扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
高一数学必修四的两道题(三角函数)一 函数y=2sin2xcos2x是A 周期为π/2的奇函数 B 周期为π/2的偶函数C 周期为π的奇函数 D 周期为π的偶函数我知道选A,也能判断他是奇函数,但无法判断周期的大小.y=2这个2对周期没有影响,sin2x周期是π,cos2x周期也是π,难道这两个相乘周期就减半了么?二 函数y=2sin(π/3-x)-cos(π/6+x)的最小值是A -3 B -2 C -1 D -√5
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
2sin2xcos2x=sin4x A 周期T=2π/wy=2sin(π/3-x)-cos(π/6+x)=2sin[π/2-(π/6+x)]-cos(π/6+x)=2cos(π/6+x)-cos(π/6+x)=cos(π/6+x) 最小值-1 ,C
为您推荐：
其他类似问题
第一题是奇函数 周期是π/22sin2xcos2x=sin4x正弦函数是奇函数 周期是2π/ω 也就是π/2第二题 用那个公式A·sin(ωt+θ)+ B·cos(ωt+φ)=√(A^2 +B^2+2ABcos(θ-φ))*sin(.......)可以知道A是2 B是1
2ABcos(θ-φ)是-4那么最大值最小值就是1和-1 选C
1.根据倍角公式2sin2xcos2x=4sin4x，即A2.打开，y=根号三cosx-sinx-二分之根号三cosx+1/2sinx=二分之根号三cosx-1/2sinx=sin(π/3-x)选C
一解 这个题的 2sin2xcos2x=2sin4x
y=2sin4x y=sinx为奇函数
周期为 2π/w 这个w为x的系数
所以周期是π/2选A二y=2(sinπ/3cosx-cosπ/3sinx)-(sinπ/6sinx-cosπ/6cosx) =sin（π/3+x)最大值1
最小值-1选C加分哦
扫描下载二维码正确教育旗下网站
网校：8299所
24小时更新：2562
总量：5734354

年高一数学新人教B版必修1教案：第2章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象
年高一数学新人教B版必修1教案：第2章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象
资料类别：
所属学科：
适用地区：全国
所属版本：
资料类型：暂无
下载扣点：2点
上传时间： 17:38:45
下载量：54次
文档大小：1.69M
所属资料：
文档预览文档简介为自动调取，可能会显示内容不完整，请您查看完整文档内容。
预览已结束，如需查看所有内容，请下载资料！
对不起，此页暂时无法预览！
官方微信公共账号
资源库-微信公众号当前位置： >>
高中数学题库高一部分-B函数-对数与对数函数
已知： f ( x ) = ln (1 + x ) ? ln (1 ? x ) . （1）求 f (0) ; （2）判断此函数的奇偶性; （3）若 f (a ) = ln 2 ，求 a 的值.答案： 答案：（1）因为 f ( x ) = ln (1 + x ) ? ln (1 ? x ) 所以 f (0) = ln(1 + 0) ? ln(1 ? 0) = 0 ? 0 = 0 （2）由 1 + x & 0 ，且 1 ? x & 0 知 ?1 & x & 1 所以此函数的定义域为： （-1，1） 又 f ( ? x ) = ln(1 ? x ) ? ln(1 + x ) = ?(ln(1 + x ) ? ln(1 ? x )) = ? f (x ) 由上可知此函数为奇函数. （3）由 f (a ) = ln 2 知 ln (1 + a ) ? ln (1 ? a ) = ln?1 & a & 1且1+ a =2 1? a1+ a = ln 2 得 1? a 1 3解得 a =1 3所以 a 的值为：来源：09 年湖北宜昌月考一 题型：解答题，难度：中档已知函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 满足 f ( x + 3) = f ( x + 1) 且 x ∈[-1，1]时， f ( x ) = x ，则y = f ( x ) 与 y = log 5 x 的图象交点的个数是：A．3 B. 4 C. 5 D. 6答案：B 来源： 题型：选择题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题： 对于任意实数 x ，符号[ x ]表示 x 的整数部分，即[ x ]是不超过 x 的最大整数” 。在实数 轴 R（箭头向右)上[ x ]是在点 x 左侧的第一个整数点，当 x 是整数时[ x ]就是 x 。这个函数 [ x ]叫做“取整函数” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。 从[ x ]的定义可得下列性质： x ? 1 & [ x] ≤ x & [ x + 1] 与[ x ]有关的另一个函数是 {x}，它的定义是 {x} = x -[ x ] , 这也是一个很常用的函数。 问题①根据上文可知： {x}的取值范围是 ；{x}称为 x 的“小数部分”，[-5.2]=____________________； 问题②求 [log2 1] + [log2 2] + [log 2 3] + [log2 4] + L + [log2 1024] 的和。答案： 答案：问题①：{x}的取值范围是问题②：[0 , 1 ][－5.2] = －6?0 ? ?1 ? ?2 [log 2 N ] = ? ?L ?9 ? ?10 ?1≤ N & 2 2 ≤ N & 22 2 2 ≤ N & 23 29 ≤ N & 210 N = 210∴ 原式＝ 0 + 1 ? (2 2 ? 2) + 2 ? (2 3 ? 2 2 ) + L + 9 ? (210 ? 2 9 ) + 10=9 ? 210 ? (2 9 + 2 8 + L + 2) + 10 = 8204来源：1 题型：解答题，难度：较难定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x，y∈R 都有 f(x+y)= f(x)+ f(y)． (1)求证 f(x)为奇函数； (2)若 f(k?3 x )+f(3 x -9 x -2)＜0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．答案： 答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+ f(y) (x，y∈R)， ① 令 x=y=0，代入①式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令 y=-x，代入①式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又 f(0)=0，则有 0= f(x)+f(-x)．即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立，所以 f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log 2 3＞0，即 f(3)＞f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函 数，又由(1)f(x)是奇函数． f(k?3 x )＜-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2)， k?3 x ＜-3 x +9 x +2，3 2 x -(1+k)?3 x +2＞0 对任意 x∈R 成立．令 t=3 ＞0，问题等价于 t2-(1+k)t+2＞0 对任意 t＞0 恒成立．xR 恒成立． 命题意图与思路点拨： ：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数， 把问题转化成二次函数 f(t)=t 2 -(1+k)t+2 对于任意 t＞0 恒成立． 对二次函数 f(t) 进行研究求解．本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k?3 x ＜-3 x +9 x +2 得上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
