫指数（放电导致的疲惫，这个问题最好的理解是做爱后要有个不应期，即细胞疲惫）。对于中国王朝，我想是人口和中央集权的管理成本。&br&&/p&&p&注： 黑格尔的辩证法说，正是矛盾导致变化。翻译过来，就是&b&当系统有两个相互制约的变量，就引起永恒的振动&/b&。亦或者说-Poincare-Bendixon 原理就是辩证法的数学精确表达。&br&&/p&&p&一个最典型的例子依然是延续我们关于物种数量的故事，刚才讲到一维的人口模型里人口将达到定值，而事实自然界中的物种数量却是震荡变化的，为什么？&br&&/p&&p&解答这个问题，就需要讨论两个物种共存的情况（二维），试问下面的问题， 在一片草原里生活着狮子和羚羊，狮子吃羚羊，羚羊吃草（假设无限），假设一开始物种数量是均等的，那么后来两个物种的数量变化会是怎么样的？ 显然，两种物种间有相互作用， 狮子的存在依赖于羊（简单的想法是羊肉变成了狮子），而羊的数量因为狮子而减少，如果没有狮子，羊的数量增长就符合之前的S曲线：&br&&/p&&p&这样一个系统可以被一个Lotka-Volterra 方程的经典二维动力学系统表述:&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/9bcba3e7322_b.png& data-rawwidth=&478& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&478& data-original=&https://pic3.zhimg.com/9bcba3e7322_r.png&&&/figure&&p&这个方程极为容易理解。系统的两个变量一个是羊的数量（x），一个是狮子的数量（y）。 第一项描述羊的自然生长率。 第二项描述羊被吃的数量，x和y的乘积决定两个物种相遇的机会， 所以羊被吃的速率正比于xy。相应的，狮子可以理解为由羊肉转化出来的，所以其增长率正比于捕获的羊数量（方程二第一项），方程二最后一项描述狮子的死亡率。&/p&&p&那么，如何预测两种物种数量变化？首先进入相平面， 我们看到系统的流形（每一点的微分（dx，dy）构成一个向量，画出箭头犹如流体力学的流速线）。 然后我们分析定点，二维系统里含有两个微分方程，如果一个微分方程为0，例如dx=0，我们得到一个代数关系 x=k*xy. 在相平面里这对应一条线-Nullcline，在这条线上，第一个变量处于平衡态。 同样的我们可以找到变量y的Nullcline， 对应相平面的另一条线，这两条线如果有交点，即二维系统的定点，或者说系统的平衡态。&br&&/p&&p&&b&但是至关重要的是讨论定点的稳定性而非平衡态本身。&/b&&br&&/p&&p&这个问题可以很容易的找到四条Nullcline和两个定点： 一个是（0，0），另一个第一象限中的（a,b）， （0，0）代表的两个物种都灭绝了。 这种情况除非是羊死光了才可能出现，而假如是狮子死光了，羊就会无限增长（远离定点）。 在相平面上，就表现为动力学流沿着y轴（对应羊死光的情况）收敛为0，而沿着x轴（对应狮子死光的情况）发散。这一现象的隐含含义是（0，0）点在x方向上是不稳定性定点，而在y方向上是稳定性定点。 这种在一定方向上收敛，而在另一些方向上发散的定点，被我们称为Saddle Point（鞍点），因起三维空间的势能曲面形如马鞍而得名。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/0d28a4b0a4c01439d5aecc3a1986cf1d_b.png& data-rawwidth=&855& data-rawheight=&614& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&855& data-original=&https://pic2.zhimg.com/0d28a4b0a4c01439d5aecc3a1986cf1d_r.png&&&/figure&&p&&b&相平面的动力学流&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/88b22bee0ff034d652f6021_b.png& data-rawwidth=&374& data-rawheight=&248& class=&content_image& width=&374&&&/figure&&p&&b&图：鞍点X，相空间里形如马鞍的点。&/b&&/p&&p&在看看第一象限内的定点（a，b），它描述两个物种数量互相制约的平衡状态， 看似这是一个合理的结局。狮子和羊的数量打到平衡，这不就是那啥生态平衡吗？ 那你停留在初中生物课本了。在这个定点周围找几个点，画画（dx，dy）的箭头你就知，它们都不是朝向这一点，而是围着这点转圈。 利用我们神一样的庞加莱大法可知。 系统将永不能陷入这个点（除非它一开始别上帝设定好就在那个位置）。而是围绕这个点形成闭合轨道-即振荡。 系统的两个物种的初始数量只要不是有一个灭绝或恰好开始就匹配平衡， 都将行成一个振动变化关系。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/05eca827fdee2385bdbfdcf5be7f8c96_b.png& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&518& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&https://pic3.zhimg.com/05eca827fdee2385bdbfdcf5be7f8c96_r.png&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/ec78bd48f4b1ace1d0bd916d9f072320_b.png& data-rawwidth=&622& data-rawheight=&309& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&622& data-original=&https://pic1.zhimg.com/ec78bd48f4b1ace1d0bd916d9f072320_r.png&&&/figure&&p&&b&狮子和羊在固定系统里的数量成周期震荡。