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f(x)在[0,1]上连续，平面区域D：0≤x≤y≤1,证明二重积分f(x)f(y)dxdy=1/2[ ∫[0,1]f(x)d(x)]^2
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com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=11d7e7d33df33a879e3c00/b8996def1ddbbf606.jpg" esrc="http://e.hiphotos.baidu://e.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://e.hiphotos.hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8996def1ddbbf606如图所示：<a href="http.baidu
轮换对称性不是交换x，y后积分区域不变吗。交换后不就变成y≤x了吗。还有能不能解释下你写的从倒数第三行到倒数第二行是怎么来的。。谢谢
先后两个积分分别代表A1和A2两个区域而倒数第二行的区域是个矩形，正是A1和A2加起来的结果这个图形是关于y = x对称的，更换积分次序后变量只是关于镜子y = x做一次反射例如1 + 3 = 3 + 1一样等于4，2 * 5 = 5 * 2一样等于10，这是交换律
感觉你说的还是有点抽象，二重积分代表不是曲面梯形的体积吗，原题可以看做z=f(x)f(y)在A1上的梯形体积，当用轮换对称性把x，y互换后，感觉不能保证在A2上的曲面与在A1上的曲面一样，体积也不一样。就算他们俩是一样的，从到也还是不好理解，，，能再详细说一下嘛。或者留个qq，可以不大哥。。
来高数吧提问吧都说了他们是对称的，从f(x)f(y)=f(y)f(x)开始这个不是把f(x)*f(y)换成f(y)*f(x)，而是把x换成y，y换成x代入得出的结果所以z=f(x)f(y)在A1和A2上的体积是对称的，是关于镜面y=x反射的若被积函数改为f(x)g(y)的话，这个规则就未必成立了
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有关二重积分的计算与应用的本科毕业论文
.. 学号： XX40XX X本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 二重积分的计算与应用研究作者：甘 泉院系：数理学院专业：数学与应用数学班级：201003指导 教 师：刘 春 潮2014 年 5 月 8 日
NO． ： XX40XXX 200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic： Double Integral Calculation and Its ApplicationAuthor：GAN QuanCollege：College of Mathematics and PhysicsSpecialty ： Class Tutor ： ：Mathematics and Applied Mathematics 201003 LIU ChunchaoMay 8th,2014
郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师 刘春潮 的指导下独立研究并完成的． 除了文中特别加以标注引用的内容外， 没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人 完全意识到本声明的法律后果由本人承担． 特此郑重声明！指导老师（手写签名） ： 论文作者（手写签名） ：2014 年 5 月 8 日
摘要二重积分在现实中有着广泛的应用， 二重积分可用于求解空间立体体积和曲 面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。 本文给出二重积分的概念及基本性质， 在此基础上总结了二重积分的七种比 较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利 用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利 用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力 学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用 问题。 关键词：二重积分；计算方法；计算技巧；应用IAbstractThe double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the three-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role. This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven common calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate system to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral. Key words: double integral； computational methods； computational skills； applicationII目录第 1 章 绪论 ................................................................................................................. 1 1.1 选题背景........................................................................................................... 1 1.2 选题意义........................................................................................................... 1 1.3 研究现状........................................................................................................... 1 1.4 研究思路........................................................................................................... 2 第 2 章 二重积分的基本计算方法 ............................................................................. 3 2.1 二重积分的定义与性质.................................................................................. 3 2.2 利用直角坐标系计算二重积分....................................................................... 