来源：1 题型：解答题，难度：较难设 x，y，z∈R+，且 3x= 4y= 6z。 (1)求证：1 1 1 ；(2) 比较 3x，4y，6z 的大小 ? = z x 2y答案： 答案：（1）证明：设 3x= 4y= 6z=k （k&0），则 x = log 3 k , y = log 4 k , y = log 6 k1 1 1 1 ? = ? = log k 6 ? log k 3 = log k 2 z x log 6 k log 3 k 1 1 1 1 1 1 = = log k 4 = log k 2 ∴ ? = 2 y 2 log 4 k 2 z x 2y 3 1 1 1 （2）同（1） 3 x = ， = ；4y = ； 6z = 3 4 log k 3 log k 3 log k 4 log k 6 6∴ ∵ 3 3 & 4 4 & 6 6 ，又∵x，y，z∈R+ ∴ 3x&4y&6z 既 k&1来源：1 题型：解答题，难度：较难已知函数 f (x ) 对任意实数 x 都有 f ( x + 1) + f ( x) = 1 ，且当 x ∈ [0,2] 时， f ( x) =| x ? 1 | 。 ⑴当 x ∈ [2k ,2k + 2](k ∈ Z ) 时，求 f (x ) 的表达式。 ⑵证明 f (x ) 是偶函数。 ⑶试问方程 f ( x) + log 41 = 0 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有 x实数根，请说明理由。答案： 答案：①f(x)= x ? 2k ? 1 (2kQxQ2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有 4 个实根来源： 题型：解答题，难度：较难若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证： y=f (x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。-1答案： 答案：设 x1&x2, 且 y1=f -1(x1), y2=f -1(x2)， x1=f(y1), x2=f(y2)， y1≥y2， 则 若 则因为 f(x)在(-∞,+ ∞) 上递增，所以 x1≥x2 与假设矛盾，所以 y1&y2。 即 y=f -1(x)在(-∞,+ ∞)递增。来源：08 年数学竞赛专题三 题型：解答题，难度：中档已知函数 f ( x) = log 2 ( x + 1) ，当点 M（x，y）在 y = f ( x) 的图象上运动时，点 N(x ? a +1 , 2 y ) （ a ∈ R ）在函数 y = g ( x) 的图象上运动. 2 （Ⅰ）求 y = g ( x ) 的解析式； （Ⅱ）若函数 F ( x ) = g ( x ) ? f ( x ) 的极小值为 4，求函数 F ( x ) 的单调区间； （Ⅲ）若在 x ∈ [0,1] 时， g ( ? x ) & f (2 x ) 恒成立，求参数 a 的取值范围.答案： 答案：（Ⅰ） g ( x ) = 2 log 2 (2 x + a ) . （Ⅱ） F ( x ) 的单调递增区间为 [0, +∞ ) ，单调递减区间为 ( ?1, 0] . （Ⅲ） a & 2 + 3 .来源： 题型：解答题，难度：较难设 f(x)=|lgx|，实数 a, b 满足 0&a&b, f(a)=f(b)=2f ??a+b? ? ，求证： ? 2 ?（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0； （2）3&b&4.答案： 答案：证明： （1）依题设，有|lga|=|lgb|，又 a&b，故 lga=-lgb，可得 ab=1，从而 0&a&1&b. 因为 f(b)=2f ? 从而 (a+b)2=4b.a+b a+b ?a+b? , 又 a+b≥ 2 ab =2，由上式得 lgb=2lg , ? , 故|lgb|=2 lg 2 2 ? 2 ?①21 4 ? 1? 将 b= 代入①得 = ? a + ? ，整理得 a a ? a?a4+2a2-4a+1=0 将 a= ②1 代入②式得 bb4-4b2+2b2+1=0. ③ 4 2 （2）由③式得 b -4b +2b2+1=(b-1)(b3-3b2-b-1)=0， 又 b&1，故 ④ g(b)=b3-3b2-b-1=0 2 若 1&b≤3，则 g(b)=b (b-3)-(b+1)&0，与④式矛盾。 若 b≥4, 则 g(b)=(b3-4b2)+(b2-3b+1)=b2(b-4)+b(b-4)+(b-1)&0. 仍与④式矛盾。 综上所述，可知 3&b&4.来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档已知函数 f ( x ) = log 2 2 x + 1 . (1)求证：函数 f ( x ) 在 ( ? ∞, + ∞ ) 内单调递增； (2)记 f ?1 ( x ) 为函数 f ( x ) 的反函数. 若关于 x 的方程 f ?1 ( x) = m + f ( x ) 在 [1, 2 ] 上有 解，求 m 的取值范围.()答案： 答案：（1）任取 x1 & x2 ，则2 x1 + 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = log 2 ( 2 + 1) ? log 2 ( 2 + 1) = log 2 x2 ， 2 +1x1 x2Q x1 & x2 , ∴ 0 & 2 x1 + 1 & 2 x2 + 1 ， ∴ 0& 2 x1 + 1 2 x1 + 1 & 1, log 2 x2 &0， 2 x2 + 1 2 +1…… 6 分 …… 9 分∴ f ( x1 ) & f ( x2 ) ，即函数 f ( x) 在 ( ? ∞, + ∞ ) 内单调递增.[解]（2）Q [解法一]f ?1 ( x) = log 2 ( 2 x ? 1) ( x & 0) ，∴ m = f ?1 ( x) ? f ( x) = log 2 ( 2 x ? 1) ? log 2 ( 2 x + 1)= log 22x ?1 2 ? ? = log 2 ?1 ? x ?， x 2 +1 ? 2 +1?2 2 2 1 2 3 ≤ x ≤ , ∴ ≤ 1? x ≤ ， 5 2 +1 3 3 2 +1 5…… 11 分当 1 ≤ x ≤ 2 时，? ?1? ?3? ? ∴ m 的取值范围是 ? log 2 ? ? , log 2 ? ? ? . ? 3? ?5? ? ?[解法二] 解方程 log 2 2 x ? 1 = m + log 2 2 x + 1 ，得…… 14 分()()? 2m + 1 ? x = log 2 ? ， m ? ? 1? 2 ? ? 2m + 1 ? Q 1 ≤ x ≤ 2, ∴ 1 ≤ log 2 ? ≤ 2， m ? ? 1? 2 ?解得 log 2 ? ? ≤ m ≤ log 2 ? ? . ∴ m 的取值范围是…… 11 分?1? ? 3??3? ?5?? ?1? ?3? ? ? log 2 ? 3 ? , log 2 ? 5 ? ? . ? ? ? ?? ?…… 14 分来源：08 年春季高考上海卷 题型：解答题，难度：中档设 f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x?a]，其中 n 为给定正整数, n≥2, a∈R.若 f(x)在 x∈(∞,1]时有意义，求 a 的取值范围。答案： 答案：由题设对任意的 x≤1， 1+2x+…+(n-1) x +n x? 有 a&0， ? ? + ? ? +…+ ? 即?1? ?n?x?2? ?n?x? n ?1 ? ? &-a， ? n ?x?1? ?2? ? n ?1 ? 设 g(x)= ? ? + ? ? +…+ ? ? ， ?n? ?n? ? n ?x x x因为 g(x)在（-∞,+∞）递减， 所以当 x≤1 时，g(x)&-a 恒成立等价于 g(1)&-a, 即 化简得n ?1 1? n &-a，所以 a 的取值范围是 a& . n 21 2 n ?1 + +…+ &-a， n n n来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档当 a 为何值时，方程lg 2 x =2 有一解，二解，无解？ lg( x + a )答案： 答案：?( x + a ) 2 = 2 x ? ? x & ?a ? 方程等价于 ? x & 0 . ? ?x ≠ 1 ? ? 2①x2+2(a-1)x+a2=0. △=4(1-2a) ≥0，所以 a≤ . 1) 当 a&1 21 1 1 1 时， 无解， 当 a= 时， （2） x= 不符方程。 当 a& 时， 1,2=1-a ± 1 ? 2a . （3） x 2 2 2 2若 a=0，则满足方程的解为 x1=0, x2=2. ）当 0&a&1 1 时，x2=1-a+ 1 ? 2a &0, x1&0 且 x1 ≠ ，有 2 个根。 2 2 1 。 2）当 a&0 时，x2=1-a- 1 ? 2a &-a 不符合方程。x2=1-a+ 1 ? 2a &-a 且 x 2 ≠ 综上所述，当 a≥1 1 时无解，当 0&a& 时有 2 个解，当 a≤0 时有 1 个解。 2 2来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难 已知 a&0, a ≠ 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。答案： 答案：?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 ? 由对数性质知，原方程的解 x 应满足 ? x ? ak & 0 .①②③ ? 2 2 ?x ? a & 0若①、②同时成立，则③必成立，?( x ? ak ) 2 = x 2 ? a 2 . 故只需解 ? ? x ? ak & 0由①可得 2kx=a(1+k2)， ④a (1 + k 2 ) 1+ k 2 当 k=0 时，④无解；当 k ≠ 0 时，④的解是 x= ，代入②得 &k. 2k 2k若 k&0，则 k2&1，所以 k&-1；若 k&0，则 k2&1，所以 0&k&1. 综上，当 k∈(-∞,-1)∪(0, 1)时，原方程有解。来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难解方程组： ?? x x + y = y 12 ? （其中 x, y∈R+） x+ y 3 ?y =x ?答案： 答案：两边取对数，则原方程组可化为 ??( x + y ) lg x = 12 lg y . ?