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有意思吧版权所有2017年春季鲁教版五四制九年级数学下学期5.6直线和圆的位置关系学案3_百度文库
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2017年春季鲁教版五四制九年级数学下学期5.6直线和圆的位置关系学案3
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初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料(64)最大 最小值甲内容提要 1. 求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法： ①配方法：原函数可化为 y=a(x+b 2 4ac ? b 2 )+ . 4a 2a∵在实数范围内(x+b 2 ) ≥0， 2a4ac ? b 2 b 时， y 最小值= ； 4a 2a∴若 a&0 时，当 x=－若 a&0 时，当 x=－4ac ? b 2 b 时， y 最大值= . 4a 2a②判别式法：原函数可化为关于 x 的二次方程 ax2+bx+c－y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ ?≥0 即 b2－4a(c－y)≥0， 4ay ≥4ac－b2. 若 a&0，y≥4ac ? b 2 4ac ? b 2 ，这时取等号，则 y 为最小值 ； 4a 4a 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ，这时取等号，则 y 为最大值 . 4a 4a若 a&0，y≤有时自变量 x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方 法方便. 2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理： 定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四 分之一. 例如：两正数 x 和 y， 如果 x+y=10, 那么 xy 的积有最大值，最大值是 25. 定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平 方根的 2 倍. 例如：两正数 x 和 y，如果 xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是 8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法. 设 a&0, b&0, a+b=k . (k 为定值). 那么 ab=a(k－a)1 2 k2 =－a +ka=－(a－ k) + . 4 22当 a=k2 k 时，ab 有最大值 . 4 2证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设 a&0, b&0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么 y=a+k , aa2－ya+k=0.（这是关于 a 的二次议程方程） y2－4k≥0.∵ a 为正实数， ∴?≥0. 即(－y)2－4k ≥0，∴y≤－2 k (不合题意舍去)； y ≥2 k . ∴ y 最小值=2 k . 解方程组 ?? a ? b ? 2 k， ?ab ? k .得 a=b= k .∴当 a=b= k 时，a+b 有最小值 2 3.k.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相 等时，其和的值最大. 定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两 边相等时，其和的值最小. 定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同 周长的圆面积. 乙例题 例 1. 已知：3x2+2y2=6x, x 和 y 都是实数， 求：x2+y2 的最大、最小值. 解：由已知 y2=6 x ? 3x 2 , 2∵y 是实数， ∴y2≥0.6 x ? 3x 2 即 ≥0， 6x－3x2 ≥0， x2－2x ≤0. 2解得 0≤x≤2. 这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+6 x ? 3x 2 1 9 =－ ( x－3)2+ 2 2 2在区间 0≤x≤2 中，当 x=2 时，x2+y2 有最大值 4. ∴当 x=0 时，x2+y2=0 是最小值 . 例 2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法. 设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为 k. 那么 2(a+b)=ab=k.即1 ? ?a ? b ? k， 2 ? ? ?ab ? k .∴a 和 b 是方程 x2－1 kx+k=0 2的两个实数根.∵a, b 都是正实数，∴?≥0. 即(－k 2 ) －4k≥0. 2解得 k≥16；或 k≤0 . k≤0 不合题意舍去. ∴当 k≥16 取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是 16. 即这个矩形周长、面积的最小值是 16. 例 3. 如图?ABC 的边 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一个 矩形 EFGH，问 EH 取多少长时， 矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 解：用构造函数法 A 设 EH=x, S 矩形=y, 则 GH=y . xH X B E a D F C h G∵?AHG∽?ABC，y h?x ∴ x ? . a h ax(h ? x) a h ah ∴ y= . ? ? (x ? )2 ? h h 2 4 h ah ∴当 x= 时，y 最大值 = . 2 4 h ah 即当 EH= 时，矩形面积的最大值是 . 2 4例 4. 如图已知：直线 m ∥n，A，B，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点 P 在 AC 上，BP 的 延长线交直线 m 于 D. A B a n 问：点 P 在什么位置时，S?PAB+S?PCD 最小？ 解：设∠BAC=α ，PA=x, 则 PC=b－x. x ∵m∥n，∴CD PC . ＝ AB PA a(b ? x) ∴CD= m x 1 1 a(b ? x) S?PAB+S?PCD= axSinα + (b－x) Sinα 2 2 x=P bDCb 2 ? 2bx ? x 2 1 ) aSinα ( x ? x 2=b2 1 ? 2b) . aSinα (2x+ x 2∵2x ?b2 b2 =2b2 (定值)， 根据定理二，2x + 有最小值. x x b2 1 ， x= 2b 时， x 2∴ 当 2x =S?PAB+S?PCD 的最小值是 ( 2 －1)abSinα . 例 5.已知：Rt?ABC 中, 内切圆 O 的半径 r=1. 求：S?ABC 的最小值. 解：∵S?ABC=B1 ab 22∴ab ＝2S?.a∵2r=a+b－c,∴c=a+b－2r.2O r=1 bc A∴a+b－2r= a ? b.C两边平方，得 a2+b2+4r2+2ab－4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab－4(a+b)r=0. 用 r=1, ab=2S? 代入， 得 4+4S?－4(a+b) =0. a+b=S?+1. ∵ab=2S? 且 a+b=S?+1. ∴a, b 是方程 x2－(S?+1)x+2S?=0 的两个根. ∵a,b 是正实数， ∴?≥0， 即 [－(S?+1)]2－4?2S? ≥0， S?2－6S?+1≥0 . 解得 S?≥3+2 2 或 S?≤3－2 2 . ∴S?ABC 的最小值是 3+2 2 . 例 6.已知：.如图?ABC 中，AB= 6 ? 解：设 a+b=y , 则 b=y－a. 根据余弦定理，得 ( 6? S?≤3－2 2 不合题意舍去.2 ，∠C=30 ? .求：a+b 的最大值.2 )2=a2+(y－a)2－2a(y－a)Cos30 ?写成关于 a 的二次方程： (2+ 3 )a2－(2+ 3 )ya+y2－(8+4 3 )=0. ∵a 是实数， ∴?≥0. 即(2+ 3 )2y2－4(2+ 3 )[y2－(8+4 3 )]≥0， y2－(8+4 3 )2 ≤0 . ∴ －(8+4 3 )≤y ≤(8+4 3 ). ∴a+b 的最大值是 8+4 3 .b 30 a CAcB又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当 a=b 时，a+b 的值最大. 由余弦定理，( 6 ? 可求出 a=b=4+2 3 .C2 )2=a2＋b2－2abCos30 ????A cb30 aB丙练习 64 1. x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5 的最大值是＿＿＿＿＿＿. (1988 年全国初中数学联赛题) 2. 若矩形周长是定值 20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积 是______. 3. 面积为 100cm2 的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. a, b 均为正数且 a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________. 5. 6. 若 x&0, 则 x+9 的最小值是________. xABCD如图直线上有 A、B、C、D 四个点.那么到 A，B，C，D 距离之和为最小值的点，位于 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.. (1987 年全国初中数学联赛题) 7. 如右图?ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 Ⅱ 以 AB，BC，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积 B Ⅰ 的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. A C (1988 年全国初中数学联赛题)Ⅲ8.下列四个数中最大的是 ( （A） tan48 +cot48? ?)? ? ? ? ? ?..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . (1988 年全国初中数学联赛题) 2 9.已知抛物线 y=－x +2x+8 与横轴交于 B，C 两点，点 D 平分 BC，若在横轴上侧的点 A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则 AD 的取值范围是__________ C (1986 年全国初中数学联赛题) 10. 如图?ABC 中，∠C=Rt∠，CA=CB=1，点 P 在 AB 上， Q PQ⊥BC 于 Q.问当 P 在 AB 上什么位置时，S?APQ 最大？ 11. ?ABC 中，AB=AC=a，以 BC 为边向外作等边 A P B 三角形 BDC，问当∠BAC 取什么度数时 AD 最长？ 2 2 2 12. 已知 x +2y =1, x,y 都是实数，求 2x+5y 的最大值、最小值. 13. ?ABC 中∠B= 60 ，AC=1，求 BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值 k,求它的内切圆半径的最大值. 15. D，E，F 分别在?ABC 的边 BC、AC、AB 上，若 BD∶DC=CE∶EA=AF∶FA =k∶(1－k) (0&k&1). 问 k 取何值时，S?DEF 的值最小？ 16.?ABC 中，BC=2，高 AD=1，点 P，E，F 分别在边 BC，AC，AB 上，且四边形 PEAF 是平行四边形.问点 P 在 BC 的什么位置时，SPEAF 的值最大？ 练习 64?1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是 9，∵S?= 8. (A).1 ?3?2?SinBAC, 21 ， 8∠BAC=90 度时值最大.9. 3&AD≤9 S?=10. P 在 AB 中点时，S?最大值=x 2?x ? 2 2x 与 2 －x 的和有定值， 当 x= 2 －x 时，S?值最大. 11. 当∠BAC=120 度时，AD 最大，在?ABD 中，设∠BAD=α 由正弦定理AD a ? ? 2a ，当 150 ? －α =90 ? 时， AD 最大. Sin(180 ? 30 ? ? ) Sin30 ?12. 当 x=2 29 时，有最大值 ；当 x=－1 时，有最小值－2 (仿例 3). 5 10(仿例 6).13. 当 a=c 时，a+c 有最大值 2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值 r=( 2 －1) S ? 15. 当 k=1 1 1 时，S?DEF= S?ABC，16.当 PB=1 时，S 有最大值 . 2 4 2 1 16. 当点 P 是 BC 中点时，面积最大值是 . 2初中数学竞赛辅导资料（61）函数的图象甲内容提要 1. 函数的图象定义： 在直角坐标系中， 以自变量 x 为横坐标和以它的函数 y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数 y=f(x)的图象. 例如 一次函数 y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 l. y ① l 上的任一点 p0(x0,y0) 的坐标，适合等式 y=kx+b, 即 y0=kx0+b； l ② 若 y1=kx1+b，则点 p1(x1,y1) 在直线 l 上. 2. 