上图为相平面，下图为两个物种数量随时间变化关系。&/b&&/p&&p&整个生态学可以用动力学语言描述。其核心议题，生态系统的稳定性正是动力学最拿手的分析内容。&/p&&p&Lotka-Volterra 系统在经济学中也有重要应用。凯恩斯学派用以解释劳动雇用率和资本的周期震荡。这一理论把资本对应为狮子，而劳动雇用率是猎物，两者总是不能自发的处于定点（100%雇用率）而是进入周而复始的震荡状态。&/p&&p&&b&甚至整个凯恩斯的理论可以放入一个简化的二维动力学系统。生产和需求作为一对互相追捕却永远捕不到对方的对手，将陷入不停息的振动状态，亦即经济周期 。&/b& 它导致经济运行不可避免的在一定时间走向低谷，如29年代的美国经济危机。凯恩斯根据此提出要认为的控制这个二维经济系统的运行，就需要引入政府作为超级玩家。&/p&&p&但是凯恩斯的理论基础终究是松动的，因为经济系统终究不是二维，过多简化的理论可以帮助我们理解现象， 如果以此为实践的基础，也可以是危险的。&/p&&p&中国历史的循环：&/p&&p&回到开头那个马尔萨斯的故事。中国历史为什么会陷入循环？中国历史的循环，是以一个标志性的事件开始的： “秦王扫六合，虎视何雄哉！挥剑决浮云，诸侯尽西来！” 秦始皇以为自己开创了万世不灭的基业，没想到它只是开启了一个历史的闭合轨道。&/p&&p&为什么？ 再仔细看史书， 那里写着王朝末年往往昏君登台，酷吏横行，然后官逼民反。我们发现了黄巾，看到了黄巢，最后是李自成。似乎农民起义是历史循环的推动者。 实则否。农民起义只是历史循环的表现，而导致农民起义的原因才是重要的。 首先是王朝三百年和平导致的人口增长使得人多地少，所谓马尔萨斯陷阱。然后，我们要看到为什么这样的循环从秦开始，因为秦是中国历史的第一次大规模中央集权尝试，像齐度量衡，收天下之兵，立郡县制。 这样的行动，在那个交通通讯尚不发达的年代，势必疯狂增加国家的管理陈本。 所谓20年导致天怒人怨，无非是秦解除原生的地方组织（六国），而管理一个超级帝国需要一个无比烧人烧钱的中央管理体系的必然结局。当中央集权的成本分摊到每个百姓头上，使得其生存能力更加脆弱，超过承受阈值，那就是“ 王侯将相宁有种乎”的时刻。&/p&&p&那为什么后面的王朝也无法逃出这个宿命呢？ 看看它们也确实吸收了历史教训，每当朝代开始就打土豪分田地施行仁政什么。 还是那个问题，马尔萨斯陷阱。王朝交替的时候，系统通过战争消减人口，这个时候分田地自然可以过几年好日子，但是太平久了，人口上升，人均土地又不够。但是维持中央集权的成本却随着总人口的上升而上升（超级帝国管理成本已经巨大）。这也容易理解，要管更多的人，就需要更多的官。这样一来，就要加税，而加税，就等于在本来手里土地已经变少变穷的农民头上雪上加霜，此时系统已经处于临界点，只要遇上一点随机因素，像小病小灾，就将导致翻盘，无论是黄巢起义还是李自成起义。&/p&&p&&b&因此，中国王朝更迭的历史，基本可以看做人口和中央集权成本两个变量相互作用的动力学系统。在这个二维系统里，没有稳定点，只有循环。&/b&每隔300年一次的毁灭性翻盘，成为无可避免。也正因为周期性的清零，技术没法进化，而马尔萨斯陷阱得到稳固，又反过来加固了循环。&/p&&p&这就是中国为这个东方第一大的帝国名头所背负的十字架，因其沉重的中央集权枷锁，而无法逃脱历史的深渊。&/p&&p&并非王朝末年皆为庸主，只是动力学系统性质太稳固，这就是庞加莱的诅咒。&/p&&p&* 中央王朝以各种手段件减少中央集权成本，增加系统稳定性，如修筑各种有形和无形的围墙，防民之口甚于防川。&/p&&p&但是一个系统的特性也不是一成不变，中国的历史不是一开始就绑定了轨道，也曾经是有其它的可能，比如春秋战国的时候。&/p&&p&&b&我们称一个系统自身动力学模式发生变化的过程为Bifurcation-非线性动力学理论的又一丰碑。&/b&&/p&&p&本文首发于微信公众号混沌巡洋舰（chaoscruiser）。&/p&
作者：许铁-巡洋舰科技 链接： 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 非线性动力学，是物理学的思维进入传统方法所不能解决的问题的一座丰碑。也是非…
我来报一下课（cai）程（ming），标记一下顺序，教材你选国内蓝皮那套就可以：&br&其实不同的学校难度不同，要求不同，我列出来的是一般意义上本科生需要知道的。但是，没学过不要觉得觉得“我是一个假的数学系学生”。后面带“&b&（自选）”的意思可以学也可以不学，无所谓，加黑的是一定要学好的。1,2,3,4表示的是顺序，越低的一定要先学。本科挺灵活的，如果有个人兴趣，学一些introduction to 交换代数，代数数论，解析数论，群表示论，代数几何都可以。当然了，这些都不学也无所谓。如果你对应用数学感兴趣，可以学有限元方法，有限差分等等。&/b&&br&&b&说一句：学习数学有一个深度vs广度的问题，要好好把握这个分寸。不是学得越多越好，也不是简单的学得越深越好。这中间的度看个人追求和兴趣。&br&&/b&分析类：&br&&b&数学分析 1&br&复变函数 2&br&实变函数&/b&（实分析）3&br&调和分析（自选动作）4&br&随机分析 （最好先学概率论）4&br&泛函分析 （学到算子代数就可以了）4 (后三门没有必然的前后关系)&br&&br&方程：&br&&b&常微分方程和动力系统 2 &br&偏微分方程&/b& 3&br&sobolev空间（自选动作）4 （需要学过泛函分析）&br&&br&代数：&br&&b&线性代数 1&br&抽象代数&/b&（到galois theory论）2&br&范畴论（自选）3 ？&br&代数K-理论（自选）2.5 &br&&br&拓扑：&br&&b&点集拓扑 &/b& 2 （尽量在泛函分析之前）&br&代数拓扑 3 （学到上同调论就可以了）&br&&br&几何：&br&微分几何&br&&b&微分流形&/b&