( x + y ) lg y = 3 glx①②把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6， 代入①得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y&0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为 ?? ? ? x1 = 1 ? x 2 = 4 . ;? ? y1 = 1 ? y 2 = 2 ? ?来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难 已知 x ≠ 1, ac ≠ 1, a ≠ 1, c ≠ 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab.答案： 答案：由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得log a x +log a x 2 log a x = ， log a c log a b因为 ac&0, ac ≠ 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档对于正整数 a, b, c(a≤b≤c)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 证：a+b=c.1 1 1 1 + + = ，求 x y z w答案： 答案：由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70， w x w y w z相加得?1 1 1? 1 1 1 1 1 (lga+lgb+lgc)= ? + + ? lg70，由题设 + + = ， ?x y z? w x y z w ? ?所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a&1. 又 a≤b≤c，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c.来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q)，求q 的值。 p答案： 答案：令 log9p= log12q= log16(p+q)=t，则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t， 所以 9 t +12 t =16 t，即 1+ ? ? = ? ? .?4? ?3?t?4? ?3?2t记 x=1± 5 q 12 t ? 4 ? = t = ? ? ，则 1+x=x2，解得 x = . 2 p 9 ?3?t又q q 1± 5 &0，所以 = . p p 2来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x ) 的全体：在定义域内存在 x 0 ，使得f ( x0 + 1) = f ( x0 ) + f (1) 成立。(1)函数 f ( x ) =1 是否属于集合 M ？说明理由； x a (2)设函数 f ( x ) = lg 2 ∈ M ，求 a 的取值范围； x +1(3)设函数 y = 2 x 图象与函数 y = ? x 的图象有交点，证明：函数 f ( x ) = 2 x + x 2 ∈ M 。答案： 答案：(1)若 f ( x ) =21 1 1 2 ∈ M ，在定义域内存在 x0 ，则 = + 1 ? x0 + x0 + 1 = 0 ， x x0 + 1 x0 1 ?M 。 x∵方程 x0 + x0 + 1 = 0 无解，∴ f ( x ) = (2) f ( x ) = lga a a a ∈ M ? lg = lg 2 + lg ， 2 x +1 x +1 2 (x + 1) + 12? (a ? 2 )x 2 + 2ax + 2(a ? 1) = 01 a = 2 时， x = ? ； a ≠ 2 时，由 ? ≥ 0 ，得 2a 2 ? 6a + 4 ≤ 0 ? a ∈ 3 ? 5 ,2 ∪ 2,3 + 5 。∴ a ∈ 3 ? 5 ,3 + 5 。 (3)∵ f ( x0 + 1) ? f (x0 ) ? f (1) = 2x0 +1[) (][]+ ( x0 + 1) ? 2 x0 ? x0 ? 3 = 2 x0 + 2( x0 ? 1)2 2= 2 2 x0 ?1 + ( x0 ? 1) ，又∵函数 y = 2 图象与函数 y = ? x 的图象有交点，设交点的横坐标为 a ，x[]则2 + a = 0 ? 2ax0 ?1+ ( x0 ? 1) = 0 ，其中 x0 = a + 1 。∴ f ( x 0 + 1) = f ( x 0 ) + f (1) ，即 f ( x ) = 2 x + x 2 ∈ M 。来源：08 年高考探索性专题 题型：解答题，难度：中档设 a∈R，试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。答案： 答案：?x ? 1 & 0 ?3 ? x & 0 ? 原方程等价于 ? 。 ?a ? x & 0 ?( x ? 1)(3 ? x) = a ? x ?即等价于 ??1 & x & 32 ?? x + 5 x ? 3 = a。②③令 y1=-x2+5x-3, y2=a, 问题转化为求抛物线弧 y1=-x2+5x-3= ? ? x ? 与直线 y=a 的交点个数，如图所示，由此可见： ）当 a∈(-∞, 1] ∪ ?? ?5 ? 13 ? + （1&x&3） 2? 42?13 ? ,+∞ ? 时，原方程无实数解； ?4 ?）当 a∈(1, 3] ∪ ??13 ? ? 时，原方程只有一个实数解； ?4?）当 a∈ ? 3,? 13 ? ? 时，原方程有两个不同的实数解。 ? 4?来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档设 a&0 且 a ≠ 1, f(x)=loga(x+ x ? 1 )(x≥1)，2（1）求 f(x)的反函数 f -1(x)； （2）若 f -1(n)&3n + 3?n (n∈N+)，求 a 的取值范围。 2答案： 答案：（1）由知得 ay=x+ x ? 1 ，所以 a2?y=1 x + x ?12= x ? x 2 ? 1.两式相加，得 x=1 y -y 1 x -x (a +a )，所以 f-1(x)= (a +a ). 2 22 2因为 x≥1, 所以 x ? 1 ≥0, x+ x ? 1 ≥1.所以当 0&a&1 时，f--1(x)的定义域为（-∞，0]， 。 当 a&1 时，f--1(x)的定义域为[0，+∞） （2）当 n∈N+，故 n&0，由（1）可知，在 f--1(n)中 a&1，由 f--1(n)&3n + 3?n 得 2a n + a ?n 3n + 3?n 1 ?1? & ，解之得 ? ? &an&3n. 所以 &a&3 且 a ≠ 0. 2 2 3 ?3?n又 a&1，所以 1&a&3.来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 f ( x) = lg(a x ? b x ) （a＞1＞b＞0） ． （1）求 f (x ) 的定义域； （2）判断 f (x ) 在其定义域内的单调性； （3）若 f (x ) 在（1，＋∞）内恒为正，试比较 a-b 与 1 的大小．答案： 答案：（1）由 a ? b & 0 ，∴x xa a ( ) x & 1 ， & 1 ．∴ x＞0．∴ 定义域为（0，＋∞） ． b b x x x x x x （2）设 x2 & x1 & 0 ， a＞1＞b＞0∴ a 2 & a 1 b 1 & b 2 ? b 2 & ?b 1 a x2 ? a x2 & a x1 ? b x1 & 0∴∴a x2 ? b x2 &1． a x1 ? b x1 ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) & 0 ． ∴ f ( x ) 在（0，＋∞）是增函数． （3）当 x ∈ (1 ，＋∞ ) 时， f ( x ) & f (1) ，要使 f ( x ) & 0 ，须 f (1) ≥ 0 ， ∴ a-b≥1．来源： 题型：解答题，难度：中档已知:lg2=0.3010，lg3=0.4771，求:650是几位数．答案： 答案：650是39位数．来源： 题型：解答题，难度：中档 lg(6 ? x) + lg( x ? 2) + log 1 ( x ? 2)（1）试画出由方程 （2）若函数 y=ax+10lg 2 y=1 所确定的函数 y=f(x)图象。 21 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。 2答案： 答案：1 1 . 原方程可变为 lg(6-x)= lg2y， 2 2 1 1 1 由此得 y= (x-6)2. 注意到 y ≠ ，故函数 y=f(x)= (x-6)2, x∈(2, 5) ∪(5, 6)，其中图象 2 2 2（1）易知 x∈(2, 6), y ≠是抛物线的一部分。 （2）当直线 y=ax+1 15 经过点 A（2，8）时，a= ，当直线 2 4y=ax+1 15 ? 1? 经过点 B ? 5, ? 时，a=0，故当 0&a& 时 2 4 ? 2?与抛物线的 AB 弧恰有一个公共点。 同理，当 ?1 1 ≤a&0 时，直线 y=ax+ 与 f(x) 的图象也恰有一个公共点。 12 2 1 此外，直线 y=ax+ 与上述抛物线 BC 弧有一切点，其横坐标为 35 ，此时 a= 35 -6. 2 ? 1 ? ? 15 ? ,0 ? U ? 0, ? U { 35 ? 6}. ? 12 ? ? 4 ?综上所述，a 的取值范围为 ??