方程的图象：我们把 y=kx+b 看作是关于 x, y 的 二元 P(x,y) 一次方程 kx－y+b=0, 那么直线 l 就是以这个方程的解为坐标 o 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程 ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a≠0,b≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程 y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程 y=xk (k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. x3. 函数的图象能直观地反映自变量 x 与函数 y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随 x 的增大而增大(或减小)；③ 函数 y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示 y&0,y&0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式 f(x)&0,f(x)&0 的解集和方程 f(x)=0 的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有 意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)， 所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成 几个解析式. 乙例题 例 1. 右图是二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)， 试决定 a, b, c 及 b2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a&0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－b &0 且 a&0, 2a∴b&0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距 c&0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b2－4ac&0. 例 2. 已知：抛物线 f：y=－(x－2)2+5. 试写出把 f 向左平行移动 2 个单位后，所得的曲线 f1 的方程；以及 f 关于 x 轴对称 的曲线 f2 的方程. 画出 f1 和 f2 的略图，并求： （1） x 的值什么范围，曲线 f1 和 f2 都是下降的； （2） x 的值在什么范围，曲线 f1 和 f2 围成一个封闭图形； （3） 求在 f1 和 f2 围成封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度的最大值. （1980 年福建省中招试题） 2 解：f1 ：y=－x +5 (由顶点横坐标变化确定的)， 2 f2 ：y=(x－2) －5 (由开口方向相反确定的). （1）当 x≥0 时，f1 下降， 当 x≤2 时，f2 下降， ∴当 0≤x≤2 时，曲线 f1 和 f2 都是下降的. （2）求两曲线的交点横坐标，2 ? ? y ? ? x ? 5， 即解方程组 ? 2 ? ? y ? ( x ? 2) ? 5.x2－2x－3=0 . ∴x=－1；或 x=3. ∴当－1≤x ≤3 时，曲线 f1 和 f2 围成一个封闭图形. (3)封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差. 在区间 C1≤x ≤3 内， 设 f1 上的点 P1(x,y1), f2 上的点 P2(x,y2)， 求 y1－y2 的最大值，可用配方法：y1－y2 ＝ (－x2+5)－[ (x－2)2－5] ＝－2x2+4x+6 ＝－2(x－1)2+8. ∵－2&0， ∴y1－y2 有最大值. 当 x=1 时，y1－y2 的值最大是 8. 即线段长度的最大值是 8. 例 3. 画函数 y= x ? 1 ? x ? 2 的图象. 解： 自变量 x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当 x&－1 时， y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1； 当－1 ≤x&2 时， y=x+1－(x－2)=3 ； 当 x ≥2 时， y=x+1+x－2=2x－1.?? 2 x ? 1( x ? ?1)； ? 即 y= x ? 1 ? x ? 2 = ?3( ?1 ? x ? 2)； ?2 x ? 1( x ? 2). ?x y=－2x+1(x&－1) y=3(－1≤x&2) y=2x－1(x≥2) ∴ 画函数 y= x ? 1 ? x ? 2 的图象如下图： ? ? －2 5 －1 3 3 3 3 5 ? 2 3 ?例 4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过 m 的最大整数. (1985 年徐州市初中数学竞赛题). 2 2 2 解：∵[x] ≥0， 且 [y] =1－[x] ≥0， ∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1. ∵[m] 表示不超过 m 的最大整数， ∴当[x]2=0 ? [x]=0 ? 0≤x≤1 . 当[x]2=1 ? [x]= ??? 1(?1 ? x ? 0)， ?1(1 ? x ? 2).自变量 x 的取值范围是：－1≤x&2.x [x] [x]2 2 2－1≤x&0 －1 1 0 0 0≤y&10 ≤x&1 0 0 1 －1 －1≤y&0 1 1≤y&21≤x&2 1 1 0 0 0≤y&1[y] =1－[x] [y] y如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象. 只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.例 5. 直线 y=x+m 与双曲线 y=m 在第一象限相交点 A，SRt?AOB=3. x① 求 m 的值 ； ②设直线与 x 轴交于点 C，求点 C 的坐标； ③求 S?ABC. 解： ①设 A 坐标为 (x, x+m). ∵ S?AOB=1 OB?BA. 21 ? 3 ? x ( x ? m) ? ? 2 ∴? ?x ? m ? m ? x ?整理得2 ? ? x ? mx ? 6 ? 0 ? 2 ? ? x ? mx ? m∴m=6 ② ∵直线与 x 轴交于点 C. 把 y=0 代入 y=x+6 得 x=－6, ∴点 C 的坐标是(－6，0) ③∵直线 y=x+m 与双曲线 y=m 在第一象限相交点 A， x?y ? x ? 6 ? 解方程组 ? 6 y? ? x ?得?? ? x ? ?3 ? 15 ? ? y ? 3 ? 15即点 A 的坐标是 (－3+ 15 ，3+ 15 ). ∴BC= ? 6 ? ? 3 ? 15 =3+ 15 ∴S?ABC= 例6.1 (3+ 15 )(3+ 15 )=12+3 15 . 2)选择题(只有一个正大确的答案). ①函数 y=kx+k 与 y=k 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( x② 函数 y=1－ x ? x2的图象是()解：①常数 k 是同一个值，.双曲线 y=k x在一、三象限，k&0, 那么 y=kx+k 中， (D)；当 k&0 时，直线上升且在 y 轴上的截距为正. 所以应选2②注意到 y=1－ x ? x 中， 当 x=0 和 x=1 时 y 有最大值 1，故选 (A). 丙练习 61 1. 填空：① 横坐标为－2 的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿. ② 点 P（x, y）关于横轴的对称点 P1 的坐标是（ ） ，点 P 关于原点的对称 点 P2 的坐标是（ ）. 2 ③ f：y=3(x－2) +5,关于横轴对称的抛物线 f1 记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线 f2 记作＿＿＿＿＿＿＿. ， ④ A（1，3）关于直线 y=x 的对称点 A 的坐标是（ ）. ， 点 B（－2，3）关于直线 y=－x 的对称点 B 的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 ① 直线 y=kx+b 经过二、一、四象限，则 k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线 y=ax2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号 a__, －b ______,b______,c_______, 2ab2－4ac______,4ac ? b 2 ______ 4a? b ? b 2 ? 4ac _____ 2a3. 选择题（只有一个正确的答案） （1）下图（1）是一次函数 px+qy+r=0 的图象，下列条件正确的是（ ）. （A）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. 2 （2）下图（2）是二次函数 y=ax +bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A）a+b+c=0. （B）a+b+c&0. （C）a+b+c&0. （D）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数 y=a(x+m)2+n 中，a&0 , m&0, n&0 它的图象（）(4) 两个一次函数 y=mx+n （ ）y=nx+m 且 mn&0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为5（D） （5）在同一坐标系内，y=ax+b 与 y=ax2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数 y+ax+b 和 y=ax2+bx+c 那么它们的图象是（ ） （1983 年福建省初中数学竞赛题）f?x? = 0.2 ??x+2???x-6?-54. 画下列函数的图象 ①y=x2 ； x②y=x2 ；③y=( x )2；④ y=－ x .5. 有 m 部同样的机器，同时开始工作，需要 m 小时完成某项任务.设由 x 部机器完成某一任务，求所需的时间 y(小时)与机器台数 x(x 为小于 m 的整数)的函数关系，并画出当 m=5 时函数的图象. 6. 画如下方程、函数的图象. ① x ? y ? 2 ；②y=x2－2|x|－3. 7. 这是一张追及图看图回答： ① ② ③ ④ ⑤ 谁追及谁？ 谁早出发，早几小时？ 甲、乙在这段路程速度各多少？ 追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？ 分别列出甲、乙两人的路程 y 甲，y 乙和时间 x 的函数 关系的解析式.8. 如图，抛物线 L1：y=ax2+2bx+c 和抛物线 L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示. ①.判断哪条抛物线经过 A、B、C 三点，说明理由； ②.求出点 B 和点 C 的横坐标； ③.若 AB＝BC，OC＝OD，求 a, b, c 的值 .C A B -1D1x2 x 9 ? ? 10 10 59. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y= 的图象上找出满足 y ? x 的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995 年全国初中数学联赛题)初三下 61 参考答案练习 61 1. ① x= － 2, x=0, y=0, y= － x, y=x ； ② (x,y),( － x, － y) ； 2 2 ③y=－3(x－2) －5, y=－3(x+2) －5 ④(3，1)，(－3，2) 2. ①k&0, b&0. ②正，负，正，负，负，正，负. 3. ①(A)， ②(B)， ③(B)， ④(C)， ⑤(D)， ⑥(C) 4. ①∵x≠0，∴图象不以过原点；② y≥0；③x≥0；④ y≤0.5. y=m2 (x 是正整数 x≤m=5). x6. （如图）7. ①乙追及甲； ②甲先 1 小时； ③时速甲 4、乙 5 千米； ④乙用 4 小时追上甲先走的 4 千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x 8. ①∵由图象 a,a+1 异号，∴L2 过 A，B，C 三点. ②－3，－1. ③－1 1 ，0， . 3 39. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6). 由 x2－x+18≤10 x . 当 x≥0 时，x2－x+18≤10x, x2－11x+18≤0, (x－2)(x－9)≤0，2≤x≤9, 这时，有 4 个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)； 当 x&0 时，x2－x+18≤－10x, x2＋9x+18≤0， （x+6）(x+3)≤0， －6≤x≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).全国初中数学竞赛模拟试题（一）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．设 a、b、c 为实数，abc≠0，且 a＋b＝c，则 b ＋c －a ＋ c ＋a －b ＋ a ＋b －c2bc 2ca 2ab2 2 2 2 2 2 2 2 2的值为 （A）－1（ （B）1 （C）2 （D）3 （y z） ）2．设 x，y，z 为实数，且有 x＞y＞z，那么下列式子中正确的是 （A）x＋y＞y＋z （B）x－y＞y－z （C）xy＞yz 3．在?ABC 中，BC＝3，内切圆半径 r＝ （A）3 23－1－ 2 3＋1－ 2（D） x ＞z 2 23 2，则 cot B ＋cot C 的值为 （3 2）（B）2 3（C） 3（D） 234．已知 a＝，则 1＋a 的值为1－a（）（A） 3 － 2 （B） 3 ＋ 2 （C） 2 － 3 （D）－ 2 － 3 5．已知 M、N 为平面上相异的两点，有 m 条直线过 M 而不过 N（称为 M 类直线） ， 有 n 条直线过 N 而不过 M（称为 N 类直线） ．若每条 M 类直线与每条 N 类直线 均相交，又每条直线被其上的交点连同 M 点或 N 点分成若干段，则这 m＋n 条 直线被分成的总段数是 （A）2mn （C）2(mn＋m＋n) （B）(m＋1)(n＋1) （D）2(m＋1)(n＋1)a b（）6 ．若 ab ≠ 1 ，且有 5a2 ＋ 2001a ＋ 9 ＝ 0 及 9b2 ＋ 2001b ＋ 5 ＝ 0 ，则 （A） 1．化简9 5的值是 ）（ （B）a＋ 1 a＋ 1－ 1－a25 9（C）－2001 5（D）－2001 9二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分）＋ a－ 1 1－a 2 ＋a－ 1（0＜｜a｜＜1）的结果是____________．2．梯形 ABCD 中，AD∥BC（AD＜BC） ，AD＝a，BC＝b，E，F 分别是 AD，BC 的中 点，且 AF 交 BE 于 P，CE 交 DF 于 Q，则 PQ 的长为____________． 3．如图，梯形 ABCD 的对角线交于 O，过 O 作两底的平行线 分别交两腰于 M、N．若 AB＝18，CD＝6，则 MN 的长为 ____________． 4．设 m2＋m－1＝0，则 m3＋2m2＋1999＝__________．AM D O B C N5．已知整数 x、y 满足 15xy＝21x＋20y－13，则 xy＝__________． 6．已知 x＝3? 2 3? 2，y＝3? 2 3? 2，那么y x ＋ 2 2 x y＝__________．三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油 抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若 5 台一起抽需 10 小 时抽干，7 台一起抽需 8 小时抽干．需在 3 小时内将油罐抽干，至少需要多 少台抽油泵一起抽？2．求二次函数 y＝x ＋mx＋n 在－3≤x≤－1 的最大值和最小值．23．从 1 到 n 的 n 个连续自然数之积称为 n 的阶乘，记为 n！ （如 5！＝5?4?3 ?2?1） ．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．