(学到de rham theory即可，2 ，理论上学完线代和数分即可，还有同调论和一些抽象代数的知识 )&br&黎曼几何 （2.5 只要会一些流形的知识就可以看了）&br&&br&杂七杂八：&br&数值分析 （2）&br&最优化控制 （3）&br&数理统计&br&运筹学（自选）
我来报一下课（cai）程（ming），标记一下顺序，教材你选国内蓝皮那套就可以： 其实不同的学校难度不同，要求不同，我列出来的是一般意义上本科生需要知道的。但是，没学过不要觉得觉得“我是一个假的数学系学生”。后面带“（自选）”的意思可以学也可以不…
泻药。我假定你之前有理论力学材料力学的底子。在此基础上我推荐几本书。首先是清华大学出版社的「机械振动」（张义民）这本书作为机械振动的入门教程是很不错的。之后是科学出版社的「高等结构动力学」（李东旭），这本书可以作为一本较为深入的教材。如果你对分析力学不太熟悉，可能学习机械振动是会比较吃力。在学习振动之前可以适当看一些分析力学的书，对于机械专业的学生我觉得孙国琨的「分析力学」是不错的。如果不太好找的话机械工业出版社的「高等动力学」是可以参考的。另外，如果你是做理论的话，我觉得可以适当的学习一下数学物理方程，我觉得很有益处。如果你觉得学这些理论不如实际做点东西来的实在，我觉得ansys和abaqus的帮助文档都是非常不错的。
泻药。我假定你之前有理论力学材料力学的底子。在此基础上我推荐几本书。首先是清华大学出版社的「机械振动」（张义民）这本书作为机械振动的入门教程是很不错的。之后是科学出版社的「高等结构动力学」（李东旭），这本书可以作为一本较为深入的教材。如果…
就目前的情况，在国内能称得上“机械工程师”的无外乎以下三种人：&br&&br&第一种，机械制造设计人员、工艺人员等——在岗的时候就是工程师，不一定需要掌握什么特别精深的技能；&br&第二种，取得工程师职称的人——有证就行；&br&第三种，能出方案的，能做项目的——需要有深厚的机械制造知识与经验储备。下面我将重点讲一下这种人需要掌握哪些技能。顺便提一下，像是CAD制图、Solidworks建模等，不是决定一个工程师技术水平的决定性因素。工程师的战斗力取决于以下几个方面：&br&&br&&b&A、编程&/b&：这里所说的编程能力不是数控加床加工程序的编制，而是Matlab、Python、C++等计算机语言。要能运用这些语言编制自己所需要的程序，如图像引擎、数学模型变换。&br&&br&&b&B、线性代数和微分方程：&/b&能够把这方面的知识和编程结合起来进行数值分析。&br&&br&&b&C、统计学：&/b&要会用，最好能记住个各种统计分析方法的经典案例。&br&&br&&b&D、工程数学：&/b&听说，对于工程技术人员，“The rest of your life depends on this.& 像是空间变化、傅里叶变换、复变函数等要熟练掌握。&br&&br&&b&E、动力学、高等动力学&/b&：各种运动控制、关节手、机器人等都要用的到。&br&&br&&b&F、静力学、固体力学&/b&：精通铁木辛柯的弹性理论。&br&&br&&b&G、振动理论：&/b&知道怎么计算响应、地震扰动、减震、旋转机械等。&br&&br&&b&H、热力学、流体力学&/b&：国外，尤其是美国各高校工科类专业的必修课，国内嘛就呵呵了。&br&&br&&b&I、熟悉所从事领域所涉及到的国家标准及其来源、熟悉国际标准：&/b&目前国内制造业所执行的大部分标准，是从国外标准翻译或节译来的。而且，国标往往比源标准滞后。比如，某个2008年的GB，是借鉴的2002年的某个ISO标准，该ISO标准在2013年修订了。这样的话，你既要了解2008年的GB、还要了解2013年的ISO。要想有战斗力的话，既要了解国情，更要了解外面的世界是怎么运作的。像是国际便准化组织、国际电工委员会等这些组织，都要有所了解。&br&&br&&b&J、熟悉电磁理论、电路分析、电机、电工电子、PLC控制：&/b&最起码要知道电机启动控制、常用元器件应用。&br&&br&&b&K、信号处理&/b&：信号处理这方面，不要使用国内”编著“的任何教材，不要使用国内”编著“的任何教材，不要使用国内”编著“的任何教材！重要的事情说三遍！要么看原版，实在不行就看译著。&br&&br&&b&L、控制系统&/b&：造机床或者用机床都要用的到的东西。&br&&br&&b&M、检测技术&/b&：游标卡尺、百分表就不说了，数控机床加工对刀、同轴度检验与校正、锥度检测等都要掌握，尤其是在国内，最好能把优先数系背下来，背不下来，最起码会用手机计算，有好处的。&br&&br&&b&N、工程材料：&/b&结构决定功能，像是铁碳合金相图这样的装逼利器，一定要会画。我的意思是，凭记忆把上面的各个点位区块含碳量温度物相特征都能搞出来。&br&&br&要是把上面这几条都玩透了，在技术上基本上没啥问题了。&br&&br&——本回答大部分内容引自Quora网站 &u&What would be your advice to someone pursuing their Bachelors in Mechanical Engineering?&/u&问题下Anand Takawale同学的回答。
