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2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解题建议
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资料概述与简介
2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：解题建议
我们对高考解题的基本建议是（6条）：明确解题过程；夯实解题基础；防止解题错误；掌握解题策略；精通三类题型；运用答题技术．
（1）明确解题过程；（四步程序）①理解题意②思路探求③书写解答④回顾反思
（2）夯实解题基础；（四个因素）①知识因素②能力因素③经验因素④情感因素
（3）防止解题错误；（四种类型）①知识性错误②逻辑性错误③策略性错误④心理性错误．
（4）掌握解题策略；（四个策略）①模式识别②差异分析③层次解决④数形结合
（5）精通三类题型；①选择题②填空题③解答题
（6）运用答题技术． ①提前进入角色②迅速摸清“题情”③执行“三个循环”④做到“四先四后”（先易后难、先熟后生、先高后低、先同后异）⑤答题“一慢一快”⑥立足中下题目，力争高上水平⑦立足一次成功，重视复查环节⑧运用解题策略于分段得分：●分解分步—缺步解答●引理思想—跳步解答●以退求进—退步解答●正难则反—倒步解答●扫清外围—辅助解答
测试复习成果
提供复习导向
第一阶段复习要做到“四过关”
（1）能准确理解书中的任一概念；（测试1，测试4）
（2）能独立证明书中的每一定理；（测试1，测试2）
●定理从两个方面提供重要方法；要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用．
●潘承洞教授1979年出高考题，只出了一道题：“叙述并证明勾股定理”，得分不全国做对的人不到0．01（百里挑一），潘教授不敢承认是他出的；1981年考余弦定理呈两极态势；2010年四川高考证明两角和的余弦公式，50万考生做对的仅几百人（千里挑一），议论纷纷； 2011年陕西考余弦定理，也是议论纷纷2012年陕西考定理．
（3）120分，得分率0．80）
●课本类型统计
第二阶段复习要抓住五个方向
如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习、全面覆盖的话，那么第二阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了．
（1）第一阶段中的弱点；
（2）教材体系中的重点；
（3）高考试题中的热点；
（4）中学数学的解题方法体系；
（5）:针对性、实用性、系列化．
这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近．
（这五个方面与近几年的高考题相结合，可望高考得130分，得分率0．86）
“四过关”测试
大家“四过关”没有呢？
测试1：（是否形成良好的认知结构，脑子里有无思维路线图）
闭上眼睛，你能回忆起几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！
●文科必考内容：共20个知识板块，约260课时、180个知识点；
●理科必考内容：共21个知识板块，约290课时、210个知识点．）
当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！（思维概念图）
对于您能写出多少个等式？越多越好！（思维概念图）
（同角关系）
（诱导公式）
（和差倍半公式）
=(1+cos)tg
o测试2：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度）
余弦定理的3
余弦定理要证
如图2，最后一式显然成立，故有证明如下（由繁到简、三项变一项）
（把数量转变为向量）
（向量运算、变三项为两项）
（向量运算、变两项为一项）
．（把向量还原为数量）
思路2（坐标证明） 如图3，在中，设，由向量数量积的定义,有
（把向量变为坐标）
（坐标运算）
（坐标运算）
，（把向量变为数量）
可见，余弦定理在单位圆上，记，则
可见，余弦分三种情况讨论，得出
　　　　　　．
（1）当角为直角时，由勾股定理，得
　　　　　
所以，当角为直角时，命题成立．
（2）当角为锐角时，如图4，过点作对边的垂线，垂足为，则
在中，用勾股定理，得
消去并把①代入，得 　　　　　　　　　　　　图4
（把①代入消去）
（把①代入消去）
所以，当角为锐角时，命题成立．
（3）当角为钝角时，如图5，过点作对边的垂线，交的延长线于，有
在中，用勾股定理，得
消去并把②代入，得
（把②代入）
（把②代入）
所以，当角为钝角时，命题成立．
　　综上（1）、（2）、（3）可得，在中为直角、锐角、钝角时，都有
同理可证，
问题在于，当角为锐角时，角还可以为直角或钝角（既有知识性错误，又有逻辑性错误）
余弦定理的逆命题（怎样叙述，真假如何）
对应余弦定理的符号等式，交换条件与结论，我们给出逆命题为：
若为正实数，，有
则对应的线段构成一个三角形，且边的对角为，边的对角为，边的对角为．
由，有，得
又因为正实数，所以
同理，由，
所以，对应的线段可以构成一个三角形．记这个三角形为，而边的对角为，边的对角为，边的对角为，，由余弦定理，有
但由已知又有
由余弦函数的单调性，得，即边的对角为．同理，得边的对角为，边的对角为．
逆命题2： 对于正实数，及，若有
则对应的线段构成一个三角形，且边的对角为．
由，有，得
又因为正实数，有
所以，对应的线段可以构成一个三角形．记为，而边的对角为，，由余弦定理，有
但由已知又有
由余弦函数的单调性，得，即边的对角为．
测试：四过关了吗？（认知结构，思维能力，经验题感，情感态度）
例-1 （空间图形的最短路程）如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为4cm，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程为
把圆柱体沿母线展开，得图所示的矩形，从点到点的最短路程就是线段的长．因为的长是底面圆的周长的一半12cm，高的长是4cm，所以在中，由勾股定理得
同意的举手不同意的站起来
（1）合理成分
例中有三个化归是很好的：
化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题
化归2：把一个空间问题转化为平面问题化归3：点到点有两类路径：
●只走侧面（有两条路线），展平后，转变为“两点之间直线距离最短”；
●既走侧面又走底面，走侧面时，转变为“两点之间直线距离最短”；走底面时，也走“两点之间的直线距离”．这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性．
“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（认识封闭1），更没有看到第二类路径的多样性（认识封闭2）．（逻辑性错误）
如图8，将圆柱的侧面展开为矩形、上底面展开为母线上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离：
第一条，如例3-1所述，是沿侧面展平后的直线距离，有
第二条，是先沿侧面走母线，然后走圆的直径，展平后有
由于，所以比更小．
那么，是不是任何情况下都有呢？
如图6，一圆柱体的底面周长为16，高为4，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是(
如图8，沿用例3-1的解法，有
但，所以．
那么，什么时候小、什么时候小呢？
（3）问题探索
考虑更一般性的情况．
如图6，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程．
如图8，沿用例3-1的解法，有
记常数为，可见，与的大小关系有三种情况：当时，沿侧面爬行的路程最短，为；当时，先竖直向上爬到的正上方，再沿直径爬到点的路程最短，为；当时，两种爬行方式的路程一样．
看上去，这种讨论已经很细致了，然而，这依然有认识的封闭．
（4）进一步思考
