这是一道奥林匹克数学advanced 级别的题目,本人不太明白,希望能够有知道的朋友赐教!
这是一道奥林匹克数学advanced 级别的题目,本人不太明白,希望能够有知道的朋友赐教!在一次足球联赛中,8个队伍互相进行比赛（单轮）,确保每支队伍都可以和其他队伍比赛一次.胜一场2分,平一场1分,输一场0分.问至少拿多少分,才能保证最后成绩在前四名?真的非常感谢能帮忙的人,如果有比较合理的回答都会追加分的!
我的想法有点麻烦且答案不一定准确哦我考虑了前四名可能的分数发现如果前四名同分,则第四名的分数最高 就是大家都是4胜三平,且平局的那场都是与前四名其他三只球队踢得场次 那么得分是9分
与《这是一道奥林匹克数学advanced 级别的题目,本人不太明白,希望能够有知道的朋友赐教!》相关的作业问题
过点A、C分别作AF⊥BD,CG⊥BD,垂足分别为F、G．（2分）∵S△ABD=12BD•AF,S△6BD= d2BD•CG,（2分）∴ 4△ABDS△CBD=12B6•AF12BD•CG=AFCG．（2分）∵S△ABD=12,S△CBD=8,∴ AFCG=108=32．
第一题,五个同学被分配到4个任务,这样必有两个同学被在同一个任务,所以一共有C（5 2）=10中情况,而甲乙分在一起的概率就是1/10,而他们同时承担的任务为H任务的概率为1/4求甲乙同时承担任务H的概率1/40第二题 同上题所述,不同时承担一项任务的概率是1-1/10=9/10
2008世界少年奥林匹克六年级数学竞赛复赛 1、一个数由500个万,8个千,40个十组成,这个数写作___________,改成以万为单位的数写作___________,省略万后面的尾数写作____________. 2、一座钟表的分针长3厘米,它的尖端在一昼夜里走过的路程是______________米（π＝3.14
f(x)=(x^2-7x+49/4)+15-49/4 =(x-7/2)^2-11/4可见,f(x)对称轴为x=7/2,开口向上.x>7/2为增函数,x
[20-(5/2)t]480t%≥1803≤t≤5
C（4,1）*A（5,5）是对的A（6,6）减去A排头的和排尾的 即减去 C（2,1）*A（5,5）
若x＞0,因为f（x）在区间[0,+∞）上的减函数,欲使f（x）＞f（2x+1）,那么x＜2x+1,故:x＞-1,则取x＞0;若x=0,f（x）=f（0）,f（2x+1）=f(1),而f（x）在区间[0,+∞）上的减函数,f（0）＞f(1),满足题意,故x可以等于0;若x＜0,y=f（x）是定义在R上的偶函数,所以f（
如图,在正方形ABCD中,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=1/4AB.问FE与DE是否垂直?请说明理由.&&&&&&&&&&&&&&&&&&nb
用2a+b点乘c,得2a*c+b*c=-10,a*c已知为4,所以b*c=-18
答：（1）f(x+1)=-1/f(x)f(x+2)=-1/f(x+1)=f(x)所以：f(x)的周期为2因为：-1
垂直于直线x+y-3=0的斜率为-1,由所求的直线的斜率为1,设所求的直线方程为y=x+b,即x-y+b=0而圆x^2+y^2-6x-4y+5=0的圆心为(3,2),半径为2根号2所以有|3-2+b|/根号2=2根号2即|1+b|=4,解得b=3或b=-5故所求的切线方程为x-y+3=0或x-y-5=0只需要圆心关于直
错理由：当a向量和b向量反向时|a|+|b|=|a-b|,但a向量的模不等于b向量的模.
图中这位女士的鞋跟的最佳高度是几厘米?没有图 第二问：a+x=0.6*(h+x)97+x=0.6*(165+x)0.4x=0.6*165-97x=5 厘米 再问： 本来就没有图呀？？？
肯定错了,不可能突然出来一个d的.
假设：在同一平面内,两条直线的交点不止有一个.根据两点确定一条直线,如果两直线有两个或以上的交点时,两直线会重合即为一条直线,与题设不符,故假设不成立,.得证.
这个题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.由y=f（x）-a|x|得f(x)=a|x|,利用数形结合即可得到结论。 由y=f(x)-a|x|=0得f(x)=a|x|,做出函数y=f(x),y=a|x|的图像，当a≤0时，不满足条件，所以a&0.这是详细的答案http:/
罗比达法则.如果极限上下都是零,可以对上下分别求导数,然后再求极限
匀强电场的电势随x均匀变化,A错；由E=U/d可知,图乙曲线的斜率对应场强,由图可知,沿正方向电场强度先减小后增大,B正确；由静止释放电子,电场力一定对电子做正功,因此电子电势能减小,动能增大,电子从高电势向低电势位置移动,即向x负方向运动,CD均错. 再问： 答案上说c也是正确的再问： 谢谢老师再问： 谢谢老师 再答
由题设,根据两点间距离公式有|AB|=√5 |PQ|=√5 |MN|=5 因为|AB|+|PQ|＜ |MN|,所以线段AB,PQ,MN 不能围成三角形请问划红线这一步啥意思？为啥要写？
谢谢
变限积分求导的题目中大约有一半可以通过令上下限相等的方法求出初始条件，以确定微分方程求出的解析式中的任意常数C。
对于求不出初始条件，即变限积分上下限相等时等式恒成立的题目，则不必写出这一步，本题此步应写在【分析】中。
注：除了每年2月份各地判卷执行的“评分标准”外，任何辅导书上的“标准答案”都并不标准。
其他答案（共1个回答）
根据圆内相交弦定理得：CP*PD=AP*PB…………………（1）
设AP为x,则：PB=8-x
由已知“CP=2.5 PD=6”，代入(1)式得：
根好里通分,再在分子上提取b的3次方,最后结果是a/b*根号下(a*a-b*b)
a&0,∴2^a&1,由2^a=log&1/2&a,得a&1/2.
b&0,∴00,∴(1/2)^c&0,由（1/2)^c=log&2&c,得c&1.
综上，a...
你去百度搜一下啊，里面很多的，具体不知道哪个是你要的，你自己看看吧。
传统的建设图纸都是用晒图的方法复制出来的。由于晒出来的图纸线条是兰色的，所以就有蓝图的大名了。
为了加强城市管理，规划就成了城市管理的重要手段，任何建设都必须报...
答: 在两个医院测黄疸，一个是120，一个测是10,8 那个10,8换算出来是多少
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
=1/x->0:lim[...
答: 计算科学是一门什么样的学科？
答：计算学科（通常也称作计算机科学与技术）作为现代技术的标志，已成为世界各国经济增长的主要动力。但如何认识这门学科，它究竟属于理科...
答: 补课是比较错误的方式。我一直到高中毕业没补过课。爸妈也不管我，随我学什么。我打游戏和化学都挺好。现在在大学读书，很深刻地感受到教育是钱买不来的。在实验室做小型的...
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这个问题分类似乎错了
这个不是我熟悉的地区
相关问答：123456789101112131415谁能帮我花几分钟跟我解释一下这几道题，小生万分感谢，要解题过程思路！！！好的加分~ 谁能帮我检查一下这几道题_微博生活网
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谁能帮我花几分钟跟我解释一下这几道题，小生万分感谢，要解题过程思路！！！好的加分~
谁能帮我花几分钟跟我解释一下这几道题，小生万分感谢，要解题过程思路！！！好的加分~10分
不知道图片怎么翻转
大虾另存为看吧T_T
谢谢相关说明：
图片重新拍了 应该清楚多了吧
.(2)(1)×2-(2)得：3f(x)=6x-3&#47,
把x换成1/x得.(1)........7. 2 f(x)+f(1/x)=3x.......：2f(1/x)+f(x)=3/x.
