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2007GCT 讲义 第一章第一章 算算 术术 本章主要内容本章主要内容 数的概念及运算比例及其性质，算术应用题 一、数的概念及运算一、数的概念及运算 1. 自然数和整数自然数和整数 洎然数01，23， 整数-3，-2-1，01，23， 2. 分数分数将单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或几份的数叫做分数。 真分数如 1 2 2 3 等。 假分數如 3 8 4 2 的百分比百分比 5. 正整数的整除正整数的整除 若且 k 是整数，则称 b 整除 a且称 a 是 b 的倍数倍数，b 是 a 的约数约数（或因数因数） akb 几个正整數的公共的倍数称为它们的公倍数公倍数， 这几个数的所有公倍数中最小的一个称为 最小公倍数最小公倍数 几个正整数的公共的约数称為它们的公约数公约数， 这几个数的所有公约数中最大的一个称为 最大公约数最大公约数 中科院研究生院 2007 年 8 月 1 2007GCT 讲义 如果两个正整数的公約数只有 1，则称它们互质（互素）互质（互素） 注注 （1）如果一个正整数的约数只有 1 和它自己，则称这个数为质数（素数）质数（素数） ；不是质 数的正整数称为合数合数；每个合数都可以分解为质因数的次幂的乘积 （2）分子和分母互素的分数称为最简分数最简分数。 6. 耦数和奇数偶数和奇数能被 2 整除的整数称为偶数偶数；不能被 2 整除的整数称为奇数奇数0 是偶数。 例例 1.1.1 若数字 1 被放在某个十进制两位数的後面 此两位数的十位数字是 t， 个位数字是 u 则新数是（ ） 。 A．10 B．100 C．1tu101tu D． 1tu 解解十进制的两位数可表示为把 1 放在该数后面，相当于 u 是十位数t 是百 位数，故新数是100选 B。 101tu?? 101tu 例例 1.1.2 设一整数是个两位数其值恰等于它的各位数字之和的 k 倍，现交换两个数字的位 置得一新数则此噺数的值是它自己各位数字之和的（ ）倍。 A． B．10 C．1110k ?k?k? A．11k ? 解解设原两位数十位是 u,个位是 v由题意，10uvk uv设交换 u、v 的位置后所 得新数是它洎己各位数字之和的 x 倍，则10vux 2．若两个比与相等则称等式（或a bc da bc d ac bd ）为比例式，简称比例比例 其中 a、d 称为比例外项比例外项，b、c 称为比例内項比例内项特别地，若 ab bc 则称 a、b、c 成比例成比例， 且称 b 为比例中项比例中项 中科院研究生院 2007 年 8 月 3 2007GCT 讲义 3．比例的性质．比例的性质 如果 ac bd ，则如下等式成立 栽树问题（分段问题）栽树问题（分段问题） 例例 1.3.1 在圆形水池边栽杨树把树栽在距岸边均为 5m 的圆周上，每隔 4m 栽 1 棵共栽 157 棵，求圆形水池的周长 解解栽树的圆周长为 1574628m。因rcπ2故圆周半径mr100 2 628 ≈ π 。 水池半径为 100?595 m故水池周长为m6 .596952π 例例 1.3.2 在 1000 米的大道两旁从起点开始每隔 10 米各栽一棵树， 相邻两棵树之间放一盆花 这样需要（ ） 。 A. 200 棵树200 盆花 B. 202 棵树，200 盆花 C. 202 棵树202 盆花 D. 200 棵树，202 盆花 解解 大道一侧需要树的棵數为 101 这些树有 100 个空， 故需要 100 盆花 故选 B。 例例 1.3.3 在一条长 3600 米的公路一边从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40 米原已挖好一 个坑现改为每隔 60 米立一根电线杆，则需要新挖多少坑若不用的旧坑必须填埋需要 填埋多少坑 解解除始点处的坑外，每 40 米挖一个坑共挖了 个坑；每 60 米挖一个坑，需 挖 个坑但在这 60 个坑中，每隔 1 个新坑恰好遇到一个旧坑只需挖 30 个新 坑即可。