空间两条直线的位置关系（1）
教学目标：
1.了解空间两条直线的位置关系；
2.理解并掌握公理4及等角定理；
3.初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化
是处理空间问题的基本策略.
教材分析及教材内容的定位：
本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公
理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断
空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形
成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.
教学重点：
异面直线的定义，公理4及等角定理．
教学难点：
异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.
教学方法：
启发引导学生概括空间两条直线的位置关系，类比平面几何中的结论学习公理4及
等角定理．
教学过程：
一、问题情境
1．在平面几何中，两条直线的位置关系有哪些？观察教室中的墙角线、电棒等所在
的直线，说说空间两条直线有哪些位置关系？
2．如图，在正方体
中，指出下列两条直线
的位置关系：
．在上图中，∠
的两边和∠
的两边在位置上有何关系？这两角的大小
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、距空间不在同一平面上四个点等距的点的轨迹是
2、已知点A两面投影。a&、a&P皆在OZ轴上，投影a应在
A、在OX轴上
B、在OY轴上
C、在OZ轴上
D、在投影原点
3、距三条投影轴等距的点的轨迹是
4、当两条交叉线的公垂线为一铅垂线时，其两条直线的位置是
A、两条一般位置直线
B、两条水平线
C、两条侧平线
D、两条正平线
5、已知直线与正垂面垂直，该直线应是
B、一般位置直线
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、直角的投影特征可直接应用在下列哪组条件中?
A、两条一般位置交叉直线求公垂线
B、求两条一般位置平行线的距离
C、求一条一般位置直线与OX轴最短距离
D、求点到一正干线的距离
E、求一条一般位置直线与一点的距离
2、已知两条侧平线的V、H投影，判断它们是否平行可用下列哪组条件？
A、第三面投影法
B、点分线段成定比
C、符号排列顺序法
D、投影长度比值法
E、直角三角形法
3、在侧平面内能取哪些线?
A、一般位置直线
4、过铅垂线能作哪些平面?
B、一般位置平面
5、两平面相交，其交线是一条特殊位置直线时，两平面是什么位置平面
A、一般位置平面与铅垂面
B、两铅垂面
C、水平面与一般位置平面
D、正垂面与侧垂面
E、侧垂面与铅垂面
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、点的正面投影到X轴的距离反映了空间点到水平投影面的距离。
2、直线在三面投影体系中的位置，可分为投影面垂直线、投影面平行线、一般位置线。
3、两直线的相对位置可分为两直线相交、两直线平行、两直线交叉。
4、投影面垂直面的投影特征为在所垂直的投影面上积聚成直线,
反映与其它两个投影面的倾角,其它两个投影不反映实形,是面积缩小了的类似形。
5、若直线垂直于一平面,则该直线必垂直于平面内的一切直线。
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20分（满分20分），因未超过库中记录的成绩20分，本次成绩未入库。若对成绩不满意，可重新再测，取最高分。
测试结果如下：
<font COLOR="#.1 [单选] [对]
距空间不在同一平面上四个点等距的点的轨迹是
<font COLOR="#.2 [单选] [对]
已知点A两面投影。a&、a&P皆在OZ轴上，投影a应在
<font COLOR="#.3 [单选] [对] 距三条投影轴等距的点的轨迹是
<font COLOR="#.4 [单选] [对]
当两条交叉线的公垂线为一铅垂线时，其两条直线的位置是
<font COLOR="#.5 [单选] [对] 已知直线与正垂面垂直，该直线应是
<font COLOR="#.1 [多选] [对]
直角的投影特征可直接应用在下列哪组条件中?
<font COLOR="#.2 [多选] [对]
已知两条侧平线的V、H投影，判断它们是否平行可用下列哪组条件？
<font COLOR="#.3 [多选] [对] 在侧平面内能取哪些线?
<font COLOR="#.4 [多选] [对] 过铅垂线能作哪些平面?