事实上，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的路径，除了以上两种之外，还存在无穷多条从到的路径．如图9所示：，其中是侧面上的最短距离（侧面展平后的直线距离），是上底面两点之间的直线距离．
下面，我们来讨论的最值．
设圆心角，，则，展平后，为圆与矩形的切点，为折线，在直角中，有
在中用余弦定理，有
得的长度为函数
闭区间上的连续函数必有最大最小值，不作展开．
三视图（江苏不考）
如图，给出正方体．与重合），图形作了一些技术性的调整）
例（1）请画出正方体的三视图．（保留）
（2）若在正方体中截去一个三棱锥，得到如图的几何体，请画出图的三视图．（在保留图上继续）
图（3）若在图的基础上再截去一个三棱锥得到如图的几何体，请画出图的三视图．图结果图、图的三视图均为图，因为三视图与 重合，与 重合，与 重合．例若在图的基础上再截去两个三棱锥,得到如图的几何体，请画出图的三视图．
图（5）再从图几何体中截去三棱锥得到如图的正四面体，请画出图的三视图．
结果图、图的三视图均为图，因为图三棱锥的三视图完全被图的三视图重合了图14 的，图重合了图14的；
左视图中，图重合了图14的，图重合了图14的；
俯视图中，图重合了图14的，图重合了图14的．（概念理解）
由正视图知，三棱柱是以底面
边长为2，高为1的正三棱柱，所以侧面积为，选（D）．
主视图为矩形的三棱柱不唯一，
（1）左视图俯视图
高考修改题1
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其体积等于（
依题意，三棱柱的底面边长为2，三棱柱的高为1，其体积为，选（A）．
高考修改题2
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图14所示，则其侧面积的取值范围为
依题意，三棱柱有两侧面为平行四边形，平行四边形的底为2、高为1，面积为2+2=4；第三个侧面为矩形，矩形的底为2、高为（为矩形面与底面的夹角），面积为．得三棱柱的侧面积为
当增大时，增大；当时，，所以，侧面积的取值范围为
形同而质异的三角题
若的角满足
（2011年高中数学联赛一试B卷第5题）
若的角满足
若的内角满足
若的内角满足
讲解　　第一、求解．
若的角满足
解：因为，代入已知等式并化简整理，得
又因为均为锐角，所以，故
　　　　　　．
（联赛题的参考答案）
若的角满足
解：同上，把万能公式代入已知等式并化简整理，得．
又因为均为锐角，所以，故
可见，两道题目不仅形式类似，其求解步骤也近乎雷同，只有答案与的数值差别，这个差别与已知两式中加减号的不同有关．
若的内角满足
因为，代入已知等式并化简整理，得
所以，此题无解．
请分析，为什么例5-1与例5-3两道错题只是数字4与5交换了一下位置，就会形式上一个有解、一个无解呢？
若的内角满足
因为，代入已知等式并化简整理，得
所以，此题无解．
　　请分析，为什么例5-2与例5-4两道题目只是数字4与5交换了一下位置，就会一个有解、一个无解呢？
　　第二、反思．
　　例5-1结论不成立
　　证明　在中，有
由正切函数在上为增函数知
可见，结论不成立．
例5-1条件不成立
（三角形中）
（诱导公式）
，（三角形中）
可见，结论不成立．
今年高考题
（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；
（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点．
（2012高考数学福建卷理科第20题，14分）
由知，曲线在处的切线斜率为，得，这时
于是，问题来了：计算得出过点处的切线重合于轴，与题目说的“在点处的切线平行于轴”到底有没有矛盾？有人说“同一平面内，且没有公共点的直线叫平行线，而重合有无数个公共点”，有矛盾，是错题；有人说“重合可以是平行的特例”，虽然不承认“错题”，也只肯定到“不要紧”，至少在客观上有了歧义（歧义题），若提前发现肯定会修改．比如改为：在点处的切线斜率为0，或在点处的切线垂直于轴．
数学高考解题的
2-1 数学高考题
（1）高考题：为了实现诊断、预测、甄别、选拔等特定目的，而组织化、系统化、标准化的数学问题组织形式，称为数学试题．用于高考的数学试题称为高考题．
（2）高考创新题：高考主要通过创新试题来考创新精神（意识）．数学创新试题是指在试题背景、试题形式、试题内容或解答方法等方面具有一定的新颖性与独特性的数学试题，其基本目的在于诊断考生的数学创新意识与数学创新能力．
高考创新题、例、例、例例例、14分设函数定义在上，，导函数
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．2012年全国高考数学陕西理科21题14分 设函数，（）．
（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设是在内的零点，判断数列…的增减性．（Ⅱ）（Ⅲ）定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：
①函数是单函数；
②若为单函数，且则；
③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．
其中的真命题是
．（写出所有真命题的编号）（信息迁移）
答案：②③④．
解释 ：①错，当时可以有．（假命题，找反例）
②逆否命题，真命题．
③推出必要条件，真命题．
④提供充分条件，真命题．
例9 （2011江苏省数学卷第19题）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致
（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数的取值范围；
（2）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值．（信息迁移题）
点评：本题在考生理解了函数的单调性的基础上，新定义了“单调性一致”的概念，考生需要把新的定义与自己已有的知识融合，这种解决新问题的能力是考生在今后学习中非常重要的．试题的第（2）问，实际是讨论不等式在区间上恒成立问题，需要分类讨论，运用函数性质及实数运算的符号法则分析结果．解决问题的过程中所用到的知识和方法并不深奥，但分析问题、解决问题的能力要求很高，属于对高层次数学思维和数学素质的考查．
学生进人高校或社会后能否继续发展，在很大程度上取决于他们的学习能力．具有良好的阅读理解力是继续学习的前提．近年的高考试卷对阅读理解能力，特别是对数学语言，包括文字语言、图形语言、符号语言、图表语言的阅读理解能力的考查加大了力度，教师在日常教学中应多加关注．（参见本刊特约数学试题评阅组．2011年高考数学试题“红黑榜”．基础教育课程，2011，9和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（
（信息迁移题）【答案】B
例11 （2010年安徽理科第21题、13分） 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(Ⅰ)写出的可能值集合；
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
（这是数学高考中第一次出现概率题压轴）
列表，计算1，2，3，4的全排列及相应的值
1，2，3，4 0 0 0 0 0
1，2，4，3 0 0 1 1 2
1，3，2，4 0 1 1 0 2
1，3，4，2 0 1 1 2 4
1，4，2，3 0 2 1 1 4
1，4，3，2 0 2 0 2 4
2，1，3，4 1 1 0 0 2
2，1，4，3 1 1 1 1 4
2，3，1，4 1 1 2 0 4
2，3，4，1 1 1 1 3 6
2，4，1，3 1 2 2 1 6
2，4，3，1 1 2 0 3 6
3，1，2，4 2 1 1 0 4
3，1，4，2 2 1 1 2 6
3，2，1，4 2 0 2 0 4
3，2，4，1 2 1 1 2 6
3，4，1，2 2 2 2 2 8
3，4，2，1 2 2 1 3 8
4，1，2，3 3 1 1 1 6
4，1，3，2 3 1 0 2 6
4，2，1，3 3 0 2 1 6