4 2.3 利用变量替换法计算二重积分....................................................................... 6 2.4 利用极坐标系计算二重积分........................................................................... 7 第 3 章 特殊二重积分的计算技巧 ........................................................................... 10 3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算............................................................. 10 3.2 利用格林公式计算......................................................................................... 12 3.3 利用轮换法计算............................................................................................. 12 3.4 利用二重积分的几何意义计算................................................................... 133 第 4 章 二重积分的应用 ........................................................................................... 13 4.1 计算曲面的面积............................................................................................. 14 4.1.1 曲面由显函数给出的情形................................................................... 14 4.1.2 曲面由参数方程给出的情形............................................................... 14 4.2 计算平面薄片的重心.................................................................................... 15 4.3 计算平面薄片的转动惯量............................................................................. 16 4.4 计算平面薄片对质点的引力......................................................................... 17 4.5 计算空间立体体积......................................................................................... 17III4.6 计算曲线积分................................................................................................. 18 4.7 计算曲面积分................................................................................................. 18 第 5 章 结束语 ........................................................................................................... 20 致 谢............................................................................................................................ 21 参考文献 ..................................................................................................................... 22IV黄冈师范学院本科学位论文第 1 章 绪论1.1 选题背景二重积分是《数学分析》中的重要内容，它上承接着定积分，下引出三重积 分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、经济学等多个科学都有极其广泛的 应用.函数的二重积分是《数学分析》中的重要内容，它涉及到多个科学领域， 并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比 较繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限[1].计算机的广泛 应用，特别是 MATLAB 等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的发展和应用开 辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐，因此，研究二重 积分的计算不仅很有必要， 而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重 要课题[2]. 对于二重积分的应用主要体现在求曲线积分，曲面积分，曲面面积和物理学 中的一些平面薄板的重心坐标，转动惯量以及对质点的引力等问题，利用二重积 分可以巧妙解决这些问题，因此二重积分的计算与应用在物理学当中，尤其是在 数学分析里是一门不可缺少的重要知识[3].1.2 选题意义二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义， 对于二重积分 的研究不仅仅体现在理论上，与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究. 二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过，但多数人只是理论上研究，在实际 应用中的研究还比较少，比如在求物体的重心，以及引力等，甚至经济学中方面 相关深入的研究比较狭窄[4]. 在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分基本运算问题，即在给定的被积 函数和积分区域比较特殊时，计算二重积分，此时计算量就会很大.因此，不断 寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题.1.3 研究现状采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等 数学的重点， 也是难点， 计算较为繁琐， 有的二重积分需要一定的技巧才能求出， 二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积[第 1 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是某些二重积分化为二次积分后 计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算[5]. 