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在有“灵魂”的数学课堂上立德树人以“基本不等式”新授课和习题课为例
摘要：构建有&灵魂&的高中数学课堂要结合具体的知识与技能的教学，适时地渗透数学思想方法，培育数学理性精神，并让学生体会数学的实用价值和意义。有&灵魂&的数学教学应该深入数学的本质和核心，在数学思想、观念的指导和统领下，触及学生内心深处，引起学生共鸣。其核心在于创设问题情境，展示探究过程，提升思维品质，提高表达能力。对此，以&基本不等式&的新授课和习题课为例进行说明。
关键词：数学教学立德树人思想方法理性精神基本不等式
的对象是人，的目的是培养人。古今中外的名家无一例外地主张，当以德育为先，育心化人，造就时代发展需要的人。党的十八大明确提出，&立德树人&是的根本任务。为贯彻党的十八大精神，部启动了普通高中课程方案和课程标准的修订工作，把&立德树人&的要求具体化为发展学生的核心素养。因此我们认为，应该有&灵魂&，应该培养有&灵魂&的人，应该用一个&灵魂&唤醒另一个&灵魂&。具体来说，就是面对现实、坚持理想，融入做人做事的道理，充盈高尚的思想品格和丰富的精神生活，使人为善、向上；以学生的发展为本，帮助学生获得知识和提高能力，同时促进学生的思想发育和精神成长。
数学承载着时代赋予的整人使命，不仅要使学生掌握现代生活和学习所必需的数学知识、技能、思想和方法，更要发挥其在培养人的思维能力、求知欲望、创新意识以及正确&三观&方面的特有功能，促进学生全面发展。当前的高中数学教学过分看重显性的知识掌握和分数提高，轻视了隐性的思想发育和精神成长；出现了&失衡&与&跛脚&的问题，违背了三维目标的要求和发展学生核心素养的理念。因此，我们提出构建有&灵魂&的高中数学课堂的主张，期望能让高中数学教学&用两条腿走路&，达到科学和人文的融合，发挥独特的育人功能。
一、构建有&灵魂&的高中数学课堂之内涵策略
如何在高中数学课堂中进行有&灵魂&的？这个问题没有现成的答案，需要我们在实践中探索，在探索中总结。
我们认为，构建有&灵魂&的高中数学课堂就是在高中数学课堂中，结合具体的知识与技能的教学，适时地渗透数学思想方法，培育数学理性精神，使得学生在学习和掌握基础知识和基本技能的过程中，领会数学的思想方法，学会本质化观察、条理化分析、清晰化表达；并感悟数学的理性精神，形成实事求是的态度、怀疑批判的品质、锲而不舍的信念；同时体会数学的实用价值和意义，提高学习数学的兴趣。也就是说，在求真的基础上，教人求善、求美。
为此，要在高中数学课堂中，充分给予学生独立思考、主动探究、合作交流的机会，帮助他们在自身认知发展水平和已有数学知识经验的基础上，通过不同形式的自主学习，体验数学发现和创造的历程，尝试用数学的眼光认识世界，用数学的思维解决问题，用数学的语言表达观点，在思想与精神的共鸣中，获得智慧的迸发、情感的提升。这样的数学充满文化和生活气息，能够在传授科学的同时起到教化人格的作用。
特别需要指出的是，数学思想、观念是根植于数学知识、方法中的数学精华，也是数学理性精神的具体体现。所以，有&灵魂&的数学教学应该深入数学的本质和核心，在数学思想、观念的指导和统领下，触及学生内心深处，引起学生共鸣，从而把数学思想、观念的精髓内化为学生的心理特征。
此外，数学素养的核心在于思维，而数学思维的起点和动力是问题。所以，有&灵魂&的数学教学的核心在于创设问题情境，展示探究过程，提升思维品质，提高表达能力。教师需要创设一个又一个、一层又一层的问题情境，来引领学生探究，启发学生思维，组织学生交流，促使学生领悟数学知识和方法的运用，学会数学地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。
二、构建有&灵魂&的高中数学课堂之案例分析
（一）新授课
