请问用初等变换的方法把二次型化成标准型得到的答案与标准答案不同对么?
请问用初等变换的方法把二次型化成标准型得到的答案与标准答案不同对么?f（x1,x2,x3)=x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3构造分块矩阵AE=1 1 -21 5 0-2 0 -41 0 00 1 00 0 1r2-r1,r3+2r11 0 00 4 20 2 -81 -1 20 1 00 0 1 （请问A进行初等行变换,E同时进行初等列变换是不?E可以写在A的右方么?还是说在这里得写在A的下方?）
A进行相同的初等行,列变换,E同时进行初等列变换E在A的下方.初等变换法好像结果不唯一.你可以验证一下 AP 是否等于 P diag(1,4,-9). 再问： 也就是说A进行行变换的时候E也同时进行行变换么？A进行 列变换 那么E就同时进行 列变换 么？（简单的说就是跟把A E 变换成 E A逆类型一样是不？） 再答： A进行 行变换的时候 E不进行行变换 但A进行 列变换时 E就同时进行 列变换 A E 是上下两块的分块矩阵
与《请问用初等变换的方法把二次型化成标准型得到的答案与标准答案不同对么?》相关的作业问题
同济版线性代数,第五章关于二次型那节有例子,注意的是最后变换的矩阵C必须是可逆的,如果不可逆,说明你变换有误,需要重新选取
二次型的矩阵 A=2 0 00 3 20 2 3对特征值2,A-2E =0 0 00 1 20 2 1化为0 0 00 1 00 0 1基础解系为 (1,0,0)'. 再问： 请问化为 0 0 0 0 1 0 0 0 1 后是因为右下角是二阶单位阵，所以在左上角添一个一阶单位阵的么？ 如果进行初等变换后不是左上角是单位
麻烦度递增:(1) 配方法(2) 初等变换法(3) 特征值特征向量法
f(x1,x2,x3)＝2x1^2+4x1(x2-x3)+5x2^2+5x3^2-8x2x3＝2[x1^2+2x1(x2-x3)]+5x2^2+5x3^2-8x2x3＝2[x1+(x2-x3)]^2-2(x2-x3)^2+5x2^2+5x3^2-8x2x3＝2[x1+x2-x3]^2+3x2^2+3x3^2-4x2x3
PTAP=diag(λ1,λ2,...,λn)λ1,λ2,...,λn是与正交矩阵P中的特征向量对应的特征值.
1先求A的特征方程 求出特征根2写出特征向量3把特征向量组合起来就是矩阵p 当x=py的时候二次型x转至×A×x=y转至p转至×对角阵×py还可以化为规范性 你自己化吧
二次型的矩阵 A =0 0 10 1 01 0 0|A-λE|=-λ 0 10 1-λ 01 0 -λ= -(1-λ)^2(1+λ).所以A的特征值为:λ1=λ2=1,λ3=-1.(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T,a2=(1,0,1)^T --正交(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,
1 0 10 2 01 0 1|A-λE|=-λ(2-λ)^2A的特征值为 2,2,0(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)',a2=(1,0,1)' --已正交AX=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)'.单位化得:b1=(0,1,0)',b2=(1/√2,0,1/√2)',b3=(1/√2,0,
2 0 00 3 10 1 3|A-λE|=(2-λ)[(3-λ)^2 - 1] = (2-λ)^2(4-λ)所以A的特征值为 2,2,4(A-2E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T,a2=(0,1,-1)^T(A-4E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)^T已正交.单位化构成正交矩阵P=1 0
题目二说的是化二次型为规范形.“规范形”最后系数要都化为1的,就是每一个变换还要除以相应特征值的平方根,把系数化为1.0不用除,后两个要分别除以2和3.他确实没有正交化,那个变换最后会得到0,2,3的一个对角阵,不是1,1,0的规范形.答案是错的.你看得很仔细,要考数几?我也考研
f=(x1-x2)^2 - (x3+2x4)^2 +2x4^2= y1^2-y2^2+2y3^2y1=x1-x2y2=x3+2x4y3=x4y4=x2Y=CX,C=1 -1 0 00 0 1 20 0 0 10 1 0 0
可以的.2x^2+3y^2+3z^3+4xy= 2(x+y)^2+y^2+z^2 再问： 2x^2+3y^2+3z^3+4xy = 2(x+y)^2+y^2+z^2 等式前面是3z^3 等式后sz^2 再答： 呵呵 手误, 都是平方再问： 2x^2+3y^2+3z^2+4xy = 2(x+y)^2+y^2+z^2 等式
系数就是你配方时各平方项的系数图片中没给出前面的步骤, 不好说
老师不敢当，平辈论交吧。接近标准答案其实并不难，标准答案也是人写的，只不过写标准答案的老师比我们多了更深的感悟和更恰当的措辞，我就有过很多情况，老师说我的回答比标准答案更好，但就是不简单而拿不到更高的分，所以强化自己的措辞和理解很重要。至于阅读书籍，我认为贪多嚼不烂，重点看作文素材（不要读者那种的），上面有名家分析，而
构造上下两块的分块矩阵AE对其作初等列变换,同时对前n行作相应的初等行变换.将上半块化成对角矩阵,下半块即为所求的变换矩阵C.
1楼的回答正确,将误差的均值进入常数项调整就行,将原式化为yi=a+Bxi+(εi-u),括号内期望为0,方差σ^2,将u提到常数项处,就得yi=(a-u)+Bxi+εi 再问： 新式子里的的εi跟之前的是一样的？？还是少了个均值的 再答： 你可以εi-u=ci带入原来方程 yi=a+u+Bxi+ci，这样就清晰了吧，
用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆在这里(A,E)=1 1 0 1 0 04 5 3 0 1 01 0 2 0 0 1 第2行减去第1行×4,第1行减去第3行～0 1 -2 1 0 -10 1 3 -4 1 01 0 2 0 0 1 第1行减去第2行,交
没什么具体公式,如果说用什么方法的话,那就是待定系数法了.因为x^2-5x+6=(x-2)(x-3),所以可设(x+3)/(x^2-5x+6)=A/(x-2)+B(x-3),则x+3=A(x-3)+B(x-2)=(A+B)x+(-3A-2B)故A+B=1,-3A-2B=3,解得A=-5,B=6.故(x+3)/(x^2-
不要想的太复杂了,写二次型矩阵这东西不存在什么公式的,你就想着平方项都写在对角线上,然后别的项就对半分开就可以了实际上就是二次型f=ax²+by²+cz²+d*xy+e*xz+f*yz即f=(x,y,z) A (x,y,z)^T而A= a d/2 e/2d/2 b f/2e/2 f/2 c扫二维码下载作业帮
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求二次型的规范型?设三元实二次型f(x1,x2,x3)的秩为3,正惯性指数为2,则此二次型的规范型是?
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由已知, 二次型的负惯性指数为 3-2=1所以 二次型的规范型是 y1^2 + y2^2 - y3^2有问题就追问搞定请采纳 ^_^
怎么求正惯性指数？
题目已经给了正惯性指数为2
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（新课标同步辅导）2016 高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教 A 版必修 13．1 函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 [学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)一、函数的零点 1．定义 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根?函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y＝f(x)有零点． 二、函数零点存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)?f(b)＜0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．三、二次函数 y＝ax ＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系21Δ ＞0Δ ＝0Δ ＜0图象与 x 轴的交点 零点的个数(x1，0) (x2，0) 2(x1，0) 1无交点 01．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( ) )(2)若方程 f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( (3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)?f(b)＜0.( 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数 y＝4x－2 的零点是( A．2 B．(－2，0) 1 D. 2 ) )?1 ? C.? ，0? ?2 ?21 1 【解析】 令 y＝4x－2＝0 得 x＝ ，故函数 y＝4x－2 的零点是 . 2 2 【答案】 D 3．若函数 f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)?f(5)＜0，则函数 f(x)在区间(2，5)上零点 的个数是________． 【解析】 由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点． 【答案】 1 4． 已知函数 y＝f(x)的定义域为 R， 图象连续不断， 若计算得 f(1)＜0， f(2)＜0， f(3)＞0， 则可以确定零点所在区间为________． 【解析】 ∵y＝f(x)的定义域为 R，图象连续不断，且 f(2)?f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)． 【答案】 (2，3)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 2 问题 3 问题 43求函数的零点 求下列函数的零点 (1)f(x)＝x ＋7x＋6； (2)f(x)＝1－log2(x＋3)； (3)f(x)＝2 (4)f(x)＝x－12－3；x2＋4x－12 . x－22【解】 (1)解方程 f(x)＝x ＋7x＋6＝0，得 x＝－1 或 x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6. (2)解方程 f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得 x＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程 f(x)＝2x－1－3＝0，得 x＝log26，所以函数的零点是 log26.x2＋4x－12 (4)解方程 f(x)＝ ＝0，得 x＝－6， x－2所以函数的零点为－6.4求函数零点的方法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根． (2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象相结合，即图象与 x 轴的交点的横坐标为函数的零点．函数零点个数的判断 判断下列函数的零点个数． 1 2 2 (1)f(x)＝x －7x＋12；(2)f(x)＝x － .x【思路探究】(1)f(x)为二次函数，解答本题可直接判断对应的一元二次方程根的个数；(2)可直接解相应的方程或转化为1 2 两个熟知的基本初等函数 y＝x 与 y＝ 的图象交点的个数．x【解】 (1)令 f(x)＝0，即 x －7x＋12＝0. Δ ＝49－4×12＝1＞0， ∴方程 x －7x＋12＝0 有两个不相等的实数根， ∴函数 f(x)有两个零点． 1 1 1 2 2 2 (2)由 x － ＝0，得 x ＝ .令 h(x)＝x (x≠0)，g(x)＝ ，在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，可知两函数图象只有一个22xxx51 2 交点，故函数 f(x)＝x － 只有一个零点．x判断函数零点个数的主要方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数 y＝f(x)的图象，判断它与 x 轴的交点个数，从而判断函数零点的个数．即转化成两个函数图象的交点问题． (3)结合单调性，利用 f(a)?f(b)＜0，可判断 y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．二次函数 f(x)＝ax ＋bx＋c 中，a?c&0，则函数的零点个数是( A．1 B．222)C．0D．无法确定2【解析】 ∵Δ ＝b －4ac，a?c&0，∴Δ &0，∴方程 ax ＋bx＋c＝0 有两个不等实根，故函数有两个零点． 【答案】 B确定函数零点所在的区间 6 (2014?北京高考)已知函数 f(x)＝ －log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(x)A．(0，1) C．(2，4)B．(1，2) D．(4，＋∞)【思路探究】 利用零点存在性定理，验证 f(x)在各区间端点处的函数值的符号．