文献[1]介绍了二重积分的发展及其相关应用；[2]~[15]主要介绍了二重积分 的一些计算方法和相关性质定理；[16]~[26]主要介绍了一些二重积分在力学方面 的一些应用.郑兆顺探究了直角坐标系下二重积分的计算；曹毅探究了利用变量 替换与极坐标系下二重积分的计算； 李娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的 对称性简化二重积分的计算；赵赫探究了利用格林公式来计算二重积分，本文在 此基础上还探究了一下利用轮换法，格林公式，二重积分的几何意义来计算一些 特殊的二重积分[9]~[13].1.4 研究思路通过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料， 最终分析决 定主要研究以下几个方面： （1）二重积分的基本计算方法； （2）二重积分的特殊计算方法； （3）二重积分的应用. 根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分. 上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互 配合使用.总之，在二重积分计算过程中要充分运用被积函数和积分区域的特征 寻求最佳计算方法，这对于知识的内在联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟 练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高. 本课题最终将达到的目标： 根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算 方法；利用二重积分的一些性质来解决实际问题.[第 2 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文第 2 章 二重积分的基本计算方法2.1 二重积分的定义与性质设 f ( x, y ) 是定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数， J 是一个确定的数， 若对任给的正数 ? ，总存在某个正数 ? ，使对于 D 的任何分割 T ， 当它的细度 T & ? 时，属于 T 的所有积分和都有i ?1? f (? i ,?i )?? i ? J ? ? ，n（1）则称 f ( x, y ) 在 D 上可积，数 J 称为函数 f ( x, y ) 在 D 上的二重积分，记作J ? ?? f ( x, y)d? ，D其中 f ( x, y ) 称为二重积分的被积函数， x ， y 称为积分变量， D 称为积分区域. 当 f ( x, y ) ? 0 时，二重积分 ?? f ( x, y)d? 在几何上就表示以 z ? f ( x, y ) 为曲D顶， D 为底的曲顶柱体的体积.当 f ( x, y ) ? 1 时，二重积分 ?? f ( x, y)d? 的值就等D于积分区域 D 的面积. 由二重积分定义知道，若 f ( x, y ) 在区域 D 上可积，则与定积分情况一样， 对任何分割 T ，只要当 T ? ? 时， （1）式都成立.因此为方便计算起见，常选取 一些特殊的分割方法， 如选用平行于坐标轴的直线网来分割 D ， 则每一小网眼区 域 ? 的面积 ?? ? ?x?y . 此时通常把 ?? f ( x, y)d? 记作 ?? f ( x, y)dxdy .DD二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：,y ) 在区域 D 上可积， k 为常数，则 kf ( x, y ) 在 D 上也可积， 性质 1 若 f(x且?? kf ( x, y)d? ? k ?? f ( x, y)d? .D D性质 2 若 f ( x, y ), g ( x, y ) 在 D 上都可积，则 f ( x, y) ? g ( x, y) 在 D 上也可积， 且?? ? f ( x, y) ? g ( x, y)?d? ? ?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D D,y ) 在 D1 和 D2 上都可积， ,y ) 在 性质 3 若 f(x 且 D1 与 D2 无公共内点， 则 f(xD1 ? D上也可积，且 2[第 3 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究D1 ? D2?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d?D1 D2.性质 4 若 f ( x, y ), g ( x, y ) 在 D 上可积，且 f ( x, y) ? g ( x, y), ( x, y) ? D ，则?? f ( x, y)d? ? ?? g ( x, y)d? .D D,y ) 在 D 上可积，则函数 f ( x, y) 在 D 上也可积，且 性质 5 若 f(x?? f ( x, y)d? ? ??D Df ( x, y) d? .,y ) 在 D 上可积，且 m ? f ( x, y) ? M , ( x, y) ? D ，则 性质 6 若 f(xmSD ? ?? f ( x, y)d? ? MSDD这里 S D 是积分区域 D 的面积.,y ) 在有界闭区域 D 上连续，则存在 (? ,? ) ? D ，使 性质 7(中值定理) 若 f(x得?? f ( x, y)d? ? f (? ,? )SDD这里 S D 是积分区域 D 的面积. 中值定理的几何意义是以 D 为底， z ? f ( x, y)? f ( x, y) ? 0? 为曲顶的曲顶柱体体,y ) 在区域 D 中 积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于 f(x某点 (? ,? ) 的函数值 f (? ,? ) .2.2 利用直角坐标系计算二重积分,y ) 在矩形区域 D ? [a, b]?[c, d ] 上可积，且对每个 x ? [a, b] ，积 定理 1 设 f(x分 ? f ( x, y)dy 存在，则累次积分 ? dy? f ( x, y )dy 也存在，且ca cdbd?? f ( x, y)d? ? ? dx?D abdcf ( x, y )dy .,y ) 在矩形区域 D ? [a, b] ? [c, d ] 上可积，且对每个 y ? [c, d ] ，积 定理 2 设 f(x分?baf ( x, y)dx 存在，则累次积分 ? dy? f ( x, y)dx 也存在，且c adb[第 4 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文?? f ( x, y)d? ? ?Ddcdy? f ( x, y )dx.ab定理 3 设有界闭区域 D 是由两条交合曲线 y ? ?1 ( x) 与 y ? ?2 ( x) ， a ? x ? b 且,y ) 在 D 上连续，则有 ?1 ( x) ? ?2 ( x) ，以及直线 x ? a 与 x ? b 所围成，若函数 f(x?? f ( x, y)dxdy ? ? dx??D ab?2 ( x )1 ( x)f ( x, y )dy .定理 4 设有界闭区域 D 是由两条交合曲线 x ? ?1 ( y) 与 x ? ?2 ( y) ， c ? y ? d 且?1 ( y) ? ?2 ( y) 以及直线 y ? c 与 y ? d 所围成，若函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，则有?? f ( x, y)dxdy ? ?Ddcdy??2 ( y )?1 ( y )f ( x, y )dx .x2 例 1 计算二重积分 ?? 