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函数y=x-1分之根号下x²-1＋根号下1-x²的定义域是多少
我哈哈1030
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要使函数有意义必须：{x^2-1≥0{x-1≠0{1-x^2≥0==>{1-x^2=0{x≠1所以D={-1}
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高三数学第一轮复习全套基础中档题训练(详细解答)(1)
高三数学第一轮复习全套基础中档题训练1．集合 A=｛1，3，a｝ ，B=｛1，a2｝ ，问是否存在这样的实数 a，使得 B ? A， 且 A∩B=｛1，a｝？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，说明理由．2．在 ?ABC 中， a 、 b 、 c 分别是三内角 A、B、C 的对应的三边，已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc 。 （Ⅰ）求角 A 的大小： （Ⅱ）若 2sin 2B C ? 2sin 2 ? 1 ，判断 ?ABC 的形状。 2 23．设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?3 3 .已知点 P (0, ) 到这个椭圆上的点的最远距 2 2离为 7 ,求这个椭圆方程.4．数列 {an } 为等差数列， an 为正整数，其前 n 项和为 S n ，数列 {bn } 为等比数列，且 a1 ? 3, b1 ? 1 ， 数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列， b2 S2 ? 64 . （1）求 an , bn ； （2）求证1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 45．已知函数 f ? x ? ?6 ? 1 的定义域为集合 A，函数 g ?x ? ? lg ?? x 2 ? 2 x ? m? 的定义域为集合 x ?1B.⑴当 m=3 时，求 A ? ?C R B ? ； ⑵若 A ? B ? x ? 1 ? x ? 4 ，求实数 m 的值.??第 1 页 共 147 页6．设向量 m ? (cos ? ,sin ? ) ，n ? (2 2 ? sin ? , 2 2 ? cos ? ) ，? ? (? ? ,?? ) ，若 m ? n ? 1 ，求： （1） sin(? ?????43 2?? ?) 的值；（2） cos( ? ?7 ? ) 的值． 127． 在几何体 ABCDE 中， ∠BAC=? ， DC⊥平面 ABC， EB⊥平面 ABC， 是 BC 的中点， F AB=AC=BE=2， 2E D F C A BCD=1 （Ⅰ）求证：DC∥平面 ABE； （Ⅱ）求证：AF⊥平面 BCDE； （Ⅲ）求证：平面 AFD⊥平面 AFE．8. 已知Δ OFQ 的面积为 2 6 ,且 OF ? FQ ? m . (1)设 6 ＜m＜4 6 ,求向量 OF与FQ 的夹角θ 正切值的取值范围； (2)设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图), OF ? c ,m=( 最小值时，求此双曲线的方程.??? ??? ? ???? ??? ? ?????6 42 -1)c ,当 OQ 取得????9．已知向量 a＝（3sinα ，cosα ） ，b＝(2sinα , 5sinα －4cosα )，α ∈（ 且 a⊥b． （1）求 tanα 的值； ? π （2）求 cos( ? )的值． 2 33π ， ） 2π ， 2第 2 页 共 147 页10．某隧道长 2150m，通过隧道的车速不能超过 20 m/s。一列有 55 辆车身长都为 10m 的同一车型 的车队（这种型号的车能行驶的最高速为 40m/s） ，匀速通过该隧道，设车队的速度为 xm/s，根据安 全和车流的需要，当 0 ? x ? 10 时，相邻两车之间保持 20m 的距离；当 10 ? x ? 20 时，相邻两车 之间保持 （ x2 ?1 61 x) m 的距离。自第 1 辆车车头进入隧道至第 55 辆车尾离开隧道所用的时间为 3y (s ) 。（1）将 y 表示为 x 的函数。 （2）求车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度。?3 ? 1.73?11．设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n ＝ 2 ? an , n ? 1, 2,3, ?。 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足 b1＝1，且 bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式； （III）设 cn＝n(3－bn)，求数列{cn}的前 n 项和 Tn12．设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x ． （1）当 k=2 时，求函数 f(x)的增区间； （2）当 k＜0 时，求函数 g(x)= f ?( x) 在区间（0，2]上的最小值．13．已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x), 设函数f ( x) ? m ? n. （1）求 f (x) 的最小正周期与单调递减区间。 （2）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 f ( A) ? 4, b ? 1,△ABC 的面积为3 ，求 a 的值. 2第 3 页 共 147 页14．已知数列 ?a n ?为等差数列，且 a1 ? 2 ， a1 ? a2 ? a3 ? 12 ． (Ⅰ) 求数列 ?a n ?的通项公式；(Ⅱ) 令 bn ? 3 n ，求证：数列 ?bn ? 是等比数列．a15．已知 a 是实数，函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) ． （Ⅰ）若 f ' (1) ? 3 ，求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）求 f ( x) 在区间 ?0,2?上的最大值．16．已知二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a( x ? R) 同时满足：①不等式 f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元2素；②在定义域内存在 0 ? x1 ? x 2 ，使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立。设数列 {a n } 的前 n 项和S n ? f (n) 。 （1）求 f (x) 表达式； （2）求数列 {a n } 的通项公式；（3） bn ? ( 3 ) 设an ? 5c ，n ?6b 2 n ? bn ?1 ? bn { T ， c n } 前 n 项和为 Tn ， n ? n ? m对 n ? N *, n ? 2) （ bn bn ?1恒成立，求 m 范围17．设 F1 , F2 分别是椭圆 C :x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2（1）若椭圆 C 上的点 A(1, ) 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标； （2） 设点 P 是（1）中所得椭圆上的动点， Q (0, ) ，求 PQ 的最大值；3 21 2第 4 页 共 147 页18．设函数 f ( x) ? x 4 ? ax3 ? 2 x 2 ? b( x ? R) ，其中 a，b?R ． （Ⅰ）当 a ? ?10 时，讨论函数 f ( x) 的单调性； 3（Ⅱ）若函数 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值，求 a 的取值范围；2 ， （Ⅲ）若对于任意的 a ? ? ?2，? ，不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立，求 b 的取值范围19．在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一 个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45? 且与点 A 相距 40 2 海里 的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? + ? (其中 sin ? =26 ， 0? ? ? ? 90? ) 26且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20．已知分别以 d 1 和 d 2 为公差的等差数列 {a n } 和 {bn } 满足 a1 ? 18 ， b14 ? 36 ．（1）若 d 1 =18，且存在正整数 m ，使得 a m ? bm?14 ? 45 ，求证： d 2 ? 108 ；2b a ?， b （2） a k ? bk ? 0 ， 若 且数列 a1 ， 2 ， a k ， k ?1 ， k ? 2 ， b14 的前 n 项和 S n 满足 S14 ? 2S k ， ?，求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式；第 5 页 共 147 页21．设函数 f(x)=a?b，其中向量 a=(2cosx，1)，b=(cosx， （Ⅰ）若 f(x)=1－ 3 且 x∈[－3 sin2x)，x∈R.? ? ， ]，求 x； 3 3（Ⅱ）若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)(|m|& n 的值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.? )平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数 m、 222．盒中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 2 张，从盒中任意任取 3 张，每张卡片被抽出的可能性 都相等，求： (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率； (Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念； (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率.23．如图，已知点 P 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，∠PDA=60°。 D1 （1）求 DP 与 CC1 所成角的大小； （2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小。A1 P B1C1DCAB24．设锐角三角形 ABC 的内角 A B，C 的对边分别为 a，b，c ， a ? 2b sin A ． ， （Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）求 cos A ? sin C 的取值范围．第 6 页 共 147 页2 1 1 25．甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是 , , .现 3 人各投篮 1 次,求: 5 2 3 (Ⅰ)3 人都投进的概率; (Ⅱ)3 人中恰有 2 人投进的概率.26．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A?B?C?D? 中，AP=BQ=b（0&b&1） ，截面 PQEF∥ A?D ， 截面 PQGH∥ AD? ． （Ⅰ）证明：平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是定值， D? C? 并求出这个值； H G （Ⅲ）若 b ?1 ，求 D?E 与平面 PQEF 所成角的正弦值． 2A?P A D FB?Q B E C27．在 △ABC 中，已知内角 A ?? ，边 BC ? 2 3 ．设内角 B ? x ，周长为 y ． ?（1）求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域； （2）求 y 的最大值．28．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.9，乙机床产品的正品 率是 0.95． （Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品的概率（用数字作答） ； （Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率.第 7 页 共 147 页29．如图，正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AA1 ? 2 AB ? 4 ，点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC ． （Ⅰ）证明： A1C ? 平面 BED ； （Ⅱ）求二面角 A1 ? DE ? B 的大小． A1 D1 B1C1E D A B Ctan 30．在 △ABC 中，角 A B，C 的对边分别为 a，b，c， C ? 3 7 ． ，（1）求 cos C ； （2）若 CB ? CA ???? ??? ? ?5 ，且 a ? b ? 9 ，求 c ． 231．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2 个红球，2 个白球；乙袋装有 2 个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取 2 个球. (Ⅰ)若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为3 ，求 n. 432．如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD， ?ABC ? 60? ,E，F 分别 是 BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的 正切值为6 ，求二面角 E―AF―C 的余弦值。 2第 8 页 共 147 页33．设函数 f ( x) ? a b ，其中向量 a ? (m cos 2 x) ， b ? (1 ? sin 2 x， ， x ?R ，且 y ? f ( x) 的图象经 ， ? 1) 过点 ? ，? ． 2 （Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的最小值及此时 x 值的集合．?π ?4? ?34．甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、 乙、丙的概率依次为1 1 1 、 、 。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求： 6 3 2（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；35．三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 A1 B1C1 ， ?BAC ? 90 ，?A1 A ? 平面 ABC ， A1 A ? 3 ， AB ? 2 ， AC ? 2 ， A1C1 ? 1 ，（Ⅰ）证明：平面 A1 AD ? 平面 BCC1 B1 ； （Ⅱ）求二面角 A ? CC1 ? B 的大小． BBD 1 ? ． DC 2A1 B1 A DC1C36．在 △ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边．若 a ? 2, 求 △ABC 的面积 S w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC?B 2 5 π ， cos ? ， 2 5 4第 9 页 共 147 页37．已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球．