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11:53:49 发布 丨 691788 人浏览
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这些回复亮了
证明：以AB为边，作∠BAG=60°，则△ABG为等边三角形，联结CG，延长AG交边BC于点F，先证△CFG全等于△AFE（CF=FA，∠CFA是公共角，∠FCG=∠FAE=10°），则EF＝FG因为△ABG也是等边三角形，联结DF，DF＝EF，所以∠FED＝∠FDE=50°而∠AEF=30°所以∠DEA=50°-30°=20°回复：笨兜熊&我是一名初中数学老师，这道题我在竞赛题库中见过，初一学生就可以解决，利用全等和三角形内角和定理等几何知识可以解决，详细步骤我在几何画板软件中写好了，但是无法上传，谁能帮我？
我昨天也画图算了算，最后决定算了算了，还是坐等答案吧。
<div id="review_contents_度
最喜欢这样的几何题型了，一旦求证岀来，满满的都是成就感。
<div id="review_contents_度啊，几个都是等腰三角形
&20&&&&&一定是20&&一定不会错！！！！！！！！
<div id="review_contents_0
<div id="review_contents_°我用CAD画出来了~~
<div id="review_contents_嘛？
好像是0-150都可以哦
直接等答案，反正不想做。
各种答案&不同算法不同答案
请问这个“但是真的可以只用初等几何解粗来”是怎么来的，这个“初等几何‘解粗’”到底是什么，没听过啊
按学霸一的：X+Y=130.&Y+Z=140.得出Z=X+10.&又因为X+Z=130所以X=60°
同7楼，CAD可解，20°
X等于40度。
<div id="review_contents_°不解释
我解出来了，不信，你听～首先证明DCB跟DEA的钝角相等结果它们真的等的所以答案是30
没记错的话好像是当年初三的知识。可是我当年初中三年都是在睡觉中度过的，有记忆只因为抄作业记得一点。
Y-X=10&X+Y=50&so&X=20&Y=30
瞎算40度。
<div id="review_contents_°
楼主给的答案不对，180-20-y≠30+x,应该是20+y=30+x，x没有唯一答案，因为是不稳定的四角形
<div id="review_contents_°，简单几何难道不是吗
楼主给的答案不对，180-y-20≠x+30，应该是y+20=30+x，这道题没有唯一答案，因为是不稳定的四角形
我算了30度，楼上还有60的醉了，目测就是3,40度
<div id="review_contents_°
所谓的1级学霸的式子其实是对的，但是他解错了……按那个三元一次方程组解出来的x应该是20而不是60……
又提起笔算了算，用了2张纸，电脑上又画了一次图，花了一小时，系统提示：你已获得【学渣】称号
<div id="review_contents_°，不用算了，画一边不就知道了。。。。
<div id="review_contents_回复：showtimeda&所谓的1级学霸的式子其实是对的，但是他解错了……按那个三元一次方程组解出来的x应该是20而不是60……
。。。算了一会放弃了，看了评论看不懂
<div id="review_contents_度角，
学渣，虐的就是你。。。20度正解
看到就晕了
这个角度随着等腰三角形的大小变化而变化，三角形越大，角度就越大
三角形ACE和ADE貌似相似
……我突然觉得角度大小貌似是固定的，只有边长……然而……对我来说知道角度拿量角器画一遍再量已遍，嘿嘿OK.回复：陈灼&这个角度随着等腰三角形的大小变化而变化，三角形越大，角度就越大
你是对的.回复：趁虚而入&……我突然觉得角度大小貌似是固定的，只有边长……然而……对我来说知道角度拿量角器画一遍再量已遍，嘿嘿OK.回 ...
