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& 高考帮直播学科答疑：数学导数的知识点解答
对于数学导数还有很多疑问的同学看过来，高考帮本期答疑是数学导数的学习方法，爱智康马文超老师来为同学们进行答疑。下面是本次答疑汇总，希望对同学们学习数学有帮助。
一、导数问题
问题1：二次求导的具体方法？
爱智康马文超老师：当画不出来导函数的图像的时候，一般确定不了符号。这时候就需要二次求导，研究导函数的图像，确定符号。
问题2：老师怎样解导数第一题？
爱智康马文超老师：弄清切线问题，弄清基础的分类讨论。
问题3：是不是可以考虑不做第二问。
爱智康马文超老师：看情况，要是实在摸不清头脑就放弃，先攻克分数和攻克时间比值大的地方。
问题4：感觉第一问有时步骤都很多，又讨论参数又讨论变量的。
爱智康马文超老师：分类讨论是基本功，所以一定要扎实。
问题5：老师，麻烦问一下，导数题常考的题型有哪几种？
爱智康马文超老师：切线问题，分类讨论单调性，极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
问题6：导数第二问 全国卷一般能用分离参数那么做吗？
爱智康马文超老师：不一定，要是能一般需要二次求导。
问题7：老师，给我说下方便快捷且真确的求题方法？
爱智康马文超老师：没有什么捷径，只能稳扎稳打。
问题8：有些求导公式记不住该怎么办呢？死记吗？还有，需不需要把每道导数题都弄懂呢？为什么平常这导数的时候不会，可是看答案又觉得特别容易？
爱智康马文超老师：通过做题记忆，弄懂之后自己再做一遍，再去找找哪些属于相关习题，慢慢就好了。
问题9：老师，能简单全面地盘点一下导数大题一般都有哪些题型和解法么，谢谢！
爱智康马文超老师：导数首先把函数单调性的知识掌握好，然后再下手切线问题，多练习分类讨论单调性，然后极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
问题10：考试，我现在导数这一块几乎零基础。要从哪里开始学起？
爱智康马文超老师：如果其他知识也有问题，就去弄其他的吧，除了解析，要是都没问题，导数首先把函数单调性的知识掌握好，然后再下手切线问题，多练习分类讨论单调性，然后极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
问题11：导数是不是很难？对于成绩平平的人是不是该放弃？
爱智康马文超老师：是很难，先对能下手的掌握。
问题12：老师，今年的压轴题应该是哪些部分知识的题？
爱智康马文超老师：导数占很大成分。
问题13：导数的分类题目要怎样分类才确保不会有遗漏？
爱智康马文超老师：分类讨论大多数在图像走势（如斜率，开口），零点个数（如判别式）零点大小（如两根谁大谁小）和根是否在定义域内去考虑。
问题14：导数第一问的零点问题怎么解决啊？
爱智康马文超老师：通过研究单调性，确定极值点的符号，确定零点个数。
问题15：老师导数题需要大量做，找规律吗？
爱智康马文超老师：题海只是其中之一，重要的是在做题之后要总结。不然做再多也是白做。可以先做十道题，总结方法，然后再用下面的十道题检验这种方法。再总结。以此类推
问题16：老师，做导数题目分类讨论最主要是看什么呢？
爱智康马文超老师：分类讨论大多数在图像走势（如斜率，开口），零点个数（如判别式）零点大小（如两根谁大谁小）和根是否在定义域内去考虑。
问题17：第二问什么思想 和方法？
爱智康马文超老师：定点偏移，移项取函数值。
问题18：高考导数第二问给分原则是什么？
爱智康马文超老师：按照步骤给分，看看标准答案。
问题19：导数有什么套路吗？
爱智康马文超老师：导数首先把函数单调性的知识掌握好，然后再下手切线问题，多练习分类讨论单调性，然后极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
问题20：导数第二问该怎么学呀&
爱智康马文超老师：多练习分类讨论单调性，然后极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
问题21：导数的方法是？
爱智康马文超老师：导数首先把函数单调性的知识掌握好，然后再下手切线问题，多练习分类讨论单调性，然后极值最值，恒成立问题，零点问题，导数不等式。
本文作者： 和我一起学数学，你会发现数学简单的就和笑话似的，每次考试看到数学这一科都想笑。
数学专业出身，注重因材施教，知识本质方法的引导及讲解，智慧与幽默并存。
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温馨提示：高三学习压力加大，提前规划尤为重要。为此，同学们在学习过程中对本文或高三学习有任何疑问，均可向智康高考专家团寻求专业解答，直接与老师互动交流，我们将为每一位考生提供最为贴切的解决方案。参与方法：
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2017年2018年
高考关键词帮我看看这个二重积分求导怎么做？是对x求导，请写出过程。
首先里面那个积分??可以算出来，为-2x^2, 所以原式等于-2x^2从0到x 的积分，对它求导当然就等于 -2x^2
我没有看到过这样的题目，如果一定要做，只能求出这个二次积分以后再分别求偏导数。
这个二次积分的结果是：[xy(2ab-bx-ay)]/(2ab)
对x的偏导数：...