现 从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． （Ⅰ）求取出的 4 个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；38．如图，平面 ABEF ? 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，?BAD ? ?FAB ? 900 , BC// ?1 AD ， BE 2// ?1 AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点 2（Ⅰ）证明：四边形 BCHG 是平行四边形； （Ⅱ） C, D, F , E 四点是否共面？为什么？ （Ⅲ）设 AB ? BE ，证明：平面 ADE ? 平面 CDE39．已知 cos ? ?(Ⅰ)求 tan 2? 的值. （Ⅱ）求 ? .? 1 13 , cos(? ? ?) ? , 且0 & ? & ? & , 2 7 1440．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.4 3 2 1 、 、 、 ， 5 5 5 5第 10 页 共 147 页41．如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.（I）求证： AO ? 平面 BCD； （II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （III）求点 E 到平面 ACD 的距离。AD O B E C42．已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R ． ， （Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 ? ， ? 上的最小值和最大值． 8 4? π 3π ? ? ?43．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ： “取出的 2 件产品中 至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 ． （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ； （2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B ： “取出的 2 件产品中至少有一件二等品” 的概率 P( B) ．44．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1 的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线； C1 B1 （Ⅱ）设 AA1＝AC＝ 2AB，求二面角 A1－AD－C1 的大小 A1 D E C A B第 11 页 共 147 页45．在 △ABC 中，已知 AC ? 2 ， BC ? 3 ， cos A ? ? （Ⅰ）求 sin B 的值； （Ⅱ）求 sin ? 2 B ?4 ． 5? ??? ? 的值． 6?46．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员 可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算 机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率 47. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，已知 DA ? DC ? 4,DD1 ? 3 ，求异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.48．已知 △ABC 的周长为 2 ? 1 ，且 sin A ? sin B ?2 sin C ．（I）求边 AB 的长； （II）若 △ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．1 649．甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2 米高度成功的概率分别是 0.7 ， 0.6 ，且每次试跳成功与否相 互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率第 12 页 共 147 页50． 如图， 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，E , P 分别是 BC , A1 D1 的中点，M , N 分别是 AE , CD1 的 中点， AD ? AA1 ? a, AB ? 2a （Ⅰ）求证： MN // 面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）求二面角 P ? AE ? D 的大小。 （Ⅲ）求三棱锥 P ? DEN 的体积。51．设 f ( x) ? 6 cos 2 x ? 3 sin 2 x （Ⅰ）求 f ( x) 的最大值及最小正周期； （Ⅱ）若锐角 ? 满足 f (? ) ? 3 ? 2 3 ，求 tan4 ? 的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 552．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一 ， 名志愿者． [Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；53．在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，已知 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 2 ，D1C1E , F 分别是线段 AB, BC 上的点，且 EB ? FB ? 1(I)求二面角 C ? ED ? C1 的正切值 (II)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值A1 DB1 C FAEB第 13 页 共 147 页π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 54．已知函数 f ( x) ? ． π? ? sin ? x ? ? 2? ?（Ⅰ）求 f ( x) 的定义域； （Ⅱ）若角 ? 在第一象限且 cos ? ?3 ，求 f (? ) ． 555．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲 种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （Ⅰ）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；P56．在四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD ? 底面 ABCD， PD ? DC ，E 是 PC 的中点， 作 EF ? PB 交 PB 于点 F。 (I)证明 PA ∥平面 EDB ； (II)证明 PB ? 平面 EFD； (III)求二面角 C - PB - D 的大小。AFED BC57．在 △ABC 中， cos B ? ?5 4 ， cos C ? ． 13 533 ，求 BC 的长． 2 1 58．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p ，且乙投球 2 次均未 2 1 命中的概率为 ． 16 （Ⅰ）求乙投球的命中率 p ； （Ⅱ）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率；（Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）设 △ABC 的面积 S△ ABC ? （Ⅲ）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 2 次的概率．第 14 页 共 147 页59．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，AB∥DC， ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD，且?PA=AD=DC=1 AB=1，M 是 PB 的中点。 2（Ⅰ）证明：面 PAD⊥面 PCD； （Ⅱ）求 AC 与 PB 所成的角； （Ⅲ）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。60．已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? （Ⅰ）求 ? 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 ? 0， ? 上的取值范围． 3? ?π? ? （ ? ? 0 ）的最小正周期为 π ． 2?? 2π ? ? ?61. 甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为 0.7 与 0.8． （1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率； （2）如果每人投篮三次，求甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率．62．在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD． （Ⅰ）证明 AB⊥平面 VAD． （Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小．V D A B C第 15 页 共 147 页63．求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。2 464. 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方 通过（绿灯亮通过）的概率分别为1 1 2 ， ， ，对于在该大街上行驶的汽车， 3 2 3求： （1）在三个地方都不停车的概率； （2）在三个地方都停车的概率； （3）只在一个地方停车的概率．65． 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的， 其中 AB=4， BC=2， CC1=3，BE=1. （Ⅰ）求 BF 的长； （Ⅱ）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.66．已知函数 f ( x) ? cos(2 x ??) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4??（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [?, ] 上的值域 12 2? ?第 16 页 共 147 页67．口袋里装有红色和白色共 36 个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球， 若是同色的概率为1 ，求： 2(1) 袋中红色、白色球各是多少？ (2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？68．如图，在长方体 ABCD―A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AD 上移动. （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D1―EC―D 的大小为? . 469．已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 （ x ? R, ? ? 0 ）的最小值正周期是2（Ⅰ）求 ? 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．? ． 270．袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球，从中任意摸出 4 个，求下列事件发生的概率. （1）摸出 2 个或 3 个白球； （2）至少摸出一个黑球.第 17 页 共 147 页71．如图，已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 , AB ? 2, AA1 ? 1, 直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为30? ， AE 垂直 BD 于 E ， F 为 A1 B1 的中点.（I）求异面直线 AE 与 BF 所成的角； （II）求平面 BDF 与平面 AA1B 所成的二面角； （III）求点 A 到平面 BDF 的距离.B1A1D1FAC1DEBC72．已知二次函数 f (x) 对任意 x ? R ，都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立，1 ） c ? （cos2x，1） d ? （1，2） ， ， ， 2 当 x ?[0， π ]时，求不等式 f（ a ? b ）＞f（ c ? d ）的解集．设向量 a ? （sinx，2） b ? （2sinx， ，73．甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时， 该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为 0.6，每场比赛必须分出胜负，且每 场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队打完第五场比赛就获得冠军的概率； （2）求甲队获得冠军的概率.74．如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形， E、F 分别是 AB、PD 的中点. （1）求证：AF∥平面 PCE； （2）若二面角 P-CD-B 为 45°，AD=2，CD=3， 求点 F 到平面 PCE 的距离.第 18 页 共 147 页75．已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数,在 [0,1] 上 f ? x ? ? 2 ? ln ? x ? 1? ? 1x（Ⅰ）求函数 f ? x ? 的解析式;并判断 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的单调性(不要求证明) （Ⅱ）解不等式 f ? 2 x ? 1? ? f 1 ? x?2??0.76．在 △ABC 中， a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边．若 a ? 2, 求 △ABC 的面积 S ．C?B 2 5 π ， cos ? ， 2 5 477．有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子，红色骰子有两个面是 8，四个面是 2，蓝色骰子有三个 面是 7，三个面是 1，两人各取一只骰子分别随机掷一次，所得点数较大者获胜. （1）分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望； （2）求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少？78．如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP ⊥底面 ABC． (Ⅰ)求证：OD∥平面 PAB； P (Ⅱ)当 k＝1 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小； 2(Ⅲ) 当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重 心？AODCB第 19 页 共 147 页79．已知甲、乙、丙三人独自射击命中目标的概率分别是1 1 1 、 、 。 2 3 4（1） 、若三人同时对同一目标进行射击，求目标被击中的概率； （2） 、若由甲、乙、丙三人轮流对目标进行射击（每人只有一发子弹） ，目标被击中则停止射击。 请问三人的射击顺序如何编排才最节省子弹?试用数学方法说明你的结论。80． 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? 