来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档已知函数 f ( x) = log 1 ( x + 1) ，当点 P( x0，y0 ) 在 y = f ( x) 的图像上移动时，2点 Q(x0 ? t + 1 ，y0（t ∈ R） ) 在函数 y = g ( x) 的图像上移动． 2（1） 若点 P 坐标为（ 1， 1 ） ? ，点 Q 也在 y = f (x) 的图像上，求 t 的值； （2） 求函数 y = g ( x) 的解析式； （3） 当 t & 0 时，试探求一个函数 h( x) 使得 f ( x) + g ( x) + h( x) 在限定定义域为[0， 时有最小值而没有最大值． 1)答案： 答案：（1）当点 P 坐标为（ 1， 1 ） ? ，点 Q 的坐标为 ( ∵点 Q 也在 y = f ( x) 的图像上，∴ ?1 = log 1 (1 ?21 ? t + 1， 1) ，…………2 分 ? 2t + 1) ，即 t = 0 ．……5 分 2（根据函数 y = f ( x) 的单调性求得 t = 0 ，请相应给分） （2）设 Q( x，) 在 y = g ( x) 的图像上 y 则 ?x =x0 ? t + 1 x = 2x + t ? 1 ，即 0 2 y0 = y ? y = y0 ?? ?{……………………………………8 分而 P( x0，y0 ) 在 y = f ( x) 的图像上，∴ y0 = log 1 ( x0 + 1)2代入得， y = g ( x) = log 1 (2x + t ) 为所求．…………………………………11 分23 1 ? x ；或 h( x) = log 2 ? x （3） h( x) = log 2x + t 2x + t1 21 2等．…………………15 分如：当 h( x) = log 121 ? x 时， 2x + t1 2 1 2 1 21 2f (x) + g ( x) + h( x) = log ( x + 1) + log (2x + t ) + log 1 ? x = log (1 ? x 2 ) 2x + t∵ 1 ? x 在 [0， 单调递减， 1)2∴ 0 & 1? x ≤ 12故 log 1 (1 ? x ) ≥ 0 ，22即 f ( x) + g ( x) + h( x) 有最小值 0 ，但没有最大值．………………………18 分 （其他答案请相应给分） （参考思路）在探求 h( x) 时，要考虑以下因素：① h( x) 在 [0， 上必须有意义（否则不 1) 能参加与 f ( x) + g ( x) 的和运算） ；②由于 f ( x) 和 g ( x) 都是以 数 h( x) 可以是以 以1 为底的对数，所以构造的函 21 为底的对数， 这样与 f ( x) 和 g ( x) 进行的运算转化为真数的乘积运算； ③ 21 为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便 2起见，可以考虑通过乘积消去 g ( x) ；⑤乘积的结果可以是 x 的二次函数，该二次函数的图 像的对称轴应在直线 x =1 的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了） ，考虑到该 2二次函数的图像与 x 轴已有了一个公共点 (?1 0) ，故对称轴又应该是 y 轴或在 y 轴的右侧 ， （否则该二次函数的值在 [0， 上的值不能恒为正数） 1) ，即若抛物线与 x 轴的另一个公共点 是 (a，0) ，则 1 ≤ a & 2 ，且抛物线开口向下．来源：08 年高考探索性专题 题型：解答题，难度：较难 已知 f ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + lg | a + 2 | ( a ≠ ?2, a ∈ R ) （Ⅰ）若 f (x ) 能表示成一个奇函数 g (x ) 和一个偶函数 h(x ) 的和，求 g (x ) 和 h(x )的解析式； （Ⅱ）若 f (x ) 和 g (x ) 在区间 (?∞, ( a + 1) 2 ] 上都是减函数，求 a 的取值范 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较 f (1)和1 的大小． 6答案： 答案：（Ⅰ）设 f ( x ) = g ( x ) + h( x) ①，其中 g (x ) 是奇函数， h(x ) 是偶函数， 则有 f ( ? x ) = g ( ? x ) + h( x ) = ? g ( x ) + h( x ) ② 联立①，②可得 g ( x ) = ( a + 1) x ， h( x) = x 2 + lg | a + 2 | （直接给出这两个函数也给 分）…3 分 （Ⅱ）函数 g ( x) = ( a + 1) x 当且仅当 a + 1 & 0 ，即 a & ?1 时才是减函数，∴ a & ?1 又 f ( x) = x 2 + (a + 1) x + lg | a + 2 |= ( x + ∴ f (x ) 的递减区间是2(?∞,?a +1 ) 2(a + 1) 2 a +1 2 ) + lg | a + 2 | ? 2 4……5 分 解得 ?3 ≤ a & ?1 2a +1 由已知得 ( a + 1) ≤ ? ∴ 2∴ a 取值范围是 [? ,?1)? a & ?1 ? ? a +1 2 ?(a + 1) ≤ ? 2 ?3 2……8 分（Ⅲ） f (1) = 1 + ( a + 1) + lg | a + 2 |= a + 2 + lg | a + 2 | (?(a + 1)和 lg | a + 2 | 在 [? 3 ,?1) 上为增函数23 ≤ a & ?1) 2……10 分∴ f (1) ≥ (?3 3 1 1 + 2) + lg | ( ? ) + 2 |= + lg = 1 + 1 ? lg 1 & 1 + 1 ? lg 1 = 1 2 2 2 2 2 3 8 2 3 10 6 1 1 ∴ f (1) & 即 f (1)大于 . ……14 分 6 6来源：1 题型：解答题，难度：中档f1 ( x ) = f ( x ) , f 2 ( x ) = f1?1 ( x ) ,已知函数 f n +1 ( x ) = f n?1 ( x ) , n为奇数f n +1 ( x ) = f1 ? f n ( x ? 1) ? , n为偶数 ? ?(1) f1 ( x ) =x ，求 f 3 ( x ) , f 4 ( x ) 的解析式；(2)若函数 f1 ( x ) = log 2 x, x ∈ [1, a ] ，函数 y = f3 ( x ) f 4 ( x ) 是 [1, 2] ，求 a ； (3) f ( x ) 是定义在 R 上的函数，且其为奇函数，其图像关于直线 x = a 对称 当 x ∈ [ 0,1] , f ( x ) =x , ，求最小正数 a 及函数 f ( x ) 在 [ ?2, 2] 上的解析式答案： 答案：(1) f 3 ( x ) = x ? 1( x ≥ 1), f 4 ( x ) = x + 1, ( x ≥ 0) (2) a ＝4（可知 log 2 a = 2 ） (3) a ＝1（略）f ( x ) = x , x ∈ [ 0,1] ； f ( x ) = ? ? x , x ∈ [?1, 0) ； f ( x ) = 2 ? x , x ∈ (1, 2] ； f ( x ) = ? 2 + x , x ∈ [?2, ?1) 。来源：08 年高考探索性专题 题型：解答题，难度：中档已知函数 f(x)是函数 y =2 10 x + 1 ? 1 的反函数，函数 g(x)的图像与 y=4 ? 3x 关于直线 x ?1y=-x 成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x),求函数 F(x)的解析式及定义域答案： 答案：F(x)=lg1? x 1 + －1 x ∈ (－1,1) 1+ x x ? 3来源： 题型：解答题，难度：中档已知函数 f 1 ( x) = f ( x) ， f 2 ( x ) = f1 ( x ) ， f n +1 ( x) = ? （1）若函数 f1 ( x ) =?1? f n ?1 ( x), n为奇数； ? f1[ f n (x - 1)], n为偶数。