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如图△ABC为正三角形，且BC=CD=2，CD⊥BC，将△ABC沿BC翻折（1）若点A的射影在BD，求AD的长；（2）若点A的射影在△BCD内，且AB与面ACD所成的角的正弦值为，求AD的长．【考点】；．【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用．【分析】运用一次的析式可得f（t，再设g（t）=tt-40），代入（0，60，即可得到（t设件产品的销售利为q（t），求得q（t），得Q（）q（t）[f（t）（t）]；由题意得国内外销售润q（t与上市时相同，要使国内日销售润不小于外市，只国内市量f（t）不小于国外日销售量gt）．讨论t的范围：当0≤≤30时，当30t≤40时，不等式得到结论．【解答】解：图函数的解式为：f（t）=，国外市场的销售g（t=at（t-0），从而这家公司的日销润Q（t）的解析式为：Q）q（）o（t）+g（t）]由该公司第一批新产品上市，由题意可得国内外销售利润（与市时间t相，设件品A的销利润为q（t），则（t）=-t2t（0t≤40）．只需国内市场销售量ft不小国市日销量g（t）．要使国内市场销售润不小于外场，当3＜40时令ht）=f（t）-g（t）=t-12t+24，则q（t=，27始内市场日销售利润不小于国市场．【点评】题查分函的应用题的解法，考查不等式的解法，查分析问题解决题的，属于中档题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zhczcb老师　难度：0.60真题：1组卷：31
解析质量好中差
&&&&，V2.20176& 几何变换综合题知识点 & “阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是...”习题详情
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阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD=BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BD，若AC=2cm，CE=1cm，现将△CDE绕点C继续旋转，则在旋转过程中，△BDE的面积是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（3）如图3，在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△DCE绕点C按顺时针方向旋转得到三角形CD′E′（使∠ACD′＜180°），连接BE′，AD′，设AD′分别交BC、BE′于O、F，若△ABC满足∠ACB=60°，BC=√3，AC=√2，①求BE′AD′的值及∠BFA的度数；②若D为AC的中点，求△AOC面积的最大值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2014-舟山模拟
分析与解答
习题“阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD=BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并...”的分析与解答如下所示：
（1）利用△ACD≌△BCE证明AD=BE，（2）当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，求出高，再利用面积公式求出△BDE的面积最大值．（3）①由△CDE∽△CAB，得出比例式，再证出△ACD'∽△BCE'得出BE′AD′的值，再利用∠CBE'=∠CAF求出∠BFA的度数；②先确定当当D'与点O重合时，△AOC的面积最大，求出△AOC的高，利用三角形面积公式求出△AOC面积的最大值．
解：（1）猜想：AD=BE，证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠ECD∠BCD，即∠ACD=BCE，在△ACD和△BCE中，{AC=BC∠ACD=BCEDC=EC∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如下图1所示，当△CDE旋转到BC与C到DE到高在同一条直线上时，△BDE面积最大，此时，DE边上的高为2+√32∴△BDE面积最大值为12×1×(2+√32)=(1+√34)cm2．（3）①如图3，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CDCA=CECB∵△CD'E'由△CDE绕C点旋转得到∴CE'=CE，CD'=CD，∠DCE=∠D'CE'=60°∴CD′CA=CE′CB，则CD′CE′=CACB又∵∠DCE+∠BCD'=∠D'CE'+∠BCD'，即∠ACD'=∠BCE'∴△ACD'∽△BCE'∴BE′AD′=CBCA=√3√2=√62由△ACD'∽△BCE'得∠CBE'=∠CAF∴∠BFA=180°-（∠BAF+∠ABF）=180°-（∠BAF+∠ABC+∠FAC）=180°-120°=60°②如图4所示，当D'与点O重合时，△AOC的面积最大CD′=CD=AC2=√22过点O作OG⊥AC于G，∴OG=CD′oSin60°=√22×√32=√64∴△AOC的面积的最大值为12×√2×√64=√34．
本题主要考查了几何变换综合题，解题的关键是得出几何变换不变的边角关系，再利用三角形相似求解．
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阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD=BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数...
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与“阅读材料：如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，可以证明△ACD≌△BCE，则AD=BE．解决问题：（1）将图1中的△CDE绕点C旋转到图2，猜想此时线段AD与BE的数量关系，并...”相似的题目：
如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接PC．（1）下列说法正确的序号是&&&&①．△ABE与△PBE关于直线BE对称②．以B为圆心、BA的长为半径画弧交BC于H，则点P在AH上（点A除外）③．线段PC的长有可能小于2．④．四边形ABPE有可能为正方形（2）试求下列情况下的线段PC的长（可用计算器，精确到0.1）．①以P、C、D为顶点的三角形是等腰三角形；②直线CP与BE垂直．&&&&
如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依次操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为&&&&，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH．①请判断四边形EFGH的形状为&&&&，此时AE与BF的数量关系是&&&&；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围；（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．
已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．（1）求△AED的周长；（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
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该知识点好题
1已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠CAB=30°，∠DAE=60°，AD=3，AB=6√3，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于√3？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．
2如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；（2）操作2，在图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．
3（2012o海曙区模拟）如图，直角梯形纸片ABCD，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=2cm，tan∠D=12．E为AD边上一动点．（E不与D重合，但可与A重合）过点E作EF⊥CD于点F，将纸片沿着EF折叠，使点D落在直线CD上的D′处．设DF=x（cm），△EFD′与直角梯形ABCD重叠部分面积为S（cm2）．（1）求S与x的函数关系式；（2）在折叠过程中，是否存在x的值，使得△AED′是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）记线段AD所在的直线为l，平移直线l，交BC所在的直线于点G，交CD所在的直线于点H，在直线AB上存在点I，使得△GHI为等腰直角三角形，请直接写出满足题意的线段IB的所有可能长度．
该知识点易错题
1如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB=CD=4cm，已知a∥b，a、b间的距离为√3cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A1BC．（1）当A1、D两点重合时，则AC=&&&&cm；（2）当A1、D两点不重合时，①连接A1D，探究A1D与BC的位置关系，并说明理由；②若以A1、C、B、D为顶点的四边形是矩形，求AC的长．
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证明：在正三角形FBC中FB=BC，∠FBC=∠FCB=60°在正三角形EBA中BE=BA，∠FBA=60°∴∠EBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，即∠EBF=∠ABC∴△AFE≌△BCA∴EF=AC在正三角形ACD中，AC=CD=AD，∠ACD=60°∴EF=AD∴∠ACD+∠ACF=∠FCB+∠ACF即∠FCD=∠BCA∴△FCD≌△BCA∴FD=AB，在正三角形ABE中AB=AE∴FD=AE∴四边形ADFE平行四边形不懂可以追问，希望能帮到你 热心网友平行四边形平行四边形先证明三角形BEF与三角形BAC全等（SAS），再用同样的方法做三角形BAC全等于三角形CDF（SAS）。又因全等传递性，即三角形BEF全等于三角形CDF。即CD=EF且CD=AD即EF=AD。同理，FD=BE=AE.所以，四边形ADFE是平行四边形！
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(2014湖北咸宁)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且．下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
主讲：赵秀辉
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（2014o益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是______．
█小雨0446██
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∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，∴旋转角为60°，E，F是对应点，则∠EAF的度数为：60°．故答案为：60°．
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根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
本题考点：
旋转的性质；等边三角形的性质．
考点点评：
此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
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