(1)交换积分次序无论用不用洛必达法则，不可能解出答案β=-1/2的。
估计你（或辅导书）在交换积分次序时，内层的上下限搞错了。
(2)按照你的补充问题回答，你...
To prove: ∫(0-&x)( ∫(0-&t) f(u) du) dt = ∫ (0-&x) f(t)(x-t) dt ∫(0-&x)( ∫(0-&t) ...
直角坐标系下面积元素是dσ=dxdy，即由【平行于坐标轴，即x=常数，y=常数】的两族坐标线围成的小矩形面积。
极坐标系下面积元素是由【θ=常数，r=常数】的两...
答: 100mgl等于多少ugml呢？去做孕检看到单位是这样的，我查了一下网上是这样的单位。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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这个不是我熟悉的地区2012届高考数学导数复习题(含答案解析)
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2012届高考数学导数复习题(含答案解析)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2012届高考数学导数复习题(含答案解析)
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 第十四章 导数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．已知某函数的导数为y′＝12(x－1)，则这个函数可能是&&&&&( )A．y＝ln1－x &B．y＝ln11－xC．y＝ln(1－x)&&&&D．y＝ln11－x答案：A解析：对选项求导．(ln1－x)′＝11－x(1－x)′＝11－x&#－x)－12•(－1)＝12(x－1).故选A.2．(;江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为&&&&&&&&( )A．4 &B．－14 &C．2 &D．－12答案：A解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.3．(;辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为&&&&&( )A．y＝x－2&&&B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3&&&D．y＝－2x＋1答案：D解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，∴k＝y′|x＝1＝－2.l：y＋1＝－2(x－1)，则y＝－2x＋1.故选D.4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为&&&( )A.94e2&&&B．2e2&&&C．e2&&&D.e22答案：D解析：∵y′＝ex，∴y＝ex在点(2，e2)的导数为e2.∴y＝ex在点(2，e2)的切线方程为y＝e2x－e2.y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝12×1×e2＝e22.故选D.5．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )&答案：D解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D.6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别&&&&&( )A．单调递增，单调递减B．单调递增，单调递增C．单调递减，单调递增D．单调递减，单调递减答案：C解析：y′＝16x－1x.当x∈(0，14)时，y′＜0，y＝8x2－lnx为减函数；当x∈(12，1)时，y′＞0，y＝8x2－lnx为增函数．7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是&&&&&&&( )①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③&&B．①②③C．②&&&&D．①②答案：D解析：由f(x)＞0⇒(2x－x2)ex＞0⇒2x－x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′(x)＝ex(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±2，由f′(x)＜0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＞0得－2＜x＜2，∴f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．单调增区间为(－2，2)．∴f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(－2)，故②正确．∵x＜－2时，f(x)＜0恒成立．∴f(x)无最小值，但有最大值f(2)．∴③不正确．8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)•f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上( )A．至少有三个实根&&&&B．至少有两个实根C．有且只有一个实根&&&D．无实根答案：C9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )A．－1＜a＜2&&&&&B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6&&&&D．a＜－1或a＞2答案：C解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．若f(x)有极大值和极小值，则Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，从而有a＞6或a＜－3，故选C.10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为&( )A.2033cm&&&&&&B．100cmC．20cm&&&&&&D.203cm答案：A解析：设高为h，则半径为202－h2，体积V＝13πr2h＝13π(202－h2)•h＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，V′＝－πh2＋2023π.令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，即当h＝2033时，V为最大值．11．(;河南省实验中学)若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的范围为&&&&&&&&&&( )A．(－∞，－1)&&&&&B．(－1,2)C．(1,2)&&&&&&D．(0,2)答案：C解析：f′(x)＝(x2－m)(m－2)(x2＋m)2＝(x－m)(x＋m)(m－2)(x2＋m)2由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2，选C.12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则b＋2a＋2的取值范围是&&&&( )A．(13，12)B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3)D．(－∞，－3)答案：C解析：由y＝f′(x)的图象知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，&点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A(－2，－2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是(12，3)，故选C.二、题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)13．(;武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________．答案：(－1e，0)14．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.答案：32解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，列表得：x&－3&(－3，－2)&－2&(－2,2)&2&(2,3)&3f′(x)&&＋&0&－&0&＋&f(x)&17&极值24&极值－8&－1可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.15．(;南京一调)已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________．答案：92解析：f′(x)＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92.16．