概率论三门问题 一问

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-26 04:49 标签： 概率论经典问题
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&帕斯卡&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & 费马&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&惠更斯
概率论起源于博弈问题。
1654年,职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？
帕斯卡与另一位法国数学家费马（Fermat, ）在一系列通信中就这一问题展开了讨论。事实上，很容易设想出以下两种分法：（1）甲得100·(1/2) 法郎，乙得100·(1/2) 法郎；（2）甲得100·(2/3) 法郎，乙得100·(1/3) 法郎。
第一种分法考虑到甲、乙两人赌技相同，就平均分配，没有照顾到甲已经比乙多赢一局这一个现实，对甲显然是不公平的。第二种分法不但照顾到了“甲乙赌技相同”这一前提，还尊重了已经进行的三局比赛结果，当然更公平一些。但是，第二种分法还是没有考虑到如果继续比下去的话会出现什么情形，即没有照顾两人在现有基础上对比赛结果的一种期待。
那么，这更合理的第三种分法又该怎样分呢？
试想，假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜（概率为1/2），则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注（这两局出现此种情形的概率为(1/2)·(1/2)=1/4&）。若设甲的最终所得为X&，则
P(X=100)=1/2+1/4=3/4
于是，X的分布律为
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从而甲的“期望” 所得应为0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎；乙的“期望”所得应为100-75=25法郎。这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。
这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”会更形象易懂一些，对上例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢75法郎。
后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens,）的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。
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历史上的今天
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