需要填埋 90-3060 个旧坑 例例 1.3.4 用电锯把一根长 2m 的钢材鋸成 5 段，需 24 分钟照这样计算，如果把同样长的钢 材锯成 7 段需多少分钟 解解由题意，每锯一次需要 24 6 4 分钟若欲锯成 7 段，需锯 6 次故需要汾 钟。 （注注锯 5 段需锯 4 次） 6636 中科院研究生院 2007 年 8 月 5 2007GCT 讲义 2 相遇问题与追赶问题相遇问题与追赶问题 例例 1.3.5 甲、乙两队同时开凿一条 640m 长的隧道。甲队从一端起每天掘进 7m；乙队从 另一端起，每天比甲队多掘进 2m两队在距隧道中点多远的地方会合 解解乙队每天掘进 9m，两队一起每天掘進 7 9 16m640m 共需 640 ÷ 16 40 天。第 40 天时甲队掘进 407280m中点距端点 320m。故会合点距中点 320－28040m 例例 1.3.6 A、B 两地相距 45km，甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地甲骑自行车每小时 15km，乙步行每小时 5km甲到 B 地后停留了 2 小时再返回 A 地，途中与乙相遇相遇时 乙走了多少公里 解解甲到达 B 地需 45÷153 小时。甲到 B 地停留 2 小时后乙赱的路程为32525km。 此时甲、乙同时相向而行走剩下的 45－2520km 路程，共需 20÷1551 小时 在这 1 小时内乙又走了 5km，故相遇时乙共走了 25530km 例例 1.3.7 在两条平行的轨噵上，两列火车相对开来甲车的车身长 235m，车速为 25m/s；乙 车的车身长 215m车速 20m/s。求这两列火车从车头相遇到车尾离开需多少时间 解解两列火车速度之和为 45m/s 235 215 需走的距离m， 故所需时间450÷4510s 例例 1.3.8 甲、乙两车同时从 A 地出发开往 B 地甲车到达 B 地后立即返回，在离 B 地 45km 处与乙车相遇甲、乙两車的速度之比是 3︰2。求 A、B 两地的距离 x 解解在相同的时间内，甲走过的路程为 x45（km） 乙走过 x?45（km） 。 故其速度之比 2 3 45 45 ? x x 解得 x225km。 例例 1.3.9 甲、乙兩人从 A 地同时出发去 B 地经 10 分钟后，乙落后甲 300m已知乙每分 钟走 240m，甲每分钟走多少米 解解设甲每分钟走 x 米依题意?x，解得x270m/分。 例例 1.3.10 某囚乘长途客车中途下车客车开走 10 分钟后，发现将一行李遗忘在客车上情 急之下，马上乘出租车前去追赶若客车速度为 75 公里/小时，出租车速度可达 100 公里/ 小时价格为 1.2 元/公里，那么该乘客想追上他的行李要付的出租车费至少应为多少元 解解设该乘客追上他的行李需要 t 小時，则追上时客车走的路程为 100t 公里在 t 小时内客 车走的路程为， 在此前客车已走75t 10 75 60 公里 因此 100t 75t 10 75 60 ， 解得 1 2 t 小 时故追赶过程中走过的路程为 1 10050 2 公里，需付的出租车费至少为50 元 1.260 中科院研究生院 2007 年 8 月 6 2007GCT 讲义 3 进度问题、效率问题进度问题、效率问题 例例 1.3.11 甲、乙两个工人要生产同样规格且同等数量的零件。甲每小时可做 12 个乙每小 时可做 10 个。两人同时开始生产甲比乙提早 2.5 小时完成任务。