(;淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)•(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．答案：(－1,0)解析：结合二次函数图象知，当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)17．(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)＝x－ln(x＋a)．(1)当a＝34，求函数f(x)的极大值和极小值；(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围．解析：(1)当a＝34时，f′(x)＝12x－1x＋34，令f′(x)＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，当x∈[0，14]时，f′(x)&0，当x∈(14，94)，f′(x)&0，当x∈(94，＋∞)时，f′(x)&0，∴f(x)极大值＝f(14)＝12，f(x)极小值＝f(94)＝32－ln3.(2)f′(x)＝12x－1x＋a，若f(x)为增函数，则当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，即a≥2x－x＝－(x－1)2＋1恒成立，∴a≥1.18．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝lnxx.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；(2)求y＝f(x)的最大值；(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．解析：(1)∵f(x)定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－lnxx2∵f(1e)＝－e，又∵k＝f′(1e)＝2e2，∴函数y＝f(x)的在x＝1e处的切线方程为：y＋e＝2e2(x－1e)，即y＝2e2x－3e.(2)令f′(x)＝0得x＝e.∵当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上为增函数，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，则在(e，＋∞)上为减函数，∴fmax(x)＝f(e)＝1e.(3)∵a＞0，由(2)知：F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min＝min{F(a)，F(2a)}，∵F(a)－F(2a)＝12lna2，∴当0＜a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，fmin(x)＝F(a)＝lna.当a＞2时，F(a)－F(2a)＞0，f(x)min＝f(2a)＝12ln2a.19．(本小题满分12分)设a＞0，函数f(x)＝x－ax2＋1＋a.(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．解析：(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝1－axx2＋1.要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f′(x)＝1－axx2＋1≥0在(0,1]上恒成立，即a≤x2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．因为1＋1x2在(0,1]上单调递减，所以1＋1x2在(0,1]上的最小值是2.注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，2]．(2)①当0＜a≤2时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数，此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)＝1＋(1－2)a.②当a＞2时，令f′(x)＝1－axx2＋1＝0，解得x＝1a2－1∈(0,1)．因为当0＜x＜1a2－1时，f′(x)＞0；当1a2－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1a2－1)上单调递增，在(1a2－1，1)上单调递减．此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2－1)＝a－a2－1.综上所述，当0＜a≤2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1＋(1－2)a；当a＞2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a－a2－1.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；(2)若当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．解析：(1)f′(x)＝1x2[xx＋1－1－ln(x＋1)]＝－1x2[1x＋1＋ln(x＋1)]．由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln(x＋1)＞0，得f′(x)＜0.因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．(2)解法一：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，令x＝1有k＜2[1＋ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3.下面证明当k＝3时，f(x)＞kx＋1(x＞0)恒成立．即证明x＞0时(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，则g′(x)＝ln(x＋1)－1.当x＞e－1时，g′(x)＞0；当0＜x＜e－1时，g′(x)＜0.∴当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0.∴当x＞0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．因此正整数k的最大值为3.解法二：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立．即h(x)＝(x＋1)[1＋ln(x＋1)]x＞k对x＞0恒成立．即h(x)(x＞0)的最小值大于k.由h′(x)＝x－1－ln(x＋1)x2，记Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)则Φ′(x)＝xx＋1＞0，∴Φ(x)在(0，＋∞)上连续递增．又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，∴Φ(x)＝0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)，由x＞a时，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a时，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：h(x)(x＞0)的最小值为h(a)＝(a＋1)[1＋ln(a＋1)]a＝a＋1∈(3,4)．因此正整数k的最大值为3.21．(;天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论．①若a＞23，则－2a＜a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x&(－∞－2a)，&－2a&(－2a，a－2)&a－2&(a－2，＋∞)f′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)& 极大值& 极小值&
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.②若a＜23，则－2a＞a－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x&(－∞，a－2)&a－2&(a－2，－2a)&－2a&(－2a，＋∞)f′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)& 极大值& 极小值&