在新授课（概念或命题）的教学中，首先要围绕以下三个根本的问题创设一系列问题情境：为什么要学习这个概念或命题？概念如何形成或命题如何推导？概念或命题如何运用？其次要让学生在教师的引导下独立思考，大胆探究，勇敢展示，充分讨论，并在教师和同伴的评价中激活思维、提升认识，激发兴趣、增强信心。例如苏教版高中数学必修5第三章&基本不等式&第一课时（新授课）的教学：
1.游戏活动，生成猜想。
游戏&比点数&：将一副去掉大小王的扑克牌一分为二，玩家（学生）抽取一堆，剩下的归庄家（教师）。庄家和玩家每次各出一张牌，点数分别记为a和b。规定：玩家分数为&ab，庄家分数为（a+b）/2；分数大者获胜。（学生可以自愿举手或按学号、座位顺序参加游戏，其余学生判定胜负）
猜想：若a&0,b&0，则&ab&（a+b）/2（当且仅当a=b时取&=&）。（教师引导学生根据游戏的一系列结果作出猜想）
［设计意图：设计玩牌游戏，创设教学情境，抽象概括出基本不等式，符合学生心理特征，激发学生探究兴趣，自然生动、合情合理，在活动中把学生带入数学探究的坦途，让学生体会归纳猜想的思想。这里没有采用教材提供的天平素材来创设问题情境，是因为这个素材容易给学生造成误解或者注意力的分散。试想：两臂不等怎能称之为&天平&？两臂不等的&天平&又怎能出厂？这样的次品问题和本课所学有什么关系呢？和数学又有什么关系呢？用问题一堆的假天平来给严谨求真的数学课创设问题情境，显然是违背有&灵魂&的数学观的。］
2.证明猜想，形成结论。
师这个猜想正确吗？你能给出证明吗？
（学生独立思考，然后交流汇报。）
因为上式显然成立（当且仅当a=b时取&=&），所以原猜想成立。
师非常好！他的证明方法实质上体现的是他分析问题的过程，所以我们称这样的证明方法为&分析法&，它带有强烈的&执果索因&意味，但是书写要求很严格，所以一般用于分析。而前一位同学的证明方法实际上是将&分析法&倒着呈现，这样一倒更符合由条件到结论的推理，我们称之为&综合法&，所以我们平时证明的书写通常都采用这种方法。
生我用几何方法来证。（出示图1）给出两条线段a和b，作出线段AB=a+b，其中AH=a，HB=b；过H作AB的垂线，交以AB为直径的半圆于点P，则线段PH=&ab；取AB的中点O，连结OP，则线段OP=（a+b）/2。在Rt△OPH中，PH&OP，即&ab&（a+b）/2（当且仅当a=b时取&=&）。
师太好了！这张图直观地展现了&半径不小于半弦&，用&形&来表达&数&的关系，体现了这个不等式的几何意义。
［教师取名：（a+b）/称为正数a与b的&算术平均数&，&ab称为正数a与b的&几何平均数&。让学生叙述：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数(当且仅当两数相等时两者相等)。由此扩展：当a&0,b&0时，结论仍然成立。形成板书：若a&0,b&0，则&ab&（a+b）/（当且仅当a=b时取&=&）。］
［设计意图：这个不等式的证明方法很多，难度不大，适合学生展示交流。借这个环节，让学生在轻松的氛围习推导不等式的各种方法，体会演绎证明的思想，避免一开始就给学生造成对不等式证明的恐惧心理。到此，概念定义、定理表达水到渠成，自然流畅；学生的数学抽象、直观想象、推理、数学运算等核心素养和数学兴趣、信心都在潜移默化中得到了提升。］
3.补充证明，拓宽视野。
师（出示图2）先将两张面积分别为a和b(a&b)的正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼出一个矩形（矩形两边分别等于两个直角三角形的直角边）。试比较两个直角三角形的面积之和与矩形的面积。
师（出示图3）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的&弦图&设计的，颜色的明暗使它看上去像一个&风车&。你能从中发现刚才的结论吗？
生正方形ABCD的面积为x2+y2，四个全等的直角三角形的面积和为2xy。当直角三角形边长变化时，正方形ABCD的面积不小于四个全等的直角三角形的面积和，即x2+y2&2xy（当且仅当x=y时取&=&）。
生令&a=x,&b=y，则a+b&2&ab（当且仅当a=b时取&=&）。