求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式；1 2 n ? pn , ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? 2 n ? 1 ，且 a 4 ? b4 。(1)、 2(2)、若对于数列 ?cn ? 有， c n ? a n ? bn ,请求出数列 ?cn ? 的前 n 项和 R n81．在△ ABC 中， A ， B ， C 是三角形的三内角，a，b， c 是三内角对应的三边长， 已知 b2 ? c2 ? a 2 ? bc. （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ，求角 B 的大小.82．如图,四棱锥 P-ABCD 是底面边长为 1 的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC= 2 . (Ⅰ)求证:PD⊥面 ABCD； (Ⅱ)求二面角 A－PB－D 的大小.PD A BC第 20 页 共 147 页83．已知向量 a, b 满足 a ?| b |? 1 ,且 | ka ? b |? 3 | a ? kb | (k ? 0) ,令 f (k ) ? a ? b ， （Ⅰ）求 f (k ) ? a ? b （用 k 表示） ； （Ⅱ）当 k ? 0 时， f (k ) ? x 2 ? 2tx ?? ???? ???? ?? ?1 对任意的 t ?[?1,1] 恒成立，求实数 x 的取值范围。 284．已知 ? 为锐角，且 cos ? ?3 . 5（Ⅰ）求cos 2 ? ? sin 2? 5? 的值； （Ⅱ）求 tan(? ? ) 的值． 2 sin ? ? cos 2? 485 ． 如 图 , 在 矩 形 ABCD中 , AB ? 2BC ,P, Q 分 别 为 线 段 AB, CD的 中 点 , EP ⊥ 平 面ABCD.（Ⅰ）求证: AQ ∥平面 CEP ； （Ⅱ）求证:平面 AEQ ⊥平面 DEP ； (Ⅲ) 若 EP ? AP ? 1 , 求三棱锥 E ? AQC 的体积.86．一次口试中，每位考生要在 8 道口试题中随机抽出 2 道题回答，若答对其中 1 题即为及格.（1） 某位考生会答 8 道题中的 5 道题，这位考生及格的概率有多大？ （2）若一位考生及格的概率小于 50%，则他最多只会几道题？第 21 页 共 147 页87．已知函数 y ? sin 2 x ? 2sin x sin(?2 1 ? ⑴若 tan x ? ，求 y 的值；⑵若 x ? [0, ] ，求 y 的值域. 2 2? x) ? 3sin 2 (3? ? x) . 288．某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，且 每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x （单位：元， 0 ? x ? 30 ）的平方成正比，已知商 品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件． （1）将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？89．已知圆锥曲线 C 的焦点为 F (1,0) ，相应的准线方程为 x ? 2 ，且曲线 C 过定点 B(0,1) .又直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点． （1）求曲线 C 的轨迹方程； （2）试判断是否存在直线 l ，使得点 F 是△ BMN 的重心．若存在，求出对应的直线 l 的方程；若 ．． 不存在，请说明理由； （3）试判断是否存在直线 l ，使得点 F 是△ BMN 的的垂心．若存在，求出对应的直线 l 的方程； ．． 若不存在，请说明理由．90．在平面直角坐标系中，已知 a ? (3 cos? ,3 sin ? ), b ? (2 cos ? ,2 sin ? ) ，直线 l 的方程为：x cos? ? y sin ? ?1 1 ? 0 ，圆 C 的方程为 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? . 2 2（1）若 a和b 的夹角为 60°时，直线 l 和圆 C 的位置关系如何？请说明理由； （2）若 a和b 的夹角为θ ，则当直线 l 和圆 C 相交时，求θ 的取值范围。第 22 页 共 147 页91．已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? 1 ． （Ⅰ）若 f ( x) ? 0 的解集是 (?1,3) ，求实数 a, b 的值； （Ⅱ）若 a 为整数， b ? a ? 2 ，且函数 f ( x) 在 (?2, ?1) 上恰有一个零点，求 a 的值．92. 数列 {a n } 满足 a n ? 2a n ?1 ? 2 n ? 1(n ? N , n ? 2), a3 ? 27. （1）求 a1 , a 2 的值； （2）记 bn ?1 (a n ? t )( n ? N *) ，是否存在一个实数 t，使数列 {bn } 为等 2n差数列？若存在，求出实数 t；若不存在，请说明理由； （3）求数列{ a n }的前 n 项和 Sn.93．已知⊙ Q 过定点 A(0, p)( p ? 0) ，圆心 Q 在抛物线 x ? 2 py 上运动， MN 为圆 Q 在 x 轴上所2截得的弦. （1）当 Q 点运动时， MN 是否有变化？并证明你的结论； （2）当 OA 是 OM 与 ON 的等差中项时，试判断抛物线 C 的准线与圆 Q 的位置关系，并说明理由．yQAoMNx第 23 页 共 147 页94．如图已知在三棱柱 ABC――A1B1C1 中，AA1⊥面 ABC，AC=BC，M、N、P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、 B1C1 的中点． （Ⅰ）求证：面 PCC1⊥面 MNQ； （Ⅱ）求证：PC1∥面 MNQ． C1 C Q B P A M A1 N B195．将圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 按向量2 2? a ? (1, ?1) 平移得到圆 O .直线 l 与圆 O 相交于 P1 、 P2 两点，若在圆 O 上存在点 P3 ，使 OP ? OP2 ? OP ? 0 ，且 OP ? ? a (? ? R ) ，求直线 l 的方程. 1 3 3???? ???? ??????????96．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x ? 1 对称. ⑴证明： f ( x) 是周期为 4 的周期函数； ⑵若 f ( x) ?x (0 ? x ? 1) ，求 x ?[?5, ?4] 时，函数 f ( x) 的解析式.97．某地正处于地震带上，预计 20 年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧 城区进行拆除.已知旧城区的住房总面积为 64a m2 ，每年拆除的数量相同；新城区计划第一年建设 住房面积 a m2 ，开始几年每年以 100% 的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年 增加 a m2 .设第 n (n ? 1, 且n ?N)年新城区的住房总面积为 an m2 ，该地的住房总面积为 bn m2 . ⑴求 an ；⑵若每年拆除 4a m2 ，比较 an +1 与 bn 的大小.第 24 页 共 147 页98． 已知复数 z ?a 2 ? 7a ? 6 试求实数 a 分别为什么值时， 分别为： Ⅰ） （ ? (a 2 ? 5a ? 6)i (a ? R) ， z a ?1实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数x2 y2 3 ，离心率为 ，⊙的圆心为原点，直径为椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点（-3，2） 2 3 a b 2 2 的短轴，⊙M 的方程为 ( x ? 8) ? ( y ? 6) ? 4 ，过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB，切点为 A、99．若椭圆 B. (1)求椭圆的方程； （2）若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q，当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程； （3）求 OA ? OB 的最大值与最小值.?n(n ? N * , n为奇数) ? 100．设函数 f (n) ? ? n , 数列{an }的通项 an ? f (1) ? f (2) ? f (3) * ? f ( )(n ? N , n为偶数) ? 2? ? ? f (2n )(n ? N * ) （1）求 a1，a2，a4 的值；（2）写出 an 与 an―1 的一个递推关系式，并求出 an 关于 n 的表达式。 （3）设数列 {bn }的通项为bn ? log 2 (3a n ? 2) ? 10(n ? N * ), 前n项和为S n ，整数 10 是否为数3列 {bn ? S n } 中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。第 25 页 共 147 页101．某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园 区.已知 AB ? BC , DA ∥ BC 且 AB ? BC ? 2 AD ? 4 km ，曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向右的抛 物线的一段. (1) 建立适当的坐标系，求曲线段的方程； （2）如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB、BC 上，且一个顶点落在 DC 上，问如何规划才能使矩形工业 C 园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到 0.1km2）.OAB102．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为 100 分） ，把其中不低于 50 分的分成五段 ?50,60 ? ， ?60,70 ? ? ?90,100 ? 后画出如下部 ． 分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： ． 组距 （Ⅰ）求出物理成绩低于 50 分的学生人数； 组数 (Ⅱ)估计这次考试物理学科及格率（60 分及 以上为及格） (Ⅲ) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求 0.0 他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率. 0.02 35 0.01 5 0.00 5 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0分数103．如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,DB=BC, DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一 点. （1）求证： B1 D1 // 面 A1 BD ； （2）求证： MD ? AC ；ks5u ks5u ks5u（3）试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平面 CC1 D1 D .D1 A1 B1C1D A第 26 页 共 147 页MCB104．已知双曲线的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，过双曲线右焦点 F2 且斜率为 1 的 直线交双曲线于 A、B 两点，弦 AB 的中点为 T，OT 的斜率为1 ， 3（1）求双曲线的离心率； （2）若 M、N 是双曲线上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PN 斜率? 1 1? k PN ? ? , ? ，试求直线 PM 的斜率 k PM 的范围。 ? 3 2?105．已知函数 y ? f ( x) ?ln x . x 1 处的切线方程； e（Ⅰ）求函数 y ? f (x) 的图像在 x ? （Ⅱ）求 y ? f (x) 的最大值；(Ⅲ) 设实数 a ? 0 ，求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a ?上的最小值.106．已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos x ．2 2（Ⅰ）求函数 f ? x ? 的单调增区间； （Ⅱ）已知 f ?? ? ? 3 ，且 ? ? ? 0, π ? ，求 α 的值．107．已知数列 f ? n ? 的前 n 项和为 S n ，且 Sn ? n 2 ? 2n ． （Ⅰ）求数列 f ? n ? 通项公式； （Ⅱ）若 a1 ? f ?1? ， an ?1 ? f ? an ? ? n ? N *? ，求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列，并求数列 ? an ? 的前 n 项和 Tn ．????第 27 页 共 147 页108．在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90° ，∠BAC＝∠CAD＝60° ，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，PA＝2AB＝2． P （Ⅰ）求四棱锥 P－ABCD 的体积 V； （Ⅱ）若 F 为 PC 的中点，求证 PC⊥平面 AEF； （Ⅲ）求证 CE∥平面 PAB． EF A DB C109．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量（件）与价格（元）均为时间1 t（天）的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t（件） ，价格近似满足 f (t ) ? 20 ? | t ? 10 |（元）（Ⅰ） ． 2试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t（0≤t≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值．110．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前 7 次考试 的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析．下面是该生 7 次考试的成绩． 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； （Ⅱ）已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 115 分，请你估 计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物 理上的合理建议．AC =9，sin B =cos A sin C ,面积 S ?ABC =6． 111．在△ ABC 中，已知 AB ?（1）求△ ABC 的三边的长； （2）设 P 是△ ABC （含边界）内一点， P 到三边 AC 、 BC 、 AB 的 距离分别为 x,y 和 z，求 x+y+z 的取值范围.第 28 页 共 147 页112．已知圆 O : x ? y ? 8 交 x 轴于 A, B 两点，曲线 C 是以 AB 为长轴，直线 l : x ? ?4 为准线的2 2椭圆． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若 M 是直线 l 上的任意一点， 以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点，求证：直线 PQ 必 过定点 E ，并求出点 E 的坐标； （Ⅲ）如图所示，若直线 PQ 与椭圆 C 交于 G, H 两点，且A Q H M Gy POBx??? ? ???? EG ? 3HE ，试求此时弦 PQ 的长．113．