2 dxdy ，其中区域 D 是由直线 x ? 2 ， y ? x 和双曲线 y Dxy ? 1 所围成.解 ：先对 y 积分后对 x 积分，将 D 积分在 x 轴上，在区间 [ 1 , 2 ] ，对任意 对 y 积分， 在 D 内 y 的积分顺序是 y ? 到 y ? x ， 然后在积分区间 [1,2] x ? [1,2] ， 上对 x 积分，即 ??D 2 2 x x 2 x2 9 dxdy ? dx dy ? ? ( x3 ? x)dx ? . 1 2 2 ? ? 1 1 y 4 x y1 x同理，如果先对 x 积分后对 y 积分，也可得到相应结果. 若给定的积分为二次积分， 但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计 算量较大， 可考虑交换积分次序， 其一般步骤为： （1） 先根据给定的二次积分限， 写出积分区域的不等式表达式，并依此作出区域的图形；(2)根据区域的图形， 重新选择积分限，化为另一种类型的二重积分.特别地，若积分被积函数中出现 y sin x 2 ? x2 x ， sin x ， e ， e 等函数时，也可利用分部积分法来计算[6]. xI ? ?? x 2 e ? y d? 的 例 2 设 D 是由直线 x ? 0，y ? 1及 y?x 围成的区域， 试计算：2D值. 解 ：若用先对 y 后对 x 的积分，则[第 5 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究I ? ? x 2 dx? e ? y dy .2110x由于函数 e ? y 的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的 累次积分，则有 I ? ? dy ? x 2e ? y dx ?221y001 1 3 ? y2 y e dy .由分部积分法，即可算得： 3 ?01 1 I? ? . 6 3e许多常见的区域都可以分解成为有限个除边界外无公共内点的 x 型区域或y 型区域.因而解决了 x 型区域或 y 型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决. 例 3 计算二重积分 ? d ?? ，其中 D 为由直线 y ? 2x，x ? 2 y 及 x ? y ? 3 所围的D三角形区域. 解：当把 D 看作 x区域时，相应的? ? ? ? x x D1 ? ?( x, y) 0 ? x ? 1, ? y ? 2 x? ， D2 ? ?( x, y) 1 ? x ? 2, ? y ? 3 ? x? . 2 2 ? ? ? ?所以 ?? d? ? ?? d? ? ?? d? ? ? dx?x dy ? ? dx?x dyD D1 D2 0 2 1 21 2 x x ? ? (2 x ? )dx ? ? (3 ? x ? )dx 0 1 2 212x23? x3 ?2 3 ?3 ? 1 ? ? ? x 2 ? ? ?3x ? x 2 ? ? . 4 ?1 2 ?4 ? 0 ?2.3 利用变量替换法计算二重积分当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数， 原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算[7]. 引理 设变换 T : x ? (u, v) ， y ? y (u, v) 将 uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围 的闭区域 ? ，一对一地映成 x y 平面上的闭区域 D ，函数 x(u, v) ， y (u, v) 在 ? 内分 别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J (u, v) ? 区域 D 的面积 u( D) ? ?? J (u, v) dudv.D? ( x, y ) ? 0 ， (u, v) ? ? ，则 ? (u, v)[第 6 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文,y ) 在有界闭区域 D 上可积， 定理 5 设 f(x 变换 T : x ? x(u, v) ，y ? y (u, v) 将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 ? 一对一地映成 x y 平面上的闭区域D ，函数 x(u, v) ， y (u, v) 在 ? 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J (u, v) ?? ( x, y ) ? 0 ， (u, v) ? ? 则 ?? f ( x, y)dxdy ? ?? f ?x(u, v), y(u, v)? J (u, v) dudv. ? (u, v) D ?x? y例 4 求 ?? e x ? y dxdy，其中 D 是由 x ? 0 ， y ? 0 ， x ? y ? 1 所围区域.Dv ? x? y， 解： 为了简化被积函数， 令u ? x ? y ， 为此作变换T :x?1 (u ? v) ， 21 1 y ? (v ? u ) ，则 J (u, v) ? 2 1 2 ? 21 2 ? 1 ? 0 ，在变换 T 的作用下， 1 2 2u?? eDx? y x? yv 1 1 1 1 1 e ? e ?1 dxdy ? ?? e ? dudv ? ? dv ? e v du ? ? v(e ? e ?1 )dv ? . ?v 2 2 0 2 0 4 ? u v例 5 求抛物线 y 2 ? mx ， y 2 ? nx 和直线 y ? ?x ， y ? ? x 所围成区域 D 的面积u( D) (0 ? m ? n ， 0 ? ? ? ? ) .解： D 的面积 u ( D) ? ?? dxdy.为了简化积分区域，作变换 x ?Du u ，y? . 2 v v它把 x y 平面上的区域 D 对应到 uv 平面上的矩形区域 ? ? [m, n] ? [? , ? ] .1 2 由于 J (u, v) ? v 1 v?2u v 3 ? u ? 0 ， (u, v) ? ? ， 4 u ? 2 v v? dv n (n 2 ? m2 )(? 3 ? ? 3 ) u . ? ? udu ? dudv ?? v 4 ?m v4 6? 3 ? 3所以 ? ( D) ? ?? d? ? ??D ?2.4 利用极坐标系计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 f ( x 2 ? y 2 ) 时，采[第 7 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究? x ? r cos? , 0 ? ? ? 2? 往往能达到简化积分区域或被 用极坐标变换 T : ? 0 ? r ? ?? ， ? y ? r sin ? ,积函数的目的.此时，变换 T 的函数行列式为 J (r ,? ) ?cos? sin ?? r sin ? ?r. r cos?应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分， 能 简化二重积分的计算，二重积分的极坐标替换是?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (r cos? , r sin? )rdrd? .