66 3 【解析】 由题意知，函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又 f(1)＝6－0＝6&0，f(2)＝3－1＝2&0，f(4)＝ －log24＝ －2 4 2 1 ＝－ &0，由零点存在性定理，可知函数 f(x)在区间(2，4)上必存在零点． 2 【答案】 C确定函数 f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)?f(b)＜0.若有，则函 数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．x 1 ?1? 方程? ? ＝x2有解 x0，则所在的区间是( ?3?A．(2，3) C．(0，1) B．(1，2) D．(－1，0))x 1 ?1? 【解析】 令 f(x)＝? ? －x2. ?3?70 ?1? ∵f(0)＝? ? －0＝1&0， ?3?f(1)＝? ? －1＝－ &0， 3∴f(0)?f(1)&0.?1? ? ?12 3x 1 ?1? ∴方程? ? ＝x2的解 x0 所在的区间为(0，1)． ?3?【答案】 C函数零点的应用 (1)(2014?怀化高一检测)函数 f(x)＝x －2|x|＋a－1 有四个不同的零点，则实数 a 的取值范围是________． (2)函数 f(x)＝2ax －x－1 在(0，1)内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是________． 【思路探究】 (1)由 f(x)＝0 得 a－1＝2|x|－x ，转化为 y＝a－1 与 y＝2|x|－x 图象交点的个数问题． (2)此方程不一定是一元二次方程．可以分 a＝0，a≠0 且 Δ ＝0，a≠0 且 Δ ＞0 三种情况讨论． 【解析】 (1)由 f(x)＝0 得 a－1＝2|x|－x ，因为函数 f(x)＝x －2|x|＋a－1 有四个不同的零点， 所以函数 y＝a－1 与 y＝2|x|－x 的图象有四个交点，画出函数 y＝2|x|－x 的图象，如图所示2 2 2 2 2 2 2 28观察图象可知，0＜a－1＜1，所以 1＜a＜2. (2)当 a＝0 时，f(x)＝－x－1 有一个零点是－1?(0，1)，不符合题意； 1 当 a≠0 且 Δ ＝0 时，解得 a＝－ ， 8 1 2 此时方程为－ x －x－1＝0，也不合题意； 4 Δ ＞0， ? ? 只能?a≠0， 解得 a＞1. ? ?f（0）?f（1）＜0， 【答案】 (1)(1，2) (2)(1，＋∞)已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．若题(1)中的函数有两个不同的零点，试求实数 a 的取值范围． 【解】 观察题(1)解析中的图象可知，a－1＝1 或 a－1＜0，所以 a＝2 或 a＜1.91．方程 f(x)＝g(x)的根是函数 f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标，也是函数 y＝f(x)－g(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． 2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点． 3．(1)求函数 f(x)的零点，通常转化为解方程 f(x)＝0；(2)确定函数的零点、所在的区间，通常利用零点存在性定理转化为 判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．104．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，体现了函数与 方程思想的应用．11数形结合确定函数的零点所在区间x－2 ?1? 3 设函数 f(x)＝x －? ? 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是( ?2?A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4))x－2 ?1? 3 【常规解法】 因为函数 f(x)＝x －? ? 的定义域为 R，所以函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线． ?2?－2 1－2 ?1? ?1? 又 f(0)＝0－? ? ＝－4＜0，f(1)＝1－? ? ＝－1＜0， ?2? ?2?f(2)＝23－? ? ＝7＞0， 2 f(3)＝33－? ? ＝26 ＞0， 2 f(4)＝43－? ? ＝63 ＞0， 2所以 f(1)?f(2)＜0，故 x0 所在的区间是(1，2)． 【答案】 B12?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?011 2 3 42【妙解点拨】 的问题．先将函数零点的问题转化为方程的解的问题，再将方程适当变形后转化为两个函数图象交点横坐标所在区间x－2 x－2 x－2 ?1? ?1? ?1? 3 3 3 【巧妙解法】 由 f(x)＝x －? ? ＝0 得 x ＝? ? ，画出函数 y＝x 和 y＝? ? 的图象，如图所示．观察图象可知两 ?2? ?2? ?2?个函数图象交点的横坐标在(1，2)内．【答案】 B巧用函数图象分析函数零点所在的区间 (1)使用前提：在方程 F(x)＝0 不易解答，且只要求判断函数零点的个数或所在区间时，可以用画函数图象的方法解答． (2)实施方法： ①若函数 F(x)的图象可直接画出， 则可以直接画出图象判断． ②若函数 F(x)的图象不易画出， 可把 F(x)＝f(x)x－2 x－2 ?1? ?1? 3 3 －g(x)＝0 转化为 f(x)与 g(x)图象交点横坐标的问题， 如本例中 f(x)＝0 变形为 x ＝? ? ， 可以转化为函数 y＝x 和 y＝? ? ?2? ?2?13的图象交点横坐标的问题．――[类题尝试]――――――――――――――――― 函数 f(x)＝2 ＋lg(x＋1)－2 的零点个数为________． 【常规解法】 因为函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＞0， 所以 f(x)在(0，2)上必定存在零点， 又显然 f(x)＝2 ＋lg(x＋1)－2 在(0，＋∞)上为增函数，故 f(x)有且只有一个零点． 【答案】 1 【巧妙解法】 在同一坐标系下作出 h(x)＝2－2 和 g(x)＝lg(x＋1)的草图． 由图象知 g(x)＝lg(x＋1)的图象和 h(x)＝2－2 的图象有且只有一个交点， 即 f(x)＝2 ＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点．x x x x x【答案】 1 课时作业(二十) 方程的根与函数的零点14[学业水平层次] 一、选择题 1．函数 f(x)＝log5(x－1)的零点是( A．0 B．1 C．2 ) D．3【解析】 令 log5(x－1)＝0，解得 x＝2，∴函数 f(x)＝log5(x－1)的零点是 2，故选 C. 【答案】 C 2．函数 f(x)＝x －2 在 R 上的零点个数是( A．0 B．1 C．2 D．3 1 【解析】 注意到 f(－1)×f(0)＝ ×(－1)＜0，因此函数 f(x)在(－1，0)上必有零点，又 f(2)＝f(4)＝0，因此函数 f(x) 2 的零点个数是 3，故选 D. 【答案】 D 3．函数 f(x)＝lnx＋2x－8 的零点所在区间为( A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【解析】 ∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4&0， )2x)f(3)＝ln3＋2×3－8&0，∴f(4)?f(3)&0.又 f(x)在(3，4)上连续，15∴f(x)在区间(3，4)内有零点． 【答案】 C 4．函数 f(x)＝ax ＋bx＋c，若 f(1)＞0，f(2)＜0，则 f(x)在(1，2)上的零点( A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 【解析】 若 a＝0，则 f(x)＝bx＋c 是一次函数，由 f(1)?f(2)＜0 得零点只有一个；若 a≠0，则 f(x)＝ax ＋bx＋c 为二 次函数，如有两个零点，则必有 f(1)?f(2)＞0，与已知矛盾．故选 C. 【答案】 C 二、填空题 5．函数 f(x)＝x －2x＋a 有两个不同零点，则实数 a 的范围是________． 【解析】 由题意可知，方程 x －2x＋a＝0 有两个不同解，故 Δ ＝4－4a&0，即 a&1. 【答案】 (－∞，1) 6．若函数 f(x)＝ax＋b 的零点为 2，那么函数 g(x)＝bx －ax 的零点是________． 【解析】 由题意可知 f(2)＝2a＋b＝0，即 b＝－2a. ∴g(x)＝bx －ax＝－2ax －ax＝－ax(2x＋1)＝0， 1 ∴x＝0 或 x＝－ . 2 1 【答案】 0 或－ 2 7．(2014?温州高一检测)根据表格中的数据，若函数 f(x)＝ln x－x＋2 在区间(k，k＋1)(k∈N )内有一个零点，则 k 的值16* 2 2 2 2 2 2 2)为________.xln x 【解析】 f(1)＝ln1－1＋2＝1＞0，1 02 0.693 1.104 1.395 1.61f(2)＝ln 2－2＋2＝ln 2＝0.69＞0， f(3)＝ln 3－3＋2＝1.10－1＝0.10＞0， f(4)＝ln 4－4＋2＝1.39－2＝－0.61＜0， f(5)＝ln 5－5＋2＝1.61－3＝－1.39＜0，所以 f(3)?f(4)＜0. 所以函数 f(x)＝ln x－x＋2 在区间(3，4)内有一个零点，所以 k＝3. 【答案】 3 三、解答题 8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝x＋3 2 .(2)f(x)＝x ＋2x＋4. xx(3)f(x)＝2 －3.(4)f(x)＝1－log3x. 【解】 (1)令x＋3 ＝0，解得 x＝－3， x x＋3 的零点是－3. x17所以函数 f(x)＝(2)令 x ＋2x＋4＝0， 由于 Δ ＝2 －4×1×4＝－12＜0， 所以方程 x ＋2x＋4＝0 无实数根， 所以函数 f(x)＝x ＋2x＋4 不存在零点． (3)令 2 －3＝0，解得 x＝log23， 所以函数 f(x)＝2 －3 的零点是 log23. (4)令 1－log3x＝0，解得 x＝3， 所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 3. 9．(2014?西安高一检测)已知函数 f(x)＝x －x－2a. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的零点． (2)若 f(x)有零点，求实数 a 的取值范围． 【解】 (1)当 a＝1 时，f(x)＝x －x－2. 令 f(x)＝x －x－2＝0 得 x＝－1 或 x＝2. 即函数 f(x)的零点为－1 与 2. 1 (2)要使 f(x)有零点，则 Δ ＝1＋8a≥0，解得 a≥－ . 8 1 所以 a 的取值范围是 a≥－ . 82 2 2 2 2 22xx18[能力提升层次] 1．若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( A．若 f(a)?f(b)&0，不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 B．若 f(a)?f(b)&0，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 C．若 f(a)?f(b)&0，有可能存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 D．若 f(a)?f(b)&0，有可能不存在实数 c∈(a，b)使得 f(c)＝0 【解析】 根据函数零点存在定理可判断，若 f(a)?f(b)&0，则一定存在实数 c∈(a，b)，使 f(c)＝0，但 c 的个数不确定， 故 B、D 错．若 f(a)?f(b)&0，有可能存在实数 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，如 f(x)＝x －1，f(－2)?f(2)&0，但 f(x)＝x －1 在 (－2，2)内有两个零点，故 A 错，C 正确． 【答案】 C 2．(2013?重庆高考)若 a&b&c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 【解析】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a&b&c，∴f(a)&0，f(b)&0，f(c)&0， )2 2)19∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【答案】 A 3．(2014?杭州高一检测)已知函数 f(x)＝3 ＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大 小关系是________． 【解析】 画出函数 y＝3 ，y＝log3x，y＝－x，y＝－2 的图象，如图所示x x观察图象可知，函数 f(x)＝3 ＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x 的零点依次是点 A，B，C 的横坐标，由图象可知 a＜b ＜c. 【答案】 a＜b＜c 4．(2014?渭南高一检测)方程 x －(k＋2)x＋1－3k＝0 有两个不等实根 x1，x2，且 0&x1&1&x2&2，求实数 k 的取值范围． 【解】 因为方程 x －(k＋2)x＋1－3k＝0 有两个不等实根 x1，x2，且 0&x1&1&x2&2，所以设 f(x)＝x －(k＋2)x＋1－3k，画 出函数的大致图象如图．2 2 2x201 据图象有 f(0)＝1－3k&0，且 f(1)＝－4k&0，且 f(2)＝1－5k&0，所以 0&k& . 