全国初中数学竞赛模拟试题（二）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．方程 x＋19 ＋ 3 x＋95 ＝12 的实数解个数为 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2．设 a＝ 51 3，b＝ 31 4，c＝ 41 5，则 a，b，c 的大小关系是（）（A）a＜b＜c （B）a＜c＜b （C）c＜b＜a （D）b＜c＜a y 2 3．二次函数 y ＝ ax ＋ bx ＋ c 的图象的一部分如 1 图．则 a 的取值范围是 （ ） （A）－1≤a＜0 （B）a＞－1 x O 1 （C）－1＜a＜0 （D）a≤－1 4．在等腰?ABC 中，AB＝AC，∠A＝120?，D 点在 BC 边上，且 BD＝1，DC＝2， 则 AD 的值为 （ ） （A）0.5 （B）1 （C）1.5 （D） 2 5．已知 α 、β 是方程 x2－7x＋8＝0 的两根，且 α ＞β ，则 2 ＋3β 2 的值为?（ （A） 1 8 (403－8517）)（B） (403－85 （D）a＋b 21 417) （ ）（C）956．如果 a，b，c 是三个任意整数，那么17 ， b＋c ， c＋a 2 2（A）都不是整数 （B）至少有两个整数 （C）至少有一个整数 （D）都是整数 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．若 a、b 为整数，且 x2－x－1 是 ax17＋bx16＋1 的因式，则 a＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见 右图） ， 城的各边的正中央有城门， 出南门正好 20 步的地 方有一棵树．如果出北门走 14 步，然后折向东走 1775 3．设?ABC 的内切圆⊙O 切 BC 于点 D，过 D 作直径 DE，连 AE， 并延长交 BC 于点 F ．若 BF ＋ CD ＝ 1998 ，则 BF ＋ 2CD ＝ __________． 4．如右图，设?ABC 为正三角形，边长为 1，P，Q，R 分别在PB M14B1775CED 20步， 刚好能望见这棵树， 则城的每边的长为____________． AF ASRN CQAB，BC，AC 边上，且 AR＝BP＝CQ＝ 1 ．连 AQ，BR，CP3两两相交得到?MNS，则?MNS 的面积是____________． 5．如图，正方形 ABCD 的边 AB＝1， BD 和 AC 都是以 1 为 半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为 ____________． 6 ．若 x2 ＋ xy ＋ y ＝ 14 ， y2 ＋ xy ＋ x ＝ 28 ，则 x ＋ y 的值为AS1BDSS2SC__________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．如图，矩形 ABCD 中，DE＝BG，且∠BEC＝90?， S ABCD ＝n（SABCD 表示四边形 ABCDS EFGH的面积，下同） ，ABC ABD＝λ ，已知 n 为自然数，λ 为有理数．求证：λ 也为自然数．HEFG CB2．A、B、C 三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由 A 给 B、C，所给的苹果数 等于 B、C 原来各有的苹果数；依同法再由 B 给 A，C 现有个数，后由 C 给 A、 B 现有个数．互送后每人恰好各有 64 个，问原来 A、B、C 三人各有多少个苹 果？3．设 S 是由 1，2，3，?，50 中的若干个数组成的一个数集（数的集合） ，S 中 任两数之和不能被 7 整除．试问 S 中最多能由 1，2，3，?，50 中的几个数 组成（S 中含数的个数的最大值）？证明你的结论．
全国初中数学竞赛模拟试题（三）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．若xy yz zx ＋ ＋ ＝ 1 ，则 ( z＋x)( y＋z ) ( x＋y)( z＋x) ( y＋z )( x＋y)x、y、z 的取值情况是（）（A）全为零 2．若 x，y，x（B）只有两个为零 （D）全不为零 － y 都是有理数，则 x ，（C）只有一个为零y的值是（）（A）二者均为有理数 （C）仅有一个为有理数 3．设 n 为自然数，则 n2＋n＋2 的整除情况是 （A）既不能被 2 整除，也不能被 5 整除 不能被 5 整除（B）二者均为无理数 （D）以上均有可能 （ ） （B）能被 2 整除，但（C）不能被 2 整除，但能被 5 整除 （D）既能被 2 整除，又能被 5 整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车， 全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （A）1 小时 （B）2 小时 （C）2.5 小时 （D）3 小时D C（）5．如图，正方形 ABCD 及正方形 AEFG，连接 BE、CF、DG．则 BE∶CF∶DG 等于（A）1∶1∶1 （C）1∶3 ∶1（B）1∶2∶1AG FE B（）（D）1∶2∶16．如果 a，b 是质数，且 a2－13a＋m＝0，b2－13b＋m＝0，那么 b ＋ a 的值为a b（ （A） 123 22 1．已知实数 x 满足 （B） 125 或 22x 2－x3＝x ? 1－x）2（C） 125 22（D） 123 或 222二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） ，则 x 的取值范围是____________．2 ．如果对于一切实数 x ，有 f(x ＋ 1) ＝ x2 ＋ 3x ＋ 5 ，则 f(x － 1) 的解析式是 ________________． 3 ．已知实数 x 、 y 满足条件 2x2 － 6x ＋ y2 ＝ 0 ，则 x2 ＋ y2 ＋ 2x 的最大值是 ____________． 4．方程2 3 ?3 ＝ x 3－y 3的有理数解 x＝__________，y＝__________．C5． 如图， 从直角?ABC 的直角顶点 C 作斜边 AB 的三等分 点的连线 CE、CF．已知 CE＝sinα ，CF＝cosα （α 为锐角） ，则 AB＝__________．B EFA6．用长为 1，4，4，5 的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 ______________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．如图，D 为等边?ABC 的 BC 边上一点，已知 BD＝1，CD＝2，CH⊥AD 于点 H， 连结 BH．试证：∠BHD＝60?．AH B D C2． 已知函数 y＝－ 1 x2＋ 13 的自变量在 a≤x≤b 时， 2a≤y≤2b， 试求 a、 b 之值．2 23． 一个自然数若能表示成两个自然数的平方差， 则称这个自然数为 “聪明数” ． 例 2 2 如，16＝5 －3 就是一个“聪明数” ．试问： （1）1998 是不是“聪明数”？说明理由． （2）从小到大排列，第 1998 个“聪明数”是哪一个自然数？全国初中数学竞赛模拟试题（四）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．99 个连续自然数之和等于 abcd．若 a、b、c、d 皆为质数，则 a＋b＋c＋d 的最小 值等于 （A）63 三角形的边长为 （A）6－ 2（ （B）70 （C）86 （D）97 （ （B）6＋ 2 3）2．设 P、Q 分别是单位正方形 BC、CD 边上的点，且?APQ 是正三角形，那么正 ）5＋ 2 3（C）5－ 2（D）3．实数 a、b、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A（a＋b，c） ，B（b＋c，a） ，C（c＋a，b） ，则这三点的位置关系是（A）组成钝角三角形 （C）组成等边三角形 则 （A）l＞R＋r （B）l≤R＋r6（ （D）三点共线 （）（B）组成直角三角形4．对任意给定的?ABC，设它的周长为 l，外接圆半径为 R，内切圆的半径为 r， ） （C） l ＜R＋r＜6l （D）以上均不对 （ ）5．平面上有 P、Q 两点，以 P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 （A）只能画出一个 （D）能画无数个 6．如图，若将正方形分成 k 个全等的矩形，其中上、 下各横排两个，中间竖排若干个，则 k 的值为 （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．如图，梯形 ABCD 中，DC∥AB，DC∶AB＝1∶2，MN∥ BD 且平分 AC． 若梯形 ABCD 的面积等于 ab ， S?AMN＝ ba ， 则 ab ＋ ba ＝__________． 2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3 的解是____________． 3．若自然数 n 能使［n3 1 ? 2 ? 4D N（B）可以画出 2 个 （C）最多画出 3 个（）CAMB］整除 n，则 n 的所有表达式为_____________．4．小李用 5000 元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取 2000 元用于 购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后 得本利和为 3498 元，那么这种债券的年利率是__________． 5．圆内接凸四边形 ABCD 的边 AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8，AC 交 BD 于 P，则S?PAB∶S?PBC∶S?PCD∶S?PDA＝____________．6．销售某种商品，如果单价上涨 m%，则售出的数量就将减少m ．为了使该商 150品的销售总金额最大，那么 m 的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．如图，∠CAB＝∠ABD＝90?，AB＝AC＋BD，AD 交 BC 于 P，作⊙P 使其与 AB 相 切．试问：以 AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作 出判断并加以证明．D C P O BA2．设 α 、β 是整系数方程 x2＋ax＋b＝0 的两个实数根，且 α 2＋β 2＜4，试求 整数对（a，b）的所有可能值．3．a、b、c 为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证： 第三个等式也成立． (b2＋bc＋c2)x2－bc(b＋c)x＋b2c2＝0； (c2＋ca＋a2)x2－ca(c＋a)x＋c2a2＝0； (a2＋ab＋b2)x2－ab(a＋b)x＋a2b2＝0．全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．边长都是质数的凸四边形 ABCD，且 AB∥CD，AB＋BC＝AD＋CD＝20，AB＞BC， 则 BC＋AD＝ （ ） （A）6 或 14 （B）6 （C）14 （D）10 2．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果 它的中位线的长为 12 3 ，那么它的下底的长为 （ ） （A）16 3 （B）18 3 （C）20 3 （D）22 3 3 ．在等腰 Rt ? ABC 的斜边 AB 所在的直线上有点 P 满足 S ＝ AP2 ＋ BP2 ，则 （ ） 2 （A）对 P 有无限多个位置，使得 S＜2CP （B）对 P 有有限个位 2 置，使得 S＜2CP （C）当且仅当 P 为 AB 的中点，若 P 与顶点 A，B 之一重合时，才有 S＝2CP2 （D）对直线 AB 上的所有点 P，总有 S＝2CP2 4．若 x＋4 ＜x＋13＜x＋3 ，则正整数 xx 的值是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5． 若方程 3x＋by＋c＝0 与 cx－2y＋12＝0 的图形重合，设 n 为满足上述条件的 （b，c）的组数，则 n 等于 （A）0 2 6．