<font COLOR="#.5 [多选] [对]
两平面相交，其交线是一条特殊位置直线时，两平面是什么位置平面
<font COLOR="#.1 [判断] [对]
点的正面投影到X轴的距离反映了空间点到水平投影面的距离。
<font COLOR="#.2 [判断] [对]
直线在三面投影体系中的位置，可分为投影面垂直线、投影面平行线、一般位置线。
<font COLOR="#.3 [判断] [对]
两直线的相对位置可分为两直线相交、两直线平行、两直线交叉。
<font COLOR="#.4 [判断] [对] 投影面垂直面的投影特征为在所垂直的投影面上积聚成直线,
反映与其它两个投影面的倾角,其它两个投影不反映实形,是面积缩小了的类似形。
<font COLOR="#.5 [判断] [对]
若直线垂直于一平面,则该直线必垂直于平面内的一切直线。
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《建筑制图与识图》第03章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、当截平面平行一正圆柱的轴向来截切该正圆柱时该截交线应是
2、当截平面截切正三棱柱截交线为一直角三角形时，截平面的位置应符合哪种关系？
A、截平面垂直于柱棱
B、截平面垂直于柱则面
C、截平面垂直于：柱侧面内一直线
D、截平面由柱侧面内一直线与过该直线端点作垂面，该垂面与相邻侧面交线组成
3、正立正圆锥与棱垂直于H面正三棱柱全贯，要求相贯线上最高点、最低点各自在等高面上时，锥轴与柱轴处于什么相对位置?
A、锥轴与柱轴平行
B、锥轴与柱轴平行，锥轴距柱侧面距离不相等
C、锥轴与柱轴重合
D、锥轴与柱轴平行，锥轴距柱两个侧面距离相等
4、两圆锥的相贯线为两条相交线时，两圆锥的位置是
A、两轴相交共底
B、两锥共顶
C、两轴共顶皆为正圆锥
D、两锥共顶又共底
5、两曲面体全贯，产生由椭圆组成的特殊相贯线时，该两曲面体必须是
A、轴相交的两个曲面体
B、轴相交，两个回转曲面体
C、轴重合的两个曲面体
D、轴相交，两个回转曲面体且共内切一个圆球
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、在圆锥面上有一点，已知它的一个投影，求其他投影的方法有
E、反纬圆法
2、水平三棱柱与竖直四棱柱全贯时，相贯线上最少顶点有多少?最多顶点有多少?
3、两立体相贯时，相贯线形式有
A、空间封闭曲线
B、平面封闭图形
C、空间封闭线
D、平面曲线组成的空间封闭曲线
4、立体相交通常分类有
A、平面立体与平面立体相交
B、平面立体与曲面立体相交
C、回转曲面体与平面立体相交
D、曲面立体与曲面立体相交
E、回转曲面体与非回转曲面体相交
5、立体相贯需确定哪些特殊点?
A、最左最右点
B、最高最低点
C、最前最后点
D、各素线上点
E、轮廓线上点
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、基本几何形体按照其表面的组成通常分为平面立体和曲面立体两大类。
2、表达圆柱体时最少需要两个视图来绘制,一个视图是不够的。
3、基本体表面上某一点的某面投影是否可见取决图于该点所在的表面投影是否可见。
4、曲面体是指全部由曲面围成的几何体。
5、三视图中的类似形通常就是指几个图形相似，对应边应成比例。
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《建筑制图与识图》第04章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、平螺旋面形成的条件是
A、母线为直线，一条曲导线，一条直导线
B、母线为直线，一条空间曲导线，一条铅垂线的直导线
C、母线为直线，一条正圆柱螺旋线为曲导线，一条铅垂线的直导线
D、母线为直线，圆柱螺旋线、铅垂线为导线，母线运动垂直于直导线
2、空间曲线的三个投影图是
A、三投影皆为曲线
B、H、V面为曲线，W面为直线
C、H、W面为曲线，V面为直线
D、V、W面为曲线，H面为直线
3、圆柱螺旋线的展开图是
C、非圆曲线
4、在侧垂面上圆(
α＝45°)时，圆在V面、H面上投影是
C、两投影面上椭圆全等
D、两投影面上椭圆不等
5、在铅垂面上(β＝45°
)有一椭圆，长轴：短轴二√2：1，长轴平行H面，则它在V面上投影图像是
B、小于实椭圆
C、圆、圆的直径等于短轴长
D、圆、圆的直径等于长轴长
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、在工程中常用的平面曲线和空间曲线有
E、圆柱螺旋线
2、形成圆柱螺旋面时，约束母线运动的条件是
C、圆柱螺旋线
3、正圆锥面的形成条件：母线应是什么线?母线与锥轴应
C、非圆曲线
4、曲面分类中，按母线的种类不同可分为
A、回转曲面
B、非回转曲面
C、直纹曲面
D、曲纹曲面
E、不可展曲面
5、双曲抛物面的形成条件是
C、两条交叉的直导线
E、一条直导线、一条曲导线
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动形成的。
2、一条直母线绕着与它相交的轴线旋转，所形成的曲面叫圆锥面。
3、一条直母线绕着与它交叉的轴线旋转，所形成的曲面叫单叶回转双曲面。
4、一条直母线绕着与它平行的轴线旋转，所形成的曲面叫圆柱面。
5、螺旋楼梯底面是螺旋面。
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《建筑制图与识图》第05章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、形成轴测投影体系的投影面数量为
2、正等测的轴测按：影面在坐标系中处于何位置?