4，2，3， 1 3 0 0 3 6
4，3，1，2 3 1 2 2 8
4，3，2，1 3 1 1 3 8
　　（I）由表可见，的可能值集合为．
　　理论说明：在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此与的奇偶性相同，从而
必为偶数．
的值非负，且易知其值不大于8．
所以X的值等于0，2，4，6，8．
（II）由列表的值，在等可能的假定下，得到
（III）（i）首先，将三轮测试都有的概率记做，由上述结果和独立性假设，得
（ii）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）．
（Ⅰ）由题意：当；当时，可设
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以，当在区间[20，200]上取得最大值约为．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
例13 （2011年湖南理科第20题）如图1，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为．移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
（1）或的平行面（只有一个面淋
雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；
（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为移动过程中的总淋雨量，当移动距离，面积时．
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少．
解 （I）由题意知，移动时单位时间内的淋雨量为，故
（II）由(I)知，当时，
(1)当时，是关于的减函数．故当时，．
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，．
点评：《普通高中数学课程标准（实验稿）》强调“发展学生的数学应用意识”，“高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强”，这种理念在近年高考试题中体现得日渐鲜明．2011年数学高考卷中又出了不少联系现实、联系生活的应用试题．除例12、例13外，还有江苏的包装盒的面（体）积与正方形纸板裁剪方式的函数关系的应用题、福建的商品销售量与销售价格函数关系的应用题、山东的容器的建造费与容器两端半球形半径函数关系的应用题、安徽的以进入核电站完成某项具有高辐射危险任务为背景的概率应用题等．这些试题的背景考生都了解，所用的知识方法又是考生应知应会的，考生能否解决问题，能体现他们关注生活、关注数学应用、运用数学知识分析和解决问题的能力；同时试题充分体现了数学的文化价值与应用价值，能使学生感觉到数学有用，数学很亲切，数学就在我们身边．（参见本刊特约数学试题评阅组．2011年高考数学试题“红黑榜”．基础教育课程，2011，9为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间上的均匀随机数和，由此得到个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为
．（过程操作）
（本小题满分12分）如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交与点．再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点，记点的坐标为）．
（Ⅰ）试求与的关系（）；
（2011年，由点列的横坐标产生等差数列、纵坐标产生等比数列．并且第（Ⅱ）问既是等比数列的前项和，也是小矩形的面积和，它正是定积分的近似值．
同时，本题有牛顿切线法的背景，一般地，过曲线上一点作曲线的切线交轴于点，有，可得递推公式．所以，这道题也能体现数学视野．
（2011年观察下列等式
照此规律，第个等式为等式等式第个等式．
（2）等式第个等式项之和，据等差数列通项公式，得等式．
（3）等式），可猜想第个等式．
得第个等式为．
验证知（等差数列部分和），这确实是恒等式．
由特殊到一般，分别找等式等式第个等式．
（2）等式，可猜想第个等式．
（3）等式，得等式．
得第个等式为．
可见，本题以等差数列求和为载体，考查归纳猜想．等差数列的通项公式或求和公式都是实质考到的（首项、项数、末项、和四要素）
例17 （2011年设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
解法1　观察不变．分母分为两部分：第一常数项为，第二一次项系数为常数项减１：．得
解法2　　观察不变．分母分为两部分：（１）常数项为，（２）下一等式的一次项系数为上一等式的两系数之和：．得
解法3　 分离系数，分式对应为矩阵，则对应为矩阵的方 ．
数学高考解题
（1）平时解题是一种认识活动，是对知识（概念、定理等）的继续学习，是对方法的继续熟练，是在发生数学和掌握数学，而高考解题则是“通过解题水平来看数学思维水平”，是一种评估活动，是以解题能力的高低为考核标准、一次性笔试决定胜负的．如果说平时作业要求“全做全对”的话，那么高考是加总分录取，不需要“全做全对”．
（2）高考解题的一般性．
高考解题就是将课堂上获得的数学知识、数学方法和数学经验用于解决高等学校招生考试的新试题．这是一个从记忆模仿到探索发现的过程，关键在探索发现，核心是通过推理、论证得出一个符合数学事实的结论．一个重要的建议是化归为课堂上已经解过的题，化归为往年的高考题（或其变形）．
（3）高考解题的特殊性．
高考解题与平时做作业的不同之处在于，解答高考题是在特定环境和特殊要求的条件下进行的，一道数学题成为高考题后，将具有不同于平时作业题的特性，如一道数学题成为高考题后，就成了一把“诊断、预测、甄别、选拔”的尺子（量表），已具有不同于平时作业题的诸多特性，如
①能力的代表性；（评价性质而非学习本身）
②分数的选拔性；（是考试就只能由成绩来说话）
③时间的限定性；（有速度要求、不要求全做全对）
④评分的阶段性．（分段给分、分段扣分，做对的题会存在“潜在丢分”或“隐含失分”，而不会做的题又可以得分不少．）
（4）高考解题需要我们迅速解决“从何处下手、向何方前进”这两个基本问题，临场的思维策略主要有模式识别，差异分析，数形结合，层次解决，当然，最重要的还是学会分析．
（5）高考既是数学知识的较量又是心理素质的较量．
明确解题过程
著名数学家、数学教育家波利亚写过一本风靡世界的书，叫做《怎样解题》，书中把解题过程分为四步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾，并列出了一张解题表．我们对解题表解说如下：
题目本身是“怎样解这道题”的钥匙．只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们．所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意．特别要抓好审题的“三个要点、四个步骤”．
①“三要点”是：
要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．
首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系．
题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知”并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站．
要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．
题目的结论有的是明显给出的，如“求证”题（还有选择题等），关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解”题、探索题（还有填空题等），这时的弄清结论，就是要弄清“求解”（探索）的性质或范围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向．