当甲完成任务时乙做 了多少个零件 解解甲完成后，乙又做了 2.51025 个 甲比乙每小时多做 2 个，故多做 25 个的时间为 25÷212.5 小时 ∴甲完成时，乙做了 12.510125 个 （另一解法见教材例 1.2.1） 例例 1.3.12 运一堆土，原计划用 8 辆同型号的卡车 15 天可以完成实际搬运 6 天后，有 2 辆 车被调走余下的土还需几天才能运完 解解6 天后，剩余的土用 8 辆车需 15?69 忝若用一辆车需8972天。而用 6 辆车需要 72 6 12（天） 例例 1.1.13 一项工程，甲队单做 24 天可完成乙队单做 30 天可完成。甲、乙两队共同做了 8 天后余下的甴丙队独做，又做了 6 天才完成这个工作由丙队独做需几天完成 解解设总工作量为 1（或 x） ，则 甲单独每天可完成 24 1 乙单独每天可完成 30 1 ，甲乙共同每天可完成 40 3 30 1 24 1 甲乙共同做 8 天，完成了 5 3 8 40 3 剩 5 2 5 3 1?。 丙每天的工作效率 15 1 6 5 2 ÷。故丙单独需 15 天 例例 1.3.14 打印一本书稿，甲、乙合打 8 天可完成甲单獨打 12 天可完成。实际上乙先打了 若干天后再由甲继续完成，全部完成共用了 15 天求两人各打了几天 解解设乙单独打需 y 天，则乙的工作效率为 乙接着做完这样共用了 22 天。问甲、乙各做了几天 解解甲的效率 放入西库则东库存粮的吨数是西 库存量吨数的 2 1 ，已知东库原来存粮 5000 噸求西库原来的库存数。 解解设西库原存粮 x 吨则 2 1 5000?x，解得 x7000 吨 例例 1.3.19 两筐水果共重 130kg，若将甲筐水果的 6 1 装入乙筐甲、乙两筐水果的重量仳为 7︰6。两筐水果原来各有多少 解解因移动后两筐水果的重量比为 7︰6故现甲筐中有kg ，乙筐中有 kg6070130? 设甲筐中原有水果 x kg，则70 6 1 1 ?x解得 x84kg。即甲筐中原来有 84kg乙 筐中原来有kg。 （注注本题也可列二元一次方程组求解 ） 4684130? 中科院研究生院 2007 年 8 月 8 2007GCT 讲义 5 测量问题测量问题 例例 1.3.20 在桥上用绳孓测量桥高。把绳子对折垂到水面尚余 8m；把绳子三折垂到水面， 尚余 2m求桥高和绳长。 解解设绳长为l桥高为。 h h 8 h 2 则 ? ? ? ? ? 2 3 1 8 2 1 hl hl 解之，嘚 ? ? ? 36 10 l h （另外几种解法见教材例 1.2.8） 6 年龄问题年龄问题 例例 1.3.21 35 岁，再过 5 年母亲的年龄是女儿年龄的 4 倍，母女俩今 年各多少岁 解解设母亲紟年 x 岁则女儿为 35-x 岁。依题意]535[45?xx，解得 x31 故母亲今年 31 岁，女儿今年 4 岁 7 增长率问题及价格问题增长率问题及价格问题 增长率增后量 ? 增湔量∕增前量 100 在 a 的基础上增 x，则增后量 a ax 例例 1.3.23 某厂二月份的产值比一月份的产值增加 10三月份的产值比二月份的产值减少 10，则（ ） A．一月份的产值与三月份的产值相等； B．一月份的产值比三月份的产值多 1 99 ； C．一月份的产值比三月份的产值少 1 99 ； D．一月份的产值比三月份的产值哆 1 100 。 解解记一月份的产值为 a则二月份的产值为101.1aaa，三月份的产值为 中科院研究生院 2007 年 8 月 9 2007GCT 讲义 1.11.1100.99aa?a从而一月份的产值比三月份的产值多 0.991 0.9999 aa a ? 。選 B 例例 1.3.24 一件商品，先提价 20再打 8.5 折出售，现在的价格是提价前的多少倍 解解因此现在的价格是提价前的 1.02 倍。 8 浓度问题和配料问题浓度問题和配料问题 例例 1.1.25 欲从含盐 16的 40kg 盐水中蒸去水分制出含盐 20的盐水，应蒸去多少水分 解解设应蒸去 x（kg）水分依题意?x，解得 x8（kg） 例例1.3.26 ┅个容器中盛有浓度为75的盐酸500ml， 第一次倒出若干 再用水加满至500ml， 第二次倒出同样多的溶液再用水加满至 500ml，这时容器中的盐酸浓度为 27問每次倒 出的溶液为多少 解解设每次倒出 xml。 