已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x, g ( x) ? a x 2 ? x ． （Ⅰ）若 a ???1 ，求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间； 2（Ⅱ）若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立，求 a 的取值范围．114．由于卫生的要求游泳池要经常换水（进一些干净的水同时放掉一些脏水）, 游泳池的水深经 常变化,已知泰州某浴场的水深 y（米） 是时间 t (0 ? t ? 24) ， (单位小时)的函数， 记作 y ? f (t ) ， 下表是某日各时的水深数据 t（时） y（米） 0 25 3 20 6 15 9 20 12 249 15 2 18 151 21 199 24 25经长期观测的曲线 y ? f (t ) 可近似地看成函数 y ? A cos?t ? b （Ⅰ）根据以上数据，求出函数 y ? A cos?t ? b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式； （Ⅱ） 依据规定，当水深大于 2 米时才对游泳爱好者开放，请依据（1）的结论， 判断一天内的上午 8 00 至晚上 20 00 之间，有多少时间可供游泳爱好者进行运动第 29 页 共 147 页115．已知函数 f ( x) ? ax?1 (其中 a ? 0 且 a ? 1 , a 为实数常数)． axt（1） f ( x ? ， x 的值(用 a 表示)； 若 a ? 1, 且 a f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [1 2] 恒成立， 若 （2） ) 2 求 ， 求实数 m 的取值范围(用 a 表示)．116．如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点． （1）求证： EF //平面 ABC1 D1 ； （2）求证： EF ? B1C ； （3）求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积．A1 E D1 B1 C1D F A BC117．已知数列 ?a n ?是公差为 d (d ? 0) 的等差数列，数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列，若 函数 f ( x) ? x ，且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) ,2b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ，(1)求数列 ?a n ?和 ?bn ? 的通项公式；(2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ，对一切 n ? N ? ，都有c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 成立，求 S n b1 2b2 nbn第 30 页 共 147 页118．如图，公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积 相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上. （1）设 AD＝x（x≥0） ，ED＝y，求用 x 表示 y 的函数关系式； （2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果 DE 是参观 线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明 A x D B y C E119. 已知等腰梯形 PDCB 中（如图 1） PB=3，DC=1，PB=BC= 2 ，A 为 PB 边上一点，且 PA=1，将△ ，PAD 沿 AD 折起，使面 PAD⊥面 ABCD（如图 2） 。 （1）证明：平面 PAD⊥PCD； （2）试在棱 PB 上确定一点 M，使截面 AMC把几何体分成的两部分 VPDCMA: VMACB ? 2 : 1 ；（3）在 M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线 AM 是否平行面 PCD.第 31 页 共 147 页120．已知数列 {a n } ， {bn } 中， a1 ? t (t ? 0且t ? 1), a 2 ? t ，且 x ?2t 是函数1 f ( x) ? (a n?1 ? a n ) x 3 ? (a n ? a n?1 ) x 的一个极值点.（1）求数列 {a n } 的通项公式； 3（2） 若点 Pn 的坐标为（1， bn ） n ? N ) ，过函数 g ( x) ? ln(1 ? x ) 图像上的点 (a n , g (a n )) 的 （* 2切线始终与 OPn 平行（O 为原点） ， 求证：当? 1 1 1 1 ? t ? 2, 且t ? 1 时，不等式 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. b1 b2 bn 2 n121．已知函数 f ( x) ? x ?t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ，过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 PM 、 PN ， x切点分别为 M 、 N ． （1）设 MN ? g (t ) ，试求函数 g (t ) 的表达式； （2）是否存在 t ，使得 M 、 N 与 A(0 , 1) 三点共线．若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3） （1） 在 的条件下， 若对任意的正整数 n ， 在区间 [2 , n ?64 ] 内总存在 m ? 1 个实数 a1 , a 2 ,?, a m ， na m ?1 ，使得不等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立，求 m 的最大值．122.已知正方形的外接圆方程为 x 2 ? y 2 ? 24 x ? a ? 0 ，A、B、C、D 按逆时针方向排列，正方形一边 CD 所在直线的方向向量为(3，1)． （1）求正方形对角线 AC 与 BD 所在直线的方程； （2）若顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线 E 经过 正方形在 x 轴上方的两个顶点 A、B，求抛物线 E 的方程．第 32 页 共 147 页123. 已知数列 {a n } ，其前 n 项和 Sn 满足 S n ?1 ? 2?S n ? 1(? 是大于 0 的常数） ，且 a1=1，a3=4.（1） 求 ? 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式 an； （3）设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn，试比较Tn 与 2Sn 的大小.124.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, (a, b, c ? R) 满足：对任意实数 x，都有 f ( x) ? x ，且当 x ?21 （1）证明： f (2) ? 2 ; ( x ? 2) 2 成立。 8 m （2）若 f (?2) ? 0, f ( x) 的表达式;（3）设 g ( x) ? f ( x) ? x , x ? [0,??) ，若 g (x) 2 1 图上的点都位于直线 y ? 的上方，求实数 m 的取值范围。 4（1，3）时，有 f ( x) ?125．已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x (ax ? 3) ，其中 a 为常数.2（1）若 x=1 是函数 f (x) 的一个极值点，求 a 的值； （2）若函数 f (x) 在区间（－1，0）上是增函数，求 a 的取值范围； （3）若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ? [0,2] ，在 x=0 处取得最大值，求正数 a 的取值范围. ．．第 33 页 共 147 页1．在△ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c 且 a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列. （Ⅰ）求 B 的值； （Ⅱ）求 2 sin A ? cos(A ? C ) 的范围.22.已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn，且满足： a3 ? a4 ? 117 ， a2 ? a5 ? 22 ． （1）求 数列 {an } 的通项公式 an ； （2）若数列 {bn } 是等差数列，且 bn ?Sn ，求非零常数 c； n?c64bn (n ? 9)bn ?1（3）若(2)中的 {bn } 的前 n 项和为 Tn ，求证： 2Tn ? 3bn ?1 ?3.已知函数 f ?x ? ? a ln x ? bx 图象上一点 P（2，f(2)）处的切线方程为 y ? ?3x ? 2 ln 2 ? 2 ． （Ⅰ）21 求 a, b 的值； （Ⅱ）若方程 f ?x ? ? m ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根，求 m 的取值范围（其中 e 为自 e然对数的底， e? 2.7 ） ； （Ⅲ）令 g ? x ? ? f ? x ? ? nx ，如果 g ? x ? 图象与 x 轴交于 A?x1 ,0?, B?x2 ,0??x1 ? x2 ? ，AB 中点为C ? x0 ,0 ? ，求证： g ? ? x0 ? ? 0 ．第 34 页 共 147 页4． 如图，A、B 是单位圆 O 上的动点，C 是圆与 x 轴正半轴的交点，设 ?COA ? ? ． (1)当点 A 的坐标为 3 , 4 时，求 sin ? 的值； 5 5 (2)若 0 ? ? ? π ，且当点 A、B 在圆上沿逆时针方向 2 移动时，总有 ?AOB ? π ，试求 BC 的取值范围． 3? ?5． 已知直线 l 的方程为 x ? ?2 ， 且直线 l 与 x 轴交于点 M， O : x 2 ? y 2 ? 1 与 x 轴交于 A, B 两点 圆 （如 图） ． （I）过 M 点的直线 l1 交圆于 P、Q 两点，且圆孤 PQ 恰为圆周的1 ，求直线 l1 的方程； 4（II）求以 l 为准线，中心在原点，且与圆 O 恰有两个公共点的椭圆方程； （III）过 M 点作直线 l2 与圆相切于点 N,设（II）中椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,求三角形 ?NF1 F2 面 积。 l P M A O B x y Q l1sin 6.已知向量 a ? (cos x， x)，b ? ( 2，2 ) ，若 a ? b ?（I）试求出 cos( x ???? ??4) 和 tan( x ??48 ? ? ，且 ? x ? 4 2 51 ? tan x) 的值；（II）求 sin 2 x (1 ? tan x ) 的值。第 35 页 共 147 页7.已知函数 f ( x) ? log 4 (4 x ? 1) ? kx (k ? R ) 是偶函数. (1) 求 k 的值;(2)设 g ( x) ? log 4 (a ? 2 x ? 数 a 的取值范围.4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 38．已知函数 f ( x) ?ax 在 x ? 1处取得极值 2 ． x ?b2（I） 求函数 f (x) 的表达式； （II）若 f ( x) 的定义域、值域均为 [m, n] ， 0 ? m ? n ）试求所有满足条件的区间 [m, n] ； （ （Ⅲ）若直线 l 与 f ( x) ?ax 的图象切于点 P( x0 , y 0 ) ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围． x ?b29.设 A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数 f(x)=1 x 图象上任意两点，且 +log2 2 1? x 1 1 OM = ( OA + OB ),点 M 的横坐标为 .⑴求 M 点的纵坐标； 2 2⑵若 Sn=? f ( n ) =f( n )+f( n )+…+f(i ?1n ?1i12n ?1 ),n∈N*,且 n≥2，求 Sn; n?2 ?3 (n ? 1) ? ⑶已知 an= ? n∈N*,Tn 为数列{an}的前 n 项和，若 1 (n ? 2) ? ? ( S n ? 1)( S n?1 ? 1) ?Tn&λ(Sn+1+1) 对一切 n&1 且 n∈N*都成立，求 λ 的取值范围.第 36 页 共 147 页10．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟 囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱 A,B 相距 20km，其 中 B 烟囱喷出的烟尘量 A 的 8 倍，该乡要在两座烟囱连线上一点 C 处建一小学，请确定该小学的位 置使得烟尘浓度最低.11.某研究机构为了研究人的脚的大小(码)与身高(厘米)之间的关系,随机抽测了 20 人,得到如下数据:学序号 身高 x 脚长 y 序号 身高 x 脚长 y1 192 48 11 169 432 164 38 12 178 413 172 40 13 167 404 177 43 14 174 435 176 44 15 168 406 159 37 16 179 447 171 40 17 165 388 166 39 18 170 429 182 46 19 162 3910 166 39 20 170 41⑴若“身高大于 175 厘米”的为“高个”，“身高小于等于 175 厘米”的为“非高个”；“脚长大于 42 码”的 为“大脚”，“脚长小于等于 42 码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成右面的 2?2 联列表⑵根据题⑴ 中表格的数据,若按 99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系? ⑶若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来核查测量数据的误差:将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次, 记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求: ①抽到 12 号的概率；②抽到“无效序号（超过 20 号）”的概率.科网 ks5u ks 5u12.已知以点 C (t , )(t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A ，与 y 轴交于点 O 、 B ，其中 O 为 原点。 （1）求证： ?OAB 的面积为定值； （２）设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ，若 OM ? ON ，求圆 C 的方程。2 t第 37 页 共 147 页13、已知矩形纸片 ABCD 中，AB=6 cm ，AD=12 cm ，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上， 且折痕 MN 的两端点， N 分别位于边 AB、 上， ?MNB ? ? , MN ? l 。 M、 BC 设 （）试将 l 表示成 ? 的函数； （）求 l 的最小值。 D C NAMB14．在 ΔABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ． A 为锐角， a ? 30 ，ΔABC 的面积 S ? 105 ，外 接圆半径 R=17． （Ⅰ）求 sin A, cos A 的值； （Ⅱ）求 ΔABC 的周长．15.已知圆 C ： x ? ( y ? 3) ? 4 ，一动直线 l 过 A(?1, 0) 与圆 C 相交于 P 、 Q 两点， M2 2是 PQ 中点，l 与直线 m： x ? 3 y ? 6 ? 0 相交 于 N .（Ⅰ）求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆 心C ； （Ⅱ） PQ ? 2 3 时， 当 求直线 l 的方程； （Ⅲ） 探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角 有关，若无关，请求出其值；若有关，请 说明理由. N ? AyC? M Q ? P O m llx第 15 题第 38 页 共 147 页16.