∵f[f(x)]=4x-1.设f(x)=kx+b，则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k²x+kb+b，2b=-4;x;-4x，∴k²+b(x-1)+c=2ax²+2bx+2a+2c=2x²+t，∴g(x)=2x²+x;x)对换，得2f(1/x)+f(x)=3/x ②，①×2-②，得3f(x)=6x-3/x，∴f(x)=2x-1&#47，解得a=1;-1，则f(x)的解析式为f(x)=(2/9)x&#178；当k=-2时，b=1，∴f(x)=2x-1/-14，∴2a=2;=4且kb+b=-1，当k=2时，b=-1&#47。5;-3(t+1)+1=2t&#178，∴f(x)=x²-2x-1。7.2f(x)+f(1/x)=3x ①，将①中的x与(1&#47.f[g(2)]=f[g(3-1)]=f[f(3)]=f(2×3²-3×3+1)=f(10)=2×10²-3×10+1=171，∵g(x-1)=2x²-3x+1，令x-1=t，则x=t+1，g(t)=2(t+1)&#178，b=-2，c=-1;+b(x+1)+c+a(x-1)²3，2a+2c=0;3或f(x)=-2x+1。6.设f(x)=ax²+bx+c，由题意f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)&#1782.若f(3x)=2x&#178
图片太暗，看不清。
请帮帮忙,解一下这道题,能有解题过程和解题的思路就最好了(好的话会考虑额外加分) ……
解:1 m/s 9 m/s 这道题主要应用了系统的动量守恒。。。 每只船向对方放置麻袋过程中不会影响...哪位高手可以告诉我,这道数学题如何做?我需要思路,这道题的解题方法。别只给我一个答案,不然不采纳! ……
8这几道英语题,挺简单的,给我解释一下谢谢 ……
loudly 。 loudly修饰read说的很大声,用副词 想要买一些肉。would like t...请哪位会计高手帮我解一下这几道题,很重要的,会万分感谢! ……
1、甲产品实际耗用原材料费用=15公斤/件*100件*5元/公斤=7500元; 乙产品实际耗用原材料...C语言问题 帮我分析一下这道题的思路,请教,好的我加分。谢谢 ……
我对程序注释了一遍,把有问题的地方,按我的理解进行了改动,更改后如下: #include &stdi...求这道题的思路和解释清楚 过程其次 ……
如图如何应对中考数学的最后一道大题?(感谢您的答复) ……
应对中考数学的最后一道大题的思路,共五种思路,情况如下: 在中考数学考试中最后一道题一般都是比较难的...谁能帮我翻译一下这道题目什么意思?快快,急需! ……
选择与每个动词相符的词,把它们写在动词的旁边哪位老师可以帮我填这几道题,请解释一下好吗? 谢谢 ……
1.It's good manners to wait in line. (A)= 排队(才)是礼貌...
你可能感兴趣的内容？&p&开门见山，直接给答案：&b&矩阵乘法的本质是线性空间运动的描述！&/b&为了解释清楚这个问题，我们需要补充一些线性代数学习过程中被忽略的基础知识。文章较长，大致分为两个部分。第一部分介绍线性代数里面最基础的部分：空间、坐标系和坐标。第二部分揭示矩阵乘法的本质。基础较好可以直接跳到第二部分。&/p&&br&&p&----------------------------------------------第一部分，空间与坐标系的建立----------------------------------------&/p&&p&首先，线性代数里面的线性主要的意思就是线性空间里的线性变换。线性变换或线性映射是把中学的线性函数概念进行了重新定义，强调了函数的变量之间的变换的意义。线性函数的概念在初等数学和高等数学中含义不尽相同（高等数学常常把初等数学的关键概念进行推广或进一步抽象化，初等数学的概念就变成了高等数学概念的一个特例）。&/p&&p&在中学的初等数学里，我们知道，函数f(x)=kx+b（k和b 是不变量），称为一元线性函数，因为在平面直角坐标系中这个函数的图形就是一条直线，就是变量（包括自变量和因变量）之间的关系描述为一条直线，所以把这种函数形象地称为“线性”函数；如果b=0 ，这个函数的外观就变成f(x)=kx的形式了，这是一条过原点的直线。显然，过原点的直线是最简单的线性函数。&/p&&p&在大学的代数里面，为了线性函数的进一步推广（如推广至双线性函数、多线性函数、线性空间、线性泛函…）的远大未来，我们忍痛割“尾”，把一元线性函数 f (x)= kx + b的b割舍掉，成了f(x)=kx的形式。呵呵，简单点说，只有过原点的最简单的直线f (x)= kx才被称为一元线性函数。&/p&&p&为什么？只因为不过原点的直线不满足我们对线性函数的比例性的要求。&/p&&p&线性函数表现为直线，这只是几何意义。那么所谓“线性”的代数意义是什么呢？实际上，最基本的意义只有两条：&b&可加性和比例性。&/b&用数学的表达来说就是：&b&对加法和数乘封闭。&/b&&/p&&p&然后说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一。对于空间的理解需要更抽象一些，&b&简单的说，能装东西的就是空间。&/b&比如计算机内有存储单元，那么就有内存空间；我们上课有课表，那么就有课表空间；有一个能装载梦境的东西，我们可以叫它盗梦空间。对于数学来说，数学家定义的空间里装载的当然是能运算的东西。从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间，如果空间里装载所有类型的函数，就叫泛函空间。&/p&&p&总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。&/p&&p&我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：&/p&&p&1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成&/p&&p&2. 这些点之间存在相对的关系&/p&&p&3. 可以在空间中定义长度、角度&/p&&p&4. 这个空间可以容纳运动&/p&&p&上面的这些性质中，最最关键的是第4条。&b&这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动。&/b&第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构或关系，并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说：&b&容纳运动是空间的本质特征&/b&。&/p&&p&认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。因此只要知道，&b&“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。&/b&&/p&&p&下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：&/p&&p&1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？&/p&&p&2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？&/p&&p&我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。&b&线性空间中的任何一个对象，通过选取坐标系(基)和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。只要你找到合适的坐标轴（也就是基），就建立了一个坐标系，就可以用坐标（表示成向量的形式）表示线性空间里任何一个对象。换句话说，给你一个空间，你就能用基和坐标来描述这个空间中的对象！&/b&这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是由于向量的有序性，&b&除了这些数本身携带的信息之外，还在对应位置上携带信息&/b&。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。&/p&&p&由三维扩展到四维的空间的确难以想象，我想给出个人的几点认识供读者参考：对于笛卡儿坐标系，二维坐标系的两个坐标轴互相正交并构成一个平面空间；三维坐标系的坐标轴互相正交且第三个坐标轴垂直于其余两个坐标轴平面，三个坐标轴构成一个立体空间；则四维坐标系中的四个坐标轴互相正交，第四轴必然与其余的三维立体空间垂直，四个坐标轴构成一个超多面体空间…&/p&&p&四维空间的物理解释就是爱因斯坦的时空理论，三维物理空间之外增加了一个与之垂直的时间轴（垂直或正交的意思应理解为不相关，时间和空间在低于光速的尺度内就是没有关系的两个事物，这就是牛顿的世界）。你，作为一个有生命周期的高级动物实际上是个四维动物，因为你的肉体既占有了一个三维小空间同时又占有了另外一维的时间轴上的一段。N 维空间的出现实际上是人们在抽象他所观察到的宇宙事物时出现的概念。&/p&&p&实际上，在以后的线性代数学习中，坐标轴的正交不是必须的，取消了正交的要求后，我们在平面上就可以画出来大于四维以上的空间来了，你就理解了由n 个向量张成的n个空间的理论，进而想象高维空间的图像也就不是一个困难的事情了。&/p&&br&&p&&b&如果有一个线性空间，就能建立一个坐标系，选取一组基和坐标来描述这个空间里的对象。&/b&举一个通俗一点的例子，我们学习的教室就是一个空间，先定义它为“教室空间”好了，教室空间中有桌子、椅子、黑板、粉笔、黑板擦，为了说明问题我们就先假设只有这几样东西。那么我们怎么描述这个空间呢？选取基和坐标对吧：根据我们对空间中基的要求：完备性和无关性，我们选取的“坐标轴”为{桌子、椅子、黑板、粉笔、黑板擦}，基的维数是5维的。那么坐标怎么选取呢？坐标就是每件东西的数量，有了基和坐标，我们就能描述我们定义的“教室空间”了，就是这么简单。再举一个例子，鸡兔同笼的问题大家应该都听过，这里也可以定义一个空间，暂且取名“笼子空间”吧，在笼子空间中，“坐标轴”就是{鸡的两只脚和一个头，兔的四只脚和一个头}，基的维数是2维的。坐标就是鸡和兔的数目。再回头观察我们的“笼子空间”和“教室空间”，我们发现教室空间里面的基彼此不包含彼此，具体来说就是桌子不包含椅子的成分，粉笔不包含黑板的成分，我们说基彼此正交。而笼子空间中的两个基都有头和脚，但彼此不能线性表示对方。这时，基就不是正交的。下面回到我们线性代数中的线性空间。线性空间里面装的都是向量。那么这组基怎么选取呢？我们知道，线性空间里的基本对象是向量，所以，基一定也是向量。但有一些要求：对基的要求是数量要够，还要线性无关。
&/p&&br&&p&总结一下：&b&我们首先确立一个叫空间的东西，空间里面装着要研究的对象，比如“教室空间”。为了描述对象和对象的运动，就要选取空间中最基本的元素作为基，把基前面的系数叫做坐标，于是建立了坐标系和坐标。注意：“坐标轴”，也就是基，可以是桌子椅子等任何东西，只是在线性代数中我们把基选成了向量。&/b&世界是物质的，物质是运动的，接下来肯定要研究一下线性空间中的运动是怎么实现的。&/p&&br&&p&----------------------------------------------第二部分，矩阵乘法描述运动----------------------------------------&/p&&br&&p&线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵乘法来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。&/p&&p&简而言之，在&b&线性空间中选定基之后，向量（坐标）刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。&/b&&/p&&p&如果以后有人问你矩阵乘法是什么，那么你就可以响亮地告诉他，&b&矩阵乘法的本质是运动的施加。&/b&到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也是需要一个时间来&b&&u&逐点&/u&&/b&地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。&/p&&p&不过在这个文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就&b&“&u&跃迁&/u&”&/b&到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：&b&“矩阵乘法是线性空间里跃迁的描述”。&/b&&/p&&p&可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，&b&所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。&/b&比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。