下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算. （1） 若原点 0 ? D 且 x y 平面上射线 ? ? 常数与 D 的边界至多交于两点，则? 可表示成 r1 (? ) ? r ? r2 (? ) ， ? ? ? ? ? ，D D于是有 ?? f ( x, y )dxdy ? ? d? ?D?r2 (? )?r1 (? )f (r cos? , r sin ? )rdr .类似地，若 x y 平面上的圆 r ?常数与 D 的边界至多交于两点，则 ? 必可表示为?1 (r ) ? ? ? ? 2 (r ) ， r1 ? r ? r2 ，所以 ?? f ( x, y)dxdy ? ? rdr ?D r1r2?2 (r )?1 ( r )f (r cos? , r sin ? )d? .（2）若原点为 D 的内点，D 的边界的极坐标方程为 r ? r (? ) ，则 ? 可表示成0 ? r ? r (? ) ， 0 ? ? ? 2? ，所以 ?? f ( x, y )dxdy ? ? d? ?D 0 2? r (? ) 0f (r cos? , r sin ? )rdr .（3）若原点 0 在 D 的边界上，则 ? 为 0 ? r ? r (? ) ， ? ? ? ? ? ， 于是有 ?? f ( x, y )dxdy ? ? d? ?D?r (? )?0f (r cos? , r sin ? )rdr .例 6 计算 I ? ?? e ? xD2? y2dxdy ，其中 D 为区域 x 2 ? y 2 ? 1 .解 ：如果用直角坐标系来计算，这个积分却无法求出，现采用极坐标， 此时 D 表示为 0 ? r ? 1， 0 ? ? ? 2? ，故有I ? ?? e ?r rdrd? ? ? d? ? re ?r dr ? ?2 22?1D001 2 1 2? d ? e ?r d (?r 2 ) ? ? (1 ? e ?1 ) . ? ? 0 0 2[第 8 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文例 7 计算 I ? ??Dd? 1? x ? y2 2，其中 D 为圆域： x 2 ? y 2 ? 1 .解：由于原点为 D 的内点，故有??Dd? 1? x2 ? y2? ? d? ?02?1r 1? r 20dr ? ?2?0??1? r 2?1 d? ? ? 02?0d? ? 2? .与极坐标相类似 ，我们也可以作 下面的广义极坐 标变换：? x ? ar cos? , T :? 0 ? r ? ?? ， 0 ? ? ? 2? ， ? y ? br sin ? ,并计算得 J (r ,? ) ?a cos? b sin ?? ar sin ? ? abr [8]. br cos?例 8 求椭球体x2 y2 z 2 ? ? ? 1 的体积. a2 b2 c2解：由对称性，椭球体的体积 V 是第一卦限部分体积的 8 倍，这一部分是以? ? x2 y2 x2 ? z ? c 1 ? 2 ? 2 为曲顶， D ? ? ?( x, y ) 0 ? y ? b 1 ? 2 ,0 ? x ? a ? 为底的曲顶柱体， a b a ? ? ? ?所以 V ? 8?? c 1 ?D?1x2 y2 ? 2 d xd y. 应用广义极坐标变换，由于 z ? c 1 ? r 2 ，因此 2 a b2V ? 8? d? ? c 1 ? r abrdr ? 8abc2 0 0??2 0d? ? r 1 ? r 2 dr ?014? a b c. 3[第 9 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究第 3 章 特殊二重积分的计算技巧3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算（1）设区域 D 关于 y 轴对称，若函数 f ( x ) 关于 x 是奇函数，因为函数 f ( x ) 关 于 x 是奇函数， 即关于原点对称， 所以有 f (? x, y ) ? ? f ( x, y ) ， 则 ?? f ( x, y )dxdy ? 0 ；D若函数 f ( x ) 关于 x 是偶函数，因为函数 f ( x ) 关于 x 是偶函数，即关于 y 轴对称， 所以有 f (? x, y ) ? f ( x, y) ，则 ?? f ( x, y )dxdy ? 2?? f ( x, y )dxdy （其中 D1 是区域 DD D1位于 y 轴右侧的部分）. （2）设区域 D 关于 x 轴对称，若函数 f ( x ) 关于 y 是奇函数，因为函数 f ( x ) 关 于 y 是奇函数， 即关于原点对称， 所以有 f ( x,? y ) ? ? f ( x, y ) ， 则 ?? f ( x, y )dxdy ? 0 ；D若函数 f ( x ) 关于 y 是偶函数，因为函数 f ( x ) 关于 y 是偶函数，即关于 x 轴对称， 所以有 f ( x,? y) ? f ( x, y) ， 则 ?? f ( x, y )dxdy ? 2?? f ( x, y )dxdy（其中 D1 是区域 DD D1位于 x 轴上侧的部分）. （3）设区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，同时 f ( x) 也是关于 x, y 对称的，因为 区域 D 关于 x 轴和 y 轴对称， f ( x) 也是关于 x, y 对称，所以有 f (? x, y ) ? f ( x, y) ，f ( x,? y) ? f ( x, y) ，则有 ?? f ( x, y )dxdy ? 4?? f ( x, y )dxdy （其中 D1 是区域 D 位于D D1第一象限中的部分）. 下面仅证明（1） ，类似可以证明（2） ，由（1）和（2）可得（3）. 证明：由条件知， ?( x, y ) ? D1 ，则 (? x, y ) ? D2 ，其中 D 1, D 2 分别是 y 轴右侧，左 侧的部分.从而 ?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy ? ?? f ( x, y )dxdy ， 令 u ? ?x ，v ? y 则D D1 D2J??1 0 ? ?1 ， J ? 1 . 0 1,y ) 关于 x 是奇函数，即 f (? x, y ) ? ? f ( x, y ) 时，有 当 f(x?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (? x, y) J dxdy ? ??? f ( x, y)dxdyD1 D2 D2[第 10 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文故 ?? f ( x, y)dxdy ? 0 .D,y ) 关于 x 是偶函数，即 f (? x, y ) ? f ( x, y ) 时，有 当 f(x?? f ( x, y)dxdy ? ?? f (? x, y) J dxdy ? ?? f ( x, y)dxdyD1 D2 D2故 ?? f ( x, y )dxdy ? 2?? f ( x, y )dxdy .D D1例 9 计算双纽线 ( x 2 ? y 2 ) 2 ? 2a 2 ( x 2 ? y 2 ) 所围成的面积. 解 ： 采 用 极 坐 标 变 换 x ? r cos ? ， y ? r sin ? ， 双 纽 线 的 极 坐 标 方 程 是r 2 ? 2a 2 cos2? .因为双纽线关于 x 轴和 y 轴对称，于是，双纽线所围成区域 D 的面积 A 是第一象限内那部分区域面积的四倍. 第一象限那部分区域是 : 0 ? r ? a 2 cos 2? (0 ? ? ? 于是 A ? ?? dxdy ? 