x ，求函数 f 3 ( x) 、 f 4 ( x) 的解析式；（2）若函数 f1 ( x) = log 2 ( x) , x ∈ [1, a ] ，函数 y = f 3 ( x) ? f 4 ( x) 的定义域是[1,2]，求 a 的值； （3） f (x ) 是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数， 设 且函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = a 对 称。当 x ∈ [0, 1] 时， f ( x ) =x ，求正数 a 的最小值及函数 f ( x) 在[-2,2]上的解析式。答案： 答案：（1）∵ f 1 ( x ) =x , x ∈ [0,+∞) ， (1′) ∴ f 2 ( x) = f 1 ( x) = x 2 , x ∈ [0,+∞) ；?1f 3 ( x) = f 1[ f 2 ( x ? 1)] = f 1 [( x ? 1) 2 ] = x ? 1, x ∈ [1,+∞) ；f 4 ( x) = f 3 ( x) = x + 1, x ∈ [0,+∞) .（2）∵ f 1 ( x) = log 2 x, x ∈ [1, a ] ，∴ f 2 ( x ) = f 1 ( x ) = 2 x , x ∈ [0, log 2 a ] ,?1?1f 3 ( x) = f 1[ f 2 ( x ? 1)] = log 2 (2 x ?1 ) = x ? 1, x ∈ [1, 1 + log 2 a ] ,f 4 ( x) = f 3 ( x) = x + 1, x ∈ [0, log 2 a] ，y = f 3 ( x) ? f 4 ( x) = x 2 ? 1, x ∈ [1, log 2 a ] .由题设，得 log 2 a = 2 ? a = 4 .?1∴（3）∵ f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( ? x ) = ? f ( x )① ②∵函数 f (x ) 的图象关于直线 x = a 对称，∴ f ( x ) = f (2a ? x ) 在②式中以 ? x 替换 x ，得 f ( ? x ) = f (2a + x ) 由①式和③式，得 f ( 2a + x ) = ? f ( x ) ④ ⑤ ③在④式中以 x + 2a 替换 x ，得 f ( 4a + x ) = ? f ( 2a + x ) 由④式和⑤式，得 f ( 4a + x ) = f ( x ) (14′)∵ f (x ) 是定义在 R 上的周期为 4 的奇函数，∴正数 a 的最小值是 1. ∴当 x ∈[0,1]时， f ( x ) =x ，∴当 x ∈[-1,0]时， ? x ∈[0,1]，f (? x) = ? x = ? f ( x) ，即 f ( x) = ? ? x .∵函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称， ∴当 x ∈(1,2]时，2- x ∈[0,1)， f ( x ) = f ( 2 ? x ) = 当 x ∈[-2,-1)当， ? x ∈(1,2]， f ( ? x ) =2?x2 + x = ? f ( x) ，即 f ( x) = ? 2 + x .? 2 ? x , x ∈ (1, 2] ? x , x ∈ [0,1] ? ∴ f ( x) = ? . ? ? ? x , x ∈ [?1, 0) ?? 2 + x , x ∈ [?2,?1) ?y来源：08 年高考探索性专题 题型：解答题，难度：较难1 ex a 设 a&0,函数 f(x)= ( － x )(e 是自然对数的底,e≈2.718)是奇 2 a e 函数. (1) (2) 求 a 的值; 求 f(x)的反函数 f -1(x). B1B2 B3 A1 A2 O A3 x答案： 答案：x 1 ex a 1 e a (1)解法 1∵f (x)是奇函数,∴f (x)= －f (－x),即 ( － x )=－ ( － －x ), 解法 2 a e 2 a e－(a2－1)(ex＋e x)=0,∴a2－1=0,∵a&0,∴a =1. 1 解法 2∵f (x)是 R 上的奇函数,∴f (0)=a －a=0, ∵a&0,∴a =1. 经验证知当 a =1 时, f (x)是奇函数. (2)由(1)知 y=f (x)= 1 x 1 (e － x ),∴e2x－2yex－1=0, 2 e－ex =2 y ± 2 y2 +1 = y ± y 2 + 1,Q e x & 0,∴ e x = y + y 2 + 1, 2－1∴ x = ln( y + y 2 + 1)( y ∈ R ), ∴f (x)的反函数为 f(x)=l n(y+ y2+1 )(x∈R). R来源：题型：解答题，难度：中档若函数 f ( x) =m ? 2x ?1 ? m 为奇函数， 2x ?1（1）确定 m 的值； （2） 文科）求函数 f ( x ) 的值域； （文科） （3） 理科）若 f ( x ) ≥ ?1 ，求 x 的取值范围. （理科）答案： 答案：（1）因 f ( x ) = m ?1 函数的定义域 {x | x ≠ 0} 2 ?1x由奇函数的定义，可知 f ( ? x ) + f ( x ) = 0 而 m ? ∴ 2m +1 1 +m? x =0 2 ?1 2 ?1?x1 ? 2x 1 = 0 ，∴ m = ? x 1? 2 2x x x（6 分）（2） 文科）Q x ≠ 0 ∴ 2 ? 1 & ?1Q 2 ? 1 ≠ 0 ，∴ ?1 & 2 ? 1 & 0 或 2 ? 1 & 0 （文科）x∴?1 1 1 1 1 1 ? x & ,? ? x &? 2 2 ?1 2 2 2 ?1 2即函数的值域 y | y & ? 或y & （3） 理科）Q f ( x ) = （理科）1 21 2（文 12 分）1 1 ? x ，由 f ( x ) ≥ ?1 2 2 ?1可知x1 1 1 1 ? ? x ≥ 1即 x ≤ 2 2 ?1 2 ?1 2∴ x & 0 或 x ≥ log 3 2（理 12 分）x 从而 2 ? 1 & 0 或 2 ? 1 ≥ 2来源：08 年高考武汉市联考一 题型：解答题，难度：中档已知 a&1, b&1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).答案： 答案：∵ab=(a+b),(a-1)(b-1)=1,故原式为 0.来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：容易f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何 x, y&1 及 u, v&0, f(x y )≤[f(x)]u v1 4u[f(y)]1 4v①都成立，试确定所有这样的函数 f(x).答案： 答案：令 x=y&1, u=v= [f(xk)]k≤f(x). 令 y=xk, r=k & 0 ，得 2②1 r1 ，则[f(y)] k≤f(yr), 即由②，③可得[f(x)k]k=f(x). 令 f(e)=c&1，1由 f(x)=f(elnx)=[f(elnx)lnr] ln x =f(e) 另一方面，设 f(x)=c1 ln x1 ln x1=c ln x .(c&1)，由柯西不等式得2? ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? 4u ln x + 4v ln y ? (ulnx+vlny) ≥ ? 4u ln x ? u ln x + 4v ln y ? v ln y ? =1, ? ? ? ? ? ? ?所以 c1 1 + 4 u ln x 4 v ln y≥c11 1 + u ln x v ln y 11=cln x u y v，即 f(xuyv) ≤[f(x)] 4u ?[f(x)] 4 v . 综上所述，f(x)= c1 ln x(c&1).来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难已知 f（x）= log 13x 2 + px + q x 2 + mx + 1。是否存在实数 p、q、m，使 f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为 R 的奇函数；②在[1，+∞）上是减函数；③最小值是－1。若存在，求 出 p、q、m；若不存在，说明理由。答案： 答案：∵f（x）是奇函数 ∴f（0）=0 得 q=1 （1 分）又 f（－x）=－f（x）∴ log 13x 2 ? px + 1 x 2 ? mx + 1=－ log 13x 2 + px + 1 x 2 + mx + 1x 2 + 1 ? px x 2 + 1 ? mx∴p2=m2=x 2 + 1 + mx x 2 + 1 + px即（x2+1）2－p2x2=（x2+1）2－m2x2若 p=m，则 f（x）=0，不合题意。