5? ? 1? 所以实数 k 的取值范围为?k?0&k& ?. 5? ? ?3．1.2 用二分法求方程的近似解 [学习目标] 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点．从而求得方程的近似解．(易混点)一、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)?f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使 区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 二、二分法的步骤 给定精确度 ε ，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤如下 (1)确定区间[a，b]，验证 f(a)?f(b)＜0，给定精确度 ε ； (2)求区间(a，b)的中点 c； (3)计算 f(c)， 若 f(c)＝0，则 c 就是零点； 若 f(a)?f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))；21若 f(c)?f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． (4)判断是否达到精确度 ε ：即若|a－b|＜ε ，则得到零点近似值 a(或 b)，否则重复(2)～(4)．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( (2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( ) ) )(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．( 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．已知函数 f(x)的图象如图 3?1?1，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()图 3?1?1 A．4，4 C．5，4 D．4，3 B．3，4【解析】 由图象知函数 f(x)与 x 轴有 4 个交点，因此零点个数为 4，从左往右数第 4 个交点两侧不满足 f(a)?f(b)&0，因22此不能用二分法求零点，而其余 3 个均可使用二分法求零点． 【答案】 D 3．用二分法求函数 f(x)＝x ＋5 的零点可以取的初始区间为( A．[－2，1] B．[－1，0]3)C．[0，1] D．[1，2] 【解析】 由 f(－2)?f(1)&0 知初始区间可以取[－2，1]． 【答案】 A 2＋3 4．用二分法求函数 y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证 f(2)?f(3)＜0，取区间[2，3]的中点 x1＝ ＝2.5，计 2 算得 f(2.5)?f(3)＞0，此时零点 x0 所在的区间是________． 【解析】 ∵f(2)?f(3)＜0，f(2.5)?f(3)＞0， ∴f(2)?f(2.5)＜0 ∴x0∈(2，2.5) 【答案】 (2，2.5)预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 223问题 3 问题 4二分法的概念 (1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )(2)下列函数中不能用二分法求零点的是( A．f(x)＝3x－1 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx)3B．f(x)＝x24【解析】 (1)A 中，函数无零点．B 和 D 中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而 在 C 中，函数图象是连续不断的，且图象与 x 轴有交点，并且其零点为变号零点，故选 C. (2)结合函数 f(x)＝|x|的图象可知，该函数在 x＝0 的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点． 【答案】 (1)C (2)C二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的 方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．用二分法求函数零点近似值 1 确定函数 f(x)＝log x＋x－4 的零点个数，并求出其中最大零点的近似值．(精确度 0.1) 2 1 1 【思路点拨】 f(x)＝0 可变形为 log x＝4－x，画函数 y＝log x 与 y＝4－x 的图象确定交点个数就是函数 f(x)的零点个 2 2 数．“精确度 0.1”是要求等分零点所在区间，直到区间两端点之差的绝对值小于 0.1. 1 1 【解】 设 y1＝log x，y2＝4－x，则 f(x)的零点个数即 y1＝log x，y2＝4－x 的图象的交点个数， 2 2 作出两函数大致图象，如图：251 由图知 y1＝log x 与 y2＝4－x 的图象有两个交点，其中一个交点横坐标在区间(0，1)之内，另一个大于 4. 2 1 1 1 因为 f(6)＝log 6＋6－4＝log 6＋2＜log 4＋2＝0， 2 2 2f(7)＝log 7＋7－4＝log 7＋3＞log 8＋3＝0，结合图象可知，另一个交点的横坐标在区间(6，7)之内， 1 综上分析知，函数 f(x)＝log x＋x－4 在区间(6，7)内有最大零点 x0， 2 取区间(6，7)的中点 x1＝6.5， 用计算器算得 f(6.5)≈－0.200， 因为 f(6.5)?f(7)＜0， 所以 x0∈(6.5，7)， 再取区间(6.5，7)的中点 x2＝6.75， 用计算器算得 f(6.75)≈－0.005， 因为 f(6.75)?f(7)＜0，1 21 21 226所以 x0∈(6.75，7)． 再取区间(6.75，7)的中点 x3＝6.875， 用计算器算得 f(6.875)≈0.094， 因为 f(6.75)?f(6.875)＜0， 所以 x0∈(6.75，6.875)． 再取区间(6.75，6.875)的中点 x4＝6.812 5，用计算器算得 f(6.812 5)≈0.443， 因为 f(6.812 5)?f(6.75)＜0， 所以 x0∈(6.75，6.812 5)． 由于|6.75－6.812 5|＝0.062 5＜0.1， 1 所以函数 f(x)＝log x＋x－4 最大零点的近似值可取 6.812 5. 2用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精 确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．本题中将函数改为“f(x)＝log2x＋x－4”，试判断函数零点个数；并求零点的近似值．(精确度 0.1) 【解】 设 y1＝log2x，y2＝4－x，则 f(x)的零点个数即 y1＝log2x，y2＝4－x 的图象的交点个数． 作出两函数的大致图象，如图：27由图知，y1＝log2x 与 y2＝4－x 的图象只有一个交点，因为 f(2)＝log22＋2－4＝－1＜0，f(3)＝log23＋3－4＝log23－1＞log22－1＝0，所以函数 f(x)＝log2x＋x－4 只有一个零点，在区间(2，3)内． 取区间(2，3)的中点 x1＝2.5， 用计算器算得 f(2.5)≈－0.178， 因为 f(2.5)?f(3)＜0， 所以 x0∈(2.5，3)． 再取区间(2.5，3)的中点 x2＝2.75， 用计算器算得 f(2.75)≈0.209， 因为 f(2.5)?f(2.75)＜0， 所以 x0∈(2.5，2.75)． 再取区间(2.5，2.75)的中点 x3＝2.625， 用计算器算得 f(2.625)≈0.017， 因为 f(2.5)?f(2.625)＜0， 所以 x0∈(2.5，2.625)．28再取区间(2.5，2.625)的中点 x4＝2.562 5， 用计算器算得 f(2.562 5)≈－0.080， 因为 f(2.562 5)?f(2.625)＜0， 所以 x0∈(2.562 5，2.625)． 由于|2.625－2.562 5|＝0.062 5＜0.1， 所以函数 f(x)＝log2x＋x－4 零点的近似值可取 2.562 5.用二分法求方程的近似解 用二分法求方程 2x ＋3x－3＝0 的一个正实数近似解(精确度 0.1)． 【思路探究】 构造函数 f(x)＝2x ＋3x－3→确定初始区间(a，b)→二分法求方程的近似解→验证|a－b|&0.1 是否成立→下 结论 【解】 令 f(x)＝2x ＋3x－3，经计算，f(0)＝－3&0，f(1)＝2&0，f(0)?f(1)&0， 所以函数 f(x)在(0，1)内存在零点， 即方程 2x ＋3x＝3 在(0，1)内有解． 取(0，1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)&0， 又 f(1)&0， 所以方程 2x ＋3x－3＝0 在(0.5，1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：3 3 3 3 329(a，b) (0，1) (0.5，1) (0.5，0.75) (0.625，0.75)中点 c 0.5 0.75 0.625 0.687 5f(a) f(0)&0 f(0.5)&0 f(0.5)&0 f(0.625)&0f(b) f(1)&0 f(1)&0 f(0.75)&0 f(0.75)&0f(a＋b2)f(0.5)&0 f(0.75)&0 f(0.625)&0 f(0.687 5)&0由于|0.|＝0.， 所以方程 2x ＋3x－3＝0 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.6875.31．根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程 f(x)＝0 的近似解，可按照 用二分法求函数零点近似值的步骤求解． 2．对于解方程 f(x)＝g(x)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)，函数 F(x)的零点即为方程 f(x)＝g(x)的根．用二分法求 2 ＋x＝4 在[1，2]内的近似解(精确度为 0.2)．参考数据：xx2x x1.125 2.181.25 2.381.375 2.591.5 2.831.625 3.081.75 3.361.875 3.67【解】 令 f(x)＝2 ＋x－4，则 f(1)＝2＋1－4&0，f(2)＝22＋2－4&0.30区间 (1，2) (1，1.5) (1.25，1.5) (1.375，1.5) ∵|1.375－1.5|＝0.125&0.2， ∴2 ＋x＝4 在(1，2)内的近似解可取为 1.375.x区间中点值 xnf(xn)的值及符号 f(x1)＝0.33&0 f(x2)＝－0.37&0 f(x3)＝－0.035&0x1＝1.5 x2＝1.25 x3＝1.375311．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所 要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)?f(b)&0. 上述两条的函数方程可采用二分法求得零点的近似值． 3． 确定函数的零点、 方程的根所在的区间时， 通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．对精确度理解不准确致误 用二分法求方程 x －5＝0 的一个近似正解(精确度 0.1)． 【易错分析】 解答本题的易错点是对“精确度 0.1”理解不正确，忽视阴影处区间长度与精确度的比较，无法确定零点最2终所在区间导致错误． 【防范措施】 要时刻关注区间两个端点之差的绝对值， 只有此值小于精确度 ε 时， 才能停止计算， 否则还要继续计算下去． 如 本例区间(2.2，2.25)的长度为 0.05，它小于给定的精确度 0.1，所以此区间内任意实数都可以作为原方程的近似解．32【解】 令 f(x)＝x －5. 因为 f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0， 所以 f(2.2)?f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点 x0. 取区间(2.2，2.4)的中点 x1＝2.3，f(2.3)＝0.29， 因为 f(2.2)?f(2.3)＜0， 所以 x0∈(2.2，2.3)． 再取区间(2.2，2.3)的中点 x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625， 因为 f(2.2)?f(2.25)＜0， 所以 x0∈(2.2，2.25)． 由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1， 因此原方程的近似正解可取为 2.25. ――[类题尝试]――――――――――――――――― 9 函数 f(x)＝lg x－ 在区间(9，10)内的零点近似值为________．(精确度 0.1)2x9 1 【解析】 设函数 f(x)的零点为 x0，f(9)＝lg 9－1＜lg 10－1＝0，f(10)＝lg 10－ ＝ ＞0， 10 10 因为 f(9)f(10)＜0， 所以零点 x0∈(9，10)． 取区间(9，10)的中点 x1＝9.5， 计算 f(9.5)≈0.030 4，33因为 f(9)f(9.5)＜0， 所以零点 x0∈(9，9.5)． 取区间(9，9.5)的中点 x2＝9.25， 计算 f(9.25)≈－0.006 8， 因为 f(9.25)f(9.5)＜0， 所以零点 x0∈(9.25，9.5)． 取区间(9.25，9.5)的中点 x3＝9.375， 计算 f(9.375)≈0.012 0， 因为 f(9.25)f(9.375)＜0， 所以零点 x0∈(9.25，9.375)． 