某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方米的楼 房.经测算，如果将楼房建为 x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560+48x（单位：元）.为了 使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝ 购地总费用 建筑总面积17.如图所示，在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中， AB ? BB1 , AC1 ? 平面 A1 BD, D 为 AC 的中点． （1） 求证： B1C // 平面 A1BD ； （2）求证： B1C1 ? 平面 ABB1 A1 ； （3） CC1 上是否存在一点 E ， 在 使得∠ BA1 E =45°， 若存在， 试确定 E 的位置， 并判断平面 A1 BD 与平面 BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点， B(0,?1) ． 18. 设 F1 、 F2 分别是椭圆 4（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; （Ⅱ）若 C 为椭圆上异于 B 一点，且 BF1 ? ? CF1 ，求 ? 的值； （Ⅲ）设 P 是该椭圆上的一个动点，求 ?PBF1 的周长的最大值.???? ???? ?第 39 页 共 147 页19 ． 设 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n ， d 为 常 数 ， 已 知 对 ?n, m ? N ， 当 n ? m 时 ， 总 有?S n ? S m ? S n?m ? m(n ? m)d .⑴ 求证：数列｛ a n ｝是等差数列；⑵ 若正整数 n, m, k 成等差数列，比较 S n ? S k 与 2S m 的大小，并说明理由！20. 在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆心在直线 y ? x ? 4 上，半径为 2 2 的圆 C 经过坐标原点 O， 椭圆x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. a2 9（1）求圆 C 的方程； （2）若 F 为椭圆的右焦点，点 P 在圆 C 上，且满足 PF ? 4 ，求点 P 的坐标.21. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入 98 万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要 的各种费用是 12 万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加 4 万元，而每年因引入该设备可获 得的年利润为 50 万元。请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？ (2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以 26 万元的价格 卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以 8 万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′22. 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 区 间 ? ?2, 2 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是 M 、 m ， 集 合 ?2A ? ? x | f ( x) ? x? .（1）若 A ? {1, 2} ，且 f (0) ? 2 ，求 M 和 m 的值；（2）若 A ? {2} ，且 a ? 1 ，记 g (a) ? M ? m ，求 g ( a ) 的最小值.第 40 页 共 147 页3 23. 设 数 列 ?an ? , ?bn ? 满 足 a1 ? b1 ?6 , a 2 ? b2 ?4 , a3 ? b3 ?， 若 ?an ?1 ? an ? 是 等 差 数 列 ，?bn?1 ? bn ? 是等比数列.（1）分别求出数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式；（2）求数列 ? an ? 中最小项及最小项的值； （3）是否存在 k ? N * ，使 ak ? bk ? ? 0, ? ，若存在，求 满足条件的所有 k 值；若不存在，请说明理由.? ?1? 2?24、已知 E、F 分别是正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, D是棱 BC 的中点. 求证:(1) EF // 平面 ABC ; (2)平面 AEF ? 平面 A1 AD . B1 E F A A1C1BDC? x ? 2 y ? 10 ≥ 0, ? 25．在平面区域 ? x ? 2 y ? 6 ≥ 0, 内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆 ?2 x ? y ? 7 ≤ 0 ?记为⊙M． （1）试求出⊙M 的方程； （2）过点 P（0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为 A，B； 2 2 又过 P 作⊙N：x +y -4x+ ? y+4=0 的两条切线，切点分别记为 C，D．试确定 ? 的值，使 AB⊥CD． yx-2y+10=0 2x-y-7=0y B P O A D N（图 2）MOx+2y-6=0 （图 1）xCx第 41 页 共 147 页26. 已知函数 f ( x) ? ln x ? a x ? ax(a ? R) ． （1）当 a=1 时，证明函数 f ( x) 只有一个零点； （2）2 2若函数 f ( x) 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数 a 的取值范围．27. 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 1 ， ?，? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根 (? ? ? ) ， f ?( x) 是 f ( x) 的导2数．设 a1 ? 1 ， an ?1 ? an ?f (an ) (n ? 1， ?) ． 2， （1）求 ?，? 的值； f ?(an ) an ? ? ( n 12 ， ? ． ? ， 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ． ) an ? ?（2） 已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ， bn ? l 记 n?π ? ?π π? 28．已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x ， x ? ? , ? ． （1）求 f ( x) 的最大值和最小值； （2）若 4 ? ? ?4 2? ?π π? 不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立，求实数 m 的取值范围 ?4 2?第 42 页 共 147 页29、 已知椭圆 C ：x2 y2 点 且 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 ，F2 ， P 在椭圆 C 上， PF1 ? F1 F2 ， a2 b2PF1 ?4 14 ， PF2 ? ． （1）求椭圆 C 的方程； 3 32 2（2）若直线 l 过圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 的圆心 M ，交椭圆 C 于 A ，B 两点，且 A ，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程．30 ． 已 知 集 合 是 满 足 下 列 性 质 的 函 数 f (x) 的 全 体 ： 在 定 义 域 D 内 存 在 x 0 ， 使 得f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立． （1）函数 f ( x) ?1 是否属于集合 M ？说明理由； x（2）若函数 f ( x) ? kx ? b 属于集合 M ，试求实数 k 和 b 的取值范围； （3）设函数 f ( x) ? lga 属于集合 M ，求实数 a 的取值范围． x ?1231．设常数 a ? 0 ，函数 f ( x) ? x ? ln x ? 2a ln x ? 1 ( x ? (0, ??)) .2? （1）令 g ( x) ? xf ( x) ( x ? 0) ，求 g ( x) 的最小值，并比较 g ( x) 的最小值与零的大小；（2）求证： f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数；2 （3）求证：当 x ? 1 时，恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 ．第 43 页 共 147 页32．若函数 f ( x) ? sin ax ? sin ax cos ax(a ? 0) 的图象与直线 y=m 相切，并且切点的横坐标依次2成公差为? 的等差数列.（Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若点 A( x0 , y 0 )是y ? f ( x) 图象的对称中心，且 2 ? x0 ? [0, ] ，求点 A 的坐标. 24 2 3 2 ), N ( － , 2 )两点. 3 2 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上是否存在点 P(x,y)，使 P 到定点 A(a,0)（其中 0＜a＜3）的距 离的最小值为１？若存在，求出 a 的值及 P 点的坐标；若不存在，请给予证明．33．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过 M (1,34.设 A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数 f(x)= 横坐标为 Sn;1 x 图象上任意两点，且 OM = 1 ( OA + OB ),点 M 的 +log2 2 2 1? xn ?1 1 1 2 n ?1 i .⑴求 M 点的纵坐标；⑵若 Sn= ? f ( ) =f( )+f( )+…+f( ),n∈N*,且 n≥2，求 n 2 n n n i ?1?2 ?3 (n ? 1) ⑶已知 an= ? n∈N*,Tn 为数列{an}的前 n 项和，若 Tn&λ(Sn+1+1) 对一 ? (n ? 2) 1 ? ? ( S n ? 1)( S n?1 ? 1) ?切 n&1 且 n∈N*都成立，求 λ 的取值范围.第 44 页 共 147 页35.已知函数 f(x)= n +lnx 的图像在点 P(m,f(m))处的切线方程为 y=x , 设 g ? x ? ? mx ?n ? 2ln x ． x（1）求证：当 x ? 1, g ? x ? ? 0 恒成立； （2）试讨论关于 x 的方程： mx ?n ? g ? x ? ? x3 ? 2ex 2 ? tx 根的个数． x36.已知函数 f ?x ? ? log a ?x ? 1?, g ?x ? ? 2 log a ?2 x ? t ??t ? R ? ，其中 x ? ?0,15?, a ? 0 且 a ? 1 .（1） 若 1 是关于 x 的方程 f ?x ? ? g ?x ? ? 0 的一个解，求 t 的值； （2）当 0 ? a ? 1时，不等式 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立，求 t 的取值范围.37.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数 (1)求 f (x) 、 g (x) 的表达式 (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ?1时,若 f ( x) ? 2bx ?1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2第 45 页 共 147 页38．点 A、B 分别是椭圆x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上， 36 20且位于 x 轴上方，PA⊥PF， （1）求点 P 的坐标； （2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值.39、 已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC , AB ? 1, BC ? 2, CD ? 1 ? 3, 过 A 作 AE ? CD , 垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将 ?ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ? EC .（1）求证： （2）求证： FG // 面BCD ； BC ? 面CDE ； （3）在线段 AE 上找一点 R ,使得面 BDR ? 面 DCB ,并说明理由. D D E F ? C G E A BG?FCAB40、已知：数列 ? an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? …… ? 2n ?1 an ? （1）求数列 ? an ? 的通项（2）若 bn ?n ?n ? N ? ? 2n ，求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 S n an第 46 页 共 147 页41.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. （I）求 f (x) 、 g (x) 的表达式； （II）求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解； (III）当 b ? ?1时,若 f ( x) ? 2bx ?1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x242.某观测站 C 在城 A 的南偏西 25° 的方向上，由 A 城出发有一条公路，走向是南偏东 50° ，在 C 处 测得距 C 为 12 3 km 的公路上 B 处，有一人正沿公路向 A 城走去，走了 12 km 后，到达 D 处，此 时 C、D 间距离为 12 km，问这人还需走多少千米到达 A 城?A 250 500 C B D43.已知下表中的对数值有且只有两个是错误的。x lgx 1.5 3a?b+c 3 2a?b 5 a+c 6 1+a?b?c 7 2(a+c) 8 3(1?a?c) 9 2(2a?b) 14 1?a+2b 27 3(2a?b)(1)假设上表中 lg3=2a?b 与 lg5=a+c 都是正确的， 试判断 lg6=1+a?b?c 是否正确， 给出判断过程;(2) 求 证 lg3 的对数值是正确的; (3)试将两个错误的对数值均指出来, 并加以改正(不要求证明) ．．．．第 47 页 共 147 页44.已知 a 是实数，函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a ) ． （Ⅰ）若 f ' (1) ? 3 ，求 a 值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 a0 时，求 f ( x) 在区间 ?0,2?上的最大值．45．已知二次函数 y ? f (x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2, 数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn，点 (n, S n )( n ? N *)均在函数y ? f ( x)的图像上 。 （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2） bn ? 设 m 的范围。