在平面直角坐标系xOy中，若椭圆x2 a2E：x2a2+y2b2=1（a＞b

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-21 15:39 标签： 椭圆x2 a2 y2 b2 1
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在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．（1）求椭圆E的方程；（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使OP=mOA+nOB．①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；②求OA2+OB2的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由椭圆的离心率为22，得ca=22①，又△FMN面积S=12×c×|yM-yN|=c|yM|≤cb，所以cb=1②，由①②及a2=b2+c2可解得：a2=2，b2=c2=1，故椭圆E的方程是x22+y2=1．（2）①设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x212+y21=1③，x222+y22=1④，又m2+n2=1⑤，因OP=mOA+nOB，故x=mx1+nx2y=my1+ny2.因P在椭圆上，故(mx1+nx2)22+(my1+ny2)2=1．整理得(x212+y21)m2+(x222+y22)n2+2(x1x22+y1y2)mn=1．将③④⑤代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：x1x22+y1y2=0．所以，kOAkOB=y1y2x1x2=-12为定值．②(y1y2)2=(-x1x22)2=x212ox222=(1-y21)(1-y22)=1-(y21+y22)+y21y22，故y21+y22=1．又(x212+y21)+(x222+y22)=2，故x21+x22=2．所以OA2+OB2=x21+y21+x22+y22=3．
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据魔方格专家权威分析，试题“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
与“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为..”考查相似的试题有：
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（2014o南京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
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（1）由题意得2c=2，∴c=1，又2+32b2＝1，a2=b2+1．消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或2＝-12（舍去），则a2=4，∴椭圆E的方程为24+y23＝1．（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则1＝y02，2＝y1x1-2，∵A，P，M三点共线，∴0＝4y1x1+2，∴1k2＝y0y12(x1-2)＝4y122(x21-4)，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故1k2＝4y122(x21-4)＝-32为定值．（ⅱ）直线BP的斜率为2＝y1x1-2，直线m的斜率为m＝2-x1y<spa
为您推荐：
（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．
本题考点：
直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；椭圆的标准方程．
考点点评：
熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．
扫描下载二维码& 如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是
本题难度：0.46&&题型：解答题
如图，椭圆E：2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
来源：2015o四川 | 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为22及离心率是22计算即得结论（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时可得若存在不同于点P的定点Q满足条件则Q点坐标只能是（02）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况利用韦达定理及直线斜率计算方法证明对任意直线l均有|QA||QB|=|PA||PB|即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时直线l被椭圆E截得的线段长为22∴点（21）在椭圆E上又∵离心率是22∴2a2+1b2=1a2-b2=c2ca=22解得a=2b=2∴椭圆E的方程为：x24+y22=1（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（02）使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时设直线l与椭圆相交于C、D两点如果存在定点Q满足条件则有|QC||QD|=|PC||PD|=1即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上可设Q（0y0）．当直线l与x轴垂直时设直线l与椭圆相交于M、N两点则M、N的坐标分别为（02）、（0-2）又∵|QM||QN|=|PM||PN|∴|y0-2||y0+2|=2-12+1解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件则Q点坐标只能是（02）．下面证明：对任意直线l均有|QA||QB|=|PA||PB|．当直线l的斜率不存在时由上可知结论成立．当直线l的斜率存在时可设直线l的方程为y=kx+1A、B的坐标分别为A（x1y1）、B（x2y2）联立x24+y22=1y=kx+1消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx-2=0∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0∴x1+x2=-4k1+2k2x1x2=-21+2k2∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（-x2y2）又kAQ=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1kQB′=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2=k-1x1∴kAQ=kQB′即Q、A、B′三点共线∴|QA||QB|=|QA||QB′|=|x1||x2|=|PA||PB|．故存在与点P不同的定点Q（02）使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的综合问题
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