取区间(9.25，9.375)的中点 x4＝9.312 5， 计算 f(9.312 5)≈0.002 6， 因为 f(9.25)f(9.312 5)＜0， 所以零点 x0∈(9.25，9.312 5)， 因为|9.312 5－9.25|＝0.062 5＜0.1， 所以原函数零点的近似值可取为 9.312 5. 【答案】 9.312 5(不唯一)34课时作业(二十一) 用二分法求方程的近似解[学业水平层次] 一、选择题 1．下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在 B 中，不满足 f(a)?f(b)&0，不能用二分法求零点，由 于 A、C、D 中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选 B. 【答案】 B 2．(2014?河南中原名校联考)设 f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程 lg x＋x－3＝0 在(2，3)内近似解的过程中得 f(2.25) ＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间( A．(2，2.25) B．(2.25，2.5) )C．(2.5，2.75) D．(2.75，3) 【解析】 因为 f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在性定理知，在区间(2.25，2.75)内必有根，利用二分法得 f(2.5)＜0， 由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5，2.75)，选 C.35【答案】 C 3．用二分法研究函数 f(x)＝x ＋3x－1 的零点时，第一次经计算得 f(0)&0，f(0.5)&0，可得其中一个零点 x0∈________，第 二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( A．(0，0.5)，f(0.25) B．(0，1)，f(0.25) C．(0.5，1)，f(0.25) D．(0，0.5)，f(0.125) 【解析】 ∵f(0)&0， f(0.5)&0， ∴f(0)?f(0.5)&0， 故 f(x)的一个零点 x0∈(0， 0.5)， 利用二分法， 则第二次应计算 f? ＝f(0.25)． 【答案】 A 4．在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为( A．0.68 ) D．0.6 )3?0＋0.5? ? ? 2 ?B．0.72 C．0.71 【解析】 已知 f(0.64)＜0， f(0.72)＞0， 则函数 f(x)的零点的初始区间为[0.64， 0.72]， 又 0.68＝ (0.64＋0.72)， 且 f(0.68) 2 ＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7.因此，0.7 就是所求函数的一个正 实数零点的近似值． 【答案】 C 二、填空题 3 5．用二分法求方程 lnx－2＋x＝0 在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点 c＝ ，则下一个含根的区间是________． 2363 1 ?3? ?3 ? 【解析】 令 f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1&0，f(2)＝ln2&0，f? ?＝ln － ＜0，∴下一个含根的区间是? ，2?. 2 2 ?2? ?2 ??3 ? 【答案】 ? ，2? ?2 ?6．若函数 f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定 f(x)的零点所在区间为________．(只填序号) ①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞)x f(x)1 136.1232 15.5423 －3.9304 10.6785 －50.6676 －305.678【解析】 ∵函数 f(x)的图象是连续不断的，且 f(2)?f(3)＜0，f(3)?f(4)＜0，f(4)?f(5)＜0， ∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内． 【答案】 ③④⑤ 7．用二分法求函数 f(x)＝3 －x－4 的一个零点，其参考数据如下：xf(1.600 0)＝0.200 f(1.562 5)＝0.003xf(1.587 5)＝0.133 f(1.556 2)＝－0.029f(1.575 0)＝0.067 f(1.550 0)＝－0.060据此数据，可得方程 3 －x－4＝0 的一个近似解(精确度到 0.01)为________． 【解析】 注意到 f(1.556 2)＝－0.029 和 f(1.562 5)＝0.003， 显然 f(1.556 2)?f(1.562 5)＜0，区间的端点四舍五入都为 1.56，故方程的一个近似解为 1.56. 【答案】 1.56 三、解答题378．求函数 f(x)＝x ＋2x －3x－6 的一个正零点(精确度为 0.1)． 【解】 f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间(1，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 区间 (1，2) (1.5，2) (1.5，1.75) (1.625，1.75) (1.687 5，1.75) 由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5＜0.1， 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值． 9．(2014?天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程 log2(x＋4)＝2 的一个正根的近似值．(精确度 0.1) 【解】 令 f(x)＝log2(x＋4)－2 ，其零点为 x0， 借助计算机作出函数 f(x)的图象如图所示．x x32中点 1.5 1.75 1.625 1.687 5 1.718 75中点函数值 －2.625 0.234 4 －1.302 7 －0.561 8 －0.170 7取正区间[1，2]，f(1)≈0.322，f(2)≈－1.415. 取区间[1，2]的中点 x1＝1.5， 计算 f(1.5)≈－0.369，38所以 f(1)?f(1.5)＜0， 所以 x0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点 x2＝1.25， 计算 f(1.25)≈0.014， 所以 x0∈(1.25，1.5)． 同理可得 x0∈(1.25，1.375)，x0∈(1.25，1.312 5)，因为|1.312 5－1.25|＝0.062 5＜0.1， 故可取 1.312 5 作为此函数的一个零点， 所以方程 log2(x＋4)＝2 精确度到 0.1 的正根的近似值为 1.312 5. [能力提升层次] 1．(2014?合肥高一检测)函数 f(x)＝2x＋m 的零点落在(－1，0)内，则 m 的取值范围为( A．(－2，0) C．[－2，0] D．[0，2] B．(0，2) )x【解析】 由题意 f(－1)?f(0)＝(m－2)m&0，∴0&m&2. 【答案】 B 2．下列函数不宜用二分法求零点的是( A．f(x)＝x －1 B．f(x)＝ln x＋3393)C．f(x)＝x ＋2 2x＋2 D．f(x)＝－x ＋4x－1 【解析】 因为 f(x)＝x ＋2 2x＋2＝(x＋ 2) ≥0，不存在小于 0 的函数值，所以不能用二分法求零点． 【答案】 C 3．(2014?广州高一检测)一块电路板的线路 AB 之间有 64 个串联的焊接点(如图 3?1?2 所示)，如果线路不通的原因是由于焊 口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．2 222图 3?1?2 64 64 【解析】 第 1 次取中点把焊点数减半为 ＝32(个)，第 2 次取中点把焊点数减半为 ＝16(个)，第 3 次取中点把焊点数减 2 4 64 64 64 半为 ＝8(个)，第 4 次取中点把焊点数减半为 ＝4(个)，第 5 次取中点把焊点数减半为 ＝2(个)，第 6 次取中点把焊点数减半 8 16 32 64 为 ＝1(个)，所以至多需要检测的次数是 6. 64 【答案】 6 4．已知函数 f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且仅有一个零点． 1 (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于 . 4 【解】 (1)因为函数 y＝ln x，y＝2x－6 在(0，＋∞)上都是增函数， 所以 f(x)＝ln x＋2x－6 在(0，＋∞)上是增函数，40所以 f(x)至多有一个零点， 由 f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0， 所以 f(2)?f(3)＜0， 所以 f(x)在(2，3)内至少有一个零点， 所以 f(x)有且仅有一个零点． (2)因为 f(2)＜0，f(3)＞0， 2＋3 5 取 x1＝ ＝ ， 2 2f? ?＝ln ＋5－6＝ln －1＜0， 2?5? ? ?5 25 2?5? 所以 f(3)?f? ?＜0， ?2? ?5 ? 所以 f(x)的零点 x0∈? ，3?. ?2 ?5 ＋3 2 11 取 x2＝ ＝ ， 2 4f? ?＝ln ＋2× －6 411 1 ＝ln － ＞0， 4 2?11? ? ?11 411 441?11? ?5? 所以 f? ??f? ?＜0， ? 4 ? ?2? ?5 11? 所以 x0∈? ， ?. ?2 4 ? ?11 5? 1 1 因为? － ?＝ ≤ ， ? 4 2? 4 4 ?5 11? 所以满足题意的区间为? ， ?. ?2 4 ?3．2 函数模型及其应用 3．2.1 几类不同增长的函数模型 [学习目标] 1.理解直线上升、 指数爆炸、 对数增长的含义． (重点)2.区分指数函数、 对数函数以及幂函数增长速度的差异． (易 混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)一、三种函数模型的性质函数性质 在(0，＋∞)上的y＝ax(a&1)单调递增y＝logax(a&1)单调递增y＝xn(n&0)单调递增42增减性 图象的变化 随 x 增大逐渐变陡 随 x 增大逐渐变缓 随 n 值不同而 不同二、三种函数的增长速度的比较 1．在区间(0，＋∞)上，函数 y＝a (a&1)，y＝logax(a&1)和 y＝x (n&0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次” 上． 2．在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大，y＝a (a&1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y＝x (n&0)的增长速度，而 y＝ logax(a&1)的增长速度则会越来越慢． 3．存在一个 x0，使得当 x&x0 时，有 logax&x &a ．n x x n x n1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x 比 y＝2 增长的速度更快些．(3x) )(2)当 x＞100 时，函数 y＝10x－1 比 y＝lg x 增长的速度快．(x(3)能用指数型函数 f(x)＝ab ＋c(a，b，c 为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸 型”函数．( )43【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 2．下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是( A．y＝1 C．y＝3x)B．y＝x D．y＝log3xx x【解析】 结合函数 y＝1，y＝x，y＝3 及 y＝log3x 的图象可知，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y＝3 . 【答案】 C 3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数 模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有 D 选项对数型函数符合题设条件，故选 D. 【答案】 D 4．已知变量 x，y 满足 y＝1－3x，当 x 增加 1 个单位时，y 的变化情况是________． 【解析】 ∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3， ∴当 x 增加 1 个单位时，y 减少 3 个单位． 【答案】 减少 3 个单位 )预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中44问题 1 问题 2 问题 3 问题 4函数模型的增长差异 (1)下列函数中随 x 增大而增长速度最快的是( A．y＝2 015ln x C．y＝ B．y＝x2 015)x2 015D．y＝2 015?2x(2)三个变量 y1，y2，y3 随着变量 x 的变化情况如下表：x y1 y2 y31 5 5 53 135 29 6.105 625 245 6.617 1 715 2 189 6.959 3 645 19 685 7.211 6 655 177 149 7.445则关于 x 分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( A．