师这里先得到了一个很重要的不等式：x2+y2&2xy（当且仅当x=y时取&=&）。在此基础上做了一步换元，得到了基本不等式。
［设计意图：在之前学生的几何直观的基础上，再给学生展示两个基本不等式的几何构图，让学生多角度认识公式，体会数形结合的思想；并渗透数学文化，激发学生学习兴趣。］
4.数学应用，体会公式。
（教师出示例题：若x、y为正数，求证：
［设计意图：本题让学生运用基本不等式来证明不等式，实质是体验公式中字母的代换，体会代数的思想。］
（教师启发学生总结：应用基本不等式时需注意&正&。）
［设计意图：通过三个变式题,让学生在比较中获得鉴别，感悟到运用基本不等式过程中正数条件的重要性。］
［设计意图：通过这个简单的小练习,一方面让学生巩固基本不等式的运用,另一方面让学生感受关于这个问题的一题多解中
运用基本不等式证明的方便快捷,同时为下节课运用基本不等式求最值做铺垫。］
5.总结延伸，交流拓展。
教师引导学生总结：这节课学到了什么？有什么收获？证明不等式常用方法有哪些?在公式中把a和b做适当的代换，可以得到哪
些结论？学生表达、交流。
教师出示问题：对于已知线段a和b，你怎样作出线段？能否写出一个不等式链？学生尝试解决，可以独立思考,也允许先查找资料再进行完善。
［设计意图：教师引导学生总结,尽可能让学生多一些数学表达、交流的机会,进一步提升学生的认识。之后，给学有余力的学生创造一个思维拓展的机会,尝试一下利用几何方式表示代数式子和大小关系，让学生进一步感受数学的魅力，丰富精神生活。］
（二）习题课
新授课之后的习题课，应该丰富教材的内涵，加深学生对概念的理解或拓宽学生对命题的应用；可以采用&复习引导问题探究&的教学模式，把教学内容设计为若干问题，层层递进，引导学生探究。例如苏教版高中数学必修5第三章&基本不等式&第二课时（习题课）的教学：
1.复习引入，揭示本质。
教师让学生叙述基本不等式的符号语言和文字语言表述，引导学生发现：当积ab为定值时，和a+b有最小值；反之，当和a+b为定值时，积ab有最大值。
［设计意图：通过复习公式,直接揭示本质。体验公式代入,体会数学代换的思想，为后面的应用做铺垫。］
2.探索新知，认识本质。
师古汉语和吴地方言有较多的联系，同学们是否想过数学与我们常熟方言也是有联系的呢？你们要形容东西很大或很多，用方言会怎么说？
（学生众说纷纭。）
师你们说的众多词中有一个音&weiyuan&，它是什么呢？我们先来看一个问题。
（教师出示例１：用长为4a的铁丝围一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？）
生（兴奋）围圆。同样的长度围成的图形，圆的面积最大。
师确实是这样。常熟方言在形容某事某物之大、之多时，常说&大得围圆&&多得围圆&&围围圆圆&等。这实际上是常熟人智慧地用数学的最大值来作夸张的修辞。
［设计意图：结合了本土文化，使学生对基本不等式的学习感到有趣、直观，而且激发了他们爱家乡的美好情感，使他们更加乐意去挑战数学的应用问题，学会用数学的眼光来审视生活。而将严谨的数学与丰富多彩的生活地结合，特别是对习以为常的事物从数学的角度找出新意，对学生创新意识的培养也是一条很好的途径。］
（教师出示例２：某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m3, 深度为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元， 怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元?）
师和前一题不同，本题的结构是&积定和有最小值&的情况。
［设计意图：继续学以致用，用数学知识和方法来解决生活中的问题，让学生体会数学建模的思想，培养学生用数学的眼光观察生活、用数学的思维思考问题、用数学的语言阐述思想的意识、能力，这正是数学核心素养的内化。］
3.尝试反馈，巩固新知。
师这样解对吗?