故 p=－m≠0∴f（x）= log 13x 2 ? mx + 1 x 2 + mx + 1（5 分）由 f x） （ 在[1， +∞） 上是减函数， g 令 （x） =x 2 ? mx + 1 x + mx + 12=1－2mx x + mx + 12=1－2m 1 x+ +m x1 在[1，+∞）上递增，在（－∞，－1]也递增，只有 m＞0 时，在[1，+∞）上 g（x） x 递增，从而 f（x）递减。 （7 分） 1 ∴x=－1 时， x + 在（－∞，－1]上取得最大值－2，此时由 f（x）的最小值为－1 得 x 2m g（x）的最大值为 3。 1－ =3 得 m=1， （10 分） m?2 从而 p=－1∴存在 p=－1，q=1，m=1。 （12 分）∵x+来源： 题型：解答题，难度：中档对于任意 n∈N+(n&1)，试证明：[ n ]+[ 3 n ]+…+[ n n ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。答案： 答案：证明：首先考察等式右端，其形式启发我们设 2k2≤ n & 2 k 2 +1 ,3 k3 ≤ n & 3 k3 +1 ，…，n k n ≤ n & n k n +1 （k2, k3,…, kn∈N） ，于是等式右端= k2+k3+…+kn。再研究等式左端，作集合 Am={1, 2, …, [ m n ]} (m=2, 3, …, n)，易见 Am 中有[ m n ]个元 素。 因为 1∈Am (m=2, 3, …, n)， 所以 1 在所有 Am 中出现了 n-1 次； 2∈Am (m=2, 3, …, k2)， 又 即 2 在这些集合中出现了 k2-1 次；…；n 在这些集合中出现了 kn-1 次。这样，A2，A3，…， An 的元素个数之和是(n-1)+(k2-1)+…+(kn-1)=k2+k3+…+kn，即 [ n ]+[ 3 n ]+…+ m n = k2+k3+…+kn。来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难已知函数 f ( x) = log a ⑴求 m 的值； ⑵判断 f（x） 在区间 (1,+∞) 上的单调性并加以证明； ⑶当 a & 1, x ∈ ( r , a ? 2) 时， f (x ) 的值域是 (1,+∞) ，求 a与r 的值。1 ? mx 是奇函数 (a & 0, a ≠ 1) 。 x ?1答案： 答案：解： （1）m=－1…………3 分 （2） 当a & 1时, log ax1 + 1 x +1 & log a 2 , f ( x)在(1, +∞) 上是减函数；……7 分 x1 ? 1 x2 ? 1当 0&a&1 时， f ( x)在(1,+∞) 上是增函数.……………………8 分 （3）当 a&1 时，要使 f (x ) 的值域是 (1,+∞) ，则 log a x + 1 & 1 ，x ?1x +1 (1 ? a ) x + a + 1 ∴ & a, 即 & 0 ；而 x ?1 x ?1a&1，∴上式化为x?a +1 a ? 1 & 0 ①（10 分） x ?1又 f ( x) = log ax +1 2 = log a (1 + ), ∴当 x&1 时， f ( x ) & 0 . x ?1 x ?1当 x & ?1时, f ( x) & 0 .因而，欲使 f (x ) 的值域是 (1,+∞) ，必须 x & 1 ，所以对不等式①，?r = 1 ? a +1 a +1 ? 时成立.12 分∴ ?a ? 2 = ,解之, 得r = 1, a = 2 + 3 .……14 分 当且仅当 1 & x & a ?1 a ?1 ? ?a & 1 ?来源： 题型：解答题，难度：较难 a 已知函数 f ( x ) = lg( x + ? 2), x（1）当 a = ?3 时，求函数 f (x ) 的定义域； （2） a ∈ (0,+∞)时, 求函数f ( x)在x ∈ [ 2,+∞) 上的最小值 t (a ) ， 当 并求出当 t ( a ) = 0 时 对应的实数 a 的值.答案： 答案：解： （1）当 a = ?3时, f ( x) = lg( x ?3 3 ? 2),由x ? ? 2 & 0 ? x( x + 1)( x ? 3) & 0 ， x x解得 x ∈ ( ?1,0) U (3,+∞) 为函数的定义域…………………………………………4 分 （2）设 g ( x ) = x +a a ? 2(a & 0, x & 0), 则g ′( x) = 1 ? 2 = 0得x = a , x x故当x ∈ (0, a )时, g ′( x) & 0, g ( x)在(0, a )单调递减, f ( x) 单调递减； 当x ∈ ( a ,+∞)时, g ′( x) & 0, g ( x)在( a ,+∞) 单调递增， f (x) 单调递增……6 分 ∴当x = a时, g ( x) min = 2 a ? 2, 则f ( x) min = lg(2 a ? 2),① 当0 & a & 2, 即0 & a & 4时, g ( x )在[ 2,+∞ )单调递增, ∴ g ( x ) min = 2 +a a ?2= , 2 2a ∴ t (a ) = ……………………………………………………………………8 分 2②当 a ≥ 2, 即a ≥ 4时, g ( x ) min = g ( a ) = 2 a ? 2, 则t ( a ) = lg(2 a ? 2)? a ?lg , 0 & a & 4 ∴ t (a) = ? 2 ……………………………………………………10 分 ?lg(2 a ? 2), a ≥ 4 ?若 lga = 0, 则a = 2 ∈ (0,4); 2 9 若 lg(2 a ? 2) ? 0, 则a = ? [ 4,+∞],∴ 当t ( a ) = 0时, a = 2 ………………12 分 4注：单调性的证明也可用定义证明。来源： 题型：解答题，难度：中档已知函数 f ( x) = log a ( x + 1), g ( x) = 2 log a ( 2 x + t )(t ∈ R ), a & 0, 且a ≠ 1. （1）若 1 是关于 x 的方程 f ( x ) ? g ( x ) = 0 的一个解，求 t 的值； （2）当 0 & a & 1且t = ?1 时，解不等式 f ( x ) ≤ g ( x) ； （3）若函数 F ( x ) = a f ( x ) + tx 2 ? 2t + 1 在区间 (? 1,2] 上有零点，求 t 的取值范围.答案： 答案：（1） ∵1 是方程 f(x)-g(x)=0 的解，∴loga2=loga(2+t)2, ∴(2+t)2=2 又∵t+2&0 ∴t+2= 2 ∴t= 2 ? 2 .（2）∵t=-1 时，loga(x+1)≤loga(2x-1)2 ∴ x+1≥(2x-1)2 2x-1&0 ∴解集为：{x| ∴ 4x2-5x≤0 x≥又∵0&a&1∴ 0≤x≤5 4 1 21 2x≥1 5 &x≤ } 2 4 x+2 ( x ≠ ± 2 且-1&x≤2） x2 ? 2（3）解法一：∵F(x)=tx2+x-2t+2 由 F(x)=0 得：t= ? ∴t= ?x+2 ( x + 2) ? 4( x + 2) + 22设 U=x+2 ( 1&U≤4 且 U≠2 ± 则 t= ?2)U 1 =? 2 U ? 4U + 2 U ?4+ U22 令 ? (U ) = U + U∴当 1 & U &∵ ? ′(U ) =U2 ?2 U22 时， ? (U ) 是减函数，当 2 & U & 4 时， ? (U ) 是增函数， 且 ? ( 2 ) = 2 2 , ? (1) = 3, ? ( 4) = ∴ 2 2 ≤ ? (U ) ≤9 . 29 且 ? (U ) ≠4. 2 1 2 2 ∴ ? ≤ 4- U + &0 或 0&4- U + ≤4 ? 2 2 , 2 U Ut 的取值范围为： t ≤ ?2或t ≥2+ 2 . 4解法二：若 t=0,则 F(x)=x+2 在 (?1,2] 上没有零点. 下面就 t≠0 时分三种情况讨论： ① 方程 F(x)=0 在 (?1,2] 上有重根 x1=x2，② 则Δ=0，解得：t=2± 2 4又 x1=x2= ?1 2+ 2 ∈ (?1,2] ，∴t= . 