三分钟……我果然是头脑简单么
我只知道大于20都是错的！因为看图知道角度比20小。所以应该是无解的题！
设∠CED=a，∠EDB=b，∠CDE=c，根据初等几何知识可得方程组①40+b+c=180②a+x+30=180③x+b+50=180④20+a+c=180(为方便省略角度符号)；根据克拉默法则，求得D=0，原方程有无数解或无解，而很明显方程有解，所以x可为无数值。所以如果不算克拉默法则（当然可以不用，我是不想解四元一次方程而已），真的是初等几何知识可解啊，啊哈哈！你告诉我有哪个初等几何题会出现无数解的情况啊！(╯‵□′)╯︵┻━┻
<div id="review_contents_度，这也就初中一年级的题，我这学渣口算都出来了~~~~~
X=70度不要被三角形迷惑了，&还可以看四边形设定X所在三角形里面的对角是YY旁边的是Z，&&Z三角形里面的是A先来上面一个大四边形：Z+Y+X+A+50+20=360所以X+Y+Z+A=290另外几个条件的算法Y+Z=140&所以Z=140-YX+Y=130&所以X=130-Y另外A+Z=160&所以A=160-（140-Y）代入上面的算式：X+Y+Z+A=290（130-Y）+Y+（140-Y）+{160-（140-Y）}=290Y=60X+Y=130&所以X=70度
一级学霸的180－20－y=x+30,明明是（180－20－y）+（x+30）＝180，谁告诉一级学霸这是个直角的！！！回复：空即是色&楼主给的答案不对，180-20-y≠30+x,应该是20+y=30+x，x没有唯一答案，因为是不稳定的四角形
<div id="review_contents_0－20－y=x+30,明明是（180－20－y）+（x+30）＝180！回复：showtimeda&所谓的1级学霸的式子其实是对的，但是他解错了……按那个三元一次方程组解出来的x应该是20而不是60……
过D作DF//BA交BC于F，连接AF交BD于G，连接GE、AG。下述主要思路：证明三角形DFG为等边三角形、DF//BC、三角形BEF和三角形AGF全等，然后有EF=FG=DF。后面再证明∠DFE=80°，三角形DFE为等腰三角形，从而∠DEF=∠EDF=50°，又易得∠BEF=30°，从而x的角度就是20°。
三角形ABE内角和180°&&四边形ABED内角和360°&....
为什么大家能算出不同的解
因为这个解有无数个回复：走猫步的企鹅&为什么大家能算出不同的解
<div id="review_contents_.X唯一存在。因为改变边长只会得到相似三角形，角度是不会变的;而对于给定的一个三角形，D、E点确定，也就是说X是唯一确定的。2.但是依然不会解，大约20度吧。等解法+1
我不会告诉你&，算都不用算，就知道是20°
若X等于70度那么ABED就会是一个等腰梯形，请问等腰梯形的两条对角线所产生的夹角一个是60度一个是70度这样合理吗？回复：没事逗你玩&X=70度不要被三角形迷惑了，&还可以看四边形设定X所在三角形里面的对角是YY旁边的是Z，&&Z三角形里面的是A ...
<div id="review_contents_
不是&20度麼。。回复：十四&因为这个解有无数个回复：走猫步的企鹅&为什么大家能算出不同的解
<div id="review_contents_度，不解释
延长AB和ED
按照第一个图及一级学霸给出的思路应该是20度回复：sunshine&&20&&&&&一定是20&&一定不会错！！！！！！！！
等腰三角形，角度是固定的，线长就是固定的，夹角x的大小就被定死了，好不好，真是初中数学啊。
你好好想想好吗只有一个解这些角都是固定的回复：十四&因为这个解有无数个回复：走猫步的企鹅&为什么大家能算出不同的解
我算了个70°
我数学cong来不及格，但是推理可知：图形ABC是等腰，且角ADE是10度，角DCE是20度。根据三角形小角对应短边的原理，角x小于30度，且大于或等于20度；因为其他所有角都是10的整倍数，所以，取角X等于20度。
不想算答案~估计CAD可解~
才又绞尽脑汁用小学知识算了一遍：以点D向线段BE做一条垂线，很容易列出算法来。的确X等于20度。回复：中午酒&我数学cong来不及格，但是推理可知：图形ABC是等腰，且角ADE是10度，角DCE是20度。根据三角形小角对应短边的原理，角x小于30度，且大于或等于20度；因为其他所有角都是1 ...