&/p&&p&一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵乘法就变成：&b&“矩阵乘法是线性空间里的变换的描述。”&/b&到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：&b&T(&/b&a&b&x + &/b&b&b&y) =&/b& a&b&T(x) + &/b&b&b&T(y)&/b&，那么就称T为线性变换。&/p&&p&定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间V的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说&b&一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。&/b&不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个矩阵来描述。最后我们把矩阵乘法定义完善如下：&/p&&p&&b&“矩阵乘法是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵乘法来加以描述。”&/b&&/p&&p&见下图：&/p&&br&&img src=&/v2-1dbf5a90ba91ca7_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&1100& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&/v2-1dbf5a90ba91ca7_r.jpg&&&br&&p&对于矩阵乘法，主要是考察一个矩阵对另一个矩阵所起的变换作用。其作用的矩阵看作是动作矩阵，被作用的矩阵可以看作是由行或列向量构成的几何图形。同样，如果一连串的矩阵相乘，就是多次变换的叠加么。而矩阵左乘无非是把一个向量或一组向量（即另一个矩阵）进行伸缩或旋转。&b&乘积的效果就是多个伸缩和旋转的叠加！&/b&比如&b&S=ABCDEF&/b&会把所有的矩阵线性变化的作用力传递并积累下去，最终得到一个和作用力&b&S&/b&。工业上的例子就是机器人的手臂，机械臂上的每个关节就是一个矩阵（比如可以是一个旋转矩阵），机械臂末端的位置或动作是所有关节运动的综合效果。这个综合效果可以用旋转矩阵的乘法得到。&/p&&br&&p&&b&本文是在整理孟岩老师的《理解矩阵》和任广千、胡翠芳老师的《线性代数的几何意义》基础上形成的，只是出于一种对数学的爱好！有兴趣的读者建议阅读原文。也欢迎下载《神奇的矩阵》和《神奇的矩阵第二季》最新版本了解更多有关线性代数和矩阵的知识。
开门见山，直接给答案：矩阵乘法的本质是线性空间运动的描述！为了解释清楚这个问题，我们需要补充一些线性代数学习过程中被忽略的基础知识。文章较长，大致分为两个部分。第一部分介绍线性代数里面最基础的部分：空间、坐标系和坐标。第二部分揭示矩阵乘法…
&p&(没想到随手写的一点东西这么多人点赞，那就认真写一下）&/p&&br&&p&&b&傅立叶变换可以理解为一段序列信息的另外一种呈现方式，在变换过程中总信息量保持不变。&/b&&/p&&p&举个例子，这样好理解一点。&/p&&p&假设某商人打算投资一个商铺，于是他派手下一个年轻人小王去商铺门口蹲点，记录每个小时的客流量，看生意好不好，是否值得投资。&/p&&p&这个商铺从早上6点开到晚上6点，工作12个小时，因此小王蹲点一天，统记了12个数。&/p&&p&第二天他向回来汇报：“ 老板，是这样的。上午6点，有10个客人，7点有5个客人，8点有9个客人，......&。&/p&&p&这时老板打断他：“小王，不需要那么细致，我只要你回答我这几个问题：&/p&&p&问题1. 全天总共有多少客人？&/p&&p&答曰：120个。&/p&&p&问题2. 那么是上午多，还是下午多，多多少？&/p&&p&答曰：上午多，多20个。&/p&&p&问题3. 把全天分成3个时段6-10，10-14，14-18，假设每段人数分别是a，b，c，那么a-b+c等于？&/p&&p&回答：。。。。&/p&&p&问题4. 把全天分成4个时段6-9，9-12，12-15，15-18，假设每段人数分别是a，b，c，d。那么a-b+c-d等于&/p&&p&回答：。。。。&/p&&p&。。。。。&/p&&p&问题12. 12个小时中偶数小时的人数（6，8，10，12，14，16）减去奇数小时的人数（7，9，11，13，15，17）。&/p&&p&回答：&/p&&p&》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》&/p&&p&不太严格的讲，这个商人其实就是在对客流量这个时间序列做傅立叶变换：&/p&&p&问题1 总客流量就是所谓的零频率成分（zero frequency component）&/p&&p&问题2 上午和下午的差就是低频成分（low frequency component ）。&/p&&p&。。。。&/p&&p&问题12 就是最高频成分。&/p&&p&他问每一个问题，就能得到多一点细节，当他得到12个问题的答案的时候，他就能得到和原始时间序列的全部信息。&/p&&p&如果傅立叶变换并没有提供更多的信息，那他有什么好处呢？&/p&&p&答案是傅立叶变换虽然没有提供新的信息，但是通过改变信息的呈现方式，提供了一个从全局到细节的分析角度，傅立叶变换的低频信息，对应于整体面貌，傅立叶变换的高频信息则对应于具体细节。&/p&&p&有的时候，从商业分析的角度来说，我们只关心整体面貌：&/p&&p&首先，知道总客流量，则可以估算出营业额。&/p&&p&其次，知道上午和下午的流量差，就可以调整营业时间，获得最大化的收益。&/p&&p&也就是说，老板只需要前几个问题的答案，就可以脑补出客流量的分布，这种情况下他是在做一个“低通滤波” （low pass filter）。&/p&&p&》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》&/p&&p&大家注意，上述的这种方法不是严格的傅立叶变换，严格的傅立叶变换是要用到三角函数的，这是为什么呢？&/p&&p&因为上述方法有个很大的问题，就是存在时间奇点。&/p&&p&比如，在回答第二个问题的时候，中午12点这个时间节点就是个时间奇点，假设正好在中午12点，来个一个旅行团的20个人，负责记录的小王立刻就懵逼了，因为他不知道这20个人是算在上午好呢，还是算在下午好呢？&/p&&p&答案是都不好，因为我们的方法本身不好，它不连续。&/p&&p&这种情况下我们最好的应对方式是设计如下图一样的一个权重：&/p&&br&&img src=&/v2-d78e4d61069_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-d78e4d61069_r.png&&&p&这个权重在6点，12点和18为0，9点最大为1，15点最小为-1。&/p&&p&我们的计算方法变成每个时刻的客人数乘以这个时刻的权重再相加。&/p&&p&注意上午的权重为正，下午的权重为负，新方法的结果和老方法（上午减下午）应该差不多。好处在于12点来多少人都无关紧要了，因为那一时刻权重为零&/p&&p&好了，我似乎已经听到了围观群众的怒吼：&b&“你这个是在搞不平等，凭什么9点和15点的权重就大，而6点，12点权重为0，这不公平！”&/b&&/p&&p&您说的对，我们的新方法确实有这个问题，为了解决它，我们引入一个伴随权重，&/p&&img src=&/v2-d9d7cb71a0b5a4249fd04a_b.png& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&480& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&/v2-d9d7cb71a0b5a4249fd04a_r.png&&&p&注意，在任意一个时间点上，这两个权重的平方和都是1, 每个时间点都是平等的，&b&现在大家满意了吧！！！&/b&&/p&&p&&b&第一个权重就是正弦函数，第二个权重就是余弦函数，这就是傅立叶变换采用三角函数的原因。&/b&&/p&&p&唯一的问题在于，对于每个频率（12个问题中的每个问题），我们现在有两个数字结果，这两个数字结果可以认为对应于太极的阴阳两极，（是不是和中国传统挂上钩了）。&/p&&p&或者呢，我们用数学里的复数来表示它，复数中的实部，就用余弦函数计算求和的结果，复数中的虚部就用正弦函数求和的结果。&/p&&p&到最后傅立叶说，这方法是好的，就把它叫做傅立叶变换，于是事就成了。&/p&
(没想到随手写的一点东西这么多人点赞，那就认真写一下） 傅立叶变换可以理解为一段序列信息的另外一种呈现方式，在变换过程中总信息量保持不变。举个例子，这样好理解一点。假设某商人打算投资一个商铺，于是他派手下一个年轻人小王去商铺门口蹲点，记录每…
接下来我要讲一个激燃的故事。&br&这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。&br&鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。&br&学渣如我就不涉及理论部分了。&br&&br&这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。&br&&br&1590年代末，一个叫Raleigh的英国航海家提出了一个看上去很简单的问题。&br&他想设计一种炮弹的堆叠方式，以便自己能够轻易的数出每一堆有几颗炮弹。&br&他把这个问题交给了他的助手Harriot，这个聪明的年轻人想的更远一些，他想设计一种最有效率的堆积方式。&br&以便在航行中有限的空间内存放更多炮弹。&br&Harriot在其他的自然科学领域也颇有建树，但这个问题虽然看上去很简单，但是他却久久没有进展。&br&于是这个年轻人给远在布拉格的数学，物理和天文学家写了一封信。&br&当然收信者并不是三个人，他就是开普勒。一个数学，物理和天文学家。&br&于是，这场接力的第一棒交给了这个出生在斯图加特的大师。&br&1611年，开普勒写了一本小册子，名叫《六角形的雪花》。这是一本写给朋友的非正式出版物，他在书中问到，为什么雪花是六角形，为什么蜂房也是六角形。&br&再问完这个问题后，开普勒转而研究了另一种植物，石榴。&br&这是从二维平面的有效率堆积方式拓展到了三维空间的研究。&br&他认为在石榴有限的空间内，石榴籽的堆积方式一定是最有效率的。&br&他和100多年后的植物学家黑尔斯的得出了一样的结论，黑尔斯给一大堆豌豆加压。&br&观察到除了豆子挤成了豌豆泥之外（什么鬼）有些豌豆被挤压成了和石榴一样的十二面体。可是后来被证明是实验结论错误的。（孟德尔：你不要豌豆拿给我啊干嘛挤它&br&&br&好了，到这里我们歇一歇。开普勒认为大自然的安排一定是最完美的，所以，他认为一个圆球围绕着十二个圆球是最紧密的堆积。&br&但他没有证明，也有没有说该如何围绕。&br&对于我们每个人来说，怎么样最有效率的装球，仿佛是一个简单的问题。&br&你先摆好一层球，然后第二层的球放在第一层的空隙中就好。&br&这就是著名的面心立方对堆积。但是还有一种堆积方式虽然名字很酷炫但后来被证明和面心立方堆积等效。也就是六方最密。&br&&br&让我们从二维平面开始，怎么样最有效率的排列圆形。&br&这看上去简直就像1+1=2。&br&1528年，一位德国的文艺复兴时期的艺术家写了一本数学教科书。&br&书中写，在天花板上放置圆形花纹，只有方形和六边形排列才能放整齐。而且指出六边形最紧密。（开普勒：卧槽有人抢跑&br&好了，接下来接力棒交给了一个刚刚输光了全部家当的意大利人。&br&他叫拉格朗日。十八世纪最伟大的数学家。&br&到目前为止，研究的设定都基于所有圆形的圆心都排成整齐的格子状。&br&拉格朗日轻易的证明了在这种情况下六边形堆积最紧密。&br&挪威数学家杜氏接过了这一棒，开始研究一般情况，即圆型随意排列的情况下怎么堆积最紧密。&br&可惜并没有太多实质性的进展。接力棒传到了俄国，一位叫闵可夫斯基的小男孩随着父母移民到了德国。&br&他后来再苏黎世的联邦理工当了助理教授，班上有很多学生经常翘他的课。其中一位是二十世纪最伟大的专利审查员。&br&阿尔伯特爱因斯坦。&br&他指出圆的规律装填密度起码有0.8224。&br&但他并没有指出这种排列的样子。为了怕闵科夫斯基抢他的风头。杜氏抢先发表证明演说。可是数学界认为他的证明不完善。&br&三十年后匈牙利数学大师托斯完善了关于平面的装填问题证明。&br&之后，威斯康星大学的数学课科歇诺又证明了平面的覆盖问题。（覆盖允许重叠，装填不允许。）&br&证明指出，六边形排列是最佳的装填，也是最有效率的覆盖。&br&&br&到此&br&二维平面的数学接力已经完成了，那么现在等待解决的就是三维世界的证明了。&br&&br&为了叙述三维的问题，我们要从另一个跑道的选手说起。&br&牛顿和他的基友（误）大卫格里高利。他们之间争论着平面内一个球能最多与几个其他的球接触。我们现在知道这个数字是6。&br&他们把这个问题拓展到了空中。在空中的一个球能最多与几个球接触。&br&并进行了激烈的争论，可惜他们的争论只是开普勒的局部问题，对于猜想的证明并无多大用处。