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时间:2017-10-25 12:58
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f x 1 丨x丨 x
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已知函数f(x)=lnx+kx,k∈R(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥2+1-ex恒成立,求实数k的取值范围;(3)设g(x)=xf(x)-k,若对任意两个实数x1,x2满足0<x1<x2,总存在g′(x0)=g(x1)-g(x2)x1-x2成立,证明x0>x1.
题型:解答题难度:中档来源:不详
(1)当k=1时,函数f(x)=lnx+1x,则f′(x)=1x-1x2=x-1x2,当f′(x)<0时,0<x<1,当f′(x)>0时,x>1,则函数f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞);(2)f(x)≥2+1-ex恒成立,即lnx+kx≥2+1-ex恒成立,整理得k≥2x-xlnx+1-e恒成立,设h(x)=2x-xlnx+1-e,则h′(x)=1-lnx,令h′(x)=0,得x=e,当x∈(0,e)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减,因此当x=e时,h(x)取得最大值1,因而k≥1;(3)g(x)=xf(x)-k=xlnx,g′(x)=lnx+1,因为对任意的x1,x2(0<x1<x2),总存在x0>0,使得g′(x0)=g(x1)-g(x2)x1-x2成立,所以lnx0+1=g(x1)-g(x2)x1-x2,即lnx0+1=x1lnx1-x2lnx2x1-x2,即lnx0-lnx1=x1lnx1-x2lnx2x1-x2-1-lnx1=x2lnx1-x2lnx2+x2-x1x1-x2=lnx1x2+1-x1x2x1x2-1,设φ(t)=lnt+1-t,其中0<t<1,则φ′(t)=1t-1>0,因而φ(t)在区间(0,1)上单调递增,φ(t)<φ(1)=0,又x1x2-1<0,所以lnx0-lnx1>0,即x0>x1.
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据魔方格专家权威分析,试题“已知函数f(x)=lnx+kx,k∈R(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系,函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系:
(1)若f′(x)&0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若f′(x)&0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:
①确定f(x)的定义域; ②计算导数f′(x); ③求出f′(x)=0的根; ④用f′(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f′(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f′(x)&0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f′(x)&0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒:
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)&0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件。&函数的最大值和最小值:
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值,分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a,b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒:
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值,因此,函数极大值和极小值的判别是关键,极值与最值的关系:极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值;②如果仅仅是求最值,还可将上面的办法化简,因为函数fx在[a,b]内的全部极值,只能在f(x)的导数为零的点或导数不存在的点取得(下称这两种点为可疑点),所以只需要将这些可疑点求出来,然后算出f(x)在可疑点处的函数值,与区间端点处的函数值进行比较,就能求得最大值和最小值;③当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题:
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,解决优化问题的方法很多,如:判别式法,均值不等式法,线性规划及利用二次函数的性质等,不少优化问题可以化为求函数最值问题.导数方法是解这类问题的有效工具.
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题:
(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去;(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的情形.如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值;(3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.
利用导数解决生活中的优化问题:
&(1)运用导数解决实际问题,关键是要建立恰当的数学模型(函数关系、方程或不等式),运用导数的知识与方法去解决,主要是转化为求最值问题,最后反馈到实际问题之中.&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤,&&①求函数y =f(x)在(a,b)上的极值;& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.&&(3)定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该极值点必为最值点.
发现相似题
与“已知函数f(x)=lnx+kx,k∈R(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若..”考查相似的试题有:
568356246995430175820412819398570543如果实数x满足方程:|2-x|=2+|x|.那么|2-x|等于( ) A.±(x-2)B.1C.2-xD.x-2 题目和参考答案——精英家教网——
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如果实数x满足方程:|2-x|=2+|x|,那么|2-x|等于( )
A、±(x-2)B、1C、2-xD、x-2
考点:含绝对值符号的一元一次方程
专题:常规题型
分析:首先要明确x的取值范围,根据x的范围,去掉绝对值,再进行计算,求出其值.
解答:解:原式=|2-x|-|x|=2.(1)x≤0时,原方程变形为:2-x+x=2,∴x≤0为方程的解.(2)当0<x≤2时,原方程变形为:2-x-x=2,x=0舍去;(3)当x>2时,原方程变形为:x-2=x+2矛盾,舍去.∴方程的解为:x≤0∴|2-x|=2-x.故选C.
点评:本题主要考查的是含绝对值符号的一元一次方程的常规中的一般计算题.难易适中.
科目:初中数学
方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是.
科目:初中数学
黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数:1,3,5,7,9,…,擦去其中的一个奇数以后,剩下的所有奇数之和是2004,那么,擦去的奇数是
科目:初中数学
(1)方程组的解是.(2)若关于x的方程m(x-1)=2001-n(x-2)有无数个解,则m2003+n2003=.
科目:初中数学
已知一次函数f(x)=(2a-b)x+a-5b,g(x)=ax+b,如果使f(x)>0的实数x的取值范围是,则使g(x)<0的实数x的取值范围是.
科目:初中数学
你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3…这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+25;…752=5625可写成;852=7225可写成.(2)从第(1)题的结果,归纳、猜想得(10n+5)2=.(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=.
科目:初中数学
已知满足2x-3y=11-4m和3x+2y=21-5m的x、y也满足x+3y=20-7m,则m的值为.
科目:初中数学
解下列方程组:(1)(2)(3).
科目:初中数学
若,则代数式的值( )
A、等于B、等于C、等于或不存在D、等于或不存在
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