<div id="review_contents_°，跟第一张图片设y,z。y+z=140，z+x=130，180-20-y=x+30，得出z=y=70，x=60
算法不知道，但用数学软件画出来是20度。
这个几何题有很多很多种做法，不要仅仅看图哪，辅助线啊辅助线！！下面是我的做法：在AC上找一点F使得∠CBF=50°，根据前面的结论，∠CEF=30°。而三角形BDC中的∠BDC也是30°。又∠ECD=∠DBF=20°，于是三角形BDF和三角形CEF相似，CF/EF=BF/DF。而∠BFC=50°，∠EFD=∠CEF+∠ECD=50°，结合前面的比例关系，于是三角形DEF和三角形BCF相似。这样的话，∠EDF=∠CBF=50°。我们要求的&&∠X=∠EDF-∠BDC=20°
式子不对啊，应该是x+30=y+20回复：showtimeda&所谓的1级学霸的式子其实是对的，但是他解错了……按那个三元一次方程组解出来的x应该是20而不是60……
这是选择题吧？
<div id="review_contents_°
发现60°和30°都是答案，不信你们代入算算看~
<div id="review_contents_.虽然我数学方面很差.看到这么多人的评论,我表示我笑了.180-70-60=50,对角相等50,180-90-50=40.哈哈....还是等答案吧.
<div id="review_contents_&&&我都没想过之后那些解答方式，果然读书太少
BEF和AGF都是直线，怎么变成全等三角形了？回复：apple_hby&过D作DF//BA交BC于F，连接AF交BD于G，连接GE、AG。下述主要思路：证明三角形DFG为等边三角形、DF//BC、三角形BEF和三角形AGF全等，然后有EF= ...
<div id="review_contents_度，我确定
我2013年做过这道题。待我翻翻我的笔记哈
我用UG8.0测量的度数是&24.3737°回复：豆豆doudou&我2013年做过这道题。待我翻翻我的笔记哈
经本人再三证明：X=30;
答案怎么还不粗来
我的解已经在上面给出了回复：sunshine&你好好想想好吗只有一个解这些角都是固定的回复：十四&因为这个解有无数个回复：走猫步的企鹅&为什么 ...
学霸一的等式中途被换掉了……按那个算你就上当了回复：天雨&好吧，正解来了。这个X的值是个范围，不是固定值（0~150），跟三角形的边长有关，可以代入一个角度试试。不信你以A点为中心把这个三角形放大，看看X是不是变了 ...
<div id="review_contents_度，只有15所有条件才符合！不信各位去试试！
<div id="review_contents_度
就没有人回复几何去获取答案的吗？不管你是学霸还是学渣，我知道这些年我学过的数学只有加减乘除在日常能用到了~好比买菜，花钱…
乃们真是够了，来一人赏个棒棒糖！
<div id="review_contents_可以证明相似
<div id="review_contents_
<div id="review_contents_，不用方程角CAB往外画出10，BD反向延长线交于AF,则三角形AFD于角AED全等，则角x=角AFB=180-90-60=30，哈哈
你的名字起得不错~真的。回复：疯癫小和尚&30，不用方程角CAB往外画出10，BD反向延长线交于AF,则三角形AFD于角AED全等，则角x=角AFB=180-90-60=30，哈哈
先用三次正弦定理,再把边都消去，得到关于x的三角方程，最后化简，tan(x)=tan20.&x=20度
不明觉厉...回复：lezdzh&先用三次正弦定理,再把边都消去，得到关于x的三角方程，最后化简，tan(x)=tan20.&x=20度
x=20度，正解
是二十度吗，180-90-20=70&180-70-60=50&70-50=20
我来证明，这是一个变化的值。我记得中学时有一个等式，俗称大边对大角的：&sin^a/&A&=&sin&^b&/&B看三角形ADE,其中角CAE&=&10度，是确定的，&角X未知用上面的定理&sinX&/&AD&=&sin10&/&DE&=&&sinX&=&sin10&*&AD&/DE因为AD/DE&的值是变化的，会随着最大的等腰三角形CAB而变化，所以sinX&不是一个固定值，即角X不定
E&做&AC&平行线&然后就出来了~~~
<div id="review_contents_?度???