A、平行XOZ坐标面
B、平行XOY坐标面
C、倾斜两个坐标面
D、倾斜三个坐标面
3、正等测轴向比例理论推导出的数值是
4、球的斜等测图形是
B、小于球半径的圆
D、椭圆，短轴等于球半径
5、正等测图所采用的投影法是
A、平行正投影法
B、中心投影法
C、平行斜投影法
D、直接斜投影法
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、正等测采用的理论推导轴向比例值是多少?采用的画图简化轴向比例值是多少?
2、绘制形体的轴测图，首先要确定哪些条件?
A、轴测投影方向
B、轴向比例
C、轴测轴的配置
3、轴测图分类依据的条件是
A、投影中心
B、投影方向
C、投影面数量
D、轴向变形体系
4、在斜轴测投影体系中，直线的投影长度可能是
A、大于实长
B、等于实长
C、小于实长
D、积聚为一点
E、无法确定
5、斜二测图的轴间角及轴向变形系数为
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、（本题空白。您可以直接获得本题的1分）
2、（本题空白。您可以直接获得本题的1分）
3、（本题空白。您可以直接获得本题的1分）
4、（本题空白。您可以直接获得本题的1分）
5、（本题空白。您可以直接获得本题的1分）
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《建筑制图与识图》第06章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、工程字的宽：高为
2、GBJl—86中规定图标在图框内的位置
3、GBJl—86中规定角度尺寸数字写字方向是
B、单向水平方向
C、单向竖直方向
D、向心方向
4、在GBJl--86中A3幅面尺寸月B&L是
5、Ao图幅是A4图幅的多少倍
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、GBJl—86规定图框线的宽度为1．4mm，用于图幅为
2、在图面与图框尺寸中，c＝5mm，用于图幅为
3、试指出下列比例哪些是可用比例
4、GBJ1--86中规定图框线的宽度为1．0mm，用于图幅为
5、在图面与图框尺寸中，a＝25mm，用于图幅为
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、A2图幅b&l＝420&594，c＝5，a＝25。
2、相互平行的图线，其间隙不宜小于其中粗实线的宽度，且不宜小于0.7mm。
3、虚线与虚线交接或虚线与其它图线交接时，应是线段交接。
4、图样上的尺寸单位，均必须以毫米为单位。
5、尺寸界线、尺寸线、尺寸起止符号都用细实线绘制。
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《建筑制图与识图》第07章在线测试
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第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、组合体视图的读图方法有
A、形体分析法
B、尺寸分析法
C、线面分析法
D、投影分析法
E、局部分析法
2、组合体的尺寸分为
A、定形尺寸
C、定位尺寸
E、总体尺寸
3、投影图中的每一条线（直线或曲线）可以是：
A、垂直于投影面的平面的投影
B、垂直于投影面的曲面的投影
C、两表面的交线的投影
D、曲面的投影轮廓线的投影
E、平行于投影面的平面的投影
4、投影中的每一个封闭线框可以是：
A、一个平面的投影
B、一个曲面的投影
C、相切关系的平面与曲面的投影
D、通孔的投影
E、形体的投影
5、常用的剖面图的剖切方式有
A、全剖面图
B、半剖面图
C、阶梯剖面图
D、旋转剖面图
E、局部剖面图
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、读组合体的视图时，一般采用线面分析法，对于一些比较复杂的局部形状，还要采用形体分析法。
2、当组合体具有圆或圆弧结构时，为了确切地表达圆弧形状及中心和轴线位置，可以不标注该方向的总体尺寸。
3、投影中的每一个封闭线框表示的空间情况是一个平面或曲面。
4、从几何观点把物体（组合体）分解成某些基本几何体的分析方法，称为形体分析法。
5、投影图中的每条线表示的空间情况是垂直于投影面的平面。
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《建筑制图与识图》第08章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、能表示出形体上下和前后方位的投影图是
C、右侧立面图
D、背立面图
2、在六面图中哪个投影图所表示形体的方位与空间方位相反?