题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知”并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针．
数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的．
要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．
即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的基础上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的结构．为了更接近问题的深层结构，审题不仅开始于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思．应该是循环往复、不断深化的过程．
题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．
②“4步骤”是：
步骤1：读题——弄清字面含义．
审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法结构、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比如在考试中，有的题目要求用“定义”证明，有的题目要求用“数学归纳法”证明，有的题目要求用数字回答，有的题目要求保留小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整（存在扣分的危险），虽然有的同学并非不会做．
步骤2：理解——弄清数学含义．
看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进行文字语言、符号语言、形象语言之间的转化，从题目的叙述中获取数学“符号信息”，从题目的图形中获取数学“形象信息”，弄清题目的数学含义．这当中，我们常常要“回到定义”、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解．
步骤3：表征——识别题目类型．
信息在大脑的呈现叫做表征．弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经验．对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系结构是记忆储存所现成的——每人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有基本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决（叫做模式识别）．即使是新的“陌生情景”，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析”、“数形结合”等措施，进入下一阶段——拟定计划．
解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．
步骤4：深化——接近深层结构．
简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的．对于变通过的、“形似而质异”的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题”．因而，“弄清题意”的工作在“识别题目类型”之后还结束不了，主要表现在两个方面：其一是在思路探求中，还有一个继续弄清题意的过程，否则会思路受挫、思维走偏；其二是在思路业已打通、解法初步得出时，仍有一个回顾反思、再认识的过程，即更本质的“弄清问题”、努力接近问题的深层结构．
经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．
①“拟定计划”的过程是探索解题思路的发现过程，也是一个化归过程，我们通常叫做寻找解题思路．其最朴素的含义是，把待解决或未解决的问题，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题．波利亚的建议是分两步走：
引进辅助问题等，这是最实质的曲折化归．为此，在“怎样解题”表中，波利亚拟出了启引我们不断转换问题的30多个问句或建议，促使我们产生灵感与念头．②中学生寻找思路的一个便于操作的方法是分析法．寻找思路的一个简易可行的思考是“特殊化”，先退后进、以退求进．此外，模式识别、差异分析、数形结合、层次解决都是非常有效的解题策略．
③高考中的化归有两个基本的途径．
●化归为课堂上已经解过的题．
因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．离开了课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课本”这个根本．
因为课本是高考命题的基本依据．有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．可以说，抓住了“化归为课堂上已经解过的题”就抓住了多数考题．
●化归为往年的高考题（或其变形）．
就是把打通了的解题思路（即自己看清楚、想明白的事情），用文字具体表达出来，说服自己、说服朋友、说服论敌．高考中就是要说服阅卷老师．
①在实现计划中“怎样表达”，这对学生来说仍然是一个需要系统指导和严格训练的问题．我们建议记住15字口诀24字要领15字口诀：“定方法、找起点、分层次、选定理、用文字”．
24字要领：方法简单、起点明确、层次清楚、定理准确、论证严密、书写规范．（对于网上阅卷，还要安排好书写的位置和字体的大小）
①回顾的最起码要求是复查检验，看计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的．有的检验是解题的必要步骤，如分式方程、无理方程验根，其求解过程是必要条件过程，充分性并未解决，验根之后，解题才算完成；有的检验是避免过失的技术性措施，像足球守门员把住最后一关．
②更深层次的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方法的评价．如解题中用到了哪些知识？哪些方法？是怎么想到它们的？困难在哪里？关键是什么？遇到过什么障碍？后来是怎么解决的？是否还有别的解决方法?更一般的方法？更特殊的方法？沟通其他学科的方法？更简单的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题能够推广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样的数学思想？调动这些知识和方法体现了什么样的解题策略？……如此等等的思考不仅能改进和完善眼前的解题，而且能提炼出对未来解题有指导作用的信息．它的长期积累会升华为人们搜索、捕捉、分析、加工和运用信息能力的总和——数学才能．
高考的回顾主要是复查检验，保证计算准确、推理合理、思维周密、避免过失．
这4个步骤需要不断的反馈调节（如图5），即使4步完成了也存在反思改进的空间：有时候思路还比较麻烦，通过反馈调节而精简；有时候思路还存在错误，通过反馈调节而纠正．
夯实解题基础
冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也就是我们常说的解题基本功．
（1）解题的知识因素．（认知结构）
人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件．既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！（参见函数思维概念图）
要将知识按照自己的理解加以组织．没有知识谈不上解题．智慧不是别的，而是组织良好的知识体系．
（2）解题的能力因素．（思维能力）
数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力：
●运算能力，
●逻辑思维能力，
●空间想象能力，
核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握．