y1，y2，y3 C．y3，y2，y1 B．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2)【解析】 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y＝2 015?2 增长速度最快． (2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量 y3 随 x 的变化 符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2 随 x 的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1 随 x 的变化符 合此规律，故选 C. 【答案】 (1)D (2)Cx1．指数函数模型 y＝a (a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”． 2．对数函数模型 y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢． 3．幂函数模型 y＝x (n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．nx函数模型的选择问题 某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元时，按生 源利润进行奖励，且资金 y(单位：万元)随生源利润 x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利 润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02 ，其中哪个模型符合该校的要求？ 【思路探究】 作出函数图象 → 观察图象得到结论46x【解】 借助工具作出函数 y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02 的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝ 0.2x，y＝1.02 的图象都有一部分在直线 y＝3 的上方，只有 y＝log5x 的图象始终在 y＝3 和 y＝0.2x 的下方，这说明只有按模型xxy＝log5x 进行奖励才符合学校的要求．1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； 2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； 3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； 4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为 50 元，其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方 米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施． 方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污水所用原料费为 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元； 方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费．问： (1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；47(2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？ 【解】 (1)设工厂每月生产 x 件产品时，方案一的利润为 y1 元，方案二的利润为 y2 元，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.当 x＝3 000 时，y1＝42 000，y2＝54 000， ∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水． (2)当 x＝6 000 时，y1＝114 000，y2＝108 000， ∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．根据函数图象确定函数模型 函数 f(x)＝2 和 g(x)＝x 的图象如下图 3?2?1 所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2.x3图 3?2?1 (1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断 f(6)，g(6)，f(2 015)，g(2 015)的大小．48【思路探究】 根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断． 【解】 (1)C1 对应的函数为 g(x)＝x ，C2 对应的函数为 f(x)＝2 . (2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2，9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2，2 015＞x2. 从图象上可以看出，当 x1＜x＜x2 时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)； 当 x＞x2 时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 015)＞g(2 015)． 又 g(2 015)＞g(6)， ∴f(2 015)＞g(2 015)＞g(6)＞f(6)．3x根据图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数 函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数．本例中若 x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且 a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出 a、b 的值，并说明 理由． 【解】 a＝1，b＝9.理由如下：49令 φ (x)＝f(x)－g(x)＝2 －x ，则 x1，x2 为函数 φ (x)的零点．由于 φ (x)在[1，13]上为连续函数，φ (1)＝1&0，φ (2)＝－ 4&0，φ (9)＝2 －9 &0，φ (10)＝2 －10 &0，所以函数 φ (x)＝f(x)－g(x)的两个零点 x1∈[1，2]，x2∈[9，10]．因此，a＝1，b ＝9.9 3 10 3x31．常见的函数模型及增长特点． (1)直线 y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升； (2)对数函数 y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；50(3)指数函数 y＝a (a＞1)模型，其增长迅速． 2．函数模型选取的择优意识 解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型． 3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．x51图形信息题的求解误区 (2014?福建高一检测)如图 3?2?2，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中正确的有( )图 3?2?2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【易错分析】 不能准确的从图形中提取信息，不会把水的高度的变化速度与图象的变化趋势结合起来，是本题的求解误区． 【防范措施】 (1)要根据几何体的结构特征判断水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，判断 h 变化速度的快慢． (2)准确把握常见函数模型的增长速度的差异和图象特征：增长速度越来越快的函数．图象如指数函数图象(下凸型)，增长速 度越来越慢的函数，图象如对数函数图象(上凸型) 【解析】 图 1 不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的． 图 2 正确．因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图象应52越来越来缓． 图 3 正确．球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增 加得越来越快，即图象先平缓再变陡． 图 4 正确．图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，先快后慢，即图象先变陡再平缓． 【答案】 C ――[类题尝试]――――――――――――――――― 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图 3?2?3 所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，图 3?2?3 若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v＝f(h)的大致图象是( )【解析】 当 h＝H 时，体积是 V，故排除 A，C.h 由 0 到 H 变化的过程中，V 的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型 函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选 B. 【答案】 B53课时作业(二十二) 几类不同增长的函数模型[学业水平层次] 一、选择题 1．下列函数中，随着 x 的增大，增长速度最快的是( A．y＝50 C．y＝2x－1)B．y＝1 000x 1 D．y＝ ln x 1 000【解析】 指数函数模型增长速度最快，故选 C. 【答案】 C 2．今有一组数据如下：t v2 1.53 4.044 7.55 126 18.01 )现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( A．v＝log2t C．v＝ 1 B．v＝log t 2 D．v＝2t－2t2－12541 【解析】 ∵log24＝2 可排除 A；log 4＝－2，可排除 B；2×6－2＝10；可排除 D.代入一些数据检验知 C 最接近． 2 【答案】 C 3．若 x∈(0，1)，则下列结论正确的是( 1 x A．2 &x2&lgx 1 x C．x2&2 &lgx 1 x B．2 &lgx&x2 1 x D．lgx&x2&2 )1 x 【解析】 如图所示，由图可知当 x∈(0，1)时，2 &x2&lgx. 【答案】 A 4．某商品降价 20%，由于原材料上涨，欲恢复原价，则需提价( A．10% B．15% C．20% D．25% 【解析】 设该商品原价为 a，需提价 x，依题意得 )a(1－0.2)(1＋x)＝a，554 4 ∴ ＋ x＝1， 5 5 1 得 x＝ ＝25%，故选 D. 4 【答案】 D 二、填空题 5．已知甲、乙两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以 50 km/h 的速度 返回甲地，把汽车离开甲地的距离 s 表示为时间 t 的函数，则此函数表达式为________． 【解析】 当 0≤t≤2.5 时 s＝60t，当 2.5＜t＜3.5 时，s＝150，当 35≤t≤6.5 时，t＝150－50(t－3.5)＝325－50t， 60t （0≤t≤2.5）， ? ? 综上所述，s＝?150 （2.5＜t＜3.5）， ? ?325－50t （3.5≤t≤6.5）. 60t （0≤t≤2.5）， ? ? 【答案】 s＝?150 （2.5＜t＜3.5）， ? ?325－50t （3.5≤t≤6.5）. 6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量 M 千克、火箭(除燃料外)的质量 m 千克的函数关系式 是 v＝2 000ln?1＋ ?.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达 12 千米/秒． 【解析】 当 v＝12 000 时，2 000×ln?1＋ ?＝12 000， m? ?M? m?? ?M??56∴ln?1＋ ?＝6，∴ ＝e －1. m? ?M??M m6【答案】 e －1 7．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量 x(kg)与运费 y(元)由图 3?2?4 的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李 的最大质量为________．6图 3?2?4 【解析】 设 y＝kx＋b，将点(30，330)、(40，630)代入得 y＝30x－570，令 y＝0，得 x＝19.故最大质量为 19 kg. 【答案】 19 kg 三、解答题 8．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 h＝mt＋b 与 h＝loga(t ＋1)来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度.t(年) h(米)【解】 据表中数据作出散点图如图1 0.62 13 1.34 1.55 1.66 1.757由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 不妨将(2，1)代入到 h＝loga(t＋1)中，得 1＝loga3，解得 a＝3. 