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.22．(;保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnxx＋ax－1(a∈R)(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≤0在区间(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1－(lnx＋a)x2，∴k＝f′(1)＝1－a，又f(1)＝a－1，即切点坐标为(1，a－1)，所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为：y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2(a－1)．(2)结合(1)，令f′(x)＝0得x＝e1－a，由对数函数的单调性知：当x∈(0，e1－a)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．()当e1－a＜e2时，a＞－1时，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1－1，令ea－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，()当e1－a≥e2即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，∴f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝2＋ae2－1，令2＋ae2－1≤0，解得a≤e2－2，即a≤－1，综上可知，实数a的取值范围是a≤1.文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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2017届高考理科数学一轮练习：2.12导数的综合应用（含解析）
2017届高考理科数学一轮练习：2.12导数的综合应用（含解析）
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第十二节 导数的综合应用
【最新考纲】 会用导数解决实际问题能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题．
1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题一般地对于实际问题若函数在给定的定义域内只有一个极值点那么该点也是最2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路
3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间则不存在最优解．( )(2)函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点最少有一个交点．( )(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0则f(x)＞g(x)．( )(4)“存在x∈(a)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a)，使f(x)≥a”．(答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－＋81x－234则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )万件 ．万件万件
．万件解析：y′＝－x＋81令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0)时当x∈(9＋∞)时则当x＝9时有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．答案：3．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点则实数a的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是连续的故只需要两个极值异号即可(x)＝3x－3令3x－3＝0得x＝±1只需(－1)(1)<0，即(a＋2)(a－2)0，即f′(x)>0(x)在(0)上为增函数又∵0<a<b<(a)<f(b)．答案：f(a)<f(b)5．表面积为12的圆柱当其体积最大时该圆柱的底面半径与高的比为________．解析：因为12＝2＋2所以rh＋r＝6.所以V＝＝r(6－r)(0<r<)．由V′＝(6－3r)＝0得r＝当0<r<时；当时所以当r＝时取极大值也是最大值此时h＝2所以r∶h＝1∶2.答案：1∶2
一个“构造”把所求问题通过构造函数转化为可用导数解决的问题这是用导数解决问题时常用的方法．?两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不?两点注意注意实际问题中函数定义域的确定．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点那么根据实际意义该极值点就是最值点．
一、选择题1．(2016·潍坊模拟)方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数是( ) ．C．1
解析：设f(x)＝x－6x＋9x－10(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)由此可知函数的极大值为f(1)＝－6<0极小值为f(3)＝－10<0所以方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数为1个．答案：2．某公司生产某种产品固定成本为20 000元每生产一单位产品成本增加100元已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时年产量是( )由题意总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x来源：总利润P(x)＝来源：又P′(x)＝令P′(x)＝0得x＝300易知x＝300时总利润P(x)最大．答案3．若存在正数x使2(x－a)<1成立则a的取值范围是( )(－∞＋∞)
．(－2＋∞)(0，＋∞)
．(－1＋∞)解析：∵2(x－a)f(0)＝0－1＝－1的取值范围为(－1＋∞)答案：资源库 4若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1(0)＝4则不等式f(x)>＋1(为自然对数的底数)的解集为( )A．(0，＋∞)
．(－∞)∪(3，＋∞)(－∞)∪(0，＋∞)
．(3＋∞)解析：由f(x)>＋1得(x)>3＋构造函数(x)＝(x)－－3得F′(x)＝(x)＋(x)－＝[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)>1可知F′(x)>0即F(x)在R上单调递增又因为F(0)＝(0)－－3＝f(0)－4＝0所以F(x)>0的解集为(0＋∞)．答案：5．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax－3x＋1若f(x)存在唯一的零点x且x则a的取值范围是( )(2，＋∞)
．(1＋∞)(－∞－2)
．(－∞－1)解析：a＝0时不符合题意．a≠0时(x)＝3ax－6x.令f′(x)＝0得x＝0或x＝若a>0则由图象知f(x)有负数零点不符合题意．则a0知此时必有>0，即a×－3×＋1>0化简得a又a<0a0)．现已知相距18 的A两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x()．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1且x＝6时b的值．解：(1)设点C受A污染源污染程度为点C受B污染源污染程度为其中k为比例系数且k>0.从而点C处受污染程度y＝＋(2)因为a＝1所以＝＋＝k令y′＝0得x＝又此时x＝6解得b＝8经验证符合题意所以污染源B的污染强度b的值为8.10．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝a＋曲线y＝f(x)在点(11))处的切线方程为y＝(x－1)＋2.(1)求a；资源库(2)证明：f(x)>1.(1)解：函数f(x)的定义域为(0＋∞)(x)＝a＋－－1＋－1由题意可得f(1)＝2(1)＝故a＝1＝2.(2)证明：由(1)知(x)＝xln x＋－1.从而f(x)>1等价于x－x－设函数g(x)＝x则g′(x)＝1＋所以当x∈时(x)0.
故g(x)在上单调递减在上单调递增从而g(x)在(0＋∞)上的最小值为g＝－设函数h(x)＝x－x－则h′(x)＝－x(1－x)．所以当x∈(0)时(x)>0；当x∈(1＋∞)时(x)0时(x)>h(x)，即f(x)>1.已知函f(x)＝＋－ax－aR，其中a>0(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－2)内恰有两个零点求a的取值范围．解：(1)由题意得(x)＝x＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由f′(x)＝0得x＝－1＝a>0.当x变化时(x)，f(x)的变化情况如下表
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞－1)(a，＋∞)；单调递减区间是(－1)．(2)由(1)知f(x)在区间(－2－1)内单调递增在区间(－1)内单调递减从而函数f(x)在区间(－2)内恰有两个零点当且仅当解得0<a<所以a的取值范围是
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