（3）解题的经验因素．（经验题感）
在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验．
解题经验就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．
“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”
（4）解题的非智力因素（情感态度）
指良好的心理素质，包括动机、兴趣、态度、品德、意志等
波利亚说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”
防止解题错误
有一种简单化的认识，以为错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不只一个，在知识过关的情况下也会出现差错．既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误．（1）知识性错误．
知识性错误主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误．如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不顾范围使用方法等．核心是所涉及的内容是否符合数学事实．
（2）逻辑性错误．
逻辑性错误主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误．如虚假论据，不能推出，偷换概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等．核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则．
知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别．
（3）策略性错误．
这主要指由于解题方向上的偏差，造成思维受阻或解题长度过大．对于考试而言，即使做对了，若费时费事，也会造成潜在丢分或隐含失分，存在策略性错误．在解题探求中，思维受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索阶段的策略性错误是很难完全消除的．
（4）心理性错误．
这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能，但由于某些心理原因而产生的解题错误．如顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、抄错题、书写丢三落四等．
2-61）考生“分段得分”的法定依据是高考“分段评分”．
在高考中，由于有的人理解得深，有的人理解的浅，有的人解决得多，有的人解决得少，为了区别这些情况，阅卷时总是按照所考查的知识点，分段评分．踩上了知识点就给分，多踩多给．据此考生答题就应该也必然是“分段得分”．
由于平时做作业，教师总是要求学生“全做全对”，不实行“分段评分”，所以学生在高考时就不习惯“分段得分”，这就把平时做作业与高考竞争混为一谈了，因此，考生必须从高考性质与评分办法上去理解，转变观念，心理换位．教师在模拟训练时也应提醒这一点．
（2）分段得分的基本内容是：防止“分段扣分”，争取“分段得分”．
“分段评分”本身既包含着“分段给分”，也包含着“分段扣分”．因此，考生应“会做的题不丢分，不会做的题拿足分”．
①会做的题目，要力求不丢分．
情况表明，对于考生会做的题目，阅卷教师更注意找其中的毛病，分段扣回一二分，这时要特别解决好“会而不对、对而不全” 力求不丢分．
相反，对考生未能正确解答或未能完整解答的题目，阅卷教师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”．
②部分理解的题目，要力求多得分．
对于多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中多得点分段分，其实质是多出现几个相关的知识点．
从原则上讲，每一个考生做每一道题都不会一无所知，得零分的原因无非两条：没有时间做；不会把自己所掌握的知识表达出来或表达错了．
（3）分段得分的技术基础是解题策略．
分段得分的技术基础是解题策略在考试中的应用．下文将会显示，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，暴露解题思考的真实过程就是分段得分的全部秘密．
　　（4）分段得分的总体功能．
对于一道拿不下来的题目，实施分步得分的初衷是得部分分，但实施的过程也是解题策略的运用过程，正确策略的运用就带来了全题解决的前景．所以，运用解题策略同时具有分段得分与全题解决的双重功能：进可全题解决，退可分段得分．
（5）分段得分的主要技术有：缺步解答，跳步解答，退步解答，倒步解答，辅助解答，．
●分解分步——缺步解答．
数学研究中，遇到一个很困难的问题，实在啃不动，一个明智的策略是，将它分解为一系列的步骤，或者是一个个子问题，先解决问题的一部分．把这种情况反映出来，那就是在高考答题中，能演算几步就写几步，能解决到什么程度就表达到什么程度．特别是那些解题层次明显的题和那些已经程序化的方法，每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分，最后结果虽然没有得出来，但分数却拿了不少．
解答题有好几问，只完成一二问就是缺步解答，应用题“设、列”没有“解、答”也是缺步解答．
●引理思想——跳步解答．
解题过程中卡在某一个过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认它，作为一个中间结论，接着往后推，看能否得出结果．如果得不出结论，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，我们就回过头来，集中力量攻克这个“中途点”或“引理”．
这是一个常识性的解题策略，但是由于高考时间的限制，“引理”的攻克来不及了，那么可以先把前面的写下来（已经分段得分），再写上“证实某某之后，继而有…”，一直做到底，保持了整个解题思路的完整，这就是跳步解答．
这个攻不下来的“中途点”可能就是关键步骤，理应扣分，但后面部分能得点分，如果这个攻不下来的“中途点”并非关键步骤，那么整题的丢分就很少，这比完全不写或只写前半部分强得多．
也许后来，中间步骤又想出来了，不要乱七八糟地插上去，可补在后面，写“事实上，某某步可以证明如下”．这样，整个解答就天衣无缝，一气呵成，也整齐清洁了．
对于有二三问的题目，若第一问做不出来时，可“跳步解答”先做第二问或第三问．有时，考题前后两问本来就是无关的，先做那个都无所谓；若前后两问是有关系的，则可把前一问作为已知条件，参与解决下一问．
●以退求进——退步解答．
“以退求进”是一个重要的解题策略．如果我们不能马上解决所面临的问题，那么，可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论．总之，退到一个能够解决的问题，认透了，钻深了，然后再上去．
高考中，退而能进，问题就解决了．但是，由于时间关系，退下去进不来怎么办？比如，一个三角形的性质做不了，可先做正三角形或直角三角形，为了不产生“以偏概全”的误解，我们建议用分情况讨论的办法来解决，使得“退”成为有机整体的一部分，于是宏观把握的格局是存在的，逻辑关系是清楚的，进可全题解决，退也不是逻辑混乱、可得分段分．上面比如的三角形性质问题，可开门见山地写上讨论分三种情况：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；又如实数 的问题可分，，三种情况，或为整数，为有理数，为无理数的三种情况来讨论，分情况讨论的标准，取决于自己能完成什么．
特殊化和分类，都是极具数学特征的思维方法，“退可分段得分，进可全题解决”．
●正难则反——倒步解答．
“正难则反”是一个重要的解题策略，顺向推有困难时就逆向推，直接证有困难时就间接证，从左边推右边有困难时就从右边推左边．如果从已知条件出发实在无法下手，前段分就怎么也得不着了，那可转而拿后段分，主要的办法有两个：