生不对,结果应该是一个值,而不是与&x&有关的一个量
[设计意图：如何正确运用基本不等式求最值？为什么要满足&一正二定三相等&的条件？这是学习过程中的思维难点。通过两个思考题，帮助学生在思辨中认识到&积定&和等号成立的重要性，避免死记硬背；让学生在数学探索中培养理性精神，获得去伪存真、去粗存精的思维品质，而不是人云亦云。]
4.变式训练，培养能力。
［设计意图：例3是对课本例题的改编，避免教材顺序的使用带来的尴尬，同时也更突出主题。配上两个变题，研究&和定&的结构，让学生看清楚&1的代换&对这类问题的通用性，并且体会数学的好玩、有趣。］
5.总结延伸，交流拓展。
教师引导学生总结基本不等式的本质&积定和小，和定积大&以及利用基本不等式求最值的注意事项&一正二定三相等&，并且指出求最值有多种方法，基本不等式只是其中的一种，它的优点是快捷方便。
教师要求学生根据基本不等式中字母的任意性，自拟一道&由基本不等式求最值&的习题，提供解答并在小组中交流。
［设计意图：把总结的机会留给学生，让学生提高概括提炼和数学表达的能力。通过自拟题目，让学生进一步体验代数的魅力，感受基本不等式的奥妙。学生富有创造性和个性化的数学思维的延伸，往往会带来意想不到的效果。］
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高中数学中基本不等式的最值问题
来源：论文联盟&
作者：钱雪琴
高中数学中基本不等式的最值问题
高三的复习课对课堂效率提出了更高的要求，老师需要对课堂进行准确的调控，对复习题进行合理的安排，以更好地提高课堂教学效率，减轻学生的学习负担. 在课前的准备中，题目的选取是其中关键的一步，而题目的选取又取决于题目难度的循序渐进，既要考虑到学生对已有知识的掌握程度，又要考虑到学生能否通过典型题目的练习与训练，达到温故而知新的目的，加深学生对题目的理解程度，从而提高学生对数学学习的兴趣，锻炼学生思维的深度与广度. 　　在教学基本不等式时，学生对于概念的掌握比较轻松，ab&■（a&0，b&0），能够三点要求，做到一正，即a&0，b&0；二定，即a+b能取到最小值时，ab为定值，或者ab能取到最大值时，a+b为定值；三相等，当且仅当a=b时，等号成立. 在熟练掌握了这三个条件后，要求学生能够顺利解决各类基本不等式的问题. 但是，实际上，有些问题在运用基本不等式时，会有多种解题方法与思路，而有些解题方法看似简单，实则不具有解题的完备性和代表性，这里充分体现了基本不等式知识点的灵活性. 其中有一类基本不等式问题，形式相似，但是却遇到了适合各自的不同的解题方法，不妨看下面几道题目. 　　例1 已知a&0，b&0，a+b-ab=0，求a+b的最小值. 　　解法一：由a+b-ab=0？圯a+b=ab. 因为a+b&2■，所以ab&2■？圯ab&4.所以a+b&4，当且仅当a=b时，等号成立. 　　解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1，则a+b=（a+b）■+■=1+■+■+1&4. 当且仅当■=■，即a=b时，等号成立. 　　解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则a+b=■+b=■=■=b-1+■+2&4，当且仅当a=b=2时，等号成立. 　　解法一中，直接利用基本不等式，由已知条件出发，利用不等式的传递性，直接找到已知条件与求解之间的关系，学生比较容易想到，属于解基本不等式中的基本方法. 解法二中，在运用基本不等式时借助了&1&的代换，也本文由联盟收集整理是从已知条件出发，结合求解式子的特征，巧妙地运用了基本不等式特殊的结构，在这儿虽然&1&的代换的方法具有一定的技巧性，但是便于学生掌握和运用，学生也乐于接受，另外一方面也体现了数学的整体思想. 解法三中，通过减元的思想，把二元转化为一元，再利用基本不等式求解. 对于解法三，虽然学生比较好理解，但是，开始的时候，学生却不喜欢运用这种方法，主要是因为解题过程比较繁琐，计算结果又容易出错，吃力还不一定讨好. 所以，尽管学生能够接受这样的方法，但是很少有学生采纳，在实际的解题过程中，真正运用这种方法的学生很少，而在后面的解题过程中，学生就会到这种方法的重要性. 