&br&（开普勒猜想中最紧密的堆积，一颗球周围有十二个球围绕，而大卫说空间中一个球最多能与十三个球相接触。他们的争论在1953才被终结。）&br&&br&之后瑞士数学家Bender向德国的数学期刊投稿，企图证明阐述上面的争论。他的论文被期刊的编辑霍普完善并且霍普把Bender的论文和他自己的论文一同发表。&br&看起来这一棒跑的很顺利，但是我们的霍普选手丢了棒，他的论文被证明有致命的错误。&br&这个问题后来被荷兰人和德国人解决。&br&这条岔道的选手已经完赛，让我们回头看看我们原本的赛道。&br&现在执棒的选手对我们来说有些陌生，他叫奥古斯都希波，他费尽了心血证明了“立方体体积的平方”除以“扭曲盒子体积的平方”恒小于三。&br&为了这个看上去不怎么重要的小数字，他写了一本248页的厚厚著作。&br&然后交棒给了本次马拉松接力的队长，数学王子高斯。&br&然而高斯就是高斯。&br&他在希波248页的证明后面花了一页半，把这个比值的极限推到了二。&br&简直就是神迹！我仿佛听到高斯拔刀在喊“我方已经击穿敌方装甲！准备冲锋！”&br&通过这一页半，高斯间接说明了在规律排列下圆的最紧密堆积方式的密度最高极限是74.05%。（当球在三维格子里面时）&br&那么问题就是，哪一种堆积才能达到这样的密度。开普勒的么？只有这一种么？&br&&br&接下来的近一个世纪，接力棒默默地停止在高斯的那一页半证明上。&br&直到日，第二届国际数学家大会在巴黎召开。&br&德国数学家希尔伯特提出了那无比著名的23个数学问题。&br&开普勒猜想，编号第十八。&br&&br&这个时候接力赛进入了白热化，数学家们想找出比开普勒猜想更紧密的排列方式。（比如一种混乱的无序排列）&br&因此他们把74.05%这个密度作为一个下界，把100%作为一个最初的上界。&br&现在要做的就是缩小他们的距离。&br&丹麦人布利奇菲尔德接棒把上界缩小到83.5%，然后传棒给苏格兰数学家兰金，在剑桥数学实验室的帮助下，他把上界的值降到了82.7%。&br&这个时候他们之前说采用的研究方法走到了尽头，上界没办法再继续下降了。&br&之前跑过接力棒的托斯，又想出了一种另外的方法。&br&这个方法是另一个俄国数学家沃洛诺伊提出的，但他英年早逝并没有完善证明。&br&他提出，我们只要去找一种叫做V单元的立方体就行了。&br&这种V单元需要具有两个特点，第一它可以没有缝隙的填满三维空间，就像正方体，第二他的内部有一个球。&br&这样，球的体积不变，只要我们找到一种体积更小的v单元，装球密度就会提高。&br&凭借这个方法，伯明翰大学的罗杰斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。&br&又过了三十年，加州理工大学的林赛选手接棒，跑出77.84%的好成绩，然后数学家穆德榨干了V单元方法的潜力，把他发挥到了极致。&br&上界又降低了，虽然只是万分之一，但实属不易。&br&&br&突然之间。&br&加州大学伯克利分校的台湾人项武义接棒直接一骑绝尘冲过终点线!&br&很可惜的是他的证明被数学界认为不完备，并且有诸多漏洞。（我们的攻击未能突破核心！观测到敌方生命迹象！&br&接力棒被交回新秀黑尔斯手中。&br&只要上界降到了74.05那么开普勒猜想就立刻会被证明。&br&黑尔斯采用了迪劳内的一种方法，假设空间里面装满了圆球，我们用直线连接相邻的圆心得到很多个四面体，再进行分析计算。&br&可是黑尔斯并没有取得太多实质性的进展。这个方法并不能降低上界，而是直接对开普勒猜想进行证明，要是不成功就一无所获。&br&根据普林斯顿同行的建议，黑尔斯开始使用电脑来对抗这个几百年悬而未决的问题。&br&他对很多种可能排列方式进行穷举分析。&br&可是程式运行的结果却出乎意料。&br&结果表明没有任何一种排列可以超过给出了74.08%这个数字。&br&嗯？74.08%？这和说好的75.05不一样我摔！导演你是不是给错剧本了！&br&&br&经过检查，黑尔斯发现了一种古怪的排列方式，它似乎比开普勒堆积要更紧密一点。我们就把它叫做“BUG”好了。&br&接下来他的工作分成了五个部分，简单的概述就是，他提出了一种给每种排列打分的方式，他只要证明除了开普勒排列外的四大类的排列都低于8分，接下来证明BUG的排列也低于8。而开普勒排列的得分是8。&br&前面四大类都轻易的完成了。&br&只剩下了BUG，这种一个强有力的外援出现了，黑尔斯的医生父亲的一个病人恰好是数学教授，他的儿子成为了黑尔斯的学生。&br&无巧不成书。&br&黑尔斯原本预计再过几个月就能完成对这个BUG排列的分析。&br&而实际上他们用了整整三年。&br&&br&&br&终于，日的上午。一个普通的星期天。&br&黑尔斯坐下来写了一封电子邮件，告诉全世界的同行离散几何中一个古老复杂的猜想已经得到了证明。&br&并附上了研究过程和电脑程序代码。&br&但仍然有不少人人对这种这种穷举证明方法存疑。&br&&br&&br&到此开普勒猜想证明告一段落。&br&这个看起来无比符合直觉的猜想前前后后用了四百年的时间才得以基本证明。&br&人类历史上这批最杰出的天才前赴后地继交棒接力。&br&他们大多数人都看不到这个猜想被证明的那一天。&br&如果说这个世界的真理和规律都被隐藏在黑暗中的话，&br&那么谢谢他们为我们点起光明的火炬。&br&愿火光永不熄灭。&br&&br&&br&参考：GeSzpiro.Szpiro一Kepler's Conjecture 维基百科
接下来我要讲一个激燃的故事。 这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。 鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。 学渣如我就不涉及理论部分了。 这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。 1590年代末，一个叫Raleigh…
&p&欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。&/p&&p&&strong&1 复数&/strong&&/p&&p&在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。&/p&&p&&strong&1.1 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的由来&/strong&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&i=\sqrt{-1}& eeimg=&1&& ，这个就是 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。&/p&&p&可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：&/p&&ul&&li&&b&从自然数扩张到整数：&/b&增加的负数可以对应“欠债、减少”&/li&&li&&b&从整数扩张到有理数：&/b&增加的分数可以对应“分割、部分”&/li&&li&&b&从有理数扩张到实数：&/b&增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（ &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&& ）”&/li&&li&&b&从实数扩张到复数：&/b&增加的虚数对应什么？&/li&&/ul&&p&虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。&/p&&p&看起来我们没有必要去理会 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 到底等于多少，我们规定 &img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&\sqrt{-1}& eeimg=&1&& 没有意义就可以了嘛，就好像 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B0%7D& alt=&\frac{1}{0}& eeimg=&1&& 一样。&/p&&p&我们来看一下，一元二次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^2+bx+c=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& 的万能公式：其根可以表示为：&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D& alt=&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& eeimg=&1&& ，其判别式 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3Db%5E2-4ac& alt=&\Delta =b^2-4ac& eeimg=&1&& 。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个相等的实数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？&/li&&/ul&&p&我们再看一下，一元三次方程 &img src=&///equation?tex=ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%3D0%28a%5Cneq+0%29& alt=&ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)& eeimg=&1&& ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E7%25A8%258B& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，但愿大家能够打开。&/p&&p&我们讨论一下 &img src=&///equation?tex=b%3D0& alt=&b=0& eeimg=&1&& ，此时，一元三次方程可以化为 &img src=&///equation?tex=x%5E3%2Bpx%2Bq%3D0& alt=&x^3+px+q=0& eeimg=&1&& ，其根可以表示为：&/p&&img src=&///equation?tex=+%5Cbegin%7Bcases%7D++x_1%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_2%3D%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%5C%5C+x_3%3D%5Comega+%5E2%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D%2B%5Comega+%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D%7D+%5Cend%7Bcases%7D+& alt=& \begin{cases}