4? d? ?0D 4 0?4)，?a 2 cos 2?rdr ? 4a2??4 0cos2? d? ? 2a 2 .例 10 计算 I ? ?? ? x ? y ?dxdy，其中 D : x 2 ? y 2 ? 1 .D解法 1： x ? 0 ， y ? 0 时， D 分为四个区域，即 D 在一，二，三，四象限的部 分依次记为 D1 , D2 , D3 , D4 .I ? ?? ( x ? y )dxdy ? ?? (? x ? y )dxdy ? ?? (? x ? y )dxdy ? ?? ( x ? y )dxdyD1 D2 D3 D4? ? dx?011? x20( x ? y )dy ? ? dx??101? x20(? x ? y )dy ? ? dx??1002? 1? x(? x ? y )dy ? ? dx?010? 1? x 2( x ? y )dy8 3 利用极坐标计算这个二重积分 解法 2： （利用奇偶对称性） ?由于积分区域 D 关于 x轴和 y 轴对称， 而被积函数关于 x 和 y 是偶函数.因此 有1 8 ? 4? 2 ( c o?s? s i n ? )d? ? . I ? 4?? ( x ? y)d x d ? y 4? d? ? (r c o ? s ?rs i n ? )r d r 0 0 3 3 D12 0 1??[第 11 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究3.2 利用格林公式计算定理 6 若函数 P( x, y) ，Q( x, y) 在闭区域 D 上连续， 且有连续的一阶偏导数， 则有 ?? (D?Q ?P ? )d? ? ? Pdx ? Qdy ，这里 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向. L ?x ?y格林公式沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 例 11 计算 ?? e ? y dxdy ，其中 D 是以 O(0,0) ， A(1,1) ， B (0,1) 为顶点的三角形2D闭区域. 解：令 P ? 0 ， Q ? xe? y ，则22 ?Q ?P ? ? e? y ，应用格林公式有 ?x ?y?? eD? y2dxdy ?OA ? AB? BO? xe? y21 2 2 1 dy ? ? xe? y dy ? ? xe? x dx ? (1 ? e ?1 ) . 0 2 OA3.3 利用轮换法计算当积分区域关于直线 y ? x 对称时，有些二重积分可用轮换坐标的方法来简 化计算.轮换坐标是换元法的一种特殊形式，即将 x ， y 互换.将 x ， y 更换顺序 后，相当于将坐标轴重新命名，积分区域没有发生变化，则被积函数作相应变换 后，积分值不变.x2 y2 例12 求 I ? ?? ( 2 ? 2 )dxdy，其中 D 为区域 x 2 ? y 2 ? R 2 . a b D解：积分区域关于直线 y ? x 对称，根据轮换坐标对称性，将 x ， y 互换， 则?? (Dx2 y 2 y 2 x2 ? ) dxdy ? ( ? )dxdy ?? a 2 b2 a 2 b2 DI?? 1 1 1 1 ? x2 y 2 y 2 x2 ( ? ) dxdy ? ( ? 2 )dxdy? ? ( 2 ? 2 ) ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy ??? 2 2 2 ?? 2?D a b a b D ? 2 a b DR 1 1 1 2? ?R 4 1 1 ( 2 ? 2 ) ? d? ? r 2 rdr ? ( ? ). 0 2 a b 0 4 a2 b2?[第 12 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文3.4 利用二重积分的几何意义计算二重积分的几何意义是各部分区域上柱体体积的代数和，在 xoy 平面上方的 取正，在 xoy 平面下方的取负[15]. 例 13 计算二重积分 ?? a 2 ? x 2 ? y 2 d? ，其中 D : x 2 ? y 2 ? a 2 .D解：投影区域为圆域 D : x 2 ? y 2 ? a 2 .被积函数为半球面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 .1 4 2 由二重积分的几何意义得 ?? a 2 ? x 2 ? y 2 d? ? ? ?a 3 ? ?a 3 . 2 3 3 D[第 13 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究第 4 章 二重积分的应用4.1 计算曲面的面积4.1.1 曲面由显函数给出的情形 1.1 设曲面方程为 z ? f ( x, y) ，在 xoy面上的投影区域为 D ，设小区域 d ， ?? D 点 ( x, y) ? d? ，T 为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y)) 的切平面以 d ? 边界为准线， 母线平行于z 轴的小柱面，截曲面 S 为 dS ；截切平面 T 为 dA ，则有 dA ? dS ．?d? 为 dA 在 xoy 面上的投影，? d?? dA ? cos r ，? cos r ?1 1? f ? f2 x 2 y， ? dA ? 1 ? f x2 ? f y2 d? 曲面 S 的面积元素，所以 A ? ?? 1 ? f x2 ? f y2 d? .D曲面面积公式为： A ? ?? 1 ? (Dxy?z 2 ?z 2 ) ? ( ) dxdy ?x ?y同理可得 1.2 设曲面的方程为： x ? g ( y, z) 曲面面积公式为： A ? ?? 1 ? (D yz?x 2 ?x 2 ) ? ( ) dydz ?y ?z1.3 设曲面的方程为： y ? h( z, x) 曲面面积公式为： A ?Dzx??1? (?y 2 ?y ) ? ( ) 2 dzdx ?z ?x4.1.2 曲面由参数方程给出的情形 若曲面的方程是用参数给出 ， 其中 (u , v) ? ? ，? 为封闭可求积的有界区域， 假定函数 x ， y 和 z 为在域 ? 内连续可微分的函数，则对于曲面的面积有公式S ? ?? EG ? F 2 dudv?2 2 2 2 2 2 其中 E ? xu ， F ? xu xv ? yu yv ? zu zv ， G ? xv ． ? yu ? zu ? yv ? zv例 14 求锥面 z ?x 2 ? y 2 被柱面 z 2 ? 2x 所截部分的曲面面积．[第 14 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文y D ： x 2 ? y 2 ? 2 x ，而 解：曲面在 x o 平面上的投影区域?z ? ?xx x2 ? y2，?z ? ?yy x2 ? y2，则 S ? ?? 1 ? (D?z 2 ?z 2 ) ? ( ) dxdy ? 2 ?? dxdy ? 2? ． ?x ?y D例 15 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面积． 解：球面的参数方程为 x ? R cos? cos? ， y ? R cos? sin ? ， z ? R sin? ． 其中 R 为球的半径.本题是求当 ?1 ? ? ? ? 2 ，? 1 ? ? ? ? 2 时的球面部分面积．由2 2 2 于 E ? x? ? y? ? z? ? R2 ， F ? 0 ， G ? R 2 cos2 ? ， 故 EG ? F 2 ? R 2 cos? ．