如图，若 PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC 与 PB 交 于点 D，且 PB＝4，PD＝3，则 AD?DC 等于 （A）6 （B）7 （C）12 （D）16 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分）AP D B C（ （C）2）（B）1（D）有限多个但多于（）1．若自然数 a，x，y 满足 a－2 6 ＝ x － y ，则 a 的最大值是____________． 2．如右图，已知 ABCDEF 是正六边形，M，N 分别是边 CD 和 DE 的中点，线段 AM 与 BN 相交于 P，则BP PN＝____________．BAF3． 关于自变量 x 的二次函数 y＝x2－4ax＋5a2－3a 的最小值 m 是 a 的函数，且 a 满足不等式 0≤a2－4a－2≤10，则 m 的 最大值等于________． 4．方程 xy＋3x＋2y＝10 的正整数解为__________．PC M DEN5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点 A 同时出发，并按相反方向跑步，甲的速 度为每秒 5m，乙的速度为每秒 7m，到他们第一次在 A 点处再度相遇时跑步就 结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了 n 次，这里 n＝__________． 6．在直角坐标系 xOy 中，x 轴上的动点 M（x，0）到定点 P（5，5） ，Q（2，1）的距离分别为 MP 和 MQ，那么当 MP＋MQ 取最小值时，点 M 的横坐标 x＝ __________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．在锐角三角形 ABC 中，∠BAC，∠ABC，＜ACB 的平分线分别与?ABC 的外接圆 交于 D，E，F．连 EF，FD，DE 分别交 AD，BE，CF 于 A1，B1，C1．求证：?ABC 的内心 I 也是?A1B1C1 的内心．A FI A1EBB1C1CD2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的 内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的 2 倍．3．若不等式组 ?? x 2－x－2＞0，2 ?2 x ＋(5＋2k ) x＋5k＜0的整数解只有 x＝－2，求实数 k 的取值范围．
全国初中数学竞赛模拟试题（六）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期天去登 A(7 千 B(8 千 山， 他们计划上午 8∶30 出发， 尽可能去登 C(10 千 米) 米) 图中最远处的山， 到达山顶后开展 1 个半小 米) D(9 千 时的文娱活动， 于下午 3 点以前必须回到驻 米) 地．如果去时的平均速度是 3.2 千米／时， 驻地 M 返回时的平均速度是 4.5 千米／时， 则能登 上的最远的那个山顶是 （ ） （A）A （B）B （C）C （D）D 2．方程 2x2＋7x＋21＝5 2 x 2＋7 x＋15 的有所实根之和为 （ ） （A）－11 （B）－7a－x2（C）－ 1 12（D）－ 723 ．设 a ＞ 0 ，则方程－｜ x ｜有不等实根，那么 a 的取值范围是 （ ） （A）a＞0 （B）0＜a＜1 （C）a＝1 （D）a≥1 4．三角形 ABC 的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那 么它的最大边与最小边的比值是 （ ） ＝2（A）2（B） 53（C） 32（D） 755． 某厂一只计时钟要 69 分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人 计时工资 4 元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资 6 元，工人按此钟 做完规定的 8 小时工作，应付工资 （ ） （A）34.4 元 （B）34.6 元 （C）34.8 元 （D）35 元 6．若 a，b 是正数，且满足 12345＝(111＋a)(111－b)，则 a 与 b 之间的大小关 系是 （ ） （A）a＞b （B）a＝b （C）a＜b （D）不能确定 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．已知实数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，abc＞0，且 x＝b c ca ＋ b ＋ c ，y＝ ｜a｜ ｜b｜ ｜c｜a( 1 ＋ 1 )＋b( 1 ＋ 1 )＋c( 1 ＋ 1 )，则代数式 x19－96xy＋y3＝__________．a ab2．如图，在长为 9，宽为 8 的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个 圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆 O1，O2，那么这两个 小圆的最大直径 d＝__________． 3．已知 α ，β 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实根，则 α －3β ＝________． 4．如图，四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，AE 与 BD 相交 于 F，若 DF ＝BF ，AF＝2EF ，则 S ?ACD ∶ S? ABC∶ S ? ABD ＝ __________． ＝__________．AD4O1 O O2 C EFB5．已知抛物线 y＝x2＋kx＋4－k 交 x 轴于整点 A，B，与 y 轴交于点 C，则 S?ABC6．已知实数 a，b 满足 a2＋ab＋b2＝1，且 t＝ab－a2－b2，那么 t 的取值范围是 ____________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．四边形 ABCD 中，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心的半圆（其直径小于 AB）与边 AD，DC，CB 分别相切于 E，F，G．求证：AB2＝4AD?BC．C D E OFG BA2．设直角三角形的两直角边分别是 a，b，斜边为 c，且 a，b，c 均为自然数，a 为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．3．19 支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余 13 支球队进行过比赛， 求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．全国初中数学竞赛模拟试题（七）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．已知 a－ 1 ＝ 1 －b＝3，且 a＋b≠0，则ab a b3 b a3－的值是（）（A） 21 5 （B） 21 13 （C） 33 5 （D） 33 13 2．在?ABC 中，F 分 AC 为 1∶2，G 是 BF 的中点，E 是 AG 与 BC 的交点，那么 E 分 BC 所成的比为 （ ） （A） 38（B） 25（C） 14（D） 13AE3．如图，?ABC 为锐角三角形，BE⊥AC，CF⊥ F AB，则 S?AEF∶S?ABC 的值为 （ ） 2 2 C （A）sinA （B）cosA （C）sin A （D）cosBA 4．⊙O1 和⊙O2 的半径分别是 R 和 r，O1O2＝d，若关于 x 的方程 x2－2Rx＋r2－2rd ＋d2＝0 有两个相等的实根，那么此两圆 （ ） （A）相交 （B）内切 （C）外切 （D）内切或外切 5．P 为?ABC 内一点，连结 PA，PB，PC，把三角形的面积三等分，则 P 点是? ABC 的 （ ） （A）内心 （B）外心 （C）垂心 （D）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定： ①如一次购物不超过 200 元，则不予折扣； ②如一次购物超过 200 元但不超过 500 元的，按标价给予九折优惠； ③如一次购物超过 500 元，则其中 500 元按第②条给予优惠，超过 500 元部分则 给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款 168 元与 423 元．如果他只去一次购买同样的商 品，则应付款是 （ ） （A）522.8 元 （B）510.4 元 （C）560.4 元 （D）472.8 元 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．已知四个实数的乘积为 1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于 1000．则此四数的和是__________． 2．某学校新造 5 个教室后，每个班级的平均人数减少 6 人，再造 5 个教室后， 每个班级的平均人数又减少 4 人．在这个变化过程中，学校人数保持不变， 这个学校有__________名学生． 3． 如果 xy＝a， xz＝b， yz＝c， 而且它们都不等于 0， 那么 x2＋y2＋z2＝__________． 4． 已知二次函数 y＝2x2－4mx＋m2 的图像与 x 轴有两个交点 A，B， 顶点为 C． 若?ABC 的面积为 42， 那么 m＝__________．IB5． 如图， 圆与正三角形 ABC 的三边交于六个点，如果 AG＝2，A H G F E CGF＝13，FC＝1，HI＝7，则 DE＝__________．6．一个正整数，若分别加上 100 与 168，则可得到两个完全D平方数．这个正整数为__________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1．如图，已知 AB，CD 是半径为 5 的⊙O 中互相垂直的弦，垂足为 P，E 为 AB 的CAE OPB中点，PD＝AB，且 OE＝3，试求 CP＋CE 的值．2．试问周长为 6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由．3．证明：在任意 11 个整数中必有 6 个整数的和能被 6 整除，但任意 10 个整数 未必有此性质．全国初中数学竞赛模拟试题（八）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．若 x＝ 23＋469 5，则 25x4－4＝ （D）1996（ （ （D）无穷多种） ） ）（A）0 （B）1 （C）469 2．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （A）1 种 （B）2 种 （C）3 种3 3 33．已知 a ＋b ＋c －3abc ＝3，则(a－b)2＋(b－c)2＋(a－b)(b－c)的值为 （a＋b＋c（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．凸五边形 ABCDE 中，有∠A＝∠B＝120?，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，则五 边形的面积为 （ ） （A）10 （B）73（C）155．梯形 ABCD 的对角线相交于 O，OA＞OC，OB ＞OD．在 AO 上取点 E，使 AE＝OC，又在 BO 上取点 F，使 BF＝OD，则?AFC 的面积 S1 与 A ?BED 的面积 S2 的关系为 （A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2（D） C9 3 D OE F B（ （D）不能确定b2－4ac 2a） ；6．①在实数范围内，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 x＝ －b ?②在?ABC 中，若 AC2＋BC2＞AB2，则?ABC 是锐角三角形； ③在?ABC 和?A1B1C1 中，a、b、c 分别为?ABC 的三边，a1、b1、c1 分别为? A1B1C1 的三边．若 a＞a1、b＞b1、c＞c1，则?ABC 的面积 S 大于?A1B1C1 的面 积 S1． 以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．n（n≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个． 2．在凸四边形 ABCD 中，BC＝8，CD＝1，∠ABC＝30?，∠BCD＝60?．如果四边形ABCD 的面积是 1332，那么 AB＝________．10 ?a＋b＋c＝ ，则 2 2 2 ?a ＋b ＝c3．正数 a，b，c 满足 ?ab 的最大值为__________．4．正三角形 ABC 内接于圆 O，M，N 分别是 AB，AC 的中点，延长 MN 交圆 O 于点D，连结 BD 交 AC 于点 P，则 PC ＝__________．PAN5．有两条公路 OM，ON 相交成 30?角，沿公路 OM 方向 80 米 A 处有一所小学，当拖拉机沿 ON 方向行驶时，路两旁 50 O M 米以内会受到噪音的影响． 已知拖拉机的速度为 18 千米 A ／小时， 那么拖拉机沿 ON 方向行驶将给小学带来噪音影 响时间为__________秒． 6． 已知 x， y 是正整数， 并且 xy＋x＋y＝23， x2y＋xy2＝120， 则 x2＋y2＝__________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）1．梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝125，CD＝DA＝80．问对角线 BD 能否把梯形分成 两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出 BC，BD 的长．D80C80 125BA2．已知关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 有两个不相等的实根，证明：当 k≠0 时， 方程 x2＋px＋q＋k(2x＋p)＝0 也有两个不等实根，且有一根在 x2＋px＋q＝0 的两根之间．