B、正立面图
C、右侧立面图
D、背立面图
3、在土建工程图中，细点划线一般表示
B、定位轴线
C、可见轮廓线
D、假想轮廓线
4、房屋施工图一般包括建筑施工图、结构施工图以及
A、门窗施工图
B、设备施工图
C、装修详图
D、模板详图
5、在土建施工图中，尺寸线的线型为
C、细点划线
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、在六面图中，投影图之间哪些组图要受“高平齐”的投影规律约束?
A、底面图与右侧立面图
B、正立面图与左侧立面图
C、背立面图与底面图
D、平面图与右侧立面图
E、正立面图与右侧立面图
2、在投影图中，“宽相等”是指着哪两个投影图之间的投影关系?
A、底面图与右侧立面图
B、平面图与右侧立面图
C、正立面图与左侧立面图
D、正立面图与背立面图
E、背立面图与底面图
3、在六面图中能表示出形体上下的有
B、正立面图
D、背立面图
E、右侧立面图
4、在六面图中能表示出形体的前后方位的图有
A、正立面图
B、左侧立面图
C、背立面图
5、在备选答案中所提各组投影图，按六面图图样排列位置，哪组图样不受“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律约束?
A、正立面图、平面图、右侧立面图
B、正立面图、底面图、左侧立面图
C、正立面图、平面图、左侧立面图
D、左侧立面图、右侧立面图、底面图
E、平面图、背立面图、右侧立面图
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、筑施工图的主要图样是多面正投影。　　
2、建筑施工图中采用的标高是绝对标高。
3、建筑施工图中的构件门的代号是M。
4、建筑施工图中的构件窗的代号是C。
5、建筑施工图中墙的定位轴线水平方向用字母从左至右书写。
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《建筑制图与识图》第09章在线测试
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第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分）
1、钢筋混凝土构件详图表达的主要内容包括配筋、结构构造以及
A、建筑装饰构造
B、预埋件及预留孔
C、厨卫设施的构造
D、结构构件的布置
2、在结构平面图中，构件代号TL表示
3、在钢筋混凝土构件详图中，构件轮廓应画成
4、在结构平面图中,构件代号YTL表示
5、楼层结构平面图的水平剖切位置在
第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分）
1、结构施工图一般包括哪些结构布置图和构件详图？
C、梁、板、柱
E、楼梯、雨篷
2、钢筋混凝土构件是用钢筋混凝土制成的
3、钢筋按其强度和品种分成不同的等级。常见的钢筋等级有：
A、&#8544;级钢筋
B、&#8545;级钢筋
C、&#8546;级钢筋
D、&#8547;级钢筋
E、&#8548;级钢筋
4、钢筋的尺寸标注一般标注钢筋的
5、常见的钢筋混凝土构件结构详图是指哪些构件？
第三题、判断题（每题1分，5道题共5分）
1、挡雨板或檐口板构件代号是YB。
2、墙身防潮层的位置一般在标高0.060处。
3、基础的埋置深度，是从室外地坪至基础底面的距离
4、现浇钢筋混凝土板的配筋图中，底层钢筋的弯钢应向上或向右。
5、结构施工图中预应力钢筋混凝土构件的代号，应在所标注的构件代号前加Y.