其一，用分析法，从肯定结论入手，执果索因；
其二，用反证法，从否定结论入手，找矛盾．
应该看到，分析法是重要的思维方法，反证法是证明大法，逆向思维充满着创造性．我们实施倒步解答，不仅想得点分段分，而且更想将全题解决．
●扫清外围——辅助解答．
一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智的，既必不可少也不困难．这就像打攻坚战时先扫清外围．
辅助解答是十分广泛的，如准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数并写出相应的代数式，设极值题的变量并用以表示其它量，设轨迹题的动点坐标并用以表示其它条件，进行反证法或数学归纳法的第一步等．
对于个别选择题、填空题不会做，“大胆猜测”也是辅助解答．猜测是一种能力，解答题亦离不开大胆猜测．
书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷教师的心理上产生光环效应：书写认真——学习认真——成绩优良——给分偏高．
解题案例分析例满足
则的最大值是
．条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．条件是，等式②含．
（2）结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．结论是的最大值，它可以是的不等式，或是函数的最值．
（3）条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．
条件和结论数学结构的函数，再借助条件的最大值．
层次解决：
①解题方向是：化归为函数求最值．
②解题方法是：求出函数的表达式和定义域，然后，用不等式法或求导法求最值．
③具体完成．
由条件②有，函数有了：．
由条件①有，定义域有了
问题化归为函数求最值．
怎样书写？ 从定义域开始，建立函数，求最值．（定方法、找起点、分层次、选定理、用文字，当时．
因是一个减函数，当时达到最大值，故有
所以，当时取最大值．
已知．试证数列或者对任何正整数都满足，或者对任何正整数都满足．
（1996年数学高考理科第八题）
用反证法，设结论不成立，则对一切都有
得满足条件的数列有
取，与且矛盾，所以，或者对任何正整数都满足，或者对任意正整数都满足评析
这个解法犯有逻辑性错误，首先表现为反设不真，原题是说必为单调数列，其反面还有可能为摆动数列，不能肯定必为常数列．正确的反设应为：存在使且还有两个比较隐蔽的知识性错误是：
（1）数列的单调性与实数的三岐性是不同的；
（2）由只能得出数列的项可取三个值，而不能像解三次方程一样得出三个常数列．
一条双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点．
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且 ,求的值．
（2010年数学高考广东卷第20题）
（1）本题有考查知识、思想方法与能力的多项功能，是一道难度较大的综合问题，对考生的数学素养要求较高．
①知识：可以考查双曲线，椭圆，直线与圆锥曲线的位置关系及曲线方程的有关知识．
②思想方法：可以考查化归与转化、函数与方程、数形结合、分类与整合的数学思想方法；还用到了待定系数法，代入法，消元法（代入消元或整体消元），反证法及设而不求等技巧．
③能力：可以考查推理论证能力，运算求解能力与数学探究能力．
（2）本例有高达52．8%的考生0分，平均得1．47分，难度系数为0．105，这表明本题理论上的潜在功能尚未发挥出来（难度系数低于0．2的考题有“形同虚设”之嫌）．因此，本题还有继续揭示解题思路的必要，为了提高题目的新鲜感和一般性，我们以“推广”的形式来展开，行文中顺便也对题目与解法提出一些商讨性的改变．
如：把题目“只有一个交点”改为“只有一个公共点”．因为直线与圆锥曲线的切点常指两个重合的交点（比如用判别式法时，对应的二次方程是有两个相等的实根、而不是只有一个实根），它与直线交双曲线（或抛物线）于“一个交点”是不同的，此处的“一个交点”有可能给题意带来歧义．
首先给出推广题目．
已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点．
（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若过点的两条直线、与轨迹都只有一个公共点，且，求的值．
（Ⅰ）分4步作讲解．
双曲线．已知双曲线的左、右顶点，其数学含义是，．已知双曲线上不同的两个动点，，其中在“双曲线上”数学含义是坐标满足，而“不同”数学含义是，即．
保证了，是不同的两个点，可以确定直线的一个数学含义为（直线方程的两点式）．
保证了，是不同的两个点，可以确定直线，而直线的一个数学含义为（直线方程的两点式）．
能够这样理解题意至少可以得2分，并为思路探求奠定良好的基础．可以说52．8%的0分考生尚未真正题意．
表面上，结论是一个：求直线与交点的轨迹的方程，轨迹含完备性与纯粹性两个方面，不妨理解为两个结论．
（1）求两直线交点所满足的方程（得出椭圆），这是本题的重点．
（2）验证方程解为两直线的交点（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆），这是本题的难点．
3．沟通条件与结论的联系（轨迹转移法）
（1）由结论的需要，想到去找直线与交点．
（2）为了找直线与交点，想到建立直线与的方程．
（3）为了建立直线（或）的方程，想到已知点，（或，），选择直线方程两点式（还要想到验证，（或，）不重合）．
（4）有了直线方程，便可用消元法解出交点．
至此，思路基本打通，但还不能算完成，因为结论是求交点的轨迹．
（5）由于交点与，有关，由此想到使用坐标满足双曲线方程的条件，即把的等量关系转移到，的等量关系，得出交点所在的曲线方程（完成必要性，得出椭圆）．
（6）验证充分性（去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆4．基本解法
解法1 （轨迹转移法）依题意有，，又由，是双曲线上不同的两点知，有
即，，，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，），有
直线的方程为
直线的方程为
联立②、③，解得交点坐标为
但由①知， 代入④得
因为点在已知双曲线上，故把④变为，后，应满足双曲线方程，有
计及⑤，整理得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）
若对交点“设而不求”，则有下面的变通解法．
解法2 （整体消参法）依题意有，，又由，是双曲线上不同的两点知，有
即，，，是不同的四个点（可保证直线、均存在，但还没有验证它们的交点不会是，）．
设直线与的交点为，分别由“三点共线”，“三点共线”有
下面证明且．
若，由②、③、①有
矛盾，故有．
若时，由②、③、①有
矛盾，故有．
这时，由②×③得与交点所满足的方程
因为点在已知双曲线上，有，即
即直线、斜率的乘积为定值．把⑥代入⑤，计及④，得所求轨迹的方程为（椭圆去掉4个顶点）
二（Ⅱ）分4步作讲解．
（Ⅰ）轨迹（Ⅱ）其数学含义是残缺椭圆：且．题目的这种串联式结构使得未完成（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）（未去掉4个顶点）的考生则不能完整求解（Ⅱ）
（2）过点作了两条直线、与轨迹都只有一个公共点．其中“一个公共点”有两种：
①、与轨迹相切，其数学含义可以是相应二次方程的判别式等于0，也可以对函数求导来确定．
②、经过，，并且均与交于一点．
本来还应考虑、经过，的，但由于，，三点共线，这条直线与轨迹无公共点，故予排除．
（3），其数学含义可以是．
（4）由于轨迹是椭圆去掉4个顶点，而、又有2种类型，故有三种情况种可能：
①、均为切线；，或由对称性得．
②、均为割线；，或由对称性的．
③、中一个为切线，另一个为割线，有4种可能：，，，，
结论是一个：求的值．由于有多种可能，也存在多值的可能．
3．沟通条件与结论的联系（方程观点）
（1）为了求的值，我们来确定关于的方程．
（2）为了建立方程，我们以的等价条件作为等量关系．
（3）由等量关系的需要，我们去找的表达式，将它们表示为的函数．