3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形 称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖 5 个 整点．全国初中数学竞赛模拟试题（九）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1． 的十位上的数字是 （ ） （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 2．如果凸 n 边形 F（n≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ） （A）F 是四边形 （B）F 是五边形 （C）F 是四边形或五边形 （D）F 是边相等或内角相等的多边形 3．已知 a，b，c 为不全相等的实数，那么关于 x 的方程 x2＋(a＋b＋c)x＋(a2 ＋b2＋c2)＝0 （ ） （A）有两个负根 （B）有两个正根 （C）有两个同号实根 （D）无实根 4．使得正 n 边形的每个内角都是整数度数的 n 的个数是 （ ） （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 5．在｛1，2，?，100｝这 100 个整数中，任取 k 个数，使得在这 k 个数中，总 有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的 k 的 取值是 （ ） （A）21 （B）24 （C）27 （D）30 A 6．如图，在?ABC 中，D 是边 AC 上一点．下面四种 情况中，?ABD∽?ACB 不一定成立的情况是 （ ） D 2 F （A）AD?BC＝AB?BD （B）AB ＝AD?AC E （C）∠ABD＝∠ACB （D）AB?BC＝AC?BD B 二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．若 360x＝3，360y＝5，则 72 3(1－y ) ＝__________． 2．如图所示，□ABCD，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥BC，C1D1 ∥C2D2∥AB，把□ABCD 共划分成 15 个小平行四边 形，若四边形 C2A4D1B1 面积为 S1，S□MNPQ＝S0，则 S□ABCD ＝__________． 3．若 x＝ 1 －21－2 x－yC D B1 B2 B3 B4C1 C2 M Q N P D2 B D1A A1 A2 A3 A41 4x，1－2x＋22x2－23x3＋24x4－?－ 的值为____________．4．在 Rt?ABC 中，∠B＝90?，AB＝4，BC＝2，D 为 Rt?ABC 内任意一点，过 D 分别作三角形三边的平行线 EF、MN、PT，设 S 为?DEP、?DMF 和?DNT 的面 积之和，则 S 的最小值是__________． 5．如图，B 是半径为 3 的⊙O 的直径 AC 上的一点，BC＝ 2，以 AB，BC 为直径作⊙O1，⊙O2，⊙P 分别与⊙O1， ⊙O2，⊙O 相切，则⊙P 的半径 r 的长为__________． 6．已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P．则点 PAO1 O B O2 C P到两圆外公切线的距离为__________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 1． 如图， O 是?ABC 内任意一点，直线 AO，BO，CO 分别与三边相交于 P，Q，R．若 a＞b＞c，求证：OP＋OQ＋OR＜a．AR O B P C Q2．设方程 x2＋ax＋1＝b 的两个根均是自然数，证明：a2＋b2 是合数．3．在一个 8?8 棋盘中，定义一种“跳棋”的规则如下： 走子之前：1 A 2 B 31走子之后：2 3 A即棋子 A 则 1 号位，隔过一棋子 B，跳入 3 号位，同时吃掉棋子 B．所有棋子 只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种 初始状态： （1）走棋之前，前 4 行无棋子； （2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子； （3）初始状态所用的棋子数最少． 请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．全国初中数学竞赛模拟试题（十）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．在?ABC 中，∠C＝90?，∠A 的平分线交 BC 于 D，则 AB－AC 等于CD（）（A）sinA2（B）cosA（C）tanA2（D）cotA （ ） ） ）2．若 x0 是方程 ax ＋bx＋c＝0（a≠0）的根，则?＝b －4ac 与 Q＝(2ax0＋b)2 的关系是 （A）?＜Q （A）4 （B）?＝Q （B）20002（C）?＞Q （C）22000（D）不确定 （ （D）420003．若 x－y＝2，x2＋y2＝4，则 x2000＋y2000 的值是 4．若⊙O 内切于?ABC 的三边，切点为 X，Y，Z，则?XYZ 满足 （A）每个角都等于 60? （C）与?ABC 相似 中另两个角和的一半 （B）有一个角是钝角（（D） 每个角等于?ABC5． 将从 19 到 96 的两位数依次写下组成一个自然数 N， N＝596． 如 果 N 的质因数分解式中 3 的最高次幂是 3k，那么 k＝ （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 ） （ ）6．已知在?ABC 中，∠ACB＝90?，∠ABC＝15?，BC＝1，则 AC 的长为 （ （A）2＋3（B）－3（C）0.3（D）3－ 2二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分） 1．1995 ? 1997 ? 1999 ? 2001 ＋ 16＝__________．2．正?ABC 的边长为 1，P 是 AB 边上的一点，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB（Q、R、S 为垂足） ，若 SP＝ 1 ，则 AP＝__________．43． 如图， 四边形 ABCD 中， AB＝BC＝1， ∠ABC＝∠ADC＝120?， 则 BD＝__________． 4 ． 设 t 是与13D CA2－1＋ 23最接近的整数，则3－2 t等于B__________． 5．在?ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝20?，在 AB 边上取一点 M，使得 BM＝AC，则∠AMC 的度数等于__________．6．已知点 P 在直角坐标系中的坐标为（0，1） ，O 为坐标原点，∠QPO＝150?， 且 P 到 Q 的距离为 2，则 Q 的坐标为__________． 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）1． 已知正整数 p， q 都是质数， 并且 7p＋q 与 pq＋11 也都是质数， 计算(p2＋qp)(q2 ＋pq)之值．2．如图，设 H 是等腰?ABC 之垂心，在底边 BC 保持不变的情况下让点 A 到底边 BC 的距离变小，这里乘积 S?ABC?S?BHC 的值怎样变化（变大？变小？不变？） ， 试说明理由．AH B C3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为 2000、一个 锐角为 30?的直角三角形，三个顶点同色．2007 年浙江省初中数学竞赛初赛试题(2007 年 3 月 11 日 9：00－11：00) 一、 选择题 （共 8 小题， 每小题 5 分， 满分 40 分。 以下每小题均给出了代号为 A、 B、 C、 C的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数 y＝ ?1 图象的大致形状是（ xy）yyyOxOxOxCOxABD2．老王家到单位的路程是 3500 米，老王每天早上 7：30 离家步行去上班，在 8：10（含 8： 10）到 8：20（含 8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为 x 米／分，则老王步 行的速度范围是（ A．70≤x≤87.5 ） B．70≤x 或 x≥87.5 C．x≤70 D．x≥87.53．如图，AB 是半圆的直径，弦 AD，BC 相交于 P，已知∠DPB＝60°，D 是弧 BC 的中点，则 tan∠ADC 等于（ A． ） C． 3 D．C _D _ P _1 2B．223 3A _O _B _4．抛物线 y ? x ? x ? p ? p ? 0 ? 的图象与 x 轴一个交点的横坐标是 P，那么该抛物线的顶 点坐标是（ A． （0，－2） ） B． ??1 9? ,? ? ?2 4?C． ? ?? 1 9? , ? ? 2 4?D． ? ?? 1 9? ,? ? ? 2 4?5．如图，?ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，CD 是角平分线，则?DBC 的面积与?ABC 的面积 的比值是（ A． ） B．A5 ?2 25 ?2 3C．3? 5 2D．3? 5 3D B）6．直线 l ： y ? px p是不等于0的整数 与直线 y＝x＋10 的交点??C恰好是（横坐标和纵坐标都是整数） ，那么满足条件的直线 l 有（ A．6 条 B．7 条 C．8 条 D．无数条7． 把三个连续的正整数 a， b， c 按任意次序 （次序不同视为不同组） 填入 ? x ?? x ?? ? 0 的23 3 2 1 5 1三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有 一个整数根的 a，b，c（ A．不存在 B．有一组 ） C．有两组 D．多于两组8．六个面上分别标有 1,1，2,3，3,5 六个数字的均匀立方体的表面如图所示，掷这个立方 体一次， 记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标， 朝下一面的数主该点的纵 坐标。按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内的一个点的坐标。已知小明 前再次搠得的两个点能确定一条直线 l ，且这条直线 l 经过点 P（4,7） ，那么他第三次掷 得的点也在直线 l 上的概率是（ A． ） D．2 3B．1 2C．1 31 6545?545?二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9 ．若 a 是一个完全平方数，则比 a 大的最小完全平方数 是 。45? 45?510．按如图所示，把一张边长超过 10 的正方形纸片剪成 5 个 部分， 则中间小正方形 （阴影部分） 的周长为 。5.cn11．在锐角三角形 ABC 中，∠A＝50°，AB＞BC，则∠B 的取 值范围是 。12．设正?ABC 的边长为 a，将?ABC 绕它的中心（正三三角形外接圆的圆心）旋转 60°得 到对应的?A′B′C′，则 A，B′两点间的距离等于 。13．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形 AOCD，已知 AD＝3， AO＝8，OC＝5，若点 P 在梯形内且 S? PAD ? S? POC , S? PAO ? S? PCD ， 那么点 P 的坐标是 。y A 8 5 O C x.cn3D14．已知 A、B、C、D 四人的体重均为整数千克，其中 A 最轻，其次是 B，C，D，以他们中的每两人为一组称得的体重如下（单位：千克） ： 45， 49， 54， 60， 64 则 D 的体重为 千克。三、解答题（共 4 题，分值依次为 12 分、12 分、12 分和 14 分，满分 50 分） 15．已知 b ? a ?1 1 b , 2a 2 ? a ? , 求 ? a 的值。 8 4 a16．现在 a 根长度相同的火柴棒，按如图 1 摆放时可摆成 m 个正方形，按如图 2 摆放时可摆 成 2n 个正方形。......图 1...... ...... ......图 3...... ......图 2?用含 n 的代数式表示 m； ?当这 a 根火柴棒还能摆成如图 3 所示的形状时，求 a 的最小值。17．如图，已知直径与等边三角形 ABC 的高相等的圆 AB 和 BC 边相切于点 D 和 E，与 AC 边 相交于点 F 和 G，求∠DEF 的度数。18．已知抛物线 l1 : y ? ax ? 2amx ? am ? 2m ? 1? a ? 0, m ? 0 ? 的顶点为 A，抛物线 l 2 的2 2顶点 B 在 y 轴上，且抛物线 l1和l2 关于 P（1,3）成中心对称。 ?当 a＝1 时，求 l 2 的解析式和 m 的值； ?设 l 2 与 x 轴正半轴的交点是 C，当?ABC 为等腰三角形时，求 a 的值。