再看第二例. 　　例2 已知a&0，b&0，a+b-ab=0，求3a+2b的最小值. 　　这道题目的已知条件与第一题一样，结论由原来的a+b改成了现在的3a+2b，这么微小的变化，会不会影响到解题的方法呢. 不妨用上面的三种解法依次解下去，看看解题过程中，发生了什么样的变化. 　　解法一：由a+b-ab=0？圯ab&4，而3a+2b&2■&4■. 　　解法二：由a+b-ab=0？圯■+■=1， 　　所以3a+2b=（3a+2b）■+■=3+■+■+2&5+2■. 　　当且仅当2b2=3a2？圯b=■a时，等号成立. 　　解法三：由a+b-ab=0？圯a=■，则 　　3a+2b=■+2b=■=■=2（b-1）+■+5&5+2■，当且仅当b=■+1时，等号成立. 　　通过观察，上面三种解法，与例1的三种解法一模一样，但是，这道题目的三种解法却出现了不一致的结果&&解法一与解法二、三的结果不一致. 很明显，解法一出了问题，问题的关键是，解法一的问题出在哪里是否有问题？在此，笔者稍作停顿，留出时间给学生思考；然后，笔者让学生四人一个小组进行讨论，尽量让他们自己发现问题，这个地方要做到尽量让学生自己找到问题，在必要的时候做出适当的引导，提醒学生从基本不等式成立的条件出发. 学生的反应还算比较快，通过学生的思考与讨论，有的小组已经发现了问题，稍做整理后，小组代表站起来发言：因为在运用基本不等式解决问题时，需要做到&一正二定三相等&，解法一实际上用了两次基本不等式，两次中虽然都具备了&一正&，但&二定&与&三相等&不能够保持一致. 第一次由已知条件推出结论的基本不等式等号成立的条件是a=b，而第二次由求解推出的基本不等式等号成立的条件是3a=2b，前后出现矛盾，所以结果是错误的，此方法不对. 可见，在运用基本不等式时，它的三个限制条件是很重要的，从这道例题，学生体会到了条件三的重要性. 基本不等式并不是想象中的那么简单，当且仅当两个量相等的时候，不等式才能成立，从例2很明显可以看出来，解法一看似简单，实则容易出现混乱，简单的问题里面所蕴含的东西其实不简单. 就在笔者准备拿出第三个例题时，这时又有位同学站起来说：我这儿还有个方法，我们小组内一致认为方法是对的. 他把解题过程写到黑板上，书写如下： 　　a+b-ab=0？圯a+b=ab，a+b&2■？圯ab&2■？圯ab&4（当且仅当a=b时，等号成立），因为a&0，b&0此时a=2，b=2，所以3a+2b的最小值为10. 　　开始的时候，大家觉得很有道理，刚才不是说当且仅当a=b时，基本不等式能够成立吗，现在不就是只有一次相等的条件吗？实际上，大家不难发现，在这位学生的解题过程中，实际是在求a+b的最小值，而题目要求的是3a+2b的最小值，所以此方法是不对的. 如果按照刚才这位学生的说法，题目应该改写如下：已知a&0，b&0，a+b-ab=0，求a+b取得最小值时3a+2b的值. 所以这位学生的解法可以说是偷换了概念. 就在笔者刚刚解释完时，又有一个小组提出新的解法：因为3a+2b&2■，当且仅当3a=2b时，等号成立，而a+b-ab=0，可与3a=2b组成方程组，解出a与b的值了. 再代入2■，则3a+2b的最小值也就解出来了. 虽然结果与上面的正确答案不符，但是，看着这样一个很完备的解题过程，大家一时找不到推翻他的理由，当这位学生写完后，大家又开始激烈地讨论起来，很快，有的小组发现了问题，有了结果：&一正&有了，可是&二定&不满足，在用基本不等式时，ab的值不是定值，所以此方法不行，如果要这样解题，题目就要改成：当ab=3时，求3a+2b的最小值. 而原题中的解法二和解法三的乘积都是定值，这样看来，通过大家的与讨论，大家对基本不等式的认识已经越来越深刻. 在用解法一解决第一个例题时，很简单，学生也容易接受，但是，在用同样的解法解决第二个例题时，却出现了错误，通过这样的对比，学生能够对基本不等式有更加清晰的认识. 可见，在解决不等式的问题时，不仅仅要注意解题的方法，更要注意解题的方法的多样性. 再看第三例：
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