就目前的情况，在国内能称得上“机械工程师”的无外乎以下三种人： 第一种，机械制造设计人员、工艺人员等——在岗的时候就是工程师，不一定需要掌握什么特别精深的技能； 第二种，取得工程师职称的人——有证就行； 第三种，能出方案的，能做项目的——需…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6cc6acd809edcb5fdcfd86a_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&609& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-6cc6acd809edcb5fdcfd86a_r.jpg&&&/figure&&p&之前好纠结能不能考到140......&/p&&p&现在感觉120都是mmp&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3ba0feccbb1dd056f95f_b.jpg& data-rawwidth=&360& data-rawheight=&360& class=&content_image& width=&360&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&考研数学很难这是事实，对于考数学的考研学子来说，是一定要跨过的鸿沟，要尽早掌握2018考研数学复习用书的基础知识以便于进行下一阶段的复习。考研数学常见21种解题思路，看看能不能帮你理清那些缠绕你很久的问题。&/p&&p&&b&一、高数解题的四种思维定势&/b&&/p&&p&第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。&/p&&p&第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。&/p&&p&第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。&/p&&p&第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。&/p&&p&&b&二、线性代数解题的八种思维定势&/b&&/p&&p&第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。&/p&&p&第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。&/p&&p&第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。&/p&&p&第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。&/p&&p&第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理&/p&&p&第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。&/p&&p&第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0=λ0ξ0处理一下再说。&/p&&p&第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。&/p&&p&&b&三、概率解题的九种思维定势&/b&&/p&&p&第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式&/p&&p&第二句话：若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式&/p&&p&第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组&/p&&p&第四句话：若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N(0,1)来处理有关问题。&/p&&p&第五句话：求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。&/p&&p&第六句话：欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。&/p&&p&第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作(0-1)分解。&/p&&p&第八句话：凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。&/p&&p&第九句话：若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的定义进行讨论。&/p&&p&文章来源于网络&/p&&p&欢迎小伙伴们提出意见和补充哦~&/p&&p&如果还想看干货请移步&a href=&https://www.zhihu.com/people/kao-yan-dang-88/activities& class=&internal&&知乎用户&/a&，或者移步&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/kangyandang& class=&internal&&让考研简单点&/a&&/p&&p&当然看到这了不忘记点个赞的都是真爱&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ea99e0413dcd22f6b133_b.jpg& data-rawwidth=&224& data-rawheight=&223& class=&content_image& width=&224&&&/figure&&p&&/p&
之前好纠结能不能考到140......现在感觉120都是mmp 考研数学很难这是事实，对于考数学的考研学子来说，是一定要跨过的鸿沟，要尽早掌握2018考研数学复习用书的基础知识以便于进行下一阶段的复习。考研数学常见21种解题思路，看看能不能帮你理清那些缠绕你很…