（4）当、均为切线时，可以由相应二次方程的判别式等于0来确定斜率．
（5）当、均为割线时，可以由两点坐标来确定斜率．
至此，思路基本打通．
4．基本解法
设过点的直线为：，与轨迹只有一个公共点存在两种情况，其一，与轨迹相切（记为切线）；其二，经过或（与残缺椭圆相交，记为割线）．下面分三种情况讨论．
（1）当、均为切线且时，由
消去得关于的二次方程）
有两个相等的实根，其判别式等于0）
，，也可以
得出结果，但不利于第（3）种情况）
把，代入知均矛盾，故、与相切于，之外的点．（几何意义很明显，但应有所交待）
又由，有，解得）
（2）当、均为割线且时，把，代入：，得
把⑨（即）代入二次方程⑦的判别式，有
故、与均有（，之外的）一个交点．（几何意义很明显，但应有所交待）
又由，有，得
（3）当、中一条为切线、另一条为割线，且时，考虑四种可能
，左边大于0、右边小于0，矛盾；
，左边大于0、右边小于0，矛盾．
即．所以，由⑨、⑩、得符合条件的为三个不同的值：（如图所示）
图1．左、右顶点，不要弄反了，弄反了的考生主要不是知识性错误，而是心理性错误．（2）去掉椭圆的4个顶点，得出残缺椭圆．”不全或没有写出扣1分）
（3）两条直线、与轨迹都只有一个公共点
（1）辅助得分
①把左、右顶点，、”翻译为
． 　　　　　（2分）
　　③把“交点”翻译为“解方程”：，，即
　　　　　　，，　　　　　　（4分）
　　对于绝大多数考生来说，直线方程两点式、解方程求交点应是过关的，得0分只能是考试技术不过关．
算到4分段是“缺步解答”（已经第（Ⅰ）问得分过半），更重要的是，还有机会继续由
“点在双曲线上”（即），（5分）
已知函数．
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；
（Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明：
（2010年数学高考陕西卷理科第21题，14分）
第（Ⅰ）问
（1）条件1：给出两个函数，．从而这两个函数的定义域、值域可以由解析式确定，函数的定义域为，函数的定义域为，进一步它们的公共定义域也是可知的，为．
条件2：曲线与曲线有公共点（相交）．其数学含义是方程
有实数解．
条件3：两曲线在交点处有相同的切线两条曲线相切的背景，其数学含义是方程
有实数解．的方程组）
（2）结论是什么？
结论1：求的值；
结论2：切线的方程——关键是求切点的坐标和斜率，共3个数值）．
（3）沟通条件与结论的联系（方程观点）
①已知条件提供了关于的方程组
由此可以求出，及切点的横坐标．
②由切点的横坐标可以求出切点和斜率，从而写出切线方程．
思路已通．
第（Ⅱ）问
条件：组合式给出一个函数
（2）结论是什么？
求最小值（存在时）．因含有参数，所以其最小值是的函数．
（3）沟通条件与结论的联系．
在上为增函数，无最小值．
当时，应用导数求最小值，方法是现成的．（求导、解方程、列表确定极小值、得最小值）
思路已通．
第（Ⅲ）问．（1）题目的这种串联式结构使得未完成（Ⅱ）（Ⅲ），更不知道）
条件2：任取的两个，题目为（2）结论是什么？
证明不等式．可以分解为两个不等式
结论1： ，
（3）沟通条件与结论的联系
①由（Ⅱ）中求；
②由求，，；
③比较，，的大小．
思路已通．
函数的定义域为，函数的定义域为，它们的公共定义域为．
（）由已知两曲线有公共点且在公共点处有相同的切线，得
把，，，代入，得
相除，消去，有，得
再把代入与得切点坐标和切线斜率，求得切线方程为
（Ⅱ）由知，
．（1）当时，有，在上为增函数，无最小值．
（2）当时，令，解得．并且当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数．所以，是在上唯一的极小值点，从而也是在上的最小值点，最小值为
综上得在上的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
又由“算术平均——几何平均”不等式有，且
再由为减函数，得
第三、本题能考查什么？
本题以函数为载体，把函数性质、导数应用、几何切线、不等式证明等多项内容结合起来，有考查知识、思想方法与能力的综合功能，对考生的数学素养要求较高．也体现了“能力立意，在知识交会处命题”的理念．
（1）知识：可以考查导数的概念，基本初等函数（幂函数，对数函数）的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，导数的几何意义，直线方程的点斜式，求导确定函数的单调性，求导确定函数的极值；均值不等式，不等式证明等不下10项知识．
（２）思想方法：可以考查函数与方程的数学思想，数形结合的数学思想，分类与整合的数学思想，化归与转化的数学思想；还用到了待定参数法，代入法，消元法，求导法．
（3）能力：可以考查推理论证能力，运算求解能力以及面对新情境调动已有知识去分析问题、解决问题的应用能力．
第四、考查的效果怎么样？
数据显示，本题平均得3．81分，难度系数0．27，区分度0．51，满分200人，可以将学生的知识、能力拉开距离，有利于高校选拔，又有利于中学教学．
并且，本题虽属拉开距离的高难题，但并不是形同虚设、零分扎堆的无效题（通常表现为难度系数低于0．2），难度和区分度都比较恰当，还给最优秀的考生提供了充分展示的空间（满分）．
还有，本题虽有满分，但二十多万理科考生出200个满分不算多（千里挑一），而全省的数学理科满分卷仅20人（全省的数学文科满分卷15人），没有满分扎堆（万里挑一），体现了“变个别难题把关为全卷把关”．
的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，
（Ⅲ）证明：．
（2008年高考数学陕西卷理科第22题）
第（Ⅰ）问．由，有
又，所以是以为首项，为公比的等比数列．得
，就是，的迭代，可以先找迭代不动点，解方程
然后计算，有
方向是转化为等差等比数列来解决．
第（Ⅱ）问．
可以认为是一道数列不等式的恒成立问题：已知数列，证明：对任意的，
对比①式左右两边可以看到，有3个明显的差异（差异分析法）：
（1）右边有正数，左边没有．（恒成立问题）
（2），右边没有明显表出．
（3）右边有或，左边没有明显表出．
这就提供了沟通①式左右联系的线索：
思路1：把右边的统一为的不等式；
思路2：把左边的统一为的不等式；
思路3：把左右两边统一为的不等式；
事实证明这些思路全都是可行的，比如
把统一为，有 ，得
（关于的二次三项式）
．（二次三项式求极值）
这个证明表现为一系列恒等变形，若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式
这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示，将其改写为不等式左边减右边的形式，有
这就清楚了，不等式①通过②可以等价于实数的平方为非负数，并且的条件不是必要的（就够了），书写也立即可以改写为基本不等式证法．
跳步解答：完成第（Ⅰ）问得后，立即做第（Ⅲ）问就是跳步解答．记，有，由柯西不等式，得
第二组练习（重在练中感悟）
已知不同时为，成等差数列，求直线与抛物线的相交弦的中点轨迹方程．
这是一道轨迹方程与等差数列交叉的综合题，常规思路是联立方程求交点，写出中点，消参得轨迹．关键是“等差数列”的条件如何用？这可以有一个认识逐渐深化的过程．
第一、题意的初步理解．
（1）弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．
初步理解条件有4个．
条件１：“不同时为”．这既可以保证等差数列不全为，又可以保证为直线．
条件2：“成等差数列”．但文字语言“等差数列”不便于运算或推理，需要进行“数学含义”的解读，可以有多种表征，如：
这些形式哪个更适合本题暂时还不清楚．
条件3：“直线”．因为不是具体的数字，所以这是一条动直线，但受成等差数列的制约，怎样使用这个制约条件暂时还不清楚．
条件4：“抛物线”，并且抛物线与动直线相交．
（还有一个隐含条件要在思路探求和结果反思中发现）
（2）弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．
题目的结论是求直线与抛物线相交弦的中点轨迹方程．这包含着两个方面