2t 4②F(x)在 (?1,2] 上只有一个零点，且不是方程的重根，则有 F(-1)F(2)&0 解得：t&-2 或 t&1 又经检验：t=-2 或 t=1 时，F(x)在 (?1,2] 上都有零点； ∴t≤-2 或 t≥1. ③方程 F(x)=0 在 (?1,2] 上有两个相异实根，则有： t&0 Δ&0 -1& ? t&0 Δ&01 ≤2 2t或-1& ?1 ≤2 2t解得：2+ 2 & t &1 4F(-1)&0 F(2)&0F(-1)&0 F(2)&0综合①②③可知：t 的取值范围为 t ≤ ?2或t ≥2+ 2 . 4来源：09 年福建师大附中月考一 题型：解答题，难度：较难解关于 x 的方程：loga(x -x-2)=loga(x22 )+1(a＞0 且 a≠1). a答案： 答案：解：原方程可化为 loga(x2-x-2)=loga(ax-2)? ?ax ? 2 f 0 ?? 2 ? x ? x ? 2 = ax ? 2 ?2分 4分① ②由②得 x=a+1 或 x=0,当 x=0 时，原方程无意义，舍去. 当 x=a+1 由①得 ?? 2 ?a + a ? 2 f 0 ? a f1 ?a f 0 ?8分 10 分 12 分∴a＞1 时，原方程的解为 x=a+1来源： 题型：解答题，难度：中档已知函数 f ( x ) = lg[ 3 ? ( 3 ? 1) tan x ? tan 2 x]. （1）求函数 f (x ) 的定义域； （2）若 β 是两个膜长为 2 的向量 a，b 的夹角，且不等式 f ( x ) ≤ lg(1 + sin β ) 对于定 义域内的任意实数 x 恒成立，求|a+b|的取值范围答案： 答案：（1）若原函数有意义，则 3 ? ( 3 ? 1) tan x ? tan 2 x & 0, 解之得 ? 3 & tan x & 1 故 kπ ?π3& x & kπ +π4(k ∈ Z ), 故函数f ( x)的定义域为(kπ ?π3, kπ +π4)(k ∈ Z )（2）因为 x ∈ ( kπ ?π3, kπ +π4)(k ∈ Z时， & 3 ? ( 3 ? 1) ? tan x ? tan 2 x ≤ 1 + 0 3 ).要使f ( x) ≤ lg(1 + sin β ) 恒成立，只需 23 2故函数 f（x）的最大值为 lg(1 +lg(1 + sin β ) ≥ lg(1 +故π 3π 1 3 3 1 ).故 sin β ≥ ,∴ β ∈ [ , ], ≤ cos β ≤ 2 2 3 3 2 2| a + b | 2 =| a | 2 + | b | 2 +2 | a | ? | b | cos β = 4 + 4 + 2 × 2 × 2 × cos β = 8 + cos β故 | a + b | 的取值范围是[ 4， ]， | a + b | 的取值范围是[ 2， 3 ] 12 ∴ 22来源：1 题型：解答题，难度：中档已知 a & 0 且 a ≠ 1 ,解关于 x 的不等式1 logax ?1& ?2 .答案： 答案：原不等式等价于 2 log a x ? 1 & 0 …………………2 分 log a x ? 1 即 (logax ? 1)( 2 loga1 x ? 1) & 0 ……………4 分∴ & log 21 2ax & 1 ……………8 分∴当 0 & a & 1 时，原不等式的解集为 { x a & x & a } ；1当 a & 1 时，原不等式的解集为 { x a 2 & x & a } .……12 分来源： 题型：解答题，难度：较难 2 4 ? 3x 已知函数 f(x)是 y= x －1(x∈R)的反函数，函数 g(x)的图象与函数 y= 的图 10 + 1 x ?1象关于直线 y=x－1 成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点 A，B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直. 若存在，求出 A，B 坐标;若不存在，说明理由.答案： 答案：.解: (1)由 y=2 1? y －1，得:x=lg . 10 + 1 1+ yx∴f(x)=lg1? x 4 ? 3x ，由 y= ， 1+ x x ?1得 y+3=1 1 1 关于 y=x－1 对称的曲线方程 x－1+3= ，得 y= =g(x). 4 分 x ?1 y x+2 1? x 1 + ，定义域(－1，1). 1+ x x + 21 ? x1 1 ? x2 1 1 + ? lg ? 1 + x1 x1 + 2 1 + x2 x2 + 210 分 6分∴F(x)=lg(2) 设 F (x)上不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)连线与 y 轴垂直，设－1＜x1＜x2＜1， 则有 y1=y2，又 y1－y2=F(x1)－F(x2)=lg=lg(1 + x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? )+ . 1 + x1 1 ? x2 ( x1 + 2)( x2 + 2)由－1＜x1＜x2＜1，1 + x2 1 ? x1 ＞1， ＞1，x1－x2＞0，(x1+2)(x2+2)＞0， 1 + x1 1 ? x2lg(1 + x2 1 ? x1 ? )＞0，y1＞y2. 1 + x1 1 ? x214 分∴不存在直线 AB 与 y 轴垂直. ( F(x)在(－1，1)上单调递减)来源： 题型：解答题，难度：较难已 知 函 数 y=lg( x +2 x + a ) （ 1） 若 函 数 定 义 域 为 R， 求 a 的 取 值 范 围 ；2（ 2） 若 函 数 的 值 域 为 R， 求 a 的 取 值 范 围 ； （ 3） 若 函 数 的 值 域 为 [0， +∞ ]， 求 a 的 取 值 范 围 .答案： 答案：解： （1） a & 1 （2） a ≤ 1 （3） a & 2来源： 题型：解答题，难度：较难已知函数 f ( x ) =log (axa21 3 ? x + )在[1， ]上恒正，求实数a的取值范围。 2 2答案： 答案：1 1 1 2 （ 1） ax ? x + 2 图像的对称抽x = 2a ∈ 0， 2 1 3 2 ∴ y = ax ? x + 在[1， ]上递增。 2 2 3 3 3 若 a＞1，则 f ( x )在[1， ]上递增，由f (1) = log ( a ? )＞0，得a＞ ； a 2 2 2首先由 f (1)有意义得a＞ ， y = ∴若 0＜a＜1 ，则f ( x)在[1， ]上递减，由f ( ) = 得 0＜ a ? 1＜1，即 ＜a＜ 。 ∴ a ∈ ， ） （ ， ∞）。 （ ∪ +3 23 2log ( 4 a ? 1)＞0，a99 44 98 91 8 2 93 2来源：09 年甘肃兰州月考一 题型：解答题，难度：中档已知定义在 R 上的偶函数 y= f ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 上单调递减，且 f ( ) = 0 ，则满足1 2f (log 1 x) &0 的解集为___________4答案： 答案：? 1? ? 0, ? U ( 2, +∞ ) ? 2?来源：09 年浙江宁波市月考一 题型：填空题，难度：中档?e x , x ≤ 0, 1 设 f ( x) = ? 则 f ( f ( )) = _______________． 3 ?ln x, x & 0,答案： 答案：1 3来源：09 年山东潍坊市月考一 题型：填空题，难度：中档已知集合 A ={ x | log 2 x ≤ 2} ， B = (?∞, a) ，若 A ? B 则实数 a 的取值范围是(c, +∞) ，其中 c = _________.答案： 答案：4 【解析】由 log 2x ≤ 2 得 0 & x ≤ 4 ， A = (0,4] ；由 A ? B 知 a & 4 ，所以 c = 4。来源：09 年高考江苏卷 题型：填空题，难度：较难求值： lg 8 + 3lg 5 = ______.（答案化为最简形式）答案： 答案：3来源：09 年浙江杭州市月考二 题型：填空题，难度：中档记 y = f ( x) = log 3 ( x + 1) 的反函数为 y=f -1(x)，则方程 f -1(x)=8 的解 x=________.答案： 答案：2 解法 1 由 y = f ( x) = log 3 ( x + 1) ，得 x = 3 解得 x = 2 解法 2 因为 f ? 1( x ) = 8 ，所以 x = f (8) = log 3 (8 + 1) = 2y ?1，即 f ?1 ( x ) = 3 x ? 