x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} & eeimg=&1&&&p&其中 &img src=&///equation?tex=%5Comega+%3D%5Cfrac%7B-1%2B%5Csqrt%7B3%7Di%7D%7B2%7D& alt=&\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&判别式为 &img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2%2B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3& alt=&\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3& eeimg=&1&& ，注意观察解的形式， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+& alt=&\Delta & eeimg=&1&& 是被包含在根式里面的。&/p&&ul&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3E0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有一个实数根和两个复数根&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3D0& alt=&\Delta =0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个实数根，当 &img src=&///equation?tex=p%3Dq%3D0& alt=&p=q=0& eeimg=&1&& ，根为0，当 &img src=&///equation?tex=p%2Cq%5Cneq+0& alt=&p,q\neq 0& eeimg=&1&& ，三个根里面有两个相等&/li&&li&&b&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%3C0& alt=&\Delta &0& eeimg=&1&& ：&/b&有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？&/li&&/ul&&img src=&/45ad44d6ff91df14f2cf4_b.png& data-rawwidth=&825& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&825& data-original=&/45ad44d6ff91df14f2cf4_r.png&&&p&要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根（谢谢匿名网友勘误），但是在当时并不知道，并且开始思考复数到底是什么？&/p&&p&我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。&/p&&p&详细的虚数由来可以看这篇科普文章：&a href=&/question//answer/& class=&internal&&虚数 i 是真实存在的吗？ - 马同学的回答&/a&&/p&&p&&strong&1.2 复平面上的单位圆&/strong&&/p&&p&在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：&img src=&/2d3aceb020ebab_b.png& data-rawwidth=&618& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&618& data-original=&/2d3aceb020ebab_r.png&&&img src=&/2128fcfc98f51ad2b1bda727e9ac2d1f_b.png& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&/2128fcfc98f51ad2b1bda727e9ac2d1f_r.png&&&/p&&p&我们来动手玩玩单位圆：&/p&&blockquote&&p&&img src=&/5ab916ed68c93e611b4d8b1ec6377405_b.png& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&/5ab916ed68c93e611b4d8b1ec6377405_r.png&&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&1.3 复平面上乘法的几何意义&/strong&&/p&&img src=&/df432f5cf91a47aaeced070_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/df432f5cf91a47aaeced070_r.png&&&br&&p&同样来感受一下：&/p&&blockquote&&img src=&/7abf58fba10fad9f79b19a_b.png& data-rawwidth=&529& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&529& data-original=&/7abf58fba10fad9f79b19a_r.png&&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&2 欧拉公式&/strong&&/p&&blockquote&&b&对于 &img src=&///equation?tex=%5Ctheta+%5Cin+%5Cmathbb+%7BR%7D& alt=&\theta \in \mathbb {R}& eeimg=&1&& ，有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%3Dcos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 。&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？&/p&&p&&strong&2.1 欧拉公式与泰勒公式&/strong&&/p&&p&关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何通俗地解释泰勒公式？&/a& 。&/p&&p&欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：&/p&&img src=&///equation?tex=e%5E+x%3D1%2Bx%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dx%5E3%2B%5Ccdots+& alt=&e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=sin%28x%29%3Dx-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7Dx%5E3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%21%7Dx%5E5%2B%5Ccdots+& alt=&sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=cos%28x%29%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%21%7Dx%5E4%2B%5Ccdots+& alt=&cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots & eeimg=&1&&&p&将 &img src=&///equation?tex=x%3Di%5Ctheta+& alt=&x=i\theta & eeimg=&1&& 代入 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 可得：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D+%26++%3D+1+%2B+i%5Ctheta+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E2%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E4%7D%7B4%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E5%7D%7B5%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E6%7D%7B6%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%28i%5Ctheta+%29%5E8%7D%7B8%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5C%5C+%26++%3D+1+%2B+i%5Ctheta+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E2%7D%7B2%21%7D+-+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E4%7D%7B4%21%7D+%2B+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E5%7D%7B5%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E6%7D%7B6%21%7D+-+%5Cfrac%7Bi%5Ctheta+%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E8%7D%7B8%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5C%5C+%26++%3D+%5Cleft%28+1+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E2%7D%7B2%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E4%7D%7B4%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E6%7D%7B6%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E8%7D%7B8%21%7D+-+%5Ccdots+%5Cright%29+%2B+i%5Cleft%28%5Ctheta+-%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E3%7D%7B3%21%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E5%7D%7B5%21%7D+-+%5Cfrac%7B%5Ctheta+%5E7%7D%7B7%21%7D+%2B+%5Ccdots+%5Cright%29+%5C%5C+%26++%3D+%5Ccos+%5Ctheta+%2B+i%5Csin+%5Ctheta+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
e^{i\theta } &
= 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ &
= 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ &
= \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ &
= \cos \theta + i\sin \theta \end{align}& eeimg=&1&&&p&那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？&/p&&p&&strong&2.2 对同一个点不同的描述方式&/strong&&/p&&img src=&/86e9df7b8_b.png& data-rawwidth=&736& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&736& data-original=&/86e9df7b8_r.png&&&p&我们可以把 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点， &img src=&///equation?tex=cos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D%3Dcos%5Ctheta+%2Bisin%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta & eeimg=&1&& 。&/p&&p&&strong&2.3 为什么 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 是圆周运动？&/strong&&/p&&blockquote&&b&定义 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 为： &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n& eeimg=&1&&&/b&&p&----维基百科&/p&&/blockquote&&p&这是实数域上的定义，可以推广到复数域 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%5E+i%3D%5Clim+_%7Bn+%5Cto+%5Cinfty+%7D%281%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%29%5E+n& alt=&\displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n& eeimg=&1&& 。