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资料概述与简介
1．2.2　空间两条直线的位置关系在天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线它们既不相交也不平行它们具有怎样的位置关系呢？旗杆与天安门广场、天安门广场与地面又有怎样的位置关系呢？1．空间的两条直线有如下三种关系：①相交直线：同一平面内有且只有一个公共点；②平行直线：同一平面内没有公共点；③异面直线：不同在任何一个平面内没有公共点．相交直和平行直线统称为共面直线．公理4.文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线空间中的等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行并且方向相同那么这两个角相等．异面直线所成的角：已知异面直线a、b经过空间中任一点O作直线a′∥a我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角)．,
一、空间两条直线的位置关系(1)共面：空间的几个点或几条直线如果共面的两条直线位置关系又分平行和相交两种．(2)异面直线：把既不相交也不平行的直线叫做异面直线．异面直线判定方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线．空间的两条直线的位置关系的判定是以平面的基本性质和推论为重要依据的位置关系的表示则是通过相关符号语言实现的以下几种常用的符号语言同学们要记牢．点A 在直线b上记作A∈b点B不在直线b上记作；②点B在平面α内记作B∈α点B不在平面α内记作B；③直线a在平面α内a?α，直线a不在平面α内记作a二、公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．用符号语言表示为：设a、b、c是三条直线公理4将平面内两条直线平行的传递性推广到了空间中是证明线线平行的重要依据之一．但要注意：并不是所有平面内的结论都能推广到空间中来．三、等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同那么这两个角相等．等角定理的实质是空间中角的平移角互补．其中“角的两边分别平行”这个条件要特别注意谨记等角定理的逆命题不成立．四、异面直线所成的角已知异面直线a、b经过空间中任一点O作直线a′∥a、b′∥b我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(夹角)．求异面直线所成角的一般步骤是：①根据定义作出或找出两异面直线所成的角；②使该角为某个三角形的内角；③解这个三角形从而求角．其中通过平移法作出其所成角是关键解答相关题目时要谨记异面直线所成角的取值范围．千万不要把相交直线所成的钝角作为异面直线所成的角．若求出的是钝角应取它的补角作为异面直线所成的角．
知识点一　空间两条直线之间的位置关系如图将无盖正方体纸盒展开直线AB、CD在原正方体中的所成角大小是________．解析：先把平面图形还原为正方体(如下图)然后根据图形就可以看出△ABC是等边三角形．答案：60一条直线与两条异面直线中的一条直线相交那么它与另一条直线之间的位置关系是________．解析：可用模型演示．答案：可能平行、可能相交、可能异面下列命题中其中正确的为________(填序号)．若两条直线没有公共点则这两条直线互相平行；若两条直线都和第三条直线相交那么这两条直线互相平行；若两条直线都和第三条直线平行则这两条直线互相平行；若两条直线都和第三条直线异面则这两条直线互相平行；若两条直解析：根据两条直线的位置关系知只有③正确．答案：③知识点二　平行公理及等角定理的判断与应用如果一个角两边与另一个角的两边分别平行并且方向不相同那么这两个角________．解析：根据等角定理但条件中方向相同变成了方向不相同答案：互补知识点三　异面直线及其所成角的概念两条异面直线指的是________(填序号)．空间中不相交的两条直线；分别位于两个不同平面内的两条直线；某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；不同在任何一个平面内的两条直线．解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行选项②③可以借助正方体(如下图A′B′与AB这两条直线平行．答案：④已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等求AB与CD所成的角的大小．解析：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N.连接PM、PN由三角形的中位线性质知PN∥AB于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角如右图所示．连接MN、AN、DN设AB＝2＝PN＝1.而AN＝DN＝则MN⊥AD＝1得MN＝＝＋NP＝90即异面直线AB、CD所成的角是90
综合点一　两直线位置关系的判断与证明正方体的12条棱______对．解析：正方体的每条棱与其他四条棱所在直线异面故共有＝24(对)．答案：24综合点二　平行公理的应用如下图木工师傅沿长方体木块ABCDA中棱BC和上底面的中心E将长方体木块锯开问怎样画线？解析：在面A内过点E作B的平行线与A、C分别相交于F、G连接BF、CG即可．综合点三　异面直线所成角的判断与求解如图正方体ABCDA中、F分别是AD、AA的中点．(1)求直线AB和CC所成的2)求直线AB和EF所成的角的大小．解析：(1)如下图连接DC就是AB和CC所成的角．＝45和CC所成的角是45(2)如上图连接DA是直线AB和EF所成的角．C1是等边三角形＝60即直线AB和EF所成的角是60如图若正四棱柱ABCDA的底面边长为2 高为4则异面直线BD与AD所成角的正切值是________．解析：∵BC∥AD为异面直线BD与AD所成角连CD则由正四棱柱性质可知∠BCD＝90又∵BC＝CD＝2＝4＝2＝＝即BD与AD所成角的正切值是答案：
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