3 m , Tn 是 列 {bn }的 n项 , 求 T 并 使 数 前 和 出 求 得 T n? 对所有 n ? N * 都成立的 a n a n ?1 746．已知圆 O： x ? y ? 1 ，点 O 为坐标原点,一条直线 l ： y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切并与椭2 2圆x2 ? y 2 ? 1 交于不同的两点 A、B 22 求直线 l 的方程； 3，（1）设 b ? f (k ) ,求 f (k ) 的表达式； （2）若 OA ?OB ? （3）若 OA ? OB ? m(2 3 ? m ? ) ，求三角形 OAB 面积的取值范围. 3 4第 48 页 共 147 页47．设 f 1 ( x) ?f (0) ? 1 2 , 定义f n ?1 ( x) ? f1 [ f n ( x)], a n ? n , n ? N *. 1? x f n (0) ? 2（1）写出 a n ?1与a n的关系式 ； （2）数列 {a n } 的通项公式； （3）若 T2 n ? 2a 2 ? 4a 4 ? 6a6 ? ? ? 2na2 n , 求T2 n .48.定义在 (0, ??) 的三个函数 f(x)、g(x)、h(x),已知 f(x)=lnx, g(x)= x 2 ? af ( x), h( x) ? x ? a x ,且 g(x)在 x=1 处取极值。 （I）求 a 值及 h(x)的单调区间； （II）求证：当 1&x& e 2 时，恒有 x ?2 ? f ( x) ; 2 - f ( x)（III）把 h(x)对应的曲线 C1 向上平移 6 个单位后得曲线 C 2 ，求 C 2 与 g(x)对应曲线 C 3 的交点个数， 并说明道理.49.已知向量 m ? (cos x,? sin x), n ? (cos x, sin x ? 2 3 cos x), x ? R ，令 f ( x) ? m ? n ， (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间； (Ⅱ)当 x ? [0,?4] 时，求函数 f(x)的值域．第 49 页 共 147 页50．设实数 x, y 同时满足条件： 4 x2 ? 9 y 2 ? 36 ，且 xy ? 0 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域； (2)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性，并证明.a 51．设函数 f ( x ) = x C ln x ，其中 a∈R . 2(1)求 f ( x )的单调递增区间； (2)求函数 g ( x) ? x ? e ? e(ln x ? ln e)( x ? 0) 的单调区间； (3)求证： e 2(π? e)＞ π e??e.52.已知 x=1 b 是 f ( x) ? 2 x ? ? ln x 的一个极值点 2 x(Ⅰ)求 b 的值； (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调增区间； (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ?1 ，试问过点（2，5）可作多少条曲线 y=g(x)的切线？为什么？ x第 50 页 共 147 页高三数学中档题训练1．解：由 A=｛1，3，a｝ ，B=｛1，a2｝ ? A，得 a2=3．或 a2=a． ，B 当 a2=3 时， a ? ? 3 ，此时 A∩B≠｛1，a｝ ； ------------------- 7 分当 a2=a 时，a=0 或 a=1， a=0 时，A∩B=｛1，0｝ ；a=1 时，A∩B≠｛1，a｝ ． 综上所述，存在这样的实数 a=0，使得 B ? A，且 A∩B=｛1，a｝ ．-------------------14 分 2．解： （Ⅰ）在 ?ABC 中， b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ，又 b2 ? c2 ? a 2 ? bc1 ? , A ? ???????????????????6 分 2 3 B C （Ⅱ）∵ 2sin 2 ? 2sin 2 ? 1 ，∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ????????8 分 2 2 2? 2? 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 ， cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1 ， 3 3 3∴ cos A ?3 1 ? sin B ? cos B ? 1 ，∴ sin( B ? ) ? 1 ， 2 2 6, ∴ ?ABC 为等边三角形。?????14 分 3 3 x2 y2 c 3 3．解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , M ( x, y ) 为椭圆上的点,由 ? 得 a ? 2b a 2 a b 3 1 2 AM ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( y ? ) 2 ? 4b 2 ? 3 ,(?b ? y ? b) 2 2 1 3 3 1 2 若 b ? ,则当 y ? ?b 时 AM 最大,即 (?b ? ) 2 ? 7 , ?b ? 7 ? ? ,故矛盾. 2 3 2 2 1 1 若 b ? 时, y ? ? 时 4b 2 ? 3 ? 7 , b 2 ? 1 2 2 ∵ 0 ? B ? ? ，∴ B ??,C ??所求方程为x2 ? y2 ? 1 44．解： （1）设 {an } 的公差为 d ， {bn } 的公比为 q ，则 d 为正整数，an ? 3 ? (n ? 1)d ， bn ? q n ?1? ban?1 q3? nd ? 3?( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数，故 d 为 6 的因子 1, 2,3,6 之一， 解①得 d ? 2, q ? 8第 51 页 共 147 页故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8n ?1 （2） Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 45．解： A ? {x6 ? 1 ? 0} ? ?? 1,5? x ?1（1）当 m=3 时， B ? {x ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ? (?1,3) ∴ C R B ? {x x ? ?1或x ? 3} ， A ? (C R B) ? [3,5] （2）由题意知：4 为方程-x +2x+m=0 的根,得:m=82经检验 m=8 适合题意.?? ? 6．解： （1）依题意， m ? n ? cos ? (2 2 ? sin ? ) ? sin ? (2 2 ? cos ? )? 2 2(sin ? ? cos ? ) ?????????????3 分? 4sin(? ? ) ?????????5 分 4 ?? ? 又 m?n ?1 1 ?????????7 分 4 4 3 ? 5 3 （2）由于 ? ? (? ? ,?? ) ，则 ? ? ? (? ? ,? ? ) ?????9 分 2 4 4 4∴ sin(? ???)???3 ? 15 ??14 分 87．解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面 ABC，EB⊥平面 ABC ∴DC//EB，又∵DC ? 平面 ABE，EB ? 平面 ABE，∴DC∥平面 ABE??（4 分） (Ⅱ)∵DC⊥平面 ABC，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面 BCDE??（8 分） (Ⅲ)由(2)知 AF⊥平面 BCDE，∴AF⊥EF，在三角形 DEF 中，由计算知 DF⊥EF， ∴EF⊥平面 AFD，又 EF ? 平面 AFE，∴平面 AFD⊥平面 AFE．??（14 分 8.(1)∵ S?OFQ ?? ? 1 ??? ??? OF FQ sin ?OFQ , 2 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 4 6 OF ? FQ ? OF FQ cos ?OFQ ? m ∴tanθ = .m又∵ 6 ＜m＜4 6 ,∴1＜tanθ ＜4.????????????6 分第 52 页 共 147 页x y (2)设所求的双曲线方程为 2 - 2 = 1 (a＞0,b＞0),Q(x1,y1), a b 则=(x1-c,y1),∴S△OFQ= 1 4 6 ||?|y1|=2 6 ,∴y1=± . 2 c 6 4 -1)c ,∴x1=222又由 OF ? FQ =(c,0)?(x1-c,y1)=(x1-c)c=( ∴ OQ = x1 +y1 =??? ??? ? ?26 4c.??8 分????296 3 2 c ≥ 12 . 2 + c 8当且仅当 c=4 时, ||最小,这时 Q 点的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,- 6 ).12 分2 ? 62 - 62 = 1 ? ?a =4 a b ? 2 ∴? , ∴ . ?b =12 ?a2+b2=16 ?x y 故所求的双曲双曲线方程为 = 1 .???????????14 分 4 12 9．解： （1）∵a⊥b，∴a?b＝0．而 a＝（3sinα ，cosα ） ，b＝(2sinα , 5sinα －4cosα )， 2 2 故 a?b＝6sin α ＋5sinα cosα －4cos α ＝0．??????????????2 分 由于 cosα ≠0，∴6tan2α ＋5tanα －4 ＝0．224 1 ，或 tanα ＝ ．?????????????????5 分 3 2 1 4 3π ∵α ∈（ ， ） ．∴tanα ＝－ ．??6 分 2π ，tanα ＜0，故 tanα ＝ （舍去） 2 2 3 ? 3π 3π （2）∵α ∈（ ， ） ． （ ，π） 2π ，∴ ? 2 2 4 4 ? 1 ? 由 tanα ＝－ ，求得 tan ? ? ， tan ＝2（舍去） ． 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5解之，得 tanα ＝－ ∴ sin cos(2 ? 5 ， cos 2 ?? 5，??????????????????11 分π ? π ? π )＝ cos cos ? sin sin 2 3 2 3 2 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ＝? ＝? ． ???????14 分 ? ? ? 5 2 5 2 10??10．解：当 0 ? x ? 10 时， y ?2150 ? 10 ? 55 ? 20 ? (55 ? 1) 3780 ? x x 1 2 1 2150 ? 10 ? 55 ? ( x ? x) ? (55 ? 1) 6 3 当 10 ? x ? 20 时， y ? x 2700 ? ? 9 x ? 18 x 3780 ? (0 ? x ? 10) ? x 所以， y ? ? 2700 ? ? 9 x ? 18(10 ? x ? 20) ? x 3780 （1） 当 x ? (0,10] 时，在 x ? 10 时， y min ? ? 378 ( s) 10第 53 页 共 147 页当 x ? (10,20] 时， y ? ? 9 x ? 18 ? 18 ? 2 ? 9 x ? ? 18 ? 180 3 x x? 329 .4( s)当且仅当 9 x ?2700 ，即： x ? 17.3(m / s) 时取等号。 x因为 17.3 ? (10,20] ，所以 当 x ? 17.3(m / s) 时， y min ? 329 .4( s) 因为378 ? 329.4所以，当车队的速度为 17.3(m / s) 时，车队通过隧道时间 y 有最小值 329 .4( s)2 11. （ Ⅰ ） ∵ n ? 1 时 ， a1 ? S1 ? a1 ? a1 ?∴ a1 ? 1∵ S n ? 2 ? an 即 an ? Sn ? 2 ， ∴an ?1 ? Sn ?1 ? 2 两式相减： an ?1 ? an ? Sn ?1 ? Sn ? 0 即 an?1 ? an ? an ?1 ? 0故有 2an ?1 ? an ∵ an ? 0 ，∴ 所以，数列 {an } 为首项 a1 ? 1 ，公比为an ?1 1 ? (n ? N * ) an 21 1 的等比数列， an ? ( )n ?1 (n ? N * ) 2 2 1 n ?1 （Ⅱ）∵ bn ?1 ? bn ? an (n ? 1, 2,3, …) ，∴ bn ?1 ? bn ? （ ） 2 1 1 2 1 得 b2 ? b1 ? 1 b3 ? b2 ? b4 ? b3 ? ( ) ? bn ? bn ?1 ? ）? 2 （ n ? 2,3 …） （ n 2 2 2 将这 n ? 1 个等式相加 1 1 ? ( )n ?1 1 1 1 1 1 2 bn ? b1 ? 1 ? ? ( )2 ? ( )3 ? … ? ( ) n ?2 ? ? 2 ? 2( ) n ?1 1 2 2 2 2 2 1? 2 1 n ?1 又∵ b1 ? 1 ，∴ bn ? 3 ? 2( ) （ n ? 1, 2,3 …） 2 1 n ?1 （Ⅲ）∵ cn ? n(3 ? bn ) ? 2n( ) 2 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[( )0 ? 2( ) ? 3( ) 2 ? … ? (n ? 1)( ) n ?2 ? n( ) n ?1 ] ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 而 Tn ? 2[( ) ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? … ? ( n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①－②得： Tn ? 2[( )0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? … ? ( ) n ?1 ] ? 2n( ) n 2 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 4n( 1 )n ? 8 ? 8 ? 4n( 1 ) n ? 8 ? (8 ? 4n) 1 (n ? 1, 2,3, …) Tn ? 4 1 2 2n 2 2n 1? 2第 54 页 共 147 页12．解： （1）k=2， f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 4ln x ．则 f ?( x) = 2 x ? 2 ?4 ．???3 分 x2 （此处用“≥”同样给分） ????????5 分 ? ( x ? 1)( x ? 2) ＞0， x 注意到 x＞0，故 x＞1，于是函数的增区间为 (1, ??) ． （写为 [1, ??) 同样给分）7 分（2）当 k＜0 时，g(x)= f ?( x) = 2 x ? 2 ?2k ?k ．g(x)= 2( x ? ) ? 2 ≥ 4 ?k ? 2 9 分 x x当且仅当 x= ? k 时，上述“≥”中取“=” ． ①若 ? k ∈ (0, 2] ，即当 k∈ [?4,0) 时，函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ；?11 分 ②若 k＜-4，则 g ?( x) ? 2(1 ?k ) 在 (0, 2] 上为负恒成立， x2故 g(x)在区间 (0, 2] 上为减函数， 于是 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 g(2)=6-k． ?????????13 分 综上所述，当 k∈ [?4,0) 时，函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ； 当 k＜-4 时，函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k． ?????????15 分 13. 解： f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 sin(2 x ? (1)最小正周期 T ??6) ? 3 ----4 分2? ? ? --------------6 分 2 ? ? 3? 