根据之前对复数乘法的描述，乘上 &img src=&///equation?tex=%281%2B%5Cfrac%7Bi%7D%7Bn%7D%29& alt=&(1+\frac{i}{n})& eeimg=&1&& 是进行伸缩和旋转运动， &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。&/p&&p&我们来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E+i%3De%5E%7Bi%5Ctimes+1%7D& alt=&e^ i=e^{i\times 1}& eeimg=&1&& 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：&img src=&/b6d4c3b3f0c24f7c2dd386_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/b6d4c3b3f0c24f7c2dd386_r.png&&&img src=&/5ff161a13ffe2a_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/5ff161a13ffe2a_r.png&&&img src=&/ac8fdb10717fea1ee53cedab00c933b6_b.png& data-rawwidth=&644& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&644& data-original=&/ac8fdb10717fea1ee53cedab00c933b6_r.png&&&/p&&p&从图上可以推出 &img src=&///equation?tex=n%5Cto+%5Cinfty+& alt=&n\to \infty & eeimg=&1&& 时， &img src=&///equation?tex=e%5E+i& alt=&e^ i& eeimg=&1&& 在单位圆上转动了1弧度。&/p&&p&再来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D& alt=&e^{i\pi }& eeimg=&1&& ，这个应该是在单位圆上转动 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&& 弧度：&img src=&/4fd89aeae2f3e_b.png& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&/4fd89aeae2f3e_r.png&&&img src=&/f8c2f2e525a9b599afbdfdca572255ba_b.png& data-rawwidth=&645& data-rawheight=&568& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&645& data-original=&/f8c2f2e525a9b599afbdfdca572255ba_r.png&&&/p&&p&看来 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 确实是单位圆周上的圆周运动。&/p&&p&动手来看看 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D& alt=&e^{i\theta }& eeimg=&1&& 是如何运动的吧：&br&&/p&&blockquote&&img src=&/c8fc46d06cdeef6e0b0a80_b.png& data-rawwidth=&517& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&517& data-original=&/c8fc46d06cdeef6e0b0a80_r.png&&&p&此处有互动内容，需要流量较大，最好有wifi处打开，土豪请随意。&/p&&p&&a href=&///?target=http%3A///madocs/8.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&/blockquote&&p&&strong&2.4 &img src=&///equation?tex=2%5E+i& alt=&2^ i& eeimg=&1&& 的几何含义是什么？&/strong&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=2%5E+i& alt=&2^ i& eeimg=&1&& 看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Biln2%7D& alt=&e^{iln2}& eeimg=&1&& ，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动 &img src=&///equation?tex=ln2& alt=&ln2& eeimg=&1&& 弧度。&/p&&p&&strong&2.5 欧拉公式与三角函数&/strong&&/p&&p&根据欧拉公式 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Ctheta+%7D+%3D+%5Ccos+%5Ctheta+%2Bi%5Csin+%5Ctheta+& alt=&e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta & eeimg=&1&& ，可以轻易推出：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+%5Ctheta+%3D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B%7Bi%5Ctheta+%7D%7D-e%5E%7B%7B-i%5Ctheta+%7D%7D%7D%7B2i%7D%7D& alt=&\sin \theta ={\frac{e^{{i\theta }}-e^{{-i\theta }}}{2i}}& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=%5Ccos+%5Ctheta+%3D%7B%5Cfrac%7Be%5E%7B%7Bi%5Ctheta+%7D%7D%2Be%5E%7B%7B-i%5Ctheta+%7D%7D%7D%7B2%7D%7D& alt=&\cos \theta ={\frac{e^{{i\theta }}+e^{{-i\theta }}}{2}}& eeimg=&1&& 。三角函数定义域被扩大到了复数域。&/p&&p&我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 方向，虚部是 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 方向，很容易观察出其几何意义。&img src=&/bcda4ffbf1cbd_b.png& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&/bcda4ffbf1cbd_r.png&&&img src=&/e3f897dd16404dcd7e23f23cc482514c_b.png& data-rawwidth=&613& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&613& data-original=&/e3f897dd16404dcd7e23f23cc482514c_r.png&&&br&&/p&&p&&strong&2.6 欧拉恒等式&/strong&&/p&&p&当 &img src=&///equation?tex=%5Ctheta+%3D%5Cpi+& alt=&\theta =\pi & eeimg=&1&& 的时候，代入欧拉公式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%3Dcos%5Cpi+%2Bisin%5Cpi+%3D-1%5Cimplies+e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bi%5Cpi+%7D%2B1%3D0& alt=&e^{i\pi }+1=0& eeimg=&1&& 就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=%5Cpi+& alt=&\pi & eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。&/p&
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。1 复数在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。…
我觉得Anub'arak的答案更漂亮！&br&&br&1.&br&&img data-rawheight=&672& data-rawwidth=&696& src=&/3dbfd3aab36_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/3dbfd3aab36_r.jpg&&&br&2.&br&或者一刀吧&br&&img data-rawheight=&459& data-rawwidth=&1015& src=&/2fec094cffe610d472cee5a5cea05dfa_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1015& data-original=&/2fec094cffe610d472cee5a5cea05dfa_r.jpg&&
我觉得Anub'arak的答案更漂亮！ 1. 2. 或者一刀吧
因为搬家笔记全丢了...更新有点困难 首先声明文中的笔误我基本上都在评论什么的说过了 所以私信什么的都懒得再回复一遍了……因为懒 评论也关了 说好的重新整理一遍也一直拖到现在......大家就将就着看看......&br&&br&没有看不懂的所谓高大上！没有大学内容！切实分享一些高中数学老师基本不会讲但解题能用到的干货！&br&&br&广告（值得一看的干货）：全国卷理科考生如何提高成绩&a href=&/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/4758&/span&&span class=&invisible&&9177/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&&br&============================&br&&br&&br&1.&img data-rawheight=&697& src=&/8b664a15fb6fbb2bdf97_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/8b664a15fb6fbb2bdf97_r.jpg&&用数形结合算函数题时对画图很有用&br&&br&2.&img data-rawheight=&941& src=&/3fe637bde6defdb0ce057cb_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/3fe637bde6defdb0ce057cb_r.jpg&&周期什么的大家应该都知道，所以千万注意这些隔一个周期函数值会发生变化的！&br&&br&3.&img data-rawheight=&947& src=&/83e72c3f09d9a92f618ebd6d16c782a1_b.jpg& data-rawwidth=&3215& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3215& data-original=&/83e72c3f09d9a92f618ebd6d16c782a1_r.jpg&&&br&这个很实用，可以不用画图，直接算出最值。但要千万注意函数表达式中到底是加号还是减号！（括号里不符合特征意思是图中f（x）表达式中划红线的加号换成减号）&br&&br&4.&img data-rawheight=&1246& src=&/6ad41f17a59f6c3ae5e0bb3_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/6ad41f17a59f6c3ae5e0bb3_r.jpg&&一些常见又不太常见的奇函数...选择填空题里遇到可以直接用&br&&br&5.&img data-rawheight=&1077& src=&/7cbeb10bc2d97_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/7cbeb10bc2d97_r.jpg&&特殊情况&br&&br&6.