&p&谢邀~&/p&&p&对啊，同一变量在不同场合作用不一样。现在是积分，积分变量是t，t为主要变量，其它的视为常数。而如果在求导中，是对x求导，x的地位抬升，其他的又视为常数。&/p&&p&送你一道题，你看看求解过程就不再纠结了~&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-de3ba9b9be6421efa18ce88_b.jpg& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&960& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-de3ba9b9be6421efa18ce88_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&p&&/p&
谢邀~对啊，同一变量在不同场合作用不一样。现在是积分，积分变量是t，t为主要变量，其它的视为常数。而如果在求导中，是对x求导，x的地位抬升，其他的又视为常数。送你一道题，你看看求解过程就不再纠结了~
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_r.jpg&&&/figure&&p&&b&写在前面&/b&：建议读者&b&看完题后&/b&，&b&先自己亲自做下&/b&，然后再结合本文分析来看，这样效果会更好！&/p&&p&&br&&/p&&p&各位考研狗辛苦了，先给各位上两道小菜，让各位再辛苦下！&/p&&p&&br&&/p&&p&两道第二类曲面积分题目的计算：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_r.jpg&&&/figure&&p&哎呦！&/p&&p&&b&不是度过了打拼的年龄，就应该退隐江湖吗？&/b&&/p&&p&&b&不是度过了打拼的年龄，就应该食山果饮甘露，日抚瑶琴夜读诗书吗？ &/b&&/p&&p&&b&2009年的第二型曲面积分&/b&，这货怎么又重出江湖兴风作浪了？&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e44b772f1f162cc8a19_b.jpg& data-rawwidth=&717& data-rawheight=&542& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3e44b772f1f162cc8a19_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&难道说武林有一场大事发生？&/p&&p&&br&&/p&&p&稍作镇定下来，我定了定神，思考&b&第二型曲面积分长啥样？&/b&&/p&&h2&&b&（一）第二型曲面积分长啥样？&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&第二型曲面积分呢，也叫对坐标的曲面积分，题目中会出现P、Q、R三个的积分，它长这个样子”&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dbdabcd_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&193& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dbdabcd_r.jpg&&&/figure&&p&继续展开思考哦~&/p&&p&假如现在就让你算一个曲面积分，&b&没有P、Q这两个函数，只有R，这里的曲面取得比较特殊，它就取的是一个xoy上的一个平面区域&/b&，那你想一下，我可以不可以这样讲：&b&这其实就等同于算一个平面区域上的二重积分&/b&？、&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-edd7aafa0f5a_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-edd7aafa0f5a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&不可以！&/p&&p&&br&&/p&&p&为什么？&/p&&p&&br&&/p&&p&因为&b&第二型的曲线积分、第二型的曲面积分啊，一定要注意方向！&/b&&/p&&p&刚才所提问的，其实是没有指明方向，&b&如果你说清楚这里的平面区域是向上或者向下，那么在结果上就要加正号或者负号。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&（二）第二型曲面积分的计算&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&还记得第二型曲面积分怎么计算吗？有几种方法呀？”&/p&&p&&br&&/p&&p&有两种解法。&/p&&p&&b&一种是咱们平时的基本计算，也就是将第二类曲面积分化为二重积分来计算&/b&&/p&&p&&b&另一种计算办法是高斯公式法，也就是将第二类曲面积分转化成3重积分。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9dbcc6bf869c654ccb9616_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&262& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9dbcc6bf869c654ccb9616_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&进一步展开讲讲这两种方法：&/p&&h2&&b&（三）第一种计算方法&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&&b&在第一种方法中&/b&，我们把它叫做：&b&一代二换三定号&/b&”。