于是，所求的面积为S ? ? d? ? R 2 c o ? s sin ? ? (?2 ? ?1 ) ( s ? in ?1 )R2 ， 2 ?s i n?1 ?1?2?2其中 ?1 及 ? 2 为经线的经度，? 1 及? 2 为纬线的纬度．4.2 计算平面薄片的重心y 设 x o 平面上有 n 个质点，它们分别位于 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),? , ( x n , y n ) 处，质量分别为 m1 , m 2 , ? , m n ，则该质点系的重心的坐标为x?My M??m xi ?1 nni i?mi ?1，y?iM x i ?1 ? n ． M ? mii ?1? mi yiny D ，在点 ( x, y) 处的面密度为 ? ( x, y) ， 设有一平面薄片，占有 x o 面上的闭区域假定 ? ( x, y) 在 D 上连续，则平面薄片的重心坐标为x??? x? ( x, y)d?D?? ? ( x, y)d?D，y??? y? ( x, y)d?D?? ? ( x, y)d?D．当薄片是均匀的，即面密度是常量，重心成为形心，则[第 15 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究x?1 1 xd? ， y ? ?? yd? ，其中 A ? ?? d? 为闭区域 D 的面积[21]． ?? A D AD D例 16 求均匀密度的平面薄板重心：半椭圆x2 y 2 ? ? 1, y ? 0 . a 2 b2解：设密度为 ? （常数） ，由于图形关于 y 轴对称，故 x ? 0? 1 1 又质量 M ? ?? ?dxdy ? ? ? d? ? abrdr ? ?ab? ， 0 0 2 D又 x 轴的静力矩M x ? ?? y?dxdy ? ? ? d? ? (ab2 s i n ? )r 2 dr ? ?ab2 ? s i n ?d? ? r 2 dr ?D 0 0 0 0?1?12 2 ab ? ， 3y?M x 4b ? M 3?4b )． 3?故重心 ( x , y ) ? (0,4.3 计算平面薄片的转动惯量设 xoy 平面上有 n 个质点， 它们分别位于 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ),? , ( x n , y n ) 处， 质 量 分 别 为 m1 , m2 ,?, mn ， 则 该 质 点 系 对 于 x 轴 和 y 轴 的 转 动 惯 量 依 次 为I x ? ? mi yi2 ， I y ? ? mi xi2 ．i ?1 nni ?1(x ,y ) 设有一平面薄片， 占有 xoy 面上的闭区域 D ， 在点 ( x, y ) 处的面密度为 ?(x ,y ) 在 D 上连续，则平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 假定 ?Ix ??? yD2? ( x, y )d? ， I y ? ?? x 2 ? ( x, y)d? ．D2例 17 求由抛物线 y ? x 及直线 y ? 1所围成的均匀薄板（面密度为常数 ?）对 于直线 y ? ?1 的转动惯量． 解：转动惯量元素为 dI ? ( y ? 1) 2 ?d?1 1 1 ?1 ?1 I ? ?? ( y ? 1) 2 ?d? ? ? ? dx? 2 ( y ? 1) 2 dy ? ? ? ? ( y ? 1)3 ? 2 dx ?1 x ?1 3 ? ?x D[第 16 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文???8 ? ( x 3?1 ?12? 1) 3 dx ??368 ?． 1054.4 计算平面薄片对质点的引力(x ,y ) ， 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在点 (x, y) 处的面密度 ?(x ,y ) 在 D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 M 0 (0,0, a) 处的单位 假定 ?质点的引力 (a ? 0) ． 薄 片 对 zFx ? f ??D轴 上 单 位 质 点 的 引 力 为 F ? ?Fx , Fy , Fz ? ，3 2? ( x, y ) x(x ? y ? a )2 2 2d? ，Fy ? f ??D? ( x, y ) y(x ? y ? a )2 2 2 3 2d? ， Fz ? ?af ??D? ( x, y )(x ? y ? a )2 2 3 2 2d? （其中 f 为引力常数）[22]． 例 18 均匀薄片 x 2 ? y 2 ? R 2 ，计算 z ? 0 对于轴上一点 (0,0, c)(c &0)处的单位质量的引力 ． 解：由对称性，引力必在 z 轴方向上，因此 Fx ? 0, Fy ? 0,Fz ? ?cf ??D?( x 2 ? y 2 ?c )3 2 2d? ? ?cf? ? d? ?02?R1 (r 2 ? c )3 2 20rdr ? 2?fc? (1 ? ) R2 ? c2 c1? 1 1 ? 故 F ? ?0,0,2?fc? ( ? )? (其中 f 是引力常数）. R2 ? c2 c ? ?4.5 计算空间立体体积由二重积分的几何意义知，当 f ( x, y ) ? 0 时， ?? f ( x, y)d? 表示以 xoy 平面上D的区域 D 为底，以 z ? f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体的体积，因此利用二重积分计算空 间立体体积的关键在于找曲顶柱体的底与顶. 例 19 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积.[第 17 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究解：设圆柱底面半径为 a ，两个圆柱方程为 x 2 ? y 2 ? a 2 与 x 2 ? z 2 ? a 2 . 利用对称性，只求出在第一卦限部分的体积，然后再乘以 8 即得所求的体积.第一? ?0 ? y ? a 2 ? x 2 卦限的立体是以 z ? a 2 ? x 2 为曲顶， 以四分之一圆域 D : ? 为底的 ? 0? x?a ?曲顶柱体，所以a a2 ? x2 a 2 1 16 于是 V ? a 3 . V ? ?? a 2 ? x 2 d? ? ? dx? a 2 ? x 2 dy ? ? (a 2 ? x 2 )dx ? a 3 ， 0 0 0 3 8 3 D4.6 计算曲线积分对平面闭曲线上的对坐标曲线的积分，当 过格林公式化为二重积分来计算. 例 20 计算曲线积分 ? (1 ? x 2 ) ydx ? x(1 ? y 2 )dy ， 其中 L 是沿圆周 x 2 ? y 2 ? R 2 ，L?Q ?P 比较简单时，常常考虑通 ? ?x ?y逆时针方向. 解：利用格林公式计算此积分，记 L 所围的区域为 D ，则有? (1? x ) ydx ? x(1? y )dy ? ?? ?1? y2 2 L DD2? (1 ? x 2 ) d x d y2? R?? ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy ? ? d? ? r 3dr ?0 0?2R4 .4.7 计算曲面积分第一型曲面积分可化为二重积分来计算： 定理 7 设有光滑曲面 S : z ? z ( x, y ), ( x, y ) ? D ， f ( x, y, z ) 为 S 上的连续函数，2 2 ? zy dxdy . 则 ?? f ( x, y, z )dS ? ?? f ( x, y, z ( x, y )) 1 ? z x S D例 21 计算第一型曲面积分 ?? xyzdS ，其中 S 为平面 x ? y ? z ? 