当 (2 x ? ) ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z ) 时，函数 f(x)单调递减 6 2 2 ? 2? ∴函数 f(x)单调递减区间 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) --------------10 分 6 3 ? ? 1 （2） f ( A) ? 2 sin(2 A ? ) ? 3 ? 4 ∴ sin(2 A ? ) ? 6 6 2∵ A ? (0, ? ) ∴A??3----12 分 又 S ? ?2 21 3 bc sin A ? 2 2∴c=2----14 分∴ a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 …..16 分14．解：(Ⅰ)∵数列 ?a n ?为等差数列,设公差为 d , 由 a1 ? 2, a1 ? a 2 ? a3 ? 12 ,得 3a 2 ? 12 , a 2 ? 4 , ∴d ? 2，an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n .(Ⅱ)∵ bn ? 3 ∴an??6 分? 32 n ? 9 n ,，bn ?1 9 n ?1 ? n ?9 bn 9第 55 页 共 147 页∴数列 ?bn ? 是等比数列 .??12 分15．解： （Ⅰ） f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ，因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 ，所以 a ? 0 ．???3 分 又当 a ? 0 时， f (1) ? 1 ， f ?(1) ? 3 ， 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 ．?6 分 ， （Ⅱ）令 f ?( x) ? 0 ，解得 x1 ? 0 ， x2 ? ①当2a ．??????????7 分 32a 2] ≤ 0 ，即 a ≤ 0 时， f ( x) 在 [0， 上单调递增，从而 f max ? f (2) ? 8 ? 4a 9 分 3 2a ②当 2] ≥ 2 ，即 a≥ 3 时， f ( x) 在 [0， 上单调递减，从而 f max ? f (0) ? 0 3③当 0 ? 13 分 从而 f max ? ?2a ? 2a ? ? 2a ? 2 ? 2 ，即 0 ? a ? 3 时， f ( x) 在 ? 0， ? 上单调递减，在 ? ，? 上单调递增? 3 ? 3 ? ? 3 ?0 ?8 ? 4a，? a ≤ 2， ?????????????????15 分 ?0， 2 ? a ? 3．综上所述， f max ? ??8 ? 4a，a ≤ 2， ??????????????16 分 a ? 2． ?0，216．解（1）? f ( x) ? 0 的解集有且只有一个元素，? ? ? a ? 4a ? 0 ? a ? 0或a ? 4, 当 a=4 时， 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在(0,2) 上递减， 故存在 0 ? x1 ? x 2 ， 使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 )2成立，当 a=0 时，函数 f ( x) ? x 在(0,??) 上递增2故不存在 0 ? x1 ? x 2 ，使得不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立，综上，得 a=4， f ( x) ? x ? 4 x ? 42（2）由（1）可知 S n ? n 2 ? 4n ? 4 ，当 n=1 时， a1 ? s1 ? 1 当 n ? 2 时， a n ? s n ? s n ?1 ? (n ? 4n ? 4) ? [( n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 4] ? 2n ? 52 2n ?1 ?1, ? a n ? s n ? s n ?1 ? ? n?2 ?2 n ? 5（3）? bn ? ( 3 )an ? 5?27 , n ? 1 1 ?? n ，?b1 ? , 27 ?3 , n ? 26 ? 3 2 n ? 3 n ?1 ? 3 n 1 1 ? 2 ? n ? n ?1 n n ?1 3 ?3 3 3第 56 页 共 147 页c1 ? 18 ?2 27n ? 2时 ， n ? cTn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? c1 ? 2(n ? 1) ? (1 1 ? n?1 ) ] 2 3 3 2 1 1 1 1 = 18 ? ? 2n ? 2 ? ? n?1 ? 16 ? ? 2n ? n?1 ? n ? m 对 n ? N *, n ? 2 恒成立， 27 9 3 27 3 1 1 1 1 可转化为： m ? 16 ? ? n ? n ?1 对 n ? N *, n ? 2 恒成立，因为 16 ? ? n ? n?1 是关于 n 27 27 3 3的增函数，所以当 n=2 时，其取得最小值１８，所以 m&1817．解： （1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1 , F2 两点的距离之和是 4，得 2a ? 43 ( )2 1 2 3 即 a ? 2 ，又 A(1, ) 在椭圆上，? ? 2 ? 1 ，解得 b2 ? 3 ，于是 c 2 ? 1 2 2 b所以椭圆 C 的方程是x2 y2 ? ? 1 ，焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) 4 3 x2 y2 4 ? ? 1 ，? x 2 ? 4 ? y 2 4 3 3设 P( x, y ) ，则1 4 1 1 17 1 3 PQ 2 ? x 2 ? ( y ? )2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? ? ? ( y ? )2 ? 5 2 3 4 3 4 3 2 3 又? ? 3 ? y ? 3 ，?当 y ? ? 时， PQmax ? 5 218．解： （Ⅰ） f ?( x) ? 4 x ? 3ax ? 4 x ? x(4 x ? 3ax ? 4) ．3 2 210 2 时， f ?( x) ? x(4 x ? 10 x ? 4) ? 2 x(2 x ? 1)( x ? 2) ． 3 1 令 f ?( x) ? 0 ，解得 x1 ? 0 ， x2 ? ， x3 ? 2 ． 2当a ? ? 当 x 变化时， f ?( x) ， f ( x) 的变化情况如下表：xf ?( x)(?∞， 0)?K0? 1? ? 0， ? ? 2?1 2?1 ? 2 ? ，? ?2 ??K2(2， ∞) ?0极小值?J0极大值0极小值?Jf ( x)所以 f ( x) 在 ? 0， ? ， (2， ∞) 内是增函数，在 (?∞， ， ? ，? 内是减函数． 2 ? 0) （Ⅱ）解： f ?( x) ? x(4 x ? 3ax ? 4) ，显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根．2? ?1? 2??1 ?2? ?为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值，必须 4 x 2 ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立，即有 ? ? 9a 2 ? 64 ≤ 0 ．第 57 页 共 147 页解此不等式，得 ? ≤ a ≤ ．这时， f (0) ? b 是唯一极值． 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? ， ? ． 3 38 38 3? 8 8? ? ?2 （Ⅲ）解：由条件 a ? ? ?2，? 可知 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 ，从而 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立．当 x ? 0 时， f ?( x) ? 0 ；当 x ? 0 时， f ?( x) ? 0 ．， 因此函数 f ( x) 在 ? ?11? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者．2 ， 为使对任意的 a ? ? ?2，? ，不等式 f ( x) ≤1 在 ? ?11? 上恒成立，当且仅当? f (1) ≤ 1， ? ? f (?1) ≤ 1，即??b ≤ ?2 ? a， ?b ≤ ?2 ? a2 在 a ? ? ?2，? 上恒成立．所以 b ≤ ?4 ，因此满足条件的 b 的取值范围是19. 解: （I）如图，AB=40 2 ，AC=10 13 ，?BAC ? ? ,sin ? ?26 . 2626 2 5 26 ) ? . 26 26由于 0? ? ? ? 90? ,所以 cos ? = 1 ? (由余弦定理得 BC=AB 2 ? AC 2 ? 2 AB?AC ?cos? ? 10 5.10 5 ? 15 5 （海里/小时）. 2 3所以船的行驶速度为（II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系， 设点 B、C 的坐标分别是 B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC 与 x 轴的交点为 D. 由题设有，x1=y1=2 AB=40, 2? x2=ACcos ?CAD ? 10 13 cos(45 ? ? ) ? 30 , ? y2=ACsin ?CAD ? 10 13 sin(45 ? ? ) ? 20.所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k=20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40. 10第 58 页 共 147 页又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d=| 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7. 1? 4所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ?ABC ?AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB ? BC=402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5从 而sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?AB在 ?ABQ 中，由正弦定理得，AB sin ?ABC AQ= ? sin(45? ? ?ABC )40 2 ?10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10由于 AE=55&40=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt ?QPE 中，PE=QE?sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC )?= 15 ? 所以船会进入警戒水域.5 ? 3 5 ? 7. 5（3）在（2）的条件下，令 cn ? 2 n ， d n ? 2 n ,问不等式 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n 是否对 n ∈N+恒ab成立？请说明理由． 20．解： （1）依题意， [18 ? (m ? 1) ? 18] ? 36 ? (m ? 14 ? 14)d 2 ? 45 ，2即 (18m) ? md 2 ? 9 ，29 ? 2 18 2 ? 9 ? 108 ； m 9 1 等号成立的条件为 18 2 m ? ，即 m ? ， m 6即 d 2 ? 18 2 m ?? m ? N * ，?等号不成立，?原命题成立．????????5 分第 59 页 共 147 页（2）由 S14 ? 2S k 得： S k ? S14 ? S k ，即： 则 9k ? 18 ? (15 ? k ) ，得 k ? 1018 ? 0 36 ? 0 ?k ? ? (14 ? k ? 1) ， 2 2d1 ?10 分0 ? 18 36 ? 0 ? ?2 ， d 2 ? ? 9 ，则 a n ? ?2n ? 20 ， bn ? 9n ? 90 ；???? 9 14 ? 10ab（3）在（2）的条件下， cn ? 2 n ， d n ? 2 n ， 要使 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n ，即要满足 (c n ? 1)( d n ? 1) ≤0， 又 cn ? 220? 2 n ? 410? n ， d n ? 29 n ?90 ? 512n ?10 ，∴数列 {c n } 单调减； {d n } 单调增， ①当正整数 n ? 9 时， c n ? 1 ? 0 ， d n ? 1 ? 0 ， (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 ； ②当正整数 n ? 11 时， c n ? 1 ? 0 ， d n ? 1 ? 0 ， (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 ； ③当正整数 n ? 10 时， c n ? 1 ? 0 ， d n ? 1 ? 0 ， (cn ? 1)( d n ? 1) ? 0 ， 综上所述，对 n ∈N+，不等式 c n d n ? 1 ≤ cn ? d n 恒成立．??16 分 21．解： （Ⅰ）依题设，f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+2? ). 6由 1+2sin(2x+3 ? ? )=1－ 3 ，得 sin(2 x + )=－ . 2 6 6? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ，∴- ≤2x+ ≤ ，∴2x+ =- ， 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4∵（Ⅱ）函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m，n)平移后得到函数 y=2sin2(x－m)+n 的图象，即函 数 y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+ ∵|m|&? ? ，∴m=- ，n=1. 2 12? )+1. 1222．解： “抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A，由题意 （I）P ( A) ?1 2 1 C2C62 ? C2 C6 9 ? C83 14（II） “抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B，则P( B) ?2 1 C2 C6 3 ? 3 C8 28第 60 页 共 147 页（III） “抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C， “抽出的 3 张卡片上有两个数字相同” 的事件记为 D，由题意，C 与 D 是对立事件，因为P( D) ?1 1 C4C32C6 3 ? C83 7所以P(C ) ? 1 ? P( D) ? 1 ?3 4 ? . 7 723．解：如图，以 D 为原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz ． 则 DA ? (1 0， ， CC ? ? (0，1) ． ， 0) 0， 连结 BD ， B?D? ． 在平面 BB?D?D 中，延长 DP 交 B?D? 于 H ．??? ????? ?zD????? ? 1)( 设 DH ? (m，m， m ? 0) ，A?H PC?B?DA 由已知 ? DH， ?? 60 ，????? ??? ? ?DC By， 由 DA ? DH ? DA DH cos ? DA DH ?可得 2m ? 解得 m ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ?A2m 2 ? 1 ．???? ? 2 2 ? ? 2 1? ，所以 DH ? ? ? 2 ，2 ， ． ? 