&/p&&p&&br&&/p&&p&所谓&b&一代&/b&，&b&指的是将曲面方程代入被积函数，即将被积函数中的某一个量借助曲面方程来表示出来&/b&，这一步是必须做的。&/p&&p&所谓&b&二换&/b&，&b&指的是将ds换成dxdy，将曲面sigma换成Dxy，当然，这里讲的是假设它投影到xoy平面&/b&，&/p&&p&最后所谓的&b&三定号&/b&，指的是&b&需要我们最后在二重积分的结果前面加上正负号，上为正，右为正，前为正，其余为负&/b&，&b&主要是看平面的法向量方向与z轴正向的夹角为锐角还是钝角，如果是锐角，则为正，反之则为负&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&h2&&b&（四）第二种计算法---高斯公式法！&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&p&第二个计算方法—高斯公式法呢，乃高斯前辈所创，&b&这套方法是将第二类曲面积分化成了3重积分来计算，虽然说积分重数上增大了，但是实际上简化了运算&/b&”。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-86ef1c033a52be9b933b02a0d1c2113c_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-86ef1c033a52be9b933b02a0d1c2113c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&既然是有用的公式，那么就有对应的使用条件，针对使用条件，考试中心那帮人肯定就会给你使坏，给你破坏公式！&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-abe03ac97012_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&308& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-abe03ac97012_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&术 &/b&清晰了，咱们回看开头给的那两道小菜！&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&284& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9c4cead11d32_r.jpg&&&/figure&&p&不就是计算第二类曲面积分吗？我用高斯公式分分钟灭掉你！来吧！比试比试！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-94423bf48aad2ab24df14844_b.jpg& data-rawwidth=&719& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&719& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-94423bf48aad2ab24df14844_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&&b&（五）第一题的解答&/b&&/h2&&p&第一题的解答如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e5ada033dce43ff0ad0a12_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&432& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e5ada033dce43ff0ad0a12_r.jpg&&&/figure&&p&如果你的答案是上面的，那么恭喜你！&/p&&p&&br&&/p&&p&数字对了，步骤错了！&/p&&p&&br&&/p&&p&你得不到满分！！！&/p&&p&&br&&/p&&p&什么情况？难道是敌人布下了陷阱？我们上当了？？？&/p&&p&&br&&/p&&p&低下高昂的头颅，重新认真分析，可恶，这题所给条件不封闭，我得加个面，然后将曲面方程代入到被积函数中，很熟悉的套路！&/p&&p&&br&&/p&&p&咦？哪里好像不对劲？&/p&&p&&br&&/p&&p&啊！竟然是它！又是你&b&—不连续&/b&！！！我知道哪里出问题了！重新来战！！！&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f6f80e7e3b301fa4df42dba_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&说时迟，那时快，我轻轻画了一条线，重新排了顺序，转眼间得到满分了！！！&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cc229fbb4705_b.jpg& data-rawwidth=&554& data-rawheight=&439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&554& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-cc229fbb4705_r.jpg&&&/figure&&p&&b&补充的那个面含有奇点，如果先补面，然后再带入，势必会让高斯