1999 年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 47 2000 年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 50 2001 年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 53 2002 年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 55 2003 年山东数学竞赛试题 ................................................................................................. 582004 年山东省初中数学竞赛试题 ..................................................................................... 611999 年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题 6 分，共 48 分．下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将 正确选项的代号填在题后的括号内．) 1．已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形” ，则( )． (A)这个命题和它的否命题都是真命题 (B)这个命题和它的否命题都是假命题 (C)这个命题是真命题，而它的否命题是假命题 (D)这个命题是假命题，而它的否命题是真命题 2．一项工程，甲建筑队单独承包需要 a 天完成，乙建筑队单独承包需要 b 天完成．现两队 联合承包，那么完成这项工程需要( )． (A)1 1 1 ab 1 天 (B) ( ? ) 天 (c) 天 (D) 天 a?b a b a?b ab3．如图，∠CGE＝α ，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝( )． (A)360°-α (B)270°-α (C)180°+α (D)2α 4．如果｜x|+||x|-1｜＝l，那么( )． (A)(x+1)(x-1)&0 (B)(x+1)(x-1)&0 (C)(x+1)(x-1)≥0 (D)(x+1)(x-1)≤0 5．与 (A)51 17 - 12 2(B)6最接近的整数是( (C)7 (D)8)．6． 已知 a、 b、 c、 d 都是正实数， 且 (A)A&0 (B)A≥0a c b d ， 且 A＝ 与 0 的大小关系是( ? b d a?b c?d(D)A≤0 )．)．(C)A&O7．若方程 x - p ＝x 有两个不相等的实数根，则实数 P 的取值范围是( (A)p≤0 (B)p&1 4(C)O≤P&1 4(D)P≥1 4)．8．如图，S?AFG＝5a，S?ACG＝4a，S?BFG=7a，则 S?AEG＝( (A)27 a 11(B)28 a 11(c)29 a 11(D)30 a 11二、填空题(每小题 8 分，共 32 分) 1．已知，|x+y-5|+ 2x ? y - 4 ＝0，则 yx＝ 2．已知 a、b、c 为不等于零的实数，且 a+b+c＝0，则 a(1 1 1 1 1 1 ? )+ b( ? )+c( ? ) b c c a a b的值为 ? 3.如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积 为 12，则 BC+CD＝4．如图，在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且AE 3 ? ,DA 边上有一 EB 2点 F，且 EF＝18，将矩形沿 EF 对折，A 落在边 BC 上的点 G，则 AB= 三、(本题满分 20 分) 如图，AD 是 Rt? ABC 的斜边 BC 上的高，P 是 AD 的中点，连结 BP 并延 长交 AC 于 E.已知 AC:AB＝k，求 AE:EC． 四、(本题满分 20 分) 2 2 已知方程 x +a1x+a2a3＝0 与方程 x +a2x+ala3＝0 有且只有一个 公共根．求证：这两个方程的另两个根 ( 除公共根外 ) 是方程 2 x +a3x+a1a2＝0 的根． 五、(本题满分 30 分) 现有质量分别为 9 克和 13 克的砝码若干只，在天平上要称出质量为 3 克的物体，问至 少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论．1 999 年山东省初中数学竞赛试题参考答案、 一、1．D．2.C. 3．D．4．D．5．B．6．A．7 .C 8．D． 二、1．x=-1y=6．yx=1/6 2．a+b+c=0， b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c． 原式=-3 3．解法 l：延长 CB 到 E，使 BE=DC，连结 AE，AC
2000 年山东省初中数学竞赛试题1．已知关于 x 的方程 mx+2=2(m―x)的解满足|xA.10 或2 5B.10 或-2 5c.-10 或2 51 |-1=0，则 m 的值是 2 2 D.-10 或 ? 5( )2．设直角三角形的三边长分别为 a、b、c，若 c-b=b-a&O，则 ( ) A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5 3．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x％，第三季度的产值又比第二季度的 产值增长了 x％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )A.2x％ B. 1+2x％ C(1+x％)x％ D.(2+x％)x％ 4．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条 a 元，又从另―个鱼摊上买了两条鱼，平均每条 b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 ( ) A .a&b b．a&b C. a=b D.与 a 和 b 的大小无关 5．若 D 是?ABC 的边 AB 上的一点，么 ADC=么 BCA,AC=6，DB=5，?ABC 的面积是 S，则?BCD 的面积是 ( ) A.3 S 5B.4 S 7C．5 S 9D．6 S 116．如图，AE⊥AB 且 AE=AB，BC⊥CD 且 BC=CD,请按照图中所标注 的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是( ) A．50 B.62 C．65 D．68 7．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋 转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左 图轮子上方的箭头指着的数字为 a，右图轮子上方的箭头指着的数 字为 b，数对(a，b)所有可能的个数为 n，其中 a+b 恰为偶数的不同 数对的参数为 m，则 m/n 等于 ( ) A．1 2B．1 5 C． 6 12D．3 48．如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点，A、C 同时沿正方形 的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的 速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边 ( ) A．AB 上 B.BC 上 C．CD 上 D．DA 上 9．已知a 4x b 与 和等于 2 ，则 a= x?2 x?2 x ?4，b=10．如图，AD 是?ABC 的中线，E 是 AD 上的一点，且 AE=1 AD，CE 交 AB 3于点 F．若 AF=1．2cm，则 AB= cm 11．在梯形 ABCD 中，AB∥CD,AC．BD 相交于点 O，若 AC=5，BD=12，中位 线长为13 ，?AOB 的面积为 S1，?COD 的面积为 S2，则 S1 ? S 2 = 212．已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长之 比与面积之比都等于 k，则 k 的最小值为 ． 13．如图，AB∥EF∥CD，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求 CF．14．已知 x、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x y+xy =66，求 x +x y+x y +xy +y 的值． 15．将数字 1，2，3，4，5，6，7，8 分别填写到八边形 ABCDEFGH 的 8 个顶点上，并且以 S1，S2，?，S8 分别表示(A，B，C)，(B，C，D)，?，(H，A，B)8 组相邻的三个顶点上的数 字之和． (1)试给出一个填法，使得 S1，S2，?，S8 都大于或等于 12； (2)请证明任何填法均不可能使得 S1，S2，?，S8 都大于或等于 13．22432 2342000 年山东省初中数学竞赛答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A9．2；2 10．6 11． 30 12．4ab ( a ? b) 215．(1)不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，?s8 都大于或等于 12． (2)显然，每个顶点出现在全部 8 组 3 个相邻顶点组的 3 个组中，所以有 s1+S2+?+S8= (1+2+3+?+8)?3=108．如果每组三数之和都大于或等于 13，因 13?8=104，所以至多有 108-104＝4 个组的三数之和大于 13．由此我们可得如下结论： (1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i，j，k)，后 一组为(j，k，l)．若有 i+j+k=j+k+l，则 l=i，这不符合填写 要求；(2)每组三数之和都小于或等于 14．因若有一组三数之 和大于或等于 15， 则至多还有另外两个组， 其三数之和大于 13， 余下 5 个组三数之和等于 13，必有相邻的两组相等，这和上述 结论(1)不符．因此，相邻两组三数之和必然为 13 或 14．不妨假定 1 填在 B 点上，A 点所填为 i，C 点所填为 j．(1)若 S1=i+1+J=13，则．s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因 J&1，这是 不 可 能 的 ． (2) 若 sl=i+1+j=14 ， 则 S2=1+j+(i-1)=13 ， S=j+(i-1)+2 ： 14 ， s4=(i-1)+2+(j-1)=13，这时 S5=14，只能是 S=2+(j-1)+i，i 重复出现：所以不可能有使得 每组三数之和均大于或等于 13 的填法．2001 年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题 6 分，共 48 分) 下面各题给出的选项中，只有一项是正确的 1．某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a％，后因市场的变化，该店 把零售价调整为原来零售价的 b％出售，那么，调价后每件衬衣的零售价是 ( ) A．m(1+a％)(1―b％)元 B．m?a％(1―b％)元 C．m(1+a％)b％元 D．m(1+a％?b%)元 2．如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边?APC 和等边?BPD． 则 CD 长度的最小值是 ( ) A．4 B．5 C 6 D．5( 5 ―1)3．在凸 n 边形中，小于 108°的角最多可以有( ) A．3 个 B 4个 C．5 个 D．6 个 2 x+3 4．方程(x +x-1) =1 的所有整数解的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在?ABC 中，∠ACB=90°，分别以 AC、AB 为边，在?ABC 外作正 方形 ACEF 和正方形 AGHB．作 CK⊥AB，分别交 AB 和 GH 于 D 和 K．则正方形 ACEF 的面积 S1 与矩形 AGKD 的面积 S2 的大小关系是 ( ) A S1=S2 B S1&S2 C. Sl&S2 D．不能确定，与 AC/AB 的大小有关 6．甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1 小时后他们分别到达各 自的终点 A 与 B． 若仍从原地出发， 互换彼此的目的地， 则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B． 那 么，甲的速度与乙的速度之比为 ( ) A 3：5 B. 4：3 C. 4：5 D．3：4 7．在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下： (1)对任意实数 a、b，有 a*b=(a+1)?(b-1)； *2 (2)对任意实数 a，有 a ==a*a *2 当 x=2 时，[3*(x )]-2*x+1 的值为( ) A 34 B. 16 C. 12 D．6 8．若不等式|x+l|+|x-3|≤a 有解，则 n 的取值范围是 ( ) A 0&a≤4 B a≥4 C O&a≤2 D．a≥2 二、填空题(每小题 8 分，共 32 分) 9．如图，□ABCD 的对角线相交于点 O，在 AB 的延长线上任取一点 E，连结 OE 交 BC 于点 F．若 AB=a，AD=c，BE=b，则 BF= ． 10．若 S= ，则 S 的整数部分是11．若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a、b，则 d 与a?b 2的大小关系是 ． 12．如图，O 为某公园大门，园内共有 9 处景点 A1、A2、??An．景 点间的道路如图所示，游客只能按图上所示的箭头方向从一个景点 到达另一个景点．游客进入公园大门之后，可按上述行进要求游览 其中部分或全部景点．一旦返回大门 O 处，游览即告结束(每个景点 只能游览一次)． 那么， 游客所能选择的不同的游览路线共有 条． 三、解答题(每小题 20 分，共 60 分) 2 13．关于 x 的方程 kx -(k-1)x+l=0 有有理根，求整数 k 的值． 14．如图，在□ABCD 中，P1、P2、?、Pn-1 是 BD 的 n 等分点，连结 AP2 并延长交 BC 于点 E， 连结 APn-2 并延长交．CD 于点 F． (1)求证：EF∥BD； (2)设□ABCD 的面积是 S．若 S?AEF=3s/8，求 n 的值．15．有 12 位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为 13 束，他们进行分花 游戏， 每次分花按如下规则进行： 其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给 与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出 现至少有 7 位同学手中持有鲜花的情况．2001 年山东省初中数学竞赛一、1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B15．不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足 7 位．我们以 A、A2、A、?