故可用函数 h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题． 当 t＝8 时，求得 h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第 8 年松树的高度为 2 米． 9．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范 围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y1(元)、y2(元)的关系分别如图 3?2?5(1)、图(2)所示．图(1) 图 3?2?5 (1)分别求出通话费 y1，y2 与通话时间 x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月(30 天)内使用哪种卡便宜． 【解】 (1)由图象可设 y1＝k1x＋29，y2＝k2x， 把点 B(30，35)，C(30，15)分别代入 y1，y2 得图(2)58k1＝ ，k2＝ .1 1 ∴y1＝ x＋29(x≥0)，y2＝ x(x≥0)． 5 2 (2)令 y1＝y2， 1 1 2 即 x＋29＝ x，则 x＝96 . 5 2 3 2 当 x＝96 时，y1＝y2，两种卡收费一致； 3 2 当 x&96 时，y1&y2，即便民卡便宜； 3 2 当 x&96 时，y1&y2，即如意卡便宜． 3 [能力提升层次] 1．(2014?郑州高一检测)某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公 顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x(年)的函数关系较为近似的是( 1 2 A．y＝0.2x B．y＝ x ＋2x 10 C．y＝ 2 D．y＝0.2＋log16x 1059x1 51 2)【解析】 取 x＝1，2，3 代入各选项函数解析式中检验即可． 【答案】 C 2． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终 点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点??用 s1，s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情 节相吻合的是( )【解析】 兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点．故选 B. 【答案】 B图 3?2?6 3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图 3?2?6 所示．现给出下列说法： ①前 5min 温度增加的速度越来越快；②前 5min 温度增加的速度越来越慢；③5min 以后温度保持匀速增加；④5min 以后温度 保持不变． 其中正确的说法是________．(填序号) 【解析】 因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平，即 5min 前每当 t 增加一个单位增量，则 y 相应的增量越来越小，而605min 后是 y 关于 t 的增量保持为 0，则②④正确． 【答案】 ②④ 4．(2014?阜阳高一检测)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时 5 元；乙中心按 月计算，一个月中 30 小时以内(含 30 小时)90 元，超过 30 小时的部分每小时 2 元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健 身活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超过 40 小时． (1)设在甲中心健身活动 x(15≤x≤40)小时的收费为 f(x)元，在乙中心健身活动 x 小时的收费为 g(x)元，试求 f(x)和 g(x)． (2)问：选择哪家比较合算？为什么？ 【解】 (1)f(x)＝5x，15≤x≤40，g(x)＝??90，15≤x≤30， ? ? ?30＋2x，30＜x≤40.(2)当 5x＝90 时，x＝18， 即当 15≤x＜18 时，f(x)＜g(x)； 当 x＝18 时，f(x)＝g(x)， 当 18＜x≤40 时，f(x)＞g(x)； 所以当 15≤x＜18 时，选甲比较合算；当 x＝18 时，两家一样合算；当 18＜x≤40 时，选乙比较合算． 3．2.2 函数模型的应用实例 [学习目标] 1.会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题(重点、难点)．61一、几类函数模型函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型函数解析式f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a&0 且 a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1) y＝axα ＋b(a，b，α 为常数，a≠1，α ≠1) f （x），x∈D ? ?f （x），x∈D f(x)＝? ?? ? ?f （x），x∈D1 2 1 2分段函数模型nn二、应用函数模型解决问题的基本过程621．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝kx＋8(k≠0)在 R 上是增函数．(2)2? b 4ac－b ?.( (2)二次函数 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为? ， 4a ? ? 2a ?) )1 x (3)函数 y＝ ?2 －10 随着自变量 x 的增大，函数值增大的速度越来越快．( 100 【答案】 (1)× (2)× (3)√2．某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，??现有 1 个这样的细胞，分裂 x 次后得到细胞的个数 y 与 x 的 函数关系是( )63A．y＝2x C．y＝2xB．y＝2 D．y＝2x＋1x－1【解析】 分裂一次后由 1 个变成 2 个，分裂两次后 2×2＝2 个，??，分裂 x 次后 y＝2 个． 【答案】 C 3． 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖， 引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物， 已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年) 的关系为 y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为 100 只，则第 7 年它们发展到( A．300 只 B．400 只 C．600 只 D．700 只 【解析】 将 x＝1， y＝100 代入 y＝alog2(x＋1)得， 100＝alog2(1＋1)， 解得 a＝100.所以 x＝7 时， y＝100log2(7＋1)＝300. 【答案】 A 4．已知大气压 p(百帕)与海拔高度 h(米)的关系式为 p＝1 000?? 【解析】 当 h＝6 000 时，p＝1000?? 【答案】 4.9 )2x? 7 ? h ，则海拔 6 000 米处的大气压为________百帕． ? ?100?3 000? 7 ?6 000＝4.9. ? ?100?3 000预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题 1 问题 264问题 3 问题 4一次函数、二次函数模型的应用 (1)据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车 费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是( A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) (2)渔场中鱼群的最大养殖量为 m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量 x 小于 m，以便留出适当的空闲量．已知鱼 群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为 k(k＞0)． ①写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； ②求鱼群年增长量的最大值． 【解析】 (1)由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入 y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤265)000)． 【答案】 D (2)①根据题意知，空闲率是 ②由①知，y＝kx?m－x m－x ，故 y 关于 x 的函数关系式是 y＝kx? ，0＜x＜m. m mm－x k 2 ＝－ x ＋kx m mk? m?2 mk ＝－ ?x－ ? ＋ ，0＜x＜m. m? 2? 4则当 x＝ 时，ymax＝ . 2 4 所以，鱼群年增长量的最大值为 . 4mmkmk1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下 降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解． 2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式法、换元法、 函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．分段函数模型的应用66某市居民自来水收费标准如下： 每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元， 当用水超过 4 吨时， 超过部分每吨为 3.00 元，某月甲、乙两用户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x，3x 吨． (1)求 y 关于 x 的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费 26.40 元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费． 【思路探究】 由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型． 【解】 (1)当甲用户的用水量不超过 4 吨，即 5x≤4 时，乙用户的用水量也不超过 4 吨，即：y＝(5x＋3x)×1.80＝14.4x；同理可得 4 4 当 &x≤ 时，y＝20.4x－4.8； 5 3 4 当 x& 时，y＝24x－9.6. 3 14.4x ?0≤x≤5?， ? ? ? ? 4? ?4 ∴y＝?20.4x－4.8 ? &x≤ ?， 3? ?5 4 ? ?24x－9.6 ???x&3???. (2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增，?4?? 4? ?4? 所以当 x∈?0， ?时，y≤f? ?&26.40； ? 5? ?5?67?4 4? ?4? 当 x∈? ， ?时，y≤f? ?&26.40； ?5 3? ?3? ?4 ? 当 x∈? ，＋∞?时，令 24x－9.6＝26.40， ?3 ?得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间． 2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其 合到一起．已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 km/h 的速度返 回 A 地． (1)把汽车离开 A 地的距离 s 表示为时间 t 的函数(从 A 地出发时开始)，并画出函数的图象； (2)把车速 v(km/h)表示为时间 t(h)的函数，并画出函数的图象． 【解】 (1)①汽车由 A 地到 B 地行驶 t h 所走的距离 s＝60t(0≤t≤2.5)． ②汽车在 B 地停留 1 小时，则汽车到 A 地的距离 s＝150(2.5＜t≤3.5)．68③由 B 地返回 A 地，则汽车到 A 地的距离 s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)． 60t（0≤t≤2.5）， ? ? 综上，s＝?150（2.5＜t≤3.5）， ? ?325－50t（3.5＜t≤6.5）， 它的图象如图(1)所示．(1)(2)60（0≤t≤2.5）， ? ? (2)速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数关系式是 v＝?0（2.5＜t≤3.5）， 它的图象如图(2)所示． ? ?－50（3.5＜t≤6.5），指数函数、对数函数模型的应用 (2014?邯郸高一检测)声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y＝10lg －12给出，其中 I 为声强(单位：W/m )． 10 (1)平时常人交谈时的声强约为 10 W/m ，求其声强级． (2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到的最低声强为多少？ (3)比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为 5×10 W/m ，问这两位同学是否69－7 2 －6 2I2会影响其他同学休息？ 