1 ，于是由 3 x ? 1 = 8 ，来源：09 年高考重庆卷 题型：填空题，难度：中档函数 y=log2(x2－3x+2)的递增区间为____________.答案： 答案：(2,+ ∞ )来源：09 年湖北宜昌月考一 题型：填空题，难度：中档若 f(x)=ln1? x ，则使 f(a)+f(b)= 1+ x? a+b ? f? ? _________. ? 1 + ab ?答案： 答案：1? x 1? x 可知 &0，故-1&x&1，则 a, b∈（-1，1）. 1+ x 1+ x a+b 由 a, b∈（-1，1） ，得 ∈（-1，1） ， 1 + ab（-1，1） 。由 f(x)= ln 则 f(a)+f(b)= ln(1 ? a )(1 ? b) ，并且 (1 + a )(1 + b)ab + 1 + a + b (1 ? a )(1 ? b) ? a+b ? f? = ln . ? = ln ab + 1 + a + b (1 + a )(1 + b) ? 1 + ab ?来源：08 年数学竞赛专题四题型：填空题，难度：中档若函数 f(x)的图象与 g(x)=2 -1 的图象关于直线 y=x 对称，则函数 f(x)的解析为 f(x)=_____。x答案： 答案：log 2 ( x + 1) ( x & ?1)来源： 题型：填空题，难度：中档若 x∈{x|log2x=2-x}，则 x2, x, 1 从大到小排列是_________.答案： 答案：x2&x&1. 利用图象可知，满 log2x=2-x 的 x 值应是（1，2）内的某个值。来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档函数 f(x)=8 ? 1 +lg(x2-1)的定义域是_________. x答案： 答案：? x 2 ? 1 & 0 ? x & 1或x & ?1 ? ? 由? 8 ? ?x ≤8 ? -8≤x&-1 或 1&x≤8. ?1 ≥ 0 ?x ? ? ?x ≠ 0来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 . ①若函数 f (x ) 对定义域中的 x 总有 f (1 + x) = f (1 ? x), 则f ( x) 是偶函数； ②函数 y = f (2 + x)和y = f ( 2 ? x) 的图象关于直线 x=2 对称； ③函数 y = 2 ? x 与y = log 2 ( ? x ) 的图象关于直线 y = ? x 对称； ④函数 f ( x ) =1 ? 2x 的反函数的图象关于点（－2，－1）中心对称. 1+ x答案： 答案：③④来源： 题型：填空题，难度：中档函数 f(x)=x ?1 ? ?3 ?? ? x ∈ ? ,2? ? 的值域为_________。 ? ? x ? 2x + 5 ? ?2 ??2答案： 答案：1 4 ?1 ? ? 2 1? ?1 ? , t∈ ? ,1? ，而 g(t)=t+ 在 ? ,1? 上是减函数，所以 ?17 , 5 ? 。令 x-1=t，则 f(x)= 4 t ?2 ? ? ? ?2 ? t+ t当 t∈ ? ,1? 时，5≤t+ ≤ . 所以 ≤ f ( x) ≤ . t 2 17 5 ?2 ??1 ?41721来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档已知函数 f(x)=3 的反函数是 f (x),且 f (6)=a+1，则函数 y=3 域为_________________________x -1 -1 ax(x∈［0,2］)的值答案： 答案：［1，4］ （提示：f (x)=1og3 ,∴f (6)=1og3 =a+1,∴a=1og3 ,∴y=3 = log 2?x 2 x x 3 3 = (3log3 ) =2 ,∵x∈［0,2］,∴值域为［1，4］ ）-1 x C1 6 2 ax来源： 题型：填空题，难度：中档函数 y = log 1 ?1 ? ? 1 + ? 的单调递增区间是_________。 ?1? x 1+ x ? 2答案： 答案：（-1，0]. 函数化为 y= log 1 ?? 1 ? ，其单调递增区间为（-1，0]。 ? ，定义域为（-1，1） 1? x2 ? 2?来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档方程 lg x + lg ( x + 3) = 1 的解 x = __________.答案： 答案：2来源：04 年上海春季 题型：填空题，难度：中档已知不等式 x2-logmx&0 在 x∈ ? 0, ? 时恒成立，则 m 的取值范围是_________.? ?1? 2?答案： 答案：m∈ ??1 ? ,1? . 由题设 x2& logmx, 在同一直角坐标系下作出 y=x2 和 y=logmx(x&0)的图象， 16 ? ? ?1 1? ?2 4?1 1 1 = ，得出 m= , 于是从 2 4 16显然当两个图象关于点 A? , ? 是一个极端位置，此时 logm图象上可看出当 m∈ ??1 ? ,1? 时，符合要求。 ?16 ?来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档如果 log2[log 1 (log2x)]= log3[log 1 (log3x)]= log5[log 1 (log5z)]=0， 那么将 x, y, z 从小到大排2 3 5列为___________.答案： 答案：1 1 1z&x&y. 由对数性质得 x=2 2 , y=3 3 , z=5 5 ，利用幂函数的单调性，比较 x, y, z 的大小，由 x =(2 ) =2 =8，y =(3 ) =32=9，所以 x&y. 由 x =(2 )=2 =32，z =(5 ) =52=25，所以 z&x，因此 z&x&y.10 61 2 6361 3 61 25101 5 10来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档
高一数学--对数函数综合练习题_数学_高中教育_教育专区。2.求下列各式的值: (...? log2 ( x ? ax ? a) 在区间 (??,1 ? 3) 上是增函数, a 的...高一数学对数运算及对数函数试题_数学_高中教育_教育...?? ?,0? 【答案】B 1 16. 已知函数 f ( x...高一数学对数函数练习 3页 免费 高一数学(对数与对数...高中数学对数函数经典练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。仁文教育 高一对数...0, 2 ? 上为增函数的是( A、 y ? log 1 ( x ? 1) 2 ) B、 y ...人教版高一数学对数和对数函数相关练习,包括求对数函数的定义域、值域、单调性等,指数函数和对数对数结合练习人教版高一数学对数和对数函数相关练习,包括求对数函数的定...必修1高一数学对数与对数函数_数学_高中教育_教育专区...但具体到每一个题, 一般以题中某个对数的底为...四、课后练习 1.函数 f(x)=|log2x|的图象是 ...2015届数学自编讲义――对数与对数函数-李跃仁_高一数学_数学_高中教育_教育专区...练习命题: 李跃仁 班级___姓名___ 一、选择题 1.已知函数 f ( x) ? log...高一数学必修一对数函数练习题_数学_高中教育_教育专区。对数函数练习题 1、下列图像正确的是( ) A B C D ) y x O D x 2、若 f ( x) ? loga x(a...高一数学对数与对数函数复习题及解答 (2)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。对数...[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( )(A) (0,1) (B) (1...2.4高一数学对数与对数函数复习题_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 78...2.1函数的表示法同步练习... 2.3高一数学上学期指数与... 2.6新课标高一...高中必修一对数与对数函数练习题及答案_数学_高中...(D)非奇非偶函数 ( A)奇函数 (B)偶函数 (C)...对数函数习题及答案 3页 免费
高一对数函数精选试题...
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。