&img data-rawheight=&1280& src=&/c421d1c00ec3bcfc312f_b.jpg& data-rawwidth=&1322& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1322& data-original=&/c421d1c00ec3bcfc312f_r.jpg&&&br&各种情况下的对勾函数图像&br&&br&7.&br&&img data-rawheight=&697& src=&/564dcedae3caca9ded79b_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/564dcedae3caca9ded79b_r.jpg&&&br&这种题型是不是很熟悉呢？以后遇到直接用就好 不必纠结怎么证明&br&&br&&br&8.接下来更一些函数的图像和性质&br&（1）&img data-rawheight=&1049& src=&/c09b16fa5bd26f8d79bea6ed_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/c09b16fa5bd26f8d79bea6ed_r.jpg&&&br&（2）&br&&img data-rawheight=&1284& src=&/206a28bf5b7eed8dc26ec3ca9d03c1ff_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/206a28bf5b7eed8dc26ec3ca9d03c1ff_r.jpg&&&br&（3）&br&&img data-rawheight=&1280& src=&/9d11c33ab20e2982f35dfa_b.jpg& data-rawwidth=&2011& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2011& data-original=&/9d11c33ab20e2982f35dfa_r.jpg&&&br&&br&（4）&br&&img data-rawheight=&1599& src=&/7d097ee8d21710dbc6ca9e_b.jpg& data-rawwidth=&3258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3258& data-original=&/7d097ee8d21710dbc6ca9e_r.jpg&&&br&&br&9. 直接记住这些 对选择填空题节约时间很有帮助&br&&img data-rawheight=&1031& src=&/ec8730dab82d7b0fa2db9f_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/ec8730dab82d7b0fa2db9f_r.jpg&&&br&&br&10.&img data-rawheight=&939& src=&/bca7a33b7ccbc_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/bca7a33b7ccbc_r.jpg&&&br&跟第七点放在一起&br&&br&&br&11.&br&&img data-rawheight=&768& src=&/cbc1cfe3c90d3c981ce6b28b1d32be87_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/cbc1cfe3c90d3c981ce6b28b1d32be87_r.jpg&&&br&&br&&br&12.&br&&img data-rawheight=&1258& src=&/07d9a50eea1b3c06e0a21_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/07d9a50eea1b3c06e0a21_r.jpg&&&br&&br&已知圆锥曲线方程和切点坐标，直接求切线方程&br&&br&13.&br&&img data-rawheight=&1280& src=&/3a742dff7baa_b.jpg& data-rawwidth=&1679& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1679& data-original=&/3a742dff7baa_r.jpg&&&br&&br&14.&br&&img data-rawheight=&742& src=&/1f696b7cbd7f826c696511d_b.jpg& data-rawwidth=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2048& data-original=&/1f696b7cbd7f826c696511d_r.jpg&&&br&&br&&br&15.&br&&img data-rawheight=&697& src=&/aead1defeb3_b.jpg& data-rawwidth=&3264& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&3264& data-original=&/aead1defeb3_r.jpg&&&br&&br&&br&（持续更新中） 我可是把我多年的积累拿出来分享 你确定不要点个赞吗=_=&br&还有 我这么善良可爱 你确定不要关注我吗=_=&br&&br&&br&评论关了 有事私信&br&&br&&br&&br&收费答题（微信号yb991113）&br&&br&&img data-rawheight=&577& src=&/v2-fa7f39933fb_b.jpg& data-rawwidth=&507& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&507& data-original=&/v2-fa7f39933fb_r.jpg&&
因为搬家笔记全丢了...更新有点困难 首先声明文中的笔误我基本上都在评论什么的说过了 所以私信什么的都懒得再回复一遍了……因为懒 评论也关了 说好的重新整理一遍也一直拖到现在......大家就将就着看看...... 没有看不懂的所谓高大上！没有大学内容！切实…
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）&a data-hash=&5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& href=&///people/5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@Yuhang Liu& data-hovercard=&p$b$5c05c9c0be702a0c3966f3def70e3faf&&@Yuhang Liu&/a&给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。）&br&&br&回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是怎么出现的（使用『模法』）。&br&&br&===============第一部分开始了呦===============&br&&br&首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得&b&所有的实数都等于零&/b&，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。&br&&br&我们先来想一个问题：大家都知道&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&，可是它们为什么相等呢？&br&&br&&blockquote&这还不简单？因为&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D0.5%3D3%2F6& alt=&1/2=0.5=3/6& eeimg=&1&&啊！&/blockquote&&br&这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，&img src=&///equation?tex=0.5%3D5%5Ctimes10%5E%7B-1%7D%3D5%2F10& alt=&0.5=5\times10^{-1}=5/10& eeimg=&1&&，所以我们就需要进一步解释为什么&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D5%2F10& alt=&1/2=5/10& eeimg=&1&&以及为什么&img src=&///equation?tex=3%2F6%3D5%2F10& alt=&3/6=5/10& eeimg=&1&&，于是问题变得更复杂了。&br&&br&正确答案是：因为&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&.&br&&br&&blockquote&切，那我也可以继续问啊！为什么&img src=&///equation?tex=1%5Ctimes6%3D2%5Ctimes3& alt=&1\times6=2\times3& eeimg=&1&&就意味着&img src=&///equation?tex=1%2F2%3D3%2F6& alt=&1/2=3/6& eeimg=&1&&？&/blockquote&&br&因为我们就是这么定义两个分数相等的。&br&&br&不妨先想一想分数到底是怎么回事：&br&&br&一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=3%2F6& alt=&3/6& eeimg=&1&&就一定相等。&br&&br&但是光创造数没有用，我们想做&b&运算&/b&呀。现在什么规定都没有，那&img src=&///equation?tex=1%2F2%2B3%2F6& alt=&1/2+3/6& eeimg=&1&&是啥？？&br&&br&于是人们规定，&b&对于两个分数&img src=&///equation?tex=a%2Fb& alt=&a/b& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=c%2Fd& alt=&c/d& eeimg=&1&&，如果&img src=&///equation?tex=ad%3Dbc& alt=&ad=bc& eeimg=&1&&，那么它们就相等。&/b&接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！&br&&br&这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，&b&当我们把原来的每个整数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&都当成&img src=&///equation?tex=n%2F1& alt=&n/1& eeimg=&1&&时，有理数的运算和整数的运算是一致的。&/b&&br&&br&这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，&b&而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』&/b&。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即&b&代数结构&/b&）。&br&&br&所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。&br&&br&有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。&br&&br&现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？&br&&br&&img src=&///equation?tex=0%3D1-1+%3Da%5Ctimes0-a%5Ctimes+0%3Da%5Ctimes%280-0%29%3Da%5Ctimes+0%3D1.& alt=&0=1-1 =a\times0-a\times 0=a\times(0-0)=a\times 0=1.& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&/v2-fe8b80d62ef75_b.jpg& data-rawwidth=&80& data-rawheight=&105& class=&content_image& width=&80&&&br&我们可以接着证明&b&所有的实数都等于零&/b&，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉……&br&&br&（对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中&b&任意一个对乘法封闭的子集&/b&作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就&b&只能得到一个等价类&/b&。