、A2 按逆时针方 向依次分别标记这 12 位同学． (1)在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后 的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花 的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们 俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花． (2)任何一位同学不可能 手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设 A1 手中始终无花，这意味着 A2 始终没作 为分花者，A2 手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有 13 束鲜花，所以经过有限次分花 之后， A2 不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3 不再为分花者．同理可知， 再经过有限次分花后，A4 不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部 12 位同学无 一人为分花者，活动终止．这就与 13 束鲜花分置于 12 位同学手中，无论何种情况总能找到 与可能分花的同学的事实相矛盾． 由(1)、(2)可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的 两位同学中至少有一位同学手中有花， 因此至少有 6 位同学手中有花． 若仅有 6 位同学手中 有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再 进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有 7 位同学手中持有鲜花．2002 年山东省初中数学竞赛试题一、选择题 1．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具．它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点． 它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、 汽车每个座位 的平均能耗的 70%．那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) (A)3 7(B)7 3(C)10 21(D)21 10a c a c ② ? ?给出下列四个不等式：① ? b d a?b c?d a c b d b d ；③ ④ 其怔确的是( ) ? ? ? a?b c?d a?b c?d a?b c?d2．已知 a，b，c，d 都是正实数，且 (A)①③(B)①④(C)②④(D)②③ 3．如图，在等腰 Rt?ABC 中，∠C＝90°，∠CBD＝30°， DC＝( ) (A) 则 AD：3 3(B)2 2(C) 2 -l (D) 3 -l4．世界杯足球赛小组赛，每个小组 4 个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分， 败队得 0 分， 平局时两队各得 1 分． 小组赛完以后， 总积分最高的两个队出线进入下轮比赛． 如 果总积分相同，还要按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积( ) (A)5 分 (B)6 分 (C)7 分 (D)8 分 5．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB ＝7，则 BC+CD 等于( ) (A)6 3 (B)5 3 (C)4 3 (D)3 36．如图，在梯形 ABCD 中，AD∠∠BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6， CD＝4．若 EF∥BC，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的 长为( ) (A)45 7(B)33 5(C)39 5(D)15 27．如图，在 Rt?ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c， 若 D、E 分别是 AB 和 AB 延长线上的两点，BD＝BC，CE⊥CD， 则以 AD 和 AE 的长为根的一元二次方程是( ) 2 2 2 2 2 (A)x -2cx+b ＝ 0 (B)x -cx+b ＝ 0 (C)x -2cx+b 2 ＝0 (D)x 一 cx+b＝0 8．已知实数 a，b，c 满足 a&a&c，ab+bc+ca＝0，abc＝1，则( ) (A)|a+b|&|c|， (B)|a+b|&|c|， (C)|a+b|=|c| (D)|a+b|与|c|的大小关系不 能确定 二、填空题 9．M 是个位数字不为零的两位数，将 M 的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数 N．若 M-N 恰是某正整数的立方，则这样的 M 共有 个． 2 10．设 x1，x2 是方程 x -2(k+1)x+k2+2＝0 的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)＝8，则 k 的 值是 ． 2 11．已知实数 x，y，z 满足 x+y＝5 及 z ＝xy+y 一 9，则 x+2y+3z＝ 12．如图 5，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA＝3，PB＝4，PC＝5， 则 PD＝三、解答题 13．如图，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当 冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30°，此时，求： (1)如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上， 那么两楼的距离应当是 多少米? 14．如图，?ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，O 是?ABC 内一点， 点 O 到?ABC 各边的距离都等于 l， 将?ABC 绕点 O 顺时 针旋转 45°得?A1B1C1，两三角形公共部分为多边形 KLMNPQ． (1)证明：?AKL，?BMN，?CPQ 都是等腰直角三角形； (2)求?ABC 与?A1B1C1 公共部分的面积． 15．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午 7 时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停 车修理．学校师生等到 7 时 10 分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了 已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车 的速度是步行速度的 6 倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间． 参考答案题号 答案 1 C D 2 D 3 B 4 B 5 C 6 A 7 A 8 6 9 l 10 8 11 3 12213．(1)设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长 度就是甲楼的影子在乙楼上的高度． 设 CE⊥AB 于点 E，那么在?AEC 中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20 米， 所以 AE＝ECtan∠ACE＝20tan30°≈11．6(米)． CD＝EB＝AB-AE＝4．4(米)． (2)设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在?ABC 中，∠ACB＝30°，AB＝16 米，所以 BC＝ABcot∠ACB＝16cot30°≈27．7(米)， 所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27．7 米． 14．(1)连结 OC，DC1，分别交 PQ，NP 于点 D，E，根据题意得∠COC1＝45°． 因为点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1-，所以 OC 是∠ACB 的平分线． 因为 ∠ACB＝90°，所以 ∠OCE＝∠OCQ＝45°． 同理 ∠OClD＝∠OC1N＝45°，所以 ∠OEC＝∠ODCl＝90°， ∠CQP＝∠CPQ＝∠C1PN＝∠C1NP＝45°，所以 ?CPQ 和? C1NP 都是等腰直角三角形，所以∠BNM＝∠C1NP＝∠A1QK＝∠CQP ＝45°． 因为 ∠B＝∠A1＝45°， 所以 ?BMN 和?A1KQ 都是等腰直角 三角形， ∠BlML＝∠BMN＝∠AKL＝∠A1KQ＝90°，所以 ∠B1＝∠A＝45°， 所以 ?B1Aml 和?AKL 也都是等腰直角三角形． (2)在 Rt?ODCl 和 Rt?OEC 中， 因为 OD＝OE＝1，∠COC1＝45°，所以 OC＝CC1＝ 2 ，CD＝C1E＝ 2 -1， 所以 PQ＝NP＝2( 2 -1)＝2 2 -2， CQ=CP-C1P=C1N= 2 ( 2 -1)=2 一 2 ，所以 S?CPQ=1 2 ?(2- 2 ) =3-2 2 延长 CO 交 AB 于 H． 2CH=CO+OH= 2 +1，因为①平分∠ACB，且 AC＝BC，所以 CH⊥AB，所以所以 AC＝BC＝AlCl＝B1C1＝ 2 ( 2 +1)＝2+ 2 ，所以 S=1 ?(2+ 2 )2＝3+2 2 22 2＝ 2，因为 AlQ=BN=(2+ 2 )-(2 2 -2)-(2 一 2 )=2，所以 KQ＝MN＝所以 所以1 2 ?( 2 ) ＝1．因为 AK=(2+ 2 )-(2- 2 )- 2 = 2 ． 2 1 2 S?AKL= ? 2 ) =1， 2S?BMN＝所以 S 多边形 KLMNPO-S?ABC+S?CPQ-S?BMN-S?AKL=(3+2 2 )-(3-2 2 )-1-1=4 2 -2． 15．假定排除故障花时 x 分钟．如图 9，设点 A 为县城所在地，点 C 为学校所在地，点 B 为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的 30 分钟中，有 10 分钟是因晚出发造成 的，还有 20 分钟是由于从 C 到 B 由步行代替乘车而耽误的． 汽车所晚的 30 分钟，一方面是由于排除故障耽误了 x 分钟，但另一方面由于少跑了 B 到 C 之间的一个来回而省下了一些时间． 已知汽车速度是步行速度的 6 倍， 而步行比汽车从 C 到 B 这段距离要多花 20 分钟．由此知汽车由 C 到 B 应花20 ＝4(分钟) 5 -1一个来回省下 8 分钟，所以有 x 一 8＝30，x＝38，即 汽车在途中排除故障花了 38 分 钟．2003 年山东数学竞赛试题一、选择题(本题共 8 小题．每小题 6 分，满分 48 分)：下面各题给出的选项中，只有一项 是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内． 1．如果 a，b，c 是非零实数，且 a+b+c=O，那么 (a b c abc 的所有可能的值为 ? ? ? | a | | b | | c | | abc |)． A．0 B．1 或-1 C．2 或-2 D．0 或-2 2．如果自然数 a 是一个完全平方数，那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 ( )． A．a+l B．a +l2C．a +2 a+1 D．a+2 2 +l23．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负， 负者退下， 由另一人与胜者比赛． 比赛若干局后， 甲胜 4 局、 负 2 局； 乙胜 3 局、 负 3 局． 如 果丙负 3 局，那么丙胜( )． A．O 局 B．1 局 C．2 局 D．3 局? 2x ? 3 ? x?5 ? ? 3 4．关于 x 的不等式组 ? 只有 5 个整数解．则 a 的取值范围是( ?x ?3 ? x ? a ? ? 2A．-6&a&-)．11 2B．-6≤a&-11 2c．-6&a≤-11 2D．-6≤a≤-11 25． 如图， 若将左边正方形剪成四块， 恰能拼成右边的矩形， 设 a=l， 则这个正方形的面积 为 ( )．A．7?3 5 2B．3? 5 2C．5 ?1 2D．(1+ 2 )26．某种产品按质量分为 l 0 个档次．生产最低档次产品，每件获利润 8 元．每提高一个档 次，每件产品利润增加 2 元．用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次 将减少 3 件．如果获利润最大的产品是第 k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随 质量 增加)，那么 k 等于( )． A．5 B．7 C．9 D．10 7．如图，在 Rt ?ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的 外角的平分线交于 E 点，连结 AE，则∠AEB 是( )． A．50° B．45° C．40° D．35° 8．已知四边形 ABCD，从下列条件中： (1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD； (4)BC=AD； (5)∠A=∠C； (6)∠B=∠D． 任取其中两个，可以得出“四边形 ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )． A．4 种 B．9 种 C．1 3 种 D．1 5 种 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 8 分，满分 32 分)：将答案直接填写在对应题目的横线 上． 9．已知-l&a&0，化简1 1 (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 ? 4 得 a a．10．如图，已知 AD=DB=BC．如果∠C=α ，那么∠ABC= 11． 甲、 乙两厂生产同一种产品， 都计划把全年的产品销往济南， 这样两厂的产品就能占 有3 1 1 ．然而实际情况并不理想．甲厂仅有 的产品、乙厂仅有 的产品 4 2 3 1 销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该 3济南市场同类产品的 产品的年产量的比为12．