2 ? ?x2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ???? ? ? 2 2 ? ?? 2 （Ⅰ）因为 cos ? DH， ， CC ? 2 1? 2CC 所以 ? DH， ? ?? 45 ．????? ???? ? ?即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 ．?1， （Ⅱ）平面 AA?D?D 的一个法向量是 DC ? (0，0) ．????2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ???? ? 1 2 2 因为 cos ? DH， ?? DC ? ， 2 1? 2DC 所以 ? DH， ?? 60 ．????? ???? ?可得 DP 与平面 AA?D?D 所成的角为 30 ．?24．解： （Ⅰ）由 a ? 2b sin A ，根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ，所以 sin B ?1 ， 2第 61 页 共 147 页由 △ABC 为锐角三角形得 B ?π ． 6? ? ? ? ? A? ? ?（Ⅱ） cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ??? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ?1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? ． 3? ?由 △ABC 为锐角三角形知，? ? ? ? ? ? ? A? ?B， ?B ? ? ? ． 2 2 2 2 6 3 2? ? ? ? A? ? ， 3 3 6所以1 ?? 3 ? sin ? A ? ? ? ． 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3， 2 3? 2 ?? 3 3? ? 2 ， ?． 2? ? ?由此有所以， cos A ? sin C 的取值范围为 ?25．解: (Ⅰ)记&甲投进&为事件 A1 ， &乙投进&为事件 A2 ， &丙投进&为事件 A3， 2 1 1 则 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ， 5 2 3 ∴ P(A1A2A3)=P(A1) ? 2) ? 3) = P(A P(A 3 ∴3 人都投进的概率为 25 (Ⅱ) 设“3 人中恰有 2 人投进&为事件 B P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()? 2)? 3)+P(A1)? P(A3)+P(A1)? 2)? P(A P(A P()? P(A P() 2 1 3 2 1 3 2 1 3 19 =(1－ )× × + × (1－ )× + × × (1－ ) = 5 2 5 5 2 5 5 2 5 50 19 ∴3 人中恰有 2 人投进的概率为 50 26．以 D 为原点，射线 DA，DC，DD′分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D－ xyz．由已知得 DF ? 1 ? b ，故第 62 页 共 147 页2 1 3 3 × ×= 5 2 5 25A(1， 0) ， A?(1，1) ， D(0，0) ， D?(0，1) ， 0， 0， 0， 0， P(1， b) ， Q(11，b) ， E (1 ? b，0) ， 0， ， 1， F (1 ? b，0) ， G (b， ， H (b，1) ． 0， 11) ， 0，（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得z HD?C?A?P A xB?D FGQ C B E y??? ? ??? ? PQ ? (0，0) PF ? (?b， ? b) ， 1，， 0， ???? PH ? (b ? 1，1 ? b) ， 0， ???? ? ???? ? AD? ? (?1，1) A?D ? (?1， ? 1) ． 0，， 0， AD 因为 AD??PQ ? 0， ??PF ? 0 ，所以 AD? 是平面 PQEF 的法向量． A 因为 A?D?PQ ? 0，?D?PH ? 0 ，所以 A?D 是平面 PQGH 的法向量．因为 AD??A?D ? 0 ，所以 A?D ? AD? ，???? ??? ? ????? ??? ? ????? ????? ??? ? ????? ???? ????? ????? ???? ? ????? ????? ?所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直． ????????????????????????? 4 分 ??????????? ?????????? ???? ?????????? ??????????? ????EF ?， （Ⅱ）证明： 因为 EF ? (0， 1 0) ，所以 EF ∥ PQ， = PQ ，又 PF ?PQ ， 所以 PQEF 为矩形，同理 PQGH 为矩形． 在所建立的坐标系中可求得 PH ? 所以 PH ? PF ???? ???? ???? ???? ? ????? ??? ?? ? ? ? ?????????? ? 2(1 ? b) ， PF ? 2b ，????? ???? ????? ? 2 ，又 PQ ? 1 ，所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ，是定值． ????????????????? 分 ??????????? ????? 8 ?????????? ??????0， （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 AD? ? (?1，1) 是平面 PQEF 的法向量．由 P 为 AA? 中点可知， Q，E，F 分别为 BB? ， BC ， AD 的中点．???? ?1， 所以 E ? ，0 ? ， D?E ? ? ， ? 1? ，因此 D?E 与平面 PQEF 所成角的正弦值等于 1， ???? ???? ? ? 2 | cos ? AD?， ?E ?|? D ． 227．解： （1） △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ，由 A ? 应用正弦定理，知?1 ?2? ????? ??1 ?2? ?? 2? ． ，B ? 0，C ? 0 得 0 ? B ? ? ?第 63 页 共 147 页AC ?BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x ， ? sin A sin ?BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?． sin A ? ? ?AB ?因为 y ? AB ? BC ? AC ， 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?， 3 ? ? ? ? ?? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?（2）因为 y ? 4 ? sin x ?? ? ??? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?所以，当 x ?? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?， ? ? ? ??? ? ? ? ，即 x ? 时， y 取得最大值 6 3 ． ? ? ?28．解： （I）任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为P3 (2) ? C32 ? 0.92 ? 0.1 ? 0.243.（II）解法一：记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A， “任取乙机床的 1 件产品是正品” 为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件，其中至少有 1 件正品的概率为P( A.B) ? P( A.B) ? P( A.B) ? 0.9 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.1? 0.95 ? 0.995.解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为 z D1 A1 B11 ? P( A.B) ? 1 ? 0.1? 0.05 ? 0.995.29．以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz ．C12，， 2，， 2，， 0， 依题设， B(2， 0) C (0， 0) E (0，1) A1 (2， 4) ．D A ???? ???? ? ???? ??? ? 2， DA 0， x DE ? (0，1) DB ? (2， 0) ， A1C ? (?2， ? 4)， 1 ? (2， 4) ．----3 分 2，， 2， （Ⅰ）因为 A1C ? DB ? 0 ， A1C ? DE ? 0 ， 故 AC ? BD ， A1C ? DE ． 1 又 DB ? DE ? D ， BE C y???? ??? ????? ????所以 A1C ? 平面 DBE ． ???????????????????????????????????6 分 ??????????? ?????????? ??????????? ??? ?????????? ??????????? ??????????? ??第 64 页 共 147 页（Ⅱ）设向量 n ? ( x，y，z ) 是平面 DA1 E 的法向量，则???? ? ???? n ? DE ， n ? DA1 ．故 2 y ? z ? 0 ， 2x ? 4z ? 0 ． 令 y ? 1，则 z ? ?2 ， x ? 4 ， n ? (4，? 2) ． ??????????????????????? 分 ??????????? ?????????? ? 9 ?????????? ??????????? ? 1，???? ? n，1C ? 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角， A ???? ???? n ? A1C 14 ． cos ? n，1C ?? ???? ? A 42 n A1C所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos 30．解： （1）? tan C ? 3 7， ? 又? sin C ? cos C ? 12 214 ． 42sin C ?3 7 cos C1 8 ? tan C ? 0 ，?C 是锐角． 1 ? cos C ? ． 8 ??? ??? 5 ? ? （2）? CB ? CA ? ， 2 5 ? ab cos C ? ， 2 ?ab ? 20 ． 又? a ? b ? 9解得 cos C ? ? ．? a 2 ? 2ab ? b2 ? 81 ． ? a 2 ? b2 ? 41． ? c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 ．?c ? 6 ．31．解： （I）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P ( A) ?2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2 ? ? ? . 2 C4 C5 6 10 60（II）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B ， “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 ， “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意，得第 65 页 共 147 页P( B) ? 1 ?3 1 ? . 4 4P( B1 ) ?2 1 1 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C 1? C 1 ? 2 ? 2? 2 2 n ? 2 2 C4 Cn ? 2 C 4 Cn ? 2 3 (n ? 2 ) (? n; 1)P ( B2 ) ?2 2 C2 Cn n(n ? 1) ? 2 ? ; 2 C4 Cn ? 2 6(n ? 2)(n ? 1)2n 2 n(n ? 1) 1 ? 所以 P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ， 3(n ? 2)(n ? 1) 6(n ? 2)(n ? 1) 4化简，得 7n ? 11n ? 6 ? 0,2解得 n ? 2 ，或 n ? ?3 （舍去） ， 732．由（Ⅰ）知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E、 F 分别为 BC、PC 的中点，所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点，所以A（0，0，0） ，B（ 3 ，-1，0） ，C（C，1，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，E（ 3 ，0，0） ，F（3 1 , ,1 ） ， 2 2所以??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3, 0, 0), AF ? ( , ,1). 2 2设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),??? ? ?m ? AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ?m ? AF ? 0, ?? 3 x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2取z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1),因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A， 所以 BD⊥平面 AFC， 故 又??? ? BD 为平面 AFC 的一法向量.??? ? ， BD =（- 3,3, 0 ）??? ? ??? ? m ? BD 2?3 15 ??? ? ? ? . 所以 cos＜m, BD ＞= 5 | m | ? | BD | 5 ? 12第 66 页 共 147 页因为二面角 E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为15 . 533．解： （Ⅰ） f ( x) ? a? ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x ， b由已知 f ?π? π ?π? ? ? ? m ?1 ? sin ? ? cos ? 2 ，得 m ? 1． 2? 2 ?4? ? ? ? π? ?， 4?（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin ? 2 x ?π? ? ?当 sin ? 2 x ? ? ? ?1 时， f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ， 4? ?由 sin ? 2 x ?? ?? 3π ? π? ? ? ?1 ，得 x 值的集合为 ? x x ? kπ ? ，k ? Z ? ． 8 4? ? ?2 2 C2 C2 1 1 1 ? 2 ? ? ? . 2 C4 C5 6 10 6034．解： （I）记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A . P ( A) ?（II）记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B ， “取到的 4 个球只有 1 个红球”为事件 B1 ， “取到的 4 个球全是白球”为事件 B2 .由题意，得3 1 P( B) ? 1 ? ? . 4 4P ( B2 ) ?2 1 1 2 2n 2 C2 ? C 2 Cn C 2 C21? Cn 1 P( B1 ) ? ? 2 ? 2? ? 2 C4 Cn ? 2 C 4 Cn ? 2 2 3 (n ? 2 ) (? n; 1)2 2 C2 Cn n(n ? 1) ? 2 ? ; 2 C4 Cn ? 2 6(n ? 2)(n ? 1)所以 P( B) ? P( B1 ) ? P