具体可以看GTM73第三章第四节。）&br&&br&===============第二部分开始了呦===============&br&&br&&blockquote&那么虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&又是怎么出现的呢？&/blockquote&&br&回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4%5Cmathrm%7Bi%7D%29%282%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D%286-4%29%2B%283%2B8%29%5Cmathrm%7Bi%7D%3D2%2B11%5Cmathrm%7Bi%7D.& alt=&(3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=(6-4)+(3+8)\mathrm{i}=2+11\mathrm{i}.& eeimg=&1&&&br&&br&没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&，只知道实数。&br&&br&接下来我们回顾一点点初中的知识：&b&多项式加法、减法、乘法&/b&和&b&因式分解&/b&。&br&&br&&blockquote&是啥来着的……？&br&&/blockquote&&br&多项式加法就比如：&img src=&///equation?tex=%283x%5E2-3x%2B1%29%2B%285x-2%29%3D3x%5E2%2B2x-1& alt=&(3x^2-3x+1)+(5x-2)=3x^2+2x-1& eeimg=&1&&，减法类似；&br&&br&多项式乘法就比如：&img src=&///equation?tex=%283x%5E2-3x%2B1%29%285x-2%29%3D15x%5E3-21x%5E2%2B11x-2& alt=&(3x^2-3x+1)(5x-2)=15x^3-21x^2+11x-2& eeimg=&1&&；&br&&br&因式分解就比如：&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9%3D%282x%2B3%29%282x-3%29& alt=&4x^2-9=(2x+3)(2x-3)& eeimg=&1&&，这些大家都还记得吧=w=&br&&br&顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx%5E3-2%7D& alt=&\frac{x+1}{x^3-2}& eeimg=&1&&就不是多项式。&br&&br&所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。&br&&br&（于是我们说&b&实系数多项式构成了一个环&/b&，记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{R}[x]& eeimg=&1&&. ）&br&&br&（啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个&b&可以做加法、减法、乘法的集合&/b&。整数、有理数、实数等等都是环。）&br&&br&好的，接下来我们来讨论因式分解=w=&br&&br&再看一眼之前的例子，&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9%3D%282x%2B3%29%282x-3%29.& alt=&4x^2-9=(2x+3)(2x-3).& eeimg=&1&&&br&&br&这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『&b&不可约&/b&』的。&br&&br&相对应地，&img src=&///equation?tex=4x%5E2-9& alt=&4x^2-9& eeimg=&1&&可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『&b&可约&/b&』的。&br&&br&那么二次多项式有不可约的吗？有，比如&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！）&br&&br&&blockquote&不可约！真是高冷！&br&&/blockquote&&br&没事，&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&不可约，那我们就&b&不要它&/b&了╭(╯^╰)╮&br&&br&&img src=&/v2-acb9a2dd53b22fd0e1b0f4ec8d1222b6_b.jpg& data-rawwidth=&41& data-rawheight=&65& class=&content_image& width=&41&&&br&&blockquote&哼！好！不过啥叫『不要&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&』？？&/blockquote&&br&『不要&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&』的意思就是：&b&把所有的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都换成零。&/b&&br&&br&我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4x%29%282%2Bx%29%3D6%2B11x%2B4x%5E2.& alt=&(3+4x)(2+x)=6+11x+4x^2.& eeimg=&1&&&br&&br&然后我们把所有高冷的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都找出来：&br&&br&&img src=&///equation?tex=6%2B11x%2B4x%5E2%3D2%2B11x%2B4%28x%5E2%2B1%29.& alt=&6+11x+4x^2=2+11x+4(x^2+1).& eeimg=&1&&&br&&br&接着，我们把高冷的&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零：&br&&br&&img src=&///equation?tex=2%2B11x%2B4%28x%5E2%2B1%29%3D2%2B11x%2B4%5Ccdot0%3D2%2B11x.& alt=&2+11x+4(x^2+1)=2+11x+4\cdot0=2+11x.& eeimg=&1&&&br&&br&所以，当我们把&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零之后，运算结果就变成了：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4x%29%282%2Bx%29%3D2%2B11x.& alt=&(3+4x)(2+x)=2+11x.& eeimg=&1&&&br&&br&诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%283%2B4%5Cmathrm%7Bi%7D%29%282%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D2%2B11%5Cmathrm%7Bi%7D.& alt=&(3+4\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=2+11\mathrm{i}.& eeimg=&1&&&br&&br&&blockquote&哇！&br&&/blockquote&&br&我们发现，&b&把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！&/b&&br&&br&&blockquote&好神奇啊！这是巧合吗？？？&br&&/blockquote&&br&这不是巧合。&br&&br&不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&是什么呢？&br&&br&我们会说：&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&就是一个平方等于&img src=&///equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&&的数，也就是说，&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D%5E2%2B1%3D0.& alt=&\mathrm{i}^2+1=0.& eeimg=&1&&&br&&br&这不正是我们之前做的事情吗？&br&&br&我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，接着把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&都换成零。&br&&br&所以，把实系数多项式环&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D& alt=&\mathbb{R}[x]& eeimg=&1&&中所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零，&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&就变得跟&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bi%7D& alt=&\mathrm{i}& eeimg=&1&&一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。&br&&br&复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。）&br&&br&用数学语言来说，『&b&把所有&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&换成零&/b&』这个操作叫『&b&模掉&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想&/b&』。&br&&br&所谓『&b&&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想&/b&』，在这里就是指&b&一切&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&的倍数&/b&，记作&img src=&///equation?tex=%28x%5E2%2B1%29& alt=&(x^2+1)& eeimg=&1&&. 因为&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&所有的倍数，即&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&生成的理想，都被『模掉』啦。&br&&br&写成数学语言就是：&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5Bx%5D%2F%28x%5E2%2B1%29%5Ccong%5Cmathbb%7BR%7D%28%5Cmathrm%7Bi%7D%29%3D%5Cmathbb%7BC%7D.& alt=&\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{R}(\mathrm{i})=\mathbb{C}.& eeimg=&1&&&br&&br&这个『模掉理想』的操作并不局限于&img src=&///equation?tex=x%5E2%2B1& alt=&x^2+1& eeimg=&1&&. 实际上，&b&我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。&/b&&br&&br&当然，我们一般用这个方法扩张有理数域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D& alt=&\mathbb{Q}& eeimg=&1&&而不是实