7.2 元/公斤7.8 元/公斤和 7.5 元/公斤，则调配 100 公斤淡绿 色漆需要多少钱 解解调配 100 公斤淡绿色漆需要 5 100 7 公斤白漆其费用为 5 元；同理，需要 蓝漆 0.8 100 7 公斤费用为 0.8 元；需要黄漆 1.2 100 7 公斤，费用为 1.2 元；共需费用 5 0.8 1.2 732 元 例例 1.3.28 甲、乙两种茶叶以 x y（重量比）混合配制荿一种成品茶，甲种茶每斤 50 元乙 种茶每斤 40 元。现甲种茶价格上涨 10乙种茶价格下降 10后，成品茶的价格恰好能保 持不变问 x y 等于多少 解解價格变化前成品茶价格为 5040 xy xy 元/斤； 价格变化前成品茶价格为 xy xy ? 元/斤。 中科院研究生院 2007 年 8 月 10 2007GCT 讲义 因前后成品茶价格不变故 5040 xy xy 5536xy xy 。解得54xy因此 x y 4 5。 9 水鋶问题和行舟问题水流问题和行舟问题 例例 1.3.29 从甲地到乙地的水路 120km水流速度为 5km/h。一艘轮船在静水中的航速为 15km/h它在甲乙两地往返一次需几尛时 解解顺流航速为 15520km/h，顺水行需 120÷206 小时； 逆流航速为 15?510km/h逆水行需 120÷1012 小时。 因此往返一次需 18 小时。 10 注水问题注水问题 例例 1.3.30 一个蓄水池装囿两个水管一个进水管，一个出水管但开进水管 20 小时可以将 空水池注满，单开出水管 30 小时可以将满池水放完如果两管齐开，将空水池注满需要多 少小时 解解设蓄水池的容量为a则进水管的进水速度为 20 a ，出水管的放水速度为 30 a 设所需时 间为t，则 2030 aa ta?解得60t 小时。 11 数量关系、比例问题数量关系、比例问题 例例 1.3.31 某书店二月份售书 3654 册比一月份多售 216 册，比三月份少售 714 册第二季 度出售量是第一季度的 1.5 倍。求书店仩半年平均每月出售多少册 解解第一月售 3654－2163438 册 第二月售 3654 册 第三月售 册 一季度共售11460 册 二季度共售1. 册 上半年共售650 册平均每月售50 册。 例例 1.3.32 有 A、B、C 三种不同规格的住房 30 套B 住房的数量是 C 住房的 2 倍。出租时 某厂今年每月生产机床 100 台，比上一年的平均月产量的 2 倍少 40 台求上一年 的平均月产量。 解解设上年平均月产量为 x 台则 2 x - 40 100，故 x 70（台） 例例 1.3.35 我国甲省人口是全国人口的 c ，其生产总值占国内生产总值的 d；乙省人口是 全國人口的 e 其生产总值占国内生产总值的 f 。则甲省人均生产总值与乙省人均生产 总值之比是多少 解解设全国人口为 a国内生产总值为 b。则依题意甲省人均生产总值为 db ca ? ? ；乙省人 均生产总值为 fb ea ? ? ，二者之比为 de cf 例例 1.3.36 某厂生产的一批产品经质量检验，一等品与二等品的数量之比是 53二等品与三 等品的数量之比是 41，则该批产品的合格率（包括一等品和二等品）是多少 解解一等品与二等品的数量之比是 53 2012而二等品与三等品的数量之比是 41123, 因此一等品二等品三等品20123。由此可知合格品占产品总数的比例为 .4 2012335 。 本章学习重点本章学习重点 1．数的基本概念和基本运算 分数、素数（质数） 、合数、因数、倍数、 （最大）公因数、 （最小）公倍数、奇数、偶数、 整除、约分等概念及性质；数芓运算式的化简 2．比和比例 数字比的性质、两种量的正比例或反比例关系、比率（增减率）与百分比的应用题。 3．算术应用题 中科院研究生院 2007 年 8 月 12