<div id="review_contents_
第一个解法错了应该是20+y=30+x，居然列说180-20-y=30+x怎么可能，这两个角是互补的，如果又相等，不就都等于90°了么，解法一简直瞎扯
<div id="review_contents_
赞同回复：欢浅浅&X等于40度。
我是一名初中数学老师，这道题我在竞赛题库中见过，初一学生就可以解决，利用全等和三角形内角和定理等几何知识可以解决，详细步骤我在几何画板软件中写好了，但是无法上传，谁能帮我？
答案是20°，这是确定不变的。回复：笨兜熊&我是一名初中数学老师，这道题我在竞赛题库中见过，初一学生就可以解决，利用全等和三角形内角和定理等几何知识可以解决，详细步骤我在几何画板软件中写好了，但是无法上传，谁能帮我？
证明：以AB为边，作∠BAG=60°，则△ABG为等边三角形，联结CG，延长AG交边BC于点F，先证△CFG全等于△AFE（CF=FA，∠CFA是公共角，∠FCG=∠FAE=10°），则EF＝FG因为△ABG也是等边三角形，联结DF，DF＝EF，所以∠FED＝∠FDE=50°而∠AEF=30°所以∠DEA=50°-30°=20°回复：笨兜熊&我是一名初中数学老师，这道题我在竞赛题库中见过，初一学生就可以解决，利用全等和三角形内角和定理等几何知识可以解决，详细步骤我在几何画板软件中写好了，但是无法上传，谁能帮我？
其实很简单&设角EDC=Y&&&Y+10=X&&&X+30=Y+20&&&解这个2元1次方程就行啦&&X=20&&&SO&EASY
错了&&是X+10=Y回复：sss&其实很简单&设角EDC=Y&&&Y+10=X&&&X+30=Y+20&&&解这个 ...
你能告诉我X=20哪里算出来的&根据你的方程式回复：sss&其实很简单&设角EDC=Y&&&Y+10=X&&&X+30=Y+20&&&解这个 ...
我算的是20
<div id="review_contents_°
只需要证明角deb是70°就可得出ed垂直db设ae与db交点为点f可以接触角dfa为130°&直线的度数为180°&可以解出角efd=50°顾角x等于40°
角ADB为20,跟DBC一样,也就是说,CA与CB应该是平行的-&-无聊的几何所有这种图稍微画画就知道答案了,算个p
这是全等三角形的知识，当然是初等几何了……回复：十四&设∠CED=a，∠EDB=b，∠CDE=c，根据初等几何知识可得方程组①40+b+c=180②a+x+30=180③x+b+50=180④20+a+c=180(为方便省略角度符号) ...
从c做ab垂线，把能算的角都算了，设4个参x+y=130&&&y+z=40&&&w-z=10&&&w+x&=160&&&可得&&x=20&&&。什么都不用证明，就能求角度了
这道题是错的&假设中间那个交叉点为O，角AOB=70度&，&角EOB=110度三角形ABE中&角AEB为30度那么三角形BOE内角和为EOB+AEB+20=110+30+20=160&？？？？？？？？？？？？什么鬼？你们怎么解出答案的？
正解，初中数学吧里有十余种证明方法回复：笨兜熊&证明：以AB为边，作∠BAG=60°，则△ABG为等边三角形，联结CG，延长AG交边BC于点F，先证△CFG全等于△AFE ...
答案是对的，但显然是乱做回复：Glimis&角ADB为20,跟DBC一样,也就是说,CA与CB应该是平行的-&-无聊的几何所有这种图稍微画画就知道答案了,算个p
不是，你没充分挖掘所给的条件导致解无数了，虽说是求角度但只关注角是求不出来的。因为决定一个三角形的除了角还有边长。回复：十四&设∠CED=a，∠EDB=b，∠CDE=c，根据初等几何知识可得方程组①40+b+c=180②a+x+30=180③x+b+50=180④20+a+c=180(为方便省略角度符号) ...
<div id="review_contents_度~~~~~~~~~我看到一个80度的我直接醉了~那个角在翻倍都不到啊
有通用的公式吗？回复：笨兜熊&我是一名初中数学老师，这道题我在竞赛题库中见过，初一学生就可以解决，利用全等和三角形内角和定理等几何知识可以解决，详细步骤我在几何画板软件中写好了，但是无法上传，谁能帮我？
∠FCG=∠FAE&&&这个条件不成立的，这俩角不一定相等。除非整个大三角形是等腰三角形，恰好他不是。回复：笨兜熊&证明：以AB为边，作∠BAG=60°，则△ABG为等边三角形，联结CG，延长AG交边BC于点F，先证△CFG全等于△AFE ...
我们可以假设x是小于130度的任意度，然后推算其余角度，如果其余角全能算出来，就证明这样的情况在自然界是存在的，也就是说x可以是好多解。也就是说如果要算出x，必须还有其他已知条件。
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王小好神马的最没劲了～
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1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一
5、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a&0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
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1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论 任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆. 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积√3a／4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n兀R／180 145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) （还有一些,大家帮补充吧） 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根,有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积, L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
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