1 在第一卦限S里的部分.2 2 解： z ? 1 ? x ? y ，则 z x ? ?1 ， z y ? ?1 ， 1 ? zx ? zy ? 3，[第 18 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文?? xyzdS ? ?? xy(1 ? x ? y) 3dxdy ? 3 ? dx?S 011? x0( xy ? x 2 y ? xy 2 )dy11 3 . ? 3 ? x(1 ? x)3 dx ? 0 6 120第二型曲面积分也可化为二重积分来计算： 定理 8 设 R 是定义在光滑曲面 S : z ? z( x, y), ( x, y) ? Dxy 上的连续函数，以 S 的上侧为正侧（这时 S 的法线方向与 z 轴正向成锐角），则有?? R( x, y, z)dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y))dxdy .S Dxy类似地，当 P 在光滑曲面 S : x ? x( y, z), ( y, z) ? Dyz 上连续时，有?? P( x, y, z)dydz ? ?? P( x( y, z), y, z)dydz，这里 S 是以 S 的法线方向与 x 轴的正向S D yz成锐角的那一侧为正侧.当 Q 在光滑曲面 S : y ? y( z, x), ( z, x) ? Dzx 上连续时，有?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y( z, x), z )dzdx ，这里 S 是以 S 的法线方向与 y 轴的正向S Dzx成锐角的那一侧为正侧. 例 22 计算第二型曲面积分 ?? xydydz ? yzdzdx ? zxdxdy ，其中 S 是由平面Sx ? y ? z ? 0 和 x ? y ? z ? 1 所围的四面体表面并取外侧为正向.解：由对称性知，原式 ? 3?? x(1 ? x ? y)dxdy ? 3? dx?Dxy 011? x0( x ? x 2 ? xy)dy1? 1 3 1 1 ? ? 3? ? x(1 ? x) 2 ? x(1 ? x) 2 ?dx ? ? ( x ? 2 x 2 ? x 3 )dx ? . 0 2 2 0 8 ? ?[第 19 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究第 5 章 结束语本次的毕业论文是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里， 在查找资料， 准备开题和论文设计过程中， 遇到了许许多多的问题， 在遇到问题， 分析问题和解决问题的过程中，论文也慢慢地成型，虽然在某些细节上还是比较 粗糙，但总体上还是达到了基本的研究要求，基本可以解决一些常见的二重积分 的计算这一问题，为二重积分的计算提供一个参照. 当然，在具体求解一个二重积分的计算时，根据被积函数和积分区域的特点 采用不同的计算方法是求二重积分的关键.上述介绍的几种方法不一定全是最简 单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分的求解 过程中要充分运用已知条件选择最佳计算方法， 这对于沟通积分各部分内容之间 的联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需 要在实践中逐步提高.[第 20 页 共 22 页]黄冈师范学院本科学位论文致 谢在这里首先要感谢我的指导老师刘春潮.在毕业论文的完成过程中，刘老师 在百忙之中查阅和修改本论文，给予了很多悉心的指导，对论文的修改给予了很 多细致的建议，给予了很多完善论文的启发.刘老师这种严谨治学的态度，让我 肃然起敬，同时深厚的理论水平也让我受益匪浅.在指出论文中存在的问题和提 供建设性修改意见的同时，也不忘鼓励我发扬长处，不忘指导我将所学知识充分 运用，要不断更新自己的知识体系，这些让我很受欣慰和鼓舞，在这里，学生真 诚地对刘老师表示深深的感激与谢意. 通过这一阶段的学习和研究，终于解决一些问题，其中耗费了很多精力和时 间，但本次论文是大学对即将走进社会的我们的一次知识和能力的综合考验，这 将是激励我去创造的一个起点，会永远激励着我前进. 最后，还是要再次衷心地感谢这些日子以来给予我帮助的所有老师，朋友和 同学们，谢谢你们！[第 21 页 共 22 页]二重积分的计算与应用研究参考文献[1] 李林曙，黎诣远．微积分[M]．北京：高等教育出版社，2005． [2] 华东师范大学数学系．数学分析(下)[M]．北京：高等教育出版社，2001． [3] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．北京：高等教育出版社，2001． [4] 郭运瑞．高等数学[M]．成都：西南交通大学出版社，2010． [5] 甄海燕．二重积分的计算方法[J]．山东商业职业技术学院，)：86~88． [6] 韩振来．数学分析同步辅导及习题精粹(下) [M]．天津：天津科学技术出版社，2009． [7] 费定晖，周学圣．吉米多维奇数学分析习题集题解(6)[M]．济南：山东科学技术出版社， 2003． [8] 李德新．高等数学学习与解题指导[M]．厦门：厦门大学出版社，2009． [9] 郑兆顺．谈二重积分的计算[J]．河南教育学院学报，)：7~10． [10] 曹毅．简化二重积分的方法[J]．江苏技术师范学院学报，)：59~61． [11] 李娟．利用对称性、奇偶性计算二重积分[J]．天津职业院校联合学报，)： 68~70． [12] 赵赫．几种特殊类型二重积分的计算技巧[J]．衡水学院学报，)：10~12． [13] 薛凌霄．二重积分计算方法的研究[J]．宜春学院学报，)：31~32． [14] 温田丁．考研数学中的二重积分的计算技巧[J]．高等数学研究，)：63~65． [15] 林承初．二重积分的计算方法与技巧[J]．广西财经学院学报，)：32~36． [16] 殷凤，王鹏飞．二重积分中值定理的推广[J]．忻州师范学院，)：15~16． [17] 汤茂林．二重积分在定积分的应用[J]．黄冈师范学院学报，)：8~9． [18] 龚冬保．数学考研典型题(数学一)[M]．西安：西安交通大学出版社，2004． [19] 王力军．高中数学中格林公式的灵活应用[J]．数学教学研究，)：60~61． [20] 陆全， 肖亚兰． 高等数学常见题型解析及模拟题[M]． 西安： 西北工业大学出版社， 2003． [21] 杨维． 多元函数积分学的物理意义在解题中的应用[J]． 高等数学研究， 2003， 6(1)： 46~47． [22] 同济大学数学系．高等数学[M]．北京：高等教育出版社，2007． [23] Yuriy Buika． Multiple nonlinear Vol terra integral equations[M]． The University of Alabama， 2006． [24] Sharon M．Frechette．Decomposition of spaces of half-integral weight cusp forms[M]． Dartmouth College，1997． [25] Timothy Ira Myers．The gauge integral and its relationship to the Lebesgue integral[M]． Morgan State University，2007．[第 22 页 共 22 页]
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