【思路探究】 由公式 Y＝10lg －12可以由 I 求 Y，也可以由 Y 求 I，计算 I＝5×10 W/m 时的声强级并与 50 作比较就可以 10 判断两位同学是否会影响其他同学休息． 【解】 (1)当 I＝10 W/m 时，代入得 Y＝10lg (2)当 Y＝0 时，即为 10lg －12＝0， 10 所以 －12＝1，I＝10 10－6 2I－7210 6 －12＝10lg 10 ＝60，即声强级为 60 分贝． 10－6II－12W/m ，则能听到的最低声强为 10－72－12W/m .25×10 －7 2 5 (3)当声强 I＝5×10 W/m 时，声强级 Y＝10lg －12 ＝10lg(5×10 )＝50＋10lg 5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休 10 息．1．有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解． 2．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为 y＝N(1＋p) (其 中 N 为基数，p 为增长率，x 为时间)的形式．x本题中为了达到比较理想的睡眠环境声强 I 的取值范围是什么？70【解】 由 0≤Y≤50 得 0≤10lg －12≤50， 10 所以 0≤lgII10－12≤5＝lg 10 ，5 －125所以 1≤ －12≤10 ，10 10I≤I≤10－12－12×10 ＝10 ，－75－7所以声强 I 的取值范围是 10≤I≤10 .1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决问题．解71决问题时要注意自变量的取值范围． 2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤： ①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；72②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键； ③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程； ④答：将数学结论还原为实际问题的结论．拟合函数模型的建立与应用 (12 分)某企业常年生产一种出口产品，自 2010 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知 2010 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示：x f(x)(1)画出
年该企业年产量的散点图；1 4.002 5.583 7.004 8.44(2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式； (3)2014 年(即 x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2014 年的年 产量为多少？ 【思路探究】 描点 依散点图 待定系数法 误差 D D → 选模 D D → 求模 D D → 验模 → 用模73【满分样板】 (1)画出散点图，如图所示.2 分 (2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得? ∴f(x)＝1.5x＋2.5.4 分 检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08&0.1.? ?a＋b＝4， ? ?a＝1.5， 解得? ?3a＋b＝7， ?b＝2.5， ? ?f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06&0.1.6 分∴一次函数模型 f(x)＝1.5x＋2.5 能基本反映年产量的变化.8 分 (3)根据所建的函数模型，预计 2014 年的年产量为 f(5)＝1.5×5＋2.5＝10 万件，又年产量减少 30%，即 10×70%＝7 万件， 即 2014 年的年产量为 7 万件.12 分函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图．74(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．――[类题尝试]――――――――――――――――― (2014?安徽师大附中期中)某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台， 第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x(1≤x≤4，x∈N )之间关系的是( A．y＝100x C．y＝50×2x*)B．y＝50x －50x＋100 D．y＝100x2【解析】 当 x＝4 时，A 中，y＝400，B 中，y＝700，C 中，y＝800，D 中，y＝100 .故选 C. 【答案】 C475课时作业(二十三) 函数模型的应用实例[学业水平层次] 一、选择题 1．下图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系， 用下列哪个函数模型拟合最好？图 3?2?7 A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2t76C．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2【解析】 结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选 A. 【答案】 A 2． 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系， 其图象如下图 3?2?8 所示， 由图中给出的信息可知， 营销人员没有销售量时的收入是( )图 3?2?8 A．310 元 B．300 元 C．290 元 D．280 元【解析】 设函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)， 函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，? ? ?k＋b＝800， ?k＝500， 则? 解得? ?2k＋b＝1 300， ?b＝300， ? ?∴y＝500x＋300，当 x＝0 时，y＝300. ∴营销人员没有销售量时的收入是 300 元． 【答案】 B 3．某种细胞在正常培养过程中，时刻 t(单位：分)与细胞数 n(单位：个)的部分数据如下表：t0206014077n128 )128根据表中数据，推测繁殖到 1 000 个细胞时的时刻 t 最接近于( A．200 B．220 C．240 D．260【解析】 由表中数据可以看出，n 与 t 的函数关系式为 n＝2 ，令 n＝1 000，则 2 ＝1 000，而 2 ＝1 024，所以繁殖到 20 20 1 000 个细胞时，时刻 t 最接近 200 分钟，故答案应选 A. 【答案】 A 4． 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%， 要增长到原来的 x 倍， 需经过 y 年， 则函数 y＝f(x)的图象大致是( )tt10【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意可得 ax＝a(1＋0.104) ，故 y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以 函数 y＝f(x)的图象大致为 D 中图象，故选 D. 【答案】 D 二、填空题 3 5 ． (2014?徐州高一检测 ) 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，要使存留的污垢不超过 1% ，则至少要清洗的次数是 4 ________(lg2≈0.301 0)．y78x 1 ? 3? 【解析】 设至少要洗 x 次，则?1－ ? ≤ ， ? 4? 1001 ∴x≥ ≈3.322，所以需 4 次． lg2 【答案】 4 6．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是 2 km.如下图 3?2?9 表示甲从 家出发到乙同学家经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系， 其中甲在公园休息的时间是 10 min， 那么 y＝f(x)的解析式为________．图 3?2?9 【解析】 由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得 （0≤x≤30）， ? ? y＝f(x)＝?2 （30＜x＜40）， 1 ? ?10x－2 （40≤x≤60）. 1 x 1579【答案】（0≤x≤30）， ? ? y＝f(x)＝?2 （30＜x＜40）， 1 ? ?10x－2 （40≤x≤60）. 1 x 157．(2014?宿迁高一检测)如图 3?2?10 所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝13，BC＝3，在 AB，AD，CD，CB 上分别截取 AE，AH，CG，CF，且 AE＝AH＝CG＝CF＝x，则 x＝________时，四边形 EFGH 的面积最大，最大面积为________．图 3?2?10 【解析】 设四边形 EFGH 的面积为 S，则? 2 ? S＝13×3－2? x ＋ （13－x）（3－x）?1?21 2?＝－2x ＋16x＝－2(x－4) ＋32，x∈(0，3]． 因为 S＝－2(x－4) ＋32 在(0，3]上是增函数， 所以当 x＝3 时，S 有最大值为 30. 【答案】 3 三、解答题 8．(2014?茂名高一检测)“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数 t＝ 30222805log2? ?(B 为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间． B (1)已知某人练习达到 40 个词汇量时需要 10 天，求该人的学习曲线解析式． (2)他学习几天能掌握 160 个词汇量？ (3)如果他学习时间大于 30 天，他的词汇量情况如何？?N? ? ??N? ?40? 【解】 (1)把 t＝10，N＝40 代入 t＝5log2? ?，得 10＝5log2? ?， ?B? ?B?解得 B＝10. 所以 t＝5log2? ?(N＞0)． ?10? (2)当 N＝160 时，t＝5log2??N??160?＝5log 16＝20(天)． ? 2 ? 10 ?(3)当 t＞30 时，5log2? ?＞30， ?10? 解得 N＞640. 所以学习时间大于 30 天，他的词汇量大于 640 个． 9．某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间 t(小 时)之间的关系近似满足如图 3?2?11 所示的曲线．?N?81图 3?2?11 (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； (2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间． 【解】 (1)由题图得，当 t∈[0，1]时，函数的解析式为 y＝kt，将 M(1，4)代入得 k＝4，∴y＝4t.t－a ?1? 又当 t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为 y＝? ? ， ?2? t－3 ?1? 将点(3，1)代入得 a＝3，∴y＝? ? . ?2??4t，（0≤t≤1）， ? 综上有 y＝f(t)＝??1?t－3 ，（t＞1）. ? ? ? ??2?(2)由 f(t)≥0.25， 1 解得 ≤t≤5. 16821 15 ∴服药一次治疗疾病的有效时间为 5－ ＝4 个小时． 16 16 [能力提升层次] 1．(2013?湖北高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以 上事件吻合得最好的图象是( )【解析】距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选 C. 【答案】 C834x，1≤x＜10，x∈N， ? ? 2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y＝?2x＋10，10≤x＜100，x∈N，其中，x 代表拟录用人 ? ?1.5x，x≥100，x∈N， 数，y 代表面试人数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( A．15 B．40 C．25 D．130 )【解析】 若 4x＝60，则 x＝15＞10，不合题意；若 2x＋10＝60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40＜100，不合 题意．故拟录用 25 人． 【答案】 C 3．(2014?温州高一检测)某地区发生里氏 8.0 级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 强度(J) 震级(里氏) 注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用 y＝alg x＋b(其中 a，b 为常数)．利用散点图可知 a 的值等于________．(取 lg 2＝0.3 进行计算) 1.6×10 5.0193.2×10 5.2194.5×10 5.3196.4×10 5.419图 3?2?1284【解析】 由记录的部分数据可知x＝1.6×1019 时，y＝5.0， x＝3.2×1019 时，y＝5.2.所以 5.0＝alg(1.6×10 )＋b① 5．