必要性：相交弦的中点坐标是轨迹方程上的一个解；
充分性：轨迹方程上的每一个解都是相交弦中点的坐标．
（3）弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构．
理解题目的条件和结论，我们看到，一个已知轨迹方程（抛物线）经过某种运动变化之后（与动直线相交、产生相交弦的中点）形成一个新轨迹方程，在我们的眼前就出现这样一个数学结构：通过解方程（组）沟通新旧轨迹（点）的联系，消去参数（）能得出新轨迹．（轨迹转移——例20）
至于如何建立和求解方程，怎样实施“消参”等，则是“思路探求”和“书写解答”的问题了．
把代入直线方程，消去，得
由韦达定理得
由此，可得中点坐标
这时，有部分学生会由于消参（消去）困难而做不下去．（“等差数列”的条件如何用？）（变形消参见思路2）
（要消去x,y,a,b,c）
把代入直线方程，消去x，得
由求根公式，得
把代入消去b，得（用“等差数列”的条件）
代入抛物线方程得
设相交弦中点的坐标为，则（消去了当初的y）
消去，得相交弦中点的轨迹方程为（消去了a,c）
　　　　．
第二、题意的深入理解．
对思路1、思路2作反思，至少可以获得三个新的认识．
（1）方程是否为二次方程需对作出讨论．
当时，由不同时为知，；又由，得此时直线为，与抛物线只有一个交点，没有相交弦的中点轨迹．当时，才有相交弦的中点轨迹．
（2）由思路2知，动直线与抛物线相交于一个定点．
这时重新理解题意，即可发现成等差数列应表示为，这就是直线过定点．所以，本例还应有一个隐含条件：
条件5：由成等差数列知，直线过定点．
（3）既然动直线与抛物线相交于一个定点，那么题目的结构就成为动直线绕定点旋转，除了恰有一个公共点的两种情况外：
，（与抛物线相切）
，（与对称轴平行）
动直线均与抛物线相交于两点，这时，借助另一交点的“轨迹转移”，便可求出新轨迹．（轨迹转移法,但与例20不同）
（1）当时，已知直线为，由不同时为知，，再由得，故已知直线为，与抛物线只有一个交点．无相交弦，更无相交弦的中点轨迹．
（2）当时，由成等差数列有，这表明直线过定点．设直线与抛物线的另一个交点为，相交弦的中点为，由中点公式，有．
但点在抛物线上，有
得相交弦中点的轨迹方程为
综上得，当时无轨迹；当时，轨迹方程为（）．
因为是与不同的另一个交点，所以按照中学的习惯，点应从轨迹方程中去掉．但也有一种观点认为，添上极限点能使轨迹方程更加完整，不妨把两个重合交点的中点认定为本身．我们的建议是不作纠缠，考试中去不去掉极限点都不要扣分．（但例20不一样，必须去）
（2011理19题）已知椭圆．过点作圆的切线交椭圆于两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将表示为的函数，并求的最大值．
椭圆圆椭圆．
条件4：动直线满足三个条件：过动点，与相切，与椭圆两点．（事关函数的定义域）
解（Ⅰ）由已知得，得
　　　　　，
所以椭圆G的焦点坐标为．
离心率为（Ⅱ）由题意知，，点．
当时，切线的方程，点的坐标分别为此时
当时，同理可得
当时，设切线的方程为由（要消去x,y,k）
得　　　　　．（消去y）
设两点的坐标分别为，则
．（消去x）
又由l与圆，
即　　　．
（为消去k作准备）
　　　　　　　　（把代入）
（运算量最集中）
由于当时，所以
且当时，=2，所以的最大值为2．既分解又合并，有思维回路（策略性错误），用斜率的倒数可避开，还可以简化运算．
（2）用到两根之差，没有必要算两根之和与两根之积．
（3），变分母不策略．
另解（Ⅰ）（Ⅱ）由题意知，，点．
与圆相切不能为轴但可以与轴垂直，所以切线的方程为．（）
即　　　　　．　　　　　　　　①（消很方便）
又由切线交椭圆G于A，B两点　　　　　　　　　　　　　　　　　
有两个解，，得关于的一元二次方程
　　　　　　．
由求根公式相减，有　　　　　．　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　，　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　　　　　　　
把①、②代入AB的距离公式，有
　　　　　　　　
把代入，得表示为的函数，
分子放大　
当时，的最大值为2
（北京2010文20题）已知集合．对于，定义与的差为
与之间的距离为．
（Ⅰ）当时，设，求，；
（Ⅱ）证明：，且；
Ⅲ）证明：三个数中至少有一个是偶数
第一、题意分析
题目在六个基本知识的基础上给出了三个相继的定义．
知识1：数字0，1；
知识2：绝对值；
知识3：集合
知识4：差距离维向量：
有个分量，每个分量不是0就是1；可以有个元素．
定义2：集合上两元素与，
上两元素与的距离．（新信息）
第二、解答
（Ⅰ）（验证定义）
解：由，有
(Ⅱ) 第1问即证．（感悟：0和1差的绝对值还是0和1）
第2问要证，只需证
对比左右两边，要害是．有两种可能，显然成立；时，也成立．
证明：设，因为
（Ⅲ）这是本题的难点．评分标准是这样的：设，，，记，，．
记，由（Ⅱ）可知
所以中1的个数为，1的个数为．
设是使成立的的个数，则中1的个数为
由此可知，三个数不可能都是奇数，
则，，三个数中至少有一个是偶数．
，即只有两个取值，因而，0和1差的绝对值还是0和1两个取值．
（1）因为，所以（，），进而差
还是维向量．即，有．（几乎不证自明）
（2）因为（只有两个取值），所以时，有；
当时，有；
当时，有．
（都是与０打交道）
（３）第三问理解评分标准，可以得出两点看法
①关键是证明，其实质是证明为偶数；
②证明的方法是用第（Ⅱ）（Ⅱ）为偶数”．
设，，，至少有两个是相同的，所以
（1）当全同时，
（2）当中恰有两个相等时，
，为偶数．
，为偶数，
得，，三个数中至少有一个是偶数．设，，，
将以上三式相加，得
，为偶数，
得，，三个数中至少有一个是偶数．的横轴上取两个定点，在纵轴上取两个动点，满足，（为常数），联结，相交于点．
（Ⅰ）求点所在的曲线方程；
（Ⅱ）过点，作斜率为的直线交曲线方程于两点，若，且点也在曲线方程上，求证为定值．
题目2 （13分）称直角坐标系中纵横坐标均为整数的点为“格点”,称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（是一个正整数）,格点距离为定值（正整数）的点的轨迹称为“格点圆”,该定值称为格点圆的半径,而每一条最短路程称为一条半径，原点称为格点圆的圆心．
(Ⅰ) 写出半径为正整数的格点圆方程；
(Ⅱ)求出半径为正整数的格点圆上的格点数；
(Ⅲ)（文科）求和．
(理科) 求出半径为正整数的格点圆半径的条数．
（14分）已知是直角坐标系中的动点，满足：复数（）的模等于．
(Ⅰ)求点的轨迹方程；
(Ⅱ)取点，求直线斜率的取值范围；
(Ⅲ) 设成等差数列，且不同时为0，求直线与的相交弦的中点轨迹方程．
题目4　（13分）已知函数 ()与的图象在公共点处的切线重合．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求公共点处的切线方程；
（Ⅲ）对（Ⅰ）中求出的值作函数，试问是否有极值（极小值或极大值）．（，）
题目5　（14分）已知（），，请问是否存在正数，使得函数取到极小值的点均落在“以原点为顶点、以坐标轴为对称轴”的同一条抛物线上？若存在，求出正数的所有值及相应的抛物线方程；若不存在，证明你的结论．
题目6 　（13分）有8名运动员获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人．又知一、二、三等奖的奖金分别为3600元、2400元、1200元，记奖金总额为随机变量分别获一、二、三等奖的人数（），的数学期望．
共勉：一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者．
或：一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者．
数学上负数比零更小，学习中自我封闭比未知更糟．
数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌．
但愿能为你深深激动的高考，提供点微微有益的帮助
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