假期学校组织 360 名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车 每辆车有 40 个座位，租金 400 元；乙种客车每辆有 50 个座位，租金 480 元．则租用该公司 客车最少需要租金 ． 三、解答题(本题共 3 小题，每小题 20 分，满分 60 分)： 13．如图，在 Rt?ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交 A C 于点 E，DF∥AC 交 BC 于点 F．求证：(1)四边形 CEDF 是正方形； 2 (2)CD =2AE?BF． 2 2 2 14．设方程 2002 x - x-l=0 的较大根是 r，方程 2001 x -2002 x+1=0 的较小根是 s，求 r-s 的值． 15．在 1 8?18 的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种 填法， 至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)， 每对相邻 的两小方格中所填之数的差均不小于 1 0．2003 年山东省‘KLT 快灵通杯’初中数学竞赛 一、选择题 1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B 二、填空题 9．一2 a10．180°一3 a 11．2：l 212．3520(1)当 a 和 b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相 邻格(上下或左右)的移动而达到 6 所在的格． 如图(1)所示． 由于 a 和 b 既不同行又不同列， 总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)， 由 a 所在的方格到达 b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过 17+17=34 次．若在线 路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于 9，则 323≤b-a≤34?9=306．这与事实 不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所 填之数的差均不小于 10．(2)当 a 和 b 所在的方格同行或同列时．与情况 1 类似，如图(2) 所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于 34 次的路线甲和路线乙，其中各存 在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于 10．2004 年山东省初中数学竞赛试题 一、选择题(8?6=48 分) 1．已知 n 是奇数，m 是偶数，方程组 ??2004 ? y ? n 有整数解 xo,yo,则( ?11x ? 28 y ? m)A、xo,yo 均为偶数 B、xo,yo 均为奇数 C、xo,是偶数，xo,是奇数 D、xo,是奇数，xo,是偶数 2.若 ab≠0，则 ??a5 1 ? a3 ? 成立的条件是( b ab)A、a&0,b&0 B、a&0,b&0 C、a&0,b&0 D、a&0,b&0 3.设 a,b,c,d 都是非零实数，则四个数：-ab,ac,bd,cd( ) A、都是正数 B、都是负数 C、是两正两负 D、是一正三负或一负三正 4.如图，矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，M 是 BC 的中点， A DE⊥AM，E 为垂足，则 DE=( ) A、D2ab 4a ? b2 2B、ab 4a 2 ? b 2 ab a 2 ? 4b 2BEMCC、2ab a 2 ? 4b 2D、5.某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润率为 20%。若这种商品的进价提高 25%，而 商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润为( ) A、25% B、20% C、16% D、12.5% 6.在?ABC 中，∠ACB=90°，∠A=20°。如图，将 B A1 ?ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角α 到?A′B′C ’ B 的位置，其中 A′，B′分别是 A，B 的对应点，B 在 D A′B′上，CA′交 AB 于 D，则∠BDC 的度数为 ( ) A C A、40° B、45° C、50° D、60° 2 2 7. 若 x0 是一 元二次方程 ax +bx+c==0( ≠ 0) 的两个根 ，则判别式? =b -4ac 与平方 式 2 M=(2ax0+b) 的大小关系是( ) A、?&M B、?=M C、?&M D、不能确定ABC8.在?ABC 中， a,b,c 分别为角 A， B， C 的对边， 若∠B=60°， 则c a 的值为( ? c?b c?b)A、1 2B、2 2C、1D、 2二、填空题(4*8=32 分) 9.若 x1,x2 都满足条件|2x-1|+|2x+3|=4,且 x1&x2,则 x1-x2 的取值范围为__________ 2 2 10.已知 a,b 是方程 x -4x+m=0 的两个根， b,c 是方程 x -8x+5m=0 的两个根， 则 m=___________ 11.在?ABC 中，D，E 分别在边 AB 和 AC 上， A M N 且 DE∥BC。过点 A 作平行于 BC 直线分别交 CD 和 BE 的延长线于点 M， N。 若 DE=2， BC=6， D E 则 MN=__________ 12.如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，将 A D 矩形 ABCD 沿对角线 AC 对折，然后放在桌面上，折叠所 成的图形覆盖桌面的面积是___________________ 三、解答题(3*20=60 分) B C E 13.甲，乙两汽车零售商(以下分别简称甲，乙)向某品牌汽车 生产厂订购一批汽车， 甲开始定购的汽车数量是乙所订购数 D 量的 3 倍。后来由于某种原因，甲从其所订的汽车中转让给 1 乙 6 辆。在提车时，生产厂所提供的汽车比甲，乙所订购的总数少了 6 辆，最后甲所购汽车 的数量是乙所购的 2 倍。试问，甲，乙最后所购得的汽车总数至多是多少辆？又至少是多少 辆 14.如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求∠EBF+∠EBG。 A H G FB CBCDE15.从 1，2，3,? ? ? ? ? ?2004 中任选 K 个数，使所选的 K 个数中，一定可以找到能构成三角 形边长的三个数(这里要求三角形三边长互不相等)，试问满足条件的 K 的最小值是多少？ 答案 一、选择题 1． C 2. B 3. D 4. A 5. C 二、9. _-2Qx-x&0___ 10. __0 或 3__________ 11. 6_____ 12. ___2035/48___6. D7. B8. C2006 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初一 题 号 (1―10) 得 分 二赛试卷三 总 分 20（本试卷共 6 页，满分 120 分，考试时间：3 月 19 日 8:30――10:30）(11―17)1819一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内 题 号 答 案 1. 计算(-2) A. 2200512345678910+(-2)2006所得结果是 C. 1 D. 22005B. C22．已知 a 、 b 为实数，且 a b ? 1 ，设 M ? a ? b , N ? 1 ? 1 ，则 M、N 的大小 a ?1 b ?1 a ?1 b ?1 关系是 A．M＞N B．M=N C．M＜N D. 不确定3. 设“●，?，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡， 如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为 ●● ?■ ●■ ? ●??(3)(1) A. 5 B. 4(2) C. 3 D. 24．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降低 10%，乙超市一 次性降低 20%，在哪家超市购买此种商品更合算 A．甲 B．乙 C．同样 D．与商品价格相关 5．根据下列表格的对应值，判断方程 a x 2 ? b x ? c ? 0 （ a ≠0, a , b , c 为常数）一个 解 x 的范围是xax 2 ? bx ? c3.23 -0.063.24 -0.023.25 0.033.26 0.07A. 3＜ x ＜3.23 C. 3.24＜ x ＜3.25B. 3.23＜ x ＜3.24 D. 3.25＜ x ＜3.266．在平面直角坐标系中，已知 A(2,-2), 点 P 是 y 轴上一点，则使 AOP 为等腰三角形 的点 P 有 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个7．如图 1， 把?ABC 纸片沿着 DE 折叠， 当点 A 落在四边形 BCED 内部时， 则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律，你发现的规律是 A．∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 A D 1 A B 图1/B．2∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2(∠1+∠2)G E M c C NE H BD ba2A F C 图3O 图28． 如图 2，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形. 设 BC= a , EF= b , NH= c , 则下列各式中正确的是 A． a ＞ b ＞ c B． b ＞ c ＞ a C． c ＞ a ＞ b D． a = b = c9．如图 3 所示，用长 8 米的铝合金条制成的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么 窗户的最大透光面积是 A． 64 米 252B． 4 米 32C． 8 米 32D．4 米210. 如图 4，正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点， 且 AE=BF=CG=DH, 设小正方形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x ，则 S 关于 x 的函数图象大致是 A E G A B C D B F 图4 C H D二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 11．某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元．捐款情况如下表：捐款（元） 人数1 6234 7表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 若设捐款 2 元的有 x 名 同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程组 .12．已知 a 、 b 是一元二次方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个根，则代数式 3 a 2 ? 2 b2 ? 3 a ? 2 b 的值 等于 . °. y E OC y A B13．如图 5，点 A，B，C，D，E 均在⊙O 上，∠A=30°，∠O=48°，则∠E= AA D B O C 图7 xB C 图5 DO x图614．如图 6，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A、B、C，其中，B 点坐标为(4,4)，则 该圆弧所在圆的圆心坐标为__________. 15．正比例函数 y ? ?x 与反比例函数 y ? ? 1 的图象相交于 A、C 两点，AB⊥ x 轴于 B， x CD⊥ x 轴于 D（如图 7） ，则四边形 ABCD 的面积为 .16. 如图 8， 一个啤酒瓶的高度为 30cm， 瓶中装有高度 12cm 的水， 将瓶盖盖好后倒置， 这时瓶中水面高度 20cm, 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 . (瓶底的厚度不计) 第1层 第2层 第3层 第4层 … 第n层 图930cm 20cm 12cm图817. 如图 9 是由棱长为 a 的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，第 n 层需要 块小正方体（用含 n 的代数式表示）.三、解答题(本大题共 3 小题，满分 35 分，其中第 18 题 10 分，第 19 题 12 分，20 题 13 分) 18. 某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套，该公司所筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096 万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如 下表： A B成本（万元/套） 售价（万元/套）25 3028 34（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ （2）该公司选用哪种方案建房获得利润最大？ （3） 根据市场调查， 每套 B 型住房的售价不会改变， 每套 A 型住房的售价将会提高 a 万 元（ a ＞0） ，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 注：利润 ? 售价 ? 成本19. 操作: 将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上,并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动,直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC 相交于点 Q.（如图 10-1、10-2） 探究: 设 A、P