2＝alg(3.2×10 )＋b② 3.2×10 ②－①得 0.2＝alg 19，0.2＝alg 2. 1.6×10 0.2 0.2 2 所以 a＝ ＝ ＝ . lg 2 0.3 3 【答案】 2 3kx19 19 194．设在海拔 xm 处大气压强是 yPa，y 与 x 之间的函数关系式是 y＝Ce ，其中 C，k 是常量．已知某地某日在海平面的大气压 强为 1.01×10 Pa，1 000m 高空的大气压强为 0.90×10 Pa，求 600m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)． 【解】 将 x＝0，y＝1.01×10 ，x＝1 000，y＝0.90×10 分别代入 y＝Ce ，得? ? ?1.01×10 ＝Ce ， ?C＝1.01×10 ， ? 即? 5 1 000k 5 1 000k ?0.90×10 ＝Ce ， ? . ? ?0.90×10 ＝Ce5 5 5 5 5kxk?05将 C＝1.01×10 代入 0.90×10 ＝Ce 0．90×10 ＝1.01×10 e5 5 1 000k551 000k，得1 000k，即 0.9＝1.01e.两边取以 e 为底的对数(自然对数)，85得 k＝1 0.9 －4 ln ≈－1.15×10 ， 1 000 1.015 －4所以 y＝1.01×10 ×e－1.15×10 x. 将 x＝600 代入，得 y＝1.01×10 ×e－1.15×10 ×600≈0.943×10 . 答：在 600m 高空的大气压强约为 0.943×10 Pa. 章末复习提升课(三) ―――[先总揽全局]――――――――――――――――――――――――――――[再填写关键]―――― 函数的应用 函数与方程 函数的 定义 满足①叫做函数f（x）的零点 求法 ⑤ 解方程f（x）＝0 判断方法 定理 零点 方程 相应方程有实根，则函数④ 图象 图象与③有交点，则函数有零点a5 5 －4 5图象在[a，b]上连续且②，则函 数在（a，b）上有零点函数零点与 方程根的关系函数y＝f（x）的零点就是⑥，就是⑦ 函数模型及其应用 几种不同增长的函数模型 y＝x （a＞0） 较快 y＝logax（a＞1） ⑧y＝ax（a＞1）⑨y＝kx（k＞0）稳定函数模型的应用举例实际问题的函数刻画函数建模案例用函数模型解决问题 , ①方程 f(x)＝0 的实数 x ②f(a)?f(b)＜0 ③x 轴86④有零点 ⑤二分法 ⑥方程 f(x)＝0 的根 ⑦函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 ⑧越来越慢 ⑨越来越快，爆炸式增长函数的零点与方程的根 【例 1】 方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间是( A．(0，1) B．(1，2) )C．(2，3) D．(3，＋∞) 【思路点拨】 把方程的解转化为函数 f(x)＝log3x＋x－3 对应的零点． 【规范解答】 令 f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴f(2)?f(3)＜0，且函数 f(x)在定义域内是增函 数，∴函数 f(x)只有一个零点，且零点 x0∈(2，3)，即方程 log3x＋x＝3 的解所在的区间为(2，3)．故选 C. 【答案】 C87判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程 f(x)＝0 无法解出时，常用函数零点的存在性定理作出判断．函数 f(x)＝? A．0?x＋2，x&0， ?2? ?x －1，x&0，的零点个数是( D．3)B．1C．2【解析】 方法一 方程 x＋2＝0(x&0)的解为 x＝－2，方程 x －1＝0(x&0)的解为 x＝1，所以函数 f(x)有 2 个零点：－2 与 1. 方法二 画出函数 f(x)＝? 有 2 个零点．?x＋2，x&0， ? ?x －1，x&0， ?22的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与 x 轴有 2 个交点，所以函数 f(x)【答案】 C函数模型的建立与应用88【例 2】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为图 3?1 矩形的窗户(如右图 3?1)，在窗框为定长 l 的条件下，要使窗户透光面积 S 最大，窗户应具有怎样的尺寸？ 【思路点拨】 首先根据题意找出 x 与 y 的关系，再把透光面积 S 表示成 x 的函数，建立目标函数，寻求 S 取得最大值的条 件，即当 S 取得最大值时 x 与 y 的值． π 【规范解答】 由题意得窗框总长 l＝ x＋x＋2y， 2 2l－（π ＋2）x ∴y＝ . 4 2l ?2 π 2 π 2 2l－（π ＋2）x π ＋4? l x－ ∴S＝ x ＋xy＝ x ＋x? ＝ ＋ . ? ? 8 8 4 8 ? π ＋4? 2（π ＋4）2x＞0， ? ? 由? 2l－（π ＋2）x y＝ ＞0. ? 4 ?得 x∈?0，? ?2l ? . π ＋2? ?89当 x＝2l l 时，Smax＝ ， π ＋4 2（π ＋4）2此时，y＝ ＝ . π ＋4 2 所以当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．lx建立函数模型的关键是根据条件找到关于变量的等式，建模的重点和难点是把实际问题抽象为数学问题的过程，仔细分析语 言描述，要求什么，它等于什么，如何去表达，怎样求解．从中抽象出函数关系式．某地西红柿从 2 月 1 日起上市．通过调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表： 上市时间 t 种植成本 Q 50 150 110 108 250 1502(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a?bt，Q＝a?logbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 【解】 (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数 Q＝at＋b，Q＝a?bt，Q＝a?logbt 中的任意一个进行描述时都应有 a≠0，此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数 Q＝at ＋bt＋c 进行描述．把表格所提供的三组数据分别代入 Q＝at ＋bt＋c，2 290150＝2500a＋50b＋c， ? ? 得到?108＝12100a＋110b＋c， ? ?150＝62500a＋250b＋c，? ? 3 解此方程组得?b＝－ ， 2 425 ? ?c＝ 2 .a＝1 ， 200 所以，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数关系式为Q＝1 2 3 425 t － t＋ . 200 2 23 － 2 1 3 425 2 (2)当 t＝－ ＝150(天)时，西红柿种植成本最低为 Q＝ ×150 － ×150＋ 1 200 2 2 2× 200 ＝100(元/10 kg)． 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是 150 天，最低种植成本为 100 元/10 kg.2 2一元二次方程根的分布问题 【例 3】 若关于 x 的方程 x ＋mx＋m－1＝0 有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数 m 的取值范围． 【思路点拨】 此方程是一元二次方程，它有两个不等实根相当于二次函数 f(x)＝x ＋mx＋m－1 有两个零点，所以应借助二912 2次函数的有关理论及图象求解． 【规范解答】 令 f(x)＝x ＋mx＋m－1， 其图象的对称轴为直线 x＝－ . 2 因为方程 x ＋mx＋m－1＝0 有一个正根和一个负根，所以函数 f(x)有两个零点 x1，x2. 由题意不妨设 x1＞0，x2＜0， 则|x2|＞|x1|， 画出函数 f(x)的大致图象如图所示，2 2m则满足题设的等价条件为f（0）＜0， ? ?m－1＜0， ? ? 即? ? m ?m＞0， － ＜0， ? ? ? 2解得 0＜m＜1. 即所求 m 的取值范围为(0，1)．921．解决此类问题一定要注意数形结合，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，考虑的方面有：判别式、根与系数的关系、 对称轴、函数值的大小、图象的开口方向等． 2．利用方程的根与相应函数的零点的联系，把方程问题转化成函数的问题求解，这正是函数与方程思想的具体体现，要注意 灵活运用．已知函数 f(x)＝x ＋(2a－1)x＋6＋a 有两个不等零点 m，n，且 m&2，n&2，求实数 a 的取值范围． 【解】 由题意得 f(x)与 x 轴有两个交点，且都在 2 的右边，如图所示．22Δ &0， ? ? 2a－1 23 &2，解得a&－ . 故?－ 2 4 ? ?f（2）&0， 23? ? 所以 a 的取值范围为?－∞，－ ?. 4? ?函数与方程思想 【例 4】 我国加入 WTO 时， 根据达成的协议， 某产品的市场供应量 P 与市场价格 x 的关系近似满足 P(x)＝2(1－kt)(x－b) (其2931 ? 1? 中 t 为关税的税率，且 t∈?0， ?，x 为市场价格，b，k 为正常数)，当 t＝ 时的市场供应量曲线如图 3?2 所示． 8 ? 2?图 3?2 (1)根据图象求 b，k 的值； (2)记市场需求量为 Q，它近似满足 Q(x)＝211－ ，当 P＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于 9 元， 2 求税率的最小值． 1 【思路点拨】 读图得方程，当 t＝ 时，P(5)＝1，P(7)＝2，列方程组，即可解得 k，b. 8x【规范解答】?1－k?（5－b） ＝1， ? ? ?2? ? 8? (1)由图象知? k? ?1－8?（7－b） ＝2， ?2? ? ? ?2 2 2?1－k?（5－b） ＝0， ? ? ?? ? ? 8? ?b＝5， 即? 解得? ?k＝6. ? ?1－k?（7－b） ＝1， ? ? ?? 8 ? ?294(2)当 P＝Q 时，2(1－6t)(x－5) ＝211－ ， 2 1 2 即(1－6t)(x－5) ＝11－ x， 2 2(1－6t)＝ 令 m＝ 22－x 17 1 . 2＝ 2－ （x－5） （x－5） x－52x1 ? 1? ，∵x≥9，∴m∈?0， ?. x－5 ? 4?1 ?2 1 ? 2 而 2(1－6t)＝17m －m＝17?m－ ? － ， ? 34? 68 1 13 19 当 m＝ 时，2(1－6t)取最大值，为 ，故 t≥ . 4 16 192 19 即税率的最小值为 . 192根据函数与方程思想，借助于函数的图象，列方程(组)解决即可．某市近年来经济发展速度很快，据统计：该市国内生产总值 2000 年为 8.6 亿元人民币，2005 年为 10.4 亿元人民币，2010 年为 12.9 亿元人民币． 经论证：上述数据适合一个二次函数，请你根据这个函数关系，预测 2015 年该市国内生产总值将达到多少．95【解】 依题意，可以把三组数据看成三个点：A(0，8.6)，B(5，10.4)，C(10，12.9)． 设二次函数的解析式为 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)． 把 A，B，C 三点坐标代入上式，得2c＝8.6， ? ? ?25a＋5b＋c＝10.4， ? ?100a＋10b＋c＝12.9， a＝0.014， ? ? 解得?b＝0.29， ? ?c＝8.6.即所求二次函数为 y＝0.014x ＋0.29x＋8.6. 当 x＝15 时，y＝0.014×15 ＋0.29×15＋8.6＝16.1. 因此，2015 年该市国内生产总值将达到 16.1 亿元人民币． 综合测评(三) 函数的应用 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下函数在区间(0，2)上必有零点的是( A．y＝x－3 C．y＝x3 2 2)B．y＝2xD．y＝lgx96【解析】 画出 A、B、C、D 四个选项的函数图象可知，只有 D 选项中 y＝lgx 在区间(0，2)上有零点． 【答案】 D 2．已知函数 f(x)＝a －2(a＞0，a≠1)，f(x0)＝0 且 x0∈(0，1)，则( A．a＝2 C．a＞2 B．1＜a＜2 D．a≥2x)【解析】 ∵x0∈(0，1)，∴f(0)?f(1)＜0， 即(1－2)(a－2)＜0，∴a＞2. 【答案】 C?3? 3．用二分法求方程 f(x)＝0 在区间(1，2)内的唯一实数解 x0 时，经计算得 f(1)＝ 3，f(2)＝－5，f? ?＝9，则下列结论正 ?2?确的是( )? 3? A．x0∈?1， ? ? 2?3 B．x0＝ 2?3 ? C．x0∈? ，2? ?2 ? ? 3? ?3 ? D．x0∈?1， ?或 x0∈? ，2? ? 2? ?2 ? ?3? ?3 ? 【解析】 ∵f(2)?f? ?&0，∴x0∈? ，2?. 2 ? ? ?2 ?97【答案】 C 4．根据表中的数据，可以判定方程 e －x－2＝0 的一个根所在的区间为(x) 3 20.09 5xex－1 0.37 10 1 21 2.72 32 7.39 4x＋2A.(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)【解析】 设 f(x)＝e －(x＋2)，则由题设知 f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1，2)内．故选 C. 【答案】 Cx图1 5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻 t 与